GPS高程转换实例
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（2）外符合精度：设检验点的高程异常i和拟合高程异常i,求出拟合残差Vi= i- i，按上式计算外符合精度。其中，n为检验点数。
（3）精度评定：把检验点的拟合残差与相应等级的水准测量限差进行比较， 分析GPS水准所能达到的精度。
4、高程异常等值 线的绘制
测区中GPS测点一般分布不 均匀，没有规则。 （1）在获得最佳三角形的条 件下，自动将GPS测点联 结成三角网。最佳条件是 指在使用周围临近GPS测 点组成三角网时，尽可能 保证每个三角形都是锐角 三角形或三角形三边近似 相等，避免出现过大或过 小的锐角。 （2）在三角形边上内差等值 点。 （3）按一定规则搜索、追踪 等值线。 （4）注记等值线。 （5）缩放等值线。
方案二：取网中北端同一侧覆盖全网１／２控制面积的５个点（０１、０３、０ ９、１３和１５）为起始点，利用平面模型拟合高程异常。
方案三：取网中3个点（0３、１4和22）为起始点，利用平面模型拟合高程异常。 方案四：取网中的6个点（０１、０３、11、１6、18和23）为起算点，进行二次 曲面拟合高程异常。 拟合结果分析：方案一拟合误差较大，最大误差为+0.12m，平均精度为0.058m； 方案二最大误差为0.069m，平均误差为0.027m；方案三好于方案二；方案四最好，
• 乌鲁木齐GPS控制网共126个点，测区西南高东北低，西 南最高点海拔1391m，东部最低海拔578m。
根据部分观测资 料绘制的我国高 程异常等值线． 基本等高距５m
格拉布斯(Ｇｒｕｂｂｓ)判别法
为检验残差相ຫໍສະໝຸດ Baidu的观测值中是否含有粗差,将残差按大小顺序排列,得到Ｖ (1)≤Ｖ(2)≤……≤Ｖ(ｎ)，Grubbs导出的统计量为
gn V( n ) V V V(1) 1 n ,V V(i ) n i 1
,g
' n
式中σ为样本标准差,gn用来判别最大值是否为异常值;gn可用来判断最小值 是否为异常值, gn和gn有相同的概率分布。相关文献中有临界值ｇ0(n,) 表,当| gn |≥ｇ0(n,)或| gn |≥ｇ0(n,)时,可认为该残差相应的观测值含有 粗差,α为显著度,一般取0.05或0 .01。 一般情况下,残差总体标准差σ往往未知，Grubbs构造了ＥＳＤ型统计量:
3、精度评定 为了客观评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准联测点时，应适当多联测几 个点，该点位也应均匀布设，以作外部检核。 （1）内符合精度：设参与拟合的已知点数为n，根据已知点高程异常i和拟合高 程异常i,求出拟合残差Vi= i- i，则内符合精度为
[VV ] n 1
狄克松(Ｄｉxｏｎ)判别法
利用极差做为统计量判别粗差的一种简化的方法。若数据中的最大值Ｖ(ｋ)不是异常值，则 它与次之值(或第三大值)之差也不应过大。因为总体标准差σ往往未知，狄克松法用极差 或拟极差来估计σ2，提出了下述统计量ｒij或ｒij(ｉ=1,2,ｊ=1,2)。设有一组残差Ｖ1,Ｖ 2……Ｖｎ,将其由小到大排列得Ｖ(1)≤Ｖ(2)≤……≤Ｖ(ｎ)则有
GPS高程
• GPS高程拟合的数学模型 常用的有６种模型：多项式曲线拟合、三次 样条曲线拟合、Ａkima曲线拟合、多项式 曲面拟合、多面函数曲面拟合、移动法曲 面拟合。前三种属于曲线拟合，仅适用于 ＧＰＳ测点布设成测线时采用；后三中属 于曲面拟合，当ＧＰＳ测点布设成网状时 采用。
１、多项式曲线拟合
