8.4平行线的判定定理2(1)
8.4 平行线的判定定理
在同一平面内，垂直于同一条直 线的两条直线平行．
符号语言: ∵b⊥a，c⊥a ∴b//c
bc a
平行线的证明方法： 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线 叫平行线。 2、传递性：平行于同一条直线的 两条直线平行。
2
E 1
A
B
C
9．如图1，已知四边形ABCD中，BC⊥AB，CF平分 ∠DCB，∠DCF＋∠BAE＝90°，试判断AE与CF的 位置关系，并说明理由．
10．如图2，已知B，D在线段AC上，且AB＝CD， AE＝CF，∠A＝∠C，求证：BF∥DE.
11．已知：如图3，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∠E=∠AFE。求证：AD平分∠BAC
8.4 平行线的判定 定理
平行线的判定
公理:
同位角相等,两直线平行.
a
∵ ∠1=∠2 ∴ a∥b.
b
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.
a
∵ ∠1=∠2 ∴ a∥b.
b
判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. a ∵∠1+∠2=1800 ∴ a∥b. b
c
1 2
c
12
c
1 2
平行线的传递性：平行于同一条直线的 两条直线平行．
3、在同一平面内，垂直于同一条 直线的两条直线平行。
4、平行的判定： 同位角相等,两直线平行。 内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。
练习 1.对于图中标记的各角，下列条件能够推 理得到a∥b的是( D ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定
B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么 这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（ ）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：
平行线的判定定理
课题：平行线的判定定理一、知识回顾1.复习八条基本事实1）两点确定（）条直线。
2）两点之间（）最短。
3）在同一平面内，过一点有且只有（）条直线与已知直线垂直。
4）过直线外一点，有且只有（）条直线与这条直线垂直.5）同位角相等，两直线（）。
6、SSS；7、ASA；8、SAS2.导入如何通过基本事实“同位角相等，两直线平行”证明另外两个平行判定定理3.【学习目标】1、初步了解证明的基本步骤和书写格式。
2、会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”，并能简单应用这些结论。
3、在证明的过程中，发展初步的演绎推理能力。
二、合作探究1：证明“同旁内角互补，两直线平行”学：已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.求证:a∥b.师徒研总结平行线判定定理1：强调：已给的基本事实,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据,用来证明新的定理. 2：已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.求证:a∥b.师徒研总结平行线判定定理2：练：3：借助“同位角相等,两直线平行”能证明上述定理么理：我的收获：三、巩固练习练：1.已知：直线b垂直于直线a,直线c垂直于直线a,那么直线直线b,c什么位置关系为什么2.直线a,b被直线c所截，∠1+∠2=180o求证：a∥b。
你能有证明几种方法法一法二法三3.已知：BP交CD于点P，∠ABP+∠BPC=180o，∠1=∠2,求证：EB∥PE4.已知：CD平分∠ACB,∠DCB=40o ,∠AED=80o ,求证：DE∥BC5.课本问题解决第四题。
小测：伴你学 P33 1~5课后作业：必做：伴你学7~11选做：伴你学能力提升。
平行线的判定、性质公理及定理【最新】
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比 为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明． 已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的 还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
4平行线的判定定理
判定平行线的常用方法 (1)同位角相等,两直线平行. (2)内错角相等,两直线平行. (3)同旁内角互补,两直线平行. (4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行. (5)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
平行线判定的应用 [例2] 一张四边形纸片ABCD,把纸片按如图折叠,点B落在AD边上的点E处,AF是折痕. (1)若∠B=∠D=90°,求证:EF∥CD.
4 平行线的判定定理
平行线的判定 [例1] (2021莱西期中)如图,DE⊥AB,∠1=∠A,∠2+∠3=180°,试判断CF与AB的位置关 系,并说明理由.
解:CF⊥AB.理由如下:因为∠1=∠A, 所以GF∥AC,所以∠2=∠DCF. 因为∠2+∠3=180°, 所以∠DCF+∠3=180°, 所以DE∥CF. 因为DE⊥AB,所以CF⊥AB.
(1)证明:由折叠,知∠AEF=∠B=90°. 因为∠D=90°(已知), 所以∠AEF=∠D(等量代换), 所以EF∥CD(同位角相等,两直线平行).
(2)当∠AFB与∠C有何数量关系时,EF∥CD?请说明理由.
(EF∥CD. 由折叠,知∠AFB=∠AFE, 所以∠BFE=2∠AFB,即∠C=2∠AFB. 故当∠C=2∠AFB时,EF∥CD.
平行线的判定的解题过程
平行线的判定的解题过程
平行线的判定是几何中的基础知识之一，它包含了几个基本概念和定理。
在解题过程中，首先要明确问题的要求，判断是否需要判定平行线，确定已知条件和所求未知量，然后根据相关定理和公式进行推导和计算。
以下是平行线的判定的解题过程：
1. 确定问题要求
在解题前，要先明确问题的要求，例如：给出两条直线，判断它们是否平行。
2. 确定已知条件和所求未知量
通过观察题目，找出已知条件和所求未知量，例如：已知两条直线的斜率，求它们之间的关系。
这里已知条件是两条直线的斜率，所求未知量是它们之间的关系，即是否平行。
3. 应用平行线的定理和公式
根据平行线的定理和公式进行推导和计算。
例如，如果已知两条直线的斜率分别为m1和m2，可以用斜率公式计算出它们的斜率：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，m2 = (y4 - y3) / (x4 -
x3)，然后根据平行线的定理，如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
4. 检查答案的合理性
最后，要检查答案的合理性，例如：通过画图或者验证其他几何定理来确认所得结论是否正确。
总之，平行线的判定需要掌握基本的定理和公式，同时还需要
理解几何图形的性质和关系，才能更好地解决实际问题。
平行线的判定定理
你会证明“平行线的性质定理3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补”吗？
请同学们认真仔细阅读课本 167页例2，熟悉平行线的判定定 理1的证明步骤和格式，3分钟后 比一比谁能仿照例2证明下面的问 题.