i ( x, y) i f ( x, y, xi , yi )
i 1 m
式中，为系数（待定）， f为正双曲或反双曲函数。为平滑因子，一般通 过多次试算确定，通常取1。
f ( x, y, xi , yi ) xi2 yi2 f ( x, y, xi , yi ) 1 xi2 yi2
k f ( xk ),k 1 f ( xk 1 ),k' gk , k' 1 gk 1
式中gk，gk+1可由Akima条件惟一确定，则在区间[xk,xk+1]（ k=0,1,2,…,n-2 ）上 可惟一确定一个三次多项式：
s( x) s0 s1 ( x xk ) s2 ( x xk )2 s3 ( x xk )3
大庆市大同区盐地改良省级示范项目： ２４个ＧＰＳ控制点，边长0.4-0.6km，所有ＧＰＳ点均 进行了四等水准联测． 为研究点的数量与精度对拟合结果的影响，分别采用了 三个平面拟合与一个二次曲面拟合方案 方案一：取网中北端同一侧覆盖全网１／4控制面积的3个点（０１、０３和０9） 为公共点，利用平面模型拟合高程异常。
( x, y) aijTi ( x)T j ( y)
i 1 j 1
M
N
式中，aij为拟合系数，Ti(x)、Tj(y)为变量，分别为x,y的M和N次切比雪夫多项 式。 权函数可选取P(d)=exp(-d2/a2)，a为常数，一般取数据点平均间距的两倍，d 为内插点到数据点间的距离。 当观测值个数k大于MN时，组成误差方程解拟合系数。再利用内差点坐标代 回，可获得内插点的高程异常。
由上式可计算该子区间插值点处的高程异常。
4、多项式曲面拟合
5、Hardy多面函数法（曲面逼近法）
出发点是在每个数据上同各个已知点分别建立函数关系。这种函数称为核函数,它 的图形是一个规则数学曲面,将这些规则数学曲面按一定比例叠加起来,就可拟合 出任何不规则的曲面,且能达到较好的拟合效果。其函数形式如下：
若ＥＳＤ大于显著水平α下的临界值ＥＳＤ(ｎ,α)时,就可以判断最大值(或最小 值)是异常值,ＥＳＤ的临界值Grubbs已作出,见相关文献附表。 进行格拉布斯判别时,同样自残差序列两端分别轮流逐个检验,逐个判别,直至一 次检验两端均无粗差怀疑为止。
粗差数据探测实例
具体计算过程可参考工程勘察２００４年第４期ＧＰＳ高程转换中高程 异常粗差的检验与分析
设测点的高程异常为i与拟合坐标xi或yi存在如下函数关系
( x) a0 a1x a2 x2 ... an xn
利用重合点，在保证残差i（xi）- i平方和最小的条件下，求出上式中的系数 ai，即可求出测线上任意一点的高程异常。
2、三次样条曲线拟合
当测线较长。已知点较多时，如果整体拟合则精度低；而分段拟合则又 导致分段点上的不连续。 设测线过n个测点， i和拟合坐标xi或yi在区间[xi,xi+1]（i=0,1,2,…n-1）存 在如下三次样条函数关系：
式中，Δｘ=xi-x， Δｙ=ｙi-y。xi,ｙi为水准重合点的平面坐标;ｘ,y为拟合点或内 插点的平面坐标。 先用ｍ个水准重合点拟合出待定系数βｉ,然后再把βｉ作为已知值去内插未知点 的高程异常。
6、移动曲面法
该方法属于点逼近曲面拟合，特点是引入权函数，根据内插点到数据点的距离给 出不同的影响程度，两点越近影响越大。 计算时通常采用切比雪夫多项式作为移动多项式。设GPS测点的高程异常与x,y存 在如下关系
若ｒ10,ｒ11,ｒ21,ｒ22中之一或ｒ10,ｒ11,ｒ21,ｒ22中之一大于临界值,则认 为Ｖ(ｎ)或Ｖ(1)为异常值。 狄克松对于不同的ｎ,考察了ｒ统计量检验出异常值的灵敏性后,提出: 当3≤ｎ≤7时宜用ｒ10或ｒ10; 当8≤ｎ≤10时宜用ｒ11或ｒ11; 当11≤ｎ≤13时宜用ｒ21或ｒ21; 当14≤ｎ≤25时宜用ｒ22或ｒ22。 根据不同的ｎ采用不同的统计量是自然的。因为当ｎ小时,用极差估计的 效率较好,当ｎ增大时这种估计量的效率逐渐降低,所以当ｎ较大时,用 拟极差Ｖ(ｎ)-Ｖ(2)或Ｖ(ｎ)-Ｖ(3)来估计,统计量ｒij或ｒij的临界值ｒ(ｎ,α) 在相关文献中给出（张方仁,张金通编著.测量误差的统计分布和检验 [Ｍ].北京:中国计量出版社,1991.）,其中α为弃真概率,又称为显著度,一 般取0.05或0.01。 检验时可自残差序列两端分别轮流逐个计算,逐个判别,直到一次检验两端 均无粗差怀疑为止。
式中，x为待求的坐标，xi、xi+1为待求点两端已知点的坐标。 利用数学方法求出一阶差熵(xi,xi+1)和二阶差熵(x,xi,xi+1)后，即可求出各 插值点的高程异常。
3、Akima法曲线拟合
该方法在两个已知点间内插时还需要两个已知点外的两个点，以使曲线光滑、函 数连续。 设给定n个不等距GPS测点为x0<x1<…xn或y0<y1<…yn，相应的高程异常值为i 与 （i=0,1,2,…,n-1） 如果在子区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…,n-2)上两端点满足以下4个条件，即
Tr G [( h hr ) / r0 ]d
D
G 6
D
[( h hr ) 3 / r03 ]d
史中，r0为积分主体到地面点的距离，为质量密度，hr为参考面（平均高程面） 高程。
地形改正的具体计算方法： （1）扩展GPS网测区，进行1km 1km 格网化，求各网点坐标。 （2）内插求GPS格网点的近似大地高。 （3）根据测区情况，选定积分范围，求出各格网点地形起伏对某地面点扰动位 的影响值，然后叠加求出某区域地形起伏对该点扰动位的影响值，再按莫落金斯 基公式计算地形改正值。 利用非格网GPS测点考虑地形改正时，为减少内插误差，建议GPS水准点布设相 对均匀，且满足一定数量，网形最好近似为正方形。 2、GPS水准点的可靠性检验
最大误差为0.017m，平均误差为0.008m 结论：（1）对起伏不大的平原与丘陵地区，如果网的覆盖面积在20km2 左右，只要有3-5个均匀分布的水准点，利用平面拟合的误差不回超过812mm。（2）起算点的精度、密度和分布与高程异常拟合精度关系密切。
• 高程转换实现的关键技术
1、地形改正 在地势平坦地区，利用GPS高程拟合方法可达到四等水准精度，部分地区可达到 三等要求。对于地形起伏较大的地区，精度难以保证。目前可采用地形图或数 字化的地面模型来获取格网化的高程数据，但工作量大。 国内外资料表明，地势平坦地区高程异常变化平稳，地形起伏大的地区高程变化 剧烈。高程异常中的短波项主要由局部地形起伏引起的。假设某点的高程异常 由两部分组成， = 0+ r，一部分为中长波项0 （平滑项），另一部分为地形 起伏引起的短波项r 。因此平原地区短波项小可忽略，山区短波项不能忽略。 根据莫落金斯基公式可导出T=T0+Tr，其中T为地面扰动位，T0为长波项（主项）， Tr为短波项由局部地形引起扰动位的影响。根据位理论： Tr=GM/r；r为积分元 到地面点的距离，G为万有引力常数，M为积分主体质量；可得近似计算公式
联测水准点可靠性检验的原因：GPS水准点等级不同、施测年代不同、平差年个 第微和沉降情况不同，有的受到了某中程度的破坏，同时存在联测粗差。
检验方法：多种，其中狄克松（Dixon）判别法最直观，对探测单个粗差也很有 效。
如果样本中存在多个粗差，尤其是均值的同侧出现很接近的两个或两个以上的异 常值时， Dixon判别法不易检验出，可能出现粗差“遮蔽”现象。此时可采用 Dixon统计量检测多个粗差。
（3）精度评定：把检验点的拟合残差与相应等级的水准测量限差进行比较， 分析GPS水准所能达到的精度。
4、高程异常等值 线的绘制
测区中GPS测点一般分布不 均匀，没有规则。 （1）在获得最佳三角形的条 件下，自动将GPS测点联 结成三角网。最佳条件是 指在使用周围临近GPS测 点组成三角网时，尽可能 保证每个三角形都是锐角 三角形或三角形三边近似 相等，避免出现过大或过 小的锐角。 （2）在三角形边上内差等值 点。 （3）按一定规则搜索、追踪 等值线。 （4）注记等值线。 （5）缩放等值线。
方案二：取网中北端同一侧覆盖全网１／２控制面积的５个点（０１、０３、０ ９、１３和１５）为起始点，利用平面模型拟合高程异常。
方案三：取网中3个点（0３、１4和22）为起始点，利用平面模型拟合高程异常。 方案四：取网中的6个点（０１、０３、11、１6、18和23）为起算点，进行二次 曲面拟合高程异常。 拟合结果分析：方案一拟合误差较大，最大误差为+0.12m，平均精度为0.058m； 方案二最大误差为0.069m，平均误差为0.027m；方案三好于方案二；方案四最好，
• 乌鲁木齐GPS控制网共126个点，测区西南高东北低，西 南最高点海拔1391m，东部最低海拔578m。
根据部分观测资 料绘制的我国高 程异常等值线． 基本等高距５m
格拉布斯(Ｇｒｕｂｂｓ)判别法
为检验残差相ຫໍສະໝຸດ Baidu的观测值中是否含有粗差,将残差按大小顺序排列,得到Ｖ (1)≤Ｖ(2)≤……≤Ｖ(ｎ)，Grubbs导出的统计量为
gn V( n ) V V V(1) 1 n ,V V(i ) n i 1
,g
' n
式中σ为样本标准差,gn用来判别最大值是否为异常值;gn可用来判断最小值 是否为异常值, gn和gn有相同的概率分布。相关文献中有临界值ｇ0(n,) 表,当| gn |≥ｇ0(n,)或| gn |≥ｇ0(n,)时,可认为该残差相应的观测值含有 粗差,α为显著度,一般取0.05或0 .01。 一般情况下,残差总体标准差σ往往未知，Grubbs构造了ＥＳＤ型统计量:
3、精度评定 为了客观评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准联测点时，应适当多联测几 个点，该点位也应均匀布设，以作外部检核。 （1）内符合精度：设参与拟合的已知点数为n，根据已知点高程异常i和拟合高 程异常i,求出拟合残差Vi= i- i，则内符合精度为
[VV ] n 1
狄克松(Ｄｉxｏｎ)判别法
利用极差做为统计量判别粗差的一种简化的方法。若数据中的最大值Ｖ(ｋ)不是异常值，则 它与次之值(或第三大值)之差也不应过大。因为总体标准差σ往往未知，狄克松法用极差 或拟极差来估计σ2，提出了下述统计量ｒij或ｒij(ｉ=1,2,ｊ=1,2)。设有一组残差Ｖ1,Ｖ 2……Ｖｎ,将其由小到大排列得Ｖ(1)≤Ｖ(2)≤……≤Ｖ(ｎ)则有
GPS高程
• GPS高程拟合的数学模型 常用的有６种模型：多项式曲线拟合、三次 样条曲线拟合、Ａkima曲线拟合、多项式 曲面拟合、多面函数曲面拟合、移动法曲 面拟合。前三种属于曲线拟合，仅适用于 ＧＰＳ测点布设成测线时采用；后三中属 于曲面拟合，当ＧＰＳ测点布设成网状时 采用。
１、多项式曲线拟合
i ( x, y) i f ( x, y, xi , yi )
i 1 m
式中，为系数（待定）， f为正双曲或反双曲函数。为平滑因子，一般通 过多次试算确定，通常取1。
f ( x, y, xi , yi ) xi2 yi2 f ( x, y, xi , yi ) 1 xi2 yi2
k f ( xk ),k 1 f ( xk 1 ),k' gk , k' 1 gk 1
式中gk，gk+1可由Akima条件惟一确定，则在区间[xk,xk+1]（ k=0,1,2,…,n-2 ）上 可惟一确定一个三次多项式：
s( x) s0 s1 ( x xk ) s2 ( x xk )2 s3 ( x xk )3
大庆市大同区盐地改良省级示范项目： ２４个ＧＰＳ控制点，边长0.4-0.6km，所有ＧＰＳ点均 进行了四等水准联测． 为研究点的数量与精度对拟合结果的影响，分别采用了 三个平面拟合与一个二次曲面拟合方案 方案一：取网中北端同一侧覆盖全网１／4控制面积的3个点（０１、０３和０9） 为公共点，利用平面模型拟合高程异常。
( x, y) aijTi ( x)T j ( y)
i 1 j 1
M
N
式中，aij为拟合系数，Ti(x)、Tj(y)为变量，分别为x,y的M和N次切比雪夫多项 式。 权函数可选取P(d)=exp(-d2/a2)，a为常数，一般取数据点平均间距的两倍，d 为内插点到数据点间的距离。 当观测值个数k大于MN时，组成误差方程解拟合系数。再利用内差点坐标代 回，可获得内插点的高程异常。
由上式可计算该子区间插值点处的高程异常。
4、多项式曲面拟合
5、Hardy多面函数法（曲面逼近法）
出发点是在每个数据上同各个已知点分别建立函数关系。这种函数称为核函数,它 的图形是一个规则数学曲面,将这些规则数学曲面按一定比例叠加起来,就可拟合 出任何不规则的曲面,且能达到较好的拟合效果。其函数形式如下：
若ＥＳＤ大于显著水平α下的临界值ＥＳＤ(ｎ,α)时,就可以判断最大值(或最小 值)是异常值,ＥＳＤ的临界值Grubbs已作出,见相关文献附表。 进行格拉布斯判别时,同样自残差序列两端分别轮流逐个检验,逐个判别,直至一 次检验两端均无粗差怀疑为止。
粗差数据探测实例
具体计算过程可参考工程勘察２００４年第４期ＧＰＳ高程转换中高程 异常粗差的检验与分析
设测点的高程异常为i与拟合坐标xi或yi存在如下函数关系
( x) a0 a1x a2 x2 ... an xn
利用重合点，在保证残差i（xi）- i平方和最小的条件下，求出上式中的系数 ai，即可求出测线上任意一点的高程异常。
2、三次样条曲线拟合
当测线较长。已知点较多时，如果整体拟合则精度低；而分段拟合则又 导致分段点上的不连续。 设测线过n个测点， i和拟合坐标xi或yi在区间[xi,xi+1]（i=0,1,2,…n-1）存 在如下三次样条函数关系：
式中，Δｘ=xi-x， Δｙ=ｙi-y。xi,ｙi为水准重合点的平面坐标;ｘ,y为拟合点或内 插点的平面坐标。 先用ｍ个水准重合点拟合出待定系数βｉ,然后再把βｉ作为已知值去内插未知点 的高程异常。
6、移动曲面法
该方法属于点逼近曲面拟合，特点是引入权函数，根据内插点到数据点的距离给 出不同的影响程度，两点越近影响越大。 计算时通常采用切比雪夫多项式作为移动多项式。设GPS测点的高程异常与x,y存 在如下关系
若ｒ10,ｒ11,ｒ21,ｒ22中之一或ｒ10,ｒ11,ｒ21,ｒ22中之一大于临界值,则认 为Ｖ(ｎ)或Ｖ(1)为异常值。 狄克松对于不同的ｎ,考察了ｒ统计量检验出异常值的灵敏性后,提出: 当3≤ｎ≤7时宜用ｒ10或ｒ10; 当8≤ｎ≤10时宜用ｒ11或ｒ11; 当11≤ｎ≤13时宜用ｒ21或ｒ21; 当14≤ｎ≤25时宜用ｒ22或ｒ22。 根据不同的ｎ采用不同的统计量是自然的。因为当ｎ小时,用极差估计的 效率较好,当ｎ增大时这种估计量的效率逐渐降低,所以当ｎ较大时,用 拟极差Ｖ(ｎ)-Ｖ(2)或Ｖ(ｎ)-Ｖ(3)来估计,统计量ｒij或ｒij的临界值ｒ(ｎ,α) 在相关文献中给出（张方仁,张金通编著.测量误差的统计分布和检验 [Ｍ].北京:中国计量出版社,1991.）,其中α为弃真概率,又称为显著度,一 般取0.05或0.01。 检验时可自残差序列两端分别轮流逐个计算,逐个判别,直到一次检验两端 均无粗差怀疑为止。
式中，x为待求的坐标，xi、xi+1为待求点两端已知点的坐标。 利用数学方法求出一阶差熵(xi,xi+1)和二阶差熵(x,xi,xi+1)后，即可求出各 插值点的高程异常。
3、Akima法曲线拟合
该方法在两个已知点间内插时还需要两个已知点外的两个点，以使曲线光滑、函 数连续。 设给定n个不等距GPS测点为x0<x1<…xn或y0<y1<…yn，相应的高程异常值为i 与 （i=0,1,2,…,n-1） 如果在子区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…,n-2)上两端点满足以下4个条件，即
Tr G [( h hr ) / r0 ]d
D
G 6
D
[( h hr ) 3 / r03 ]d
史中，r0为积分主体到地面点的距离，为质量密度，hr为参考面（平均高程面） 高程。
地形改正的具体计算方法： （1）扩展GPS网测区，进行1km 1km 格网化，求各网点坐标。 （2）内插求GPS格网点的近似大地高。 （3）根据测区情况，选定积分范围，求出各格网点地形起伏对某地面点扰动位 的影响值，然后叠加求出某区域地形起伏对该点扰动位的影响值，再按莫落金斯 基公式计算地形改正值。 利用非格网GPS测点考虑地形改正时，为减少内插误差，建议GPS水准点布设相 对均匀，且满足一定数量，网形最好近似为正方形。 2、GPS水准点的可靠性检验
最大误差为0.017m，平均误差为0.008m 结论：（1）对起伏不大的平原与丘陵地区，如果网的覆盖面积在20km2 左右，只要有3-5个均匀分布的水准点，利用平面拟合的误差不回超过812mm。（2）起算点的精度、密度和分布与高程异常拟合精度关系密切。
• 高程转换实现的关键技术
1、地形改正 在地势平坦地区，利用GPS高程拟合方法可达到四等水准精度，部分地区可达到 三等要求。对于地形起伏较大的地区，精度难以保证。目前可采用地形图或数 字化的地面模型来获取格网化的高程数据，但工作量大。 国内外资料表明，地势平坦地区高程异常变化平稳，地形起伏大的地区高程变化 剧烈。高程异常中的短波项主要由局部地形起伏引起的。假设某点的高程异常 由两部分组成， = 0+ r，一部分为中长波项0 （平滑项），另一部分为地形 起伏引起的短波项r 。因此平原地区短波项小可忽略，山区短波项不能忽略。 根据莫落金斯基公式可导出T=T0+Tr，其中T为地面扰动位，T0为长波项（主项）， Tr为短波项由局部地形引起扰动位的影响。根据位理论： Tr=GM/r；r为积分元 到地面点的距离，G为万有引力常数，M为积分主体质量；可得近似计算公式
联测水准点可靠性检验的原因：GPS水准点等级不同、施测年代不同、平差年个 第微和沉降情况不同，有的受到了某中程度的破坏，同时存在联测粗差。
检验方法：多种，其中狄克松（Dixon）判别法最直观，对探测单个粗差也很有 效。
如果样本中存在多个粗差，尤其是均值的同侧出现很接近的两个或两个以上的异 常值时， Dixon判别法不易检验出，可能出现粗差“遮蔽”现象。此时可采用 Dixon统计量检测多个粗差。