你会证明“平行线的判定定理2： 两条平行线被第三条直线所截，如 果同旁内角互补，那么两直线平行” 吗？
1.掌握平行线的性质定理和判定定理 的证明，会区分平行线的判定定理 和性质定理. 2.了解互逆命题、逆定理的概念. 3.熟悉证明的步骤和格式，感受几何 证明的严谨性.
请同学们认真仔细阅读课本 166页例1，熟悉平行线的性质定 理2的证明步骤和格式，3分钟后 比一比谁能仿照例1证明下面的问 题.
通过本节课的学习，你 收获了什么？
如图所示，∠D=∠A,∠B=∠FCB. 求证：ED∥CF E
C
DFA来自B作业必做题：课本169页习题第
1、2、3题.
选做题：课本170页第8题.
请同学们认真仔细阅读课本 167-168页“交流与发现”，思 考下面的问题：（3分钟后比一 比谁能正确的回答下面的问题 )
1.在两个命题中，如果第一个命题的_______ 是第二个命题的_______,而第一个命题的 ________是第二个命题的________,那么 这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做_______,那么另 一个命题叫做它的______. 2.如果一个定理的逆命题也是__________,那 么这个逆命题就是原定理的____________. 3.说出下列命题的逆命题，并指出它是真命题 还是假命题； （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角 相等； （2）全等三角形的对应角相等.
平行线的判定定理
教学设计备课时间2014年3月26日课题平行线的判定定理共1 课时课型新授教材分析图形的判定与图形的性质，是研究图形时必须要解决的两类问题，判定两条直线平行，是指根据直线具备的某个条件，就可以得到这两条直线平行的结论。
教科书通过“同位角相等，两直线平行”的公理推出其余判定方法。
学情分析以前学生接触的是一步推理，而且因果关系比较明显。
判定定理的推导需要先通过角的关系，找符合判定公理的条件，涉及两步推理，学生需要思考的问题复杂了一些，可能一时适应不了问题的思考方法。
教学时注意引导，随时归纳总结使学生逐渐学会思考和分析。
教学目标知识与技能：经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。
过程与方法：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。
情感态度与价值观：在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达自已的观点，并从中受益。
教学重难点重点：平行线的判定公理及两个判定定理．难点：使学生初步理解说理的步骤和基本方法。
教学策略引导—发现教学法教学资源班班通课时安排2课时教学过程（4月2号 1、7.2；2、7.1）一．创设情景我们有哪些方法判定两条直线平行？（1）定义判定（2）公理判定除此以外还可以如何判定两条直线平行？二、新授：1、平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行即同位角相等，两直线平行∵∠1=∠2∴a‖b （同位角相等，两直线平行）2、同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢?教师引导学生：将同旁内角设法转化为利用同位角相等．通过合作学习，提出猜想．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
我们能不能根据条件和结论完成做图，并写出已知、求证。
如图，已知，∠ 1和∠ 2是直线a 、b被直线c截出的同旁内角，且∠ 1+∠ 2=180°。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质平行线是几何中一个非常基本的概念，它在数学的研究和应用中具有重要的地位。
通过判定两条直线是否平行，我们可以深入了解平行线的性质和特点。
本文将介绍平行线的判定方法和相关性质。
一、平行线的判定1. 直线与直线的判定给定两条直线L₁和L₂，要判定它们是否平行，有以下几种方法：a) 角度判定法：如果两条直线的锐角、直角或钝角相等，那么它们是平行线。
b) 垂直判定法：如果一条直线与第二条直线的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行线。
c) 斜率判定法：如果两条直线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 直线与平面的判定给定一条直线L和一个平面P，要判定直线和平面是否平行，有以下几种方法：a) 垂直判定法：如果直线L和平面P的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行的。
b) 法线判定法：如果一条直线与平面的法线平行，那么它们是平行的。
二、平行线的性质平行线具有以下重要性质：1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上不相交且不同于的两条直线。
2. 平行线与平移平行线之间可以进行平移变换，即将一条平行线沿着与之平行的方向平移，得到的仍然是一条平行线。
3. 平行线的夹角平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交点。
4. 平行线的性质a) 平行线具有传递性：如果直线L₁与直线L₂平行，直线L₂与直线L₃平行，则直线L₁与直线L₃也平行。
b) 平行线与截线：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线所截线段的比例相等。
c) 平行线与转角：如果两条直线与平行线相交，它们所成转角相等。
d) 平行线与干涉线：如果两组平行线相互交错，即一组平行线与另一组平行线交叉相交，所交干涉线与平行线相交产生的内、外交角相等。
5. 平行线与平行四边形平行线所围成的四边形称为平行四边形。
平行四边形具有以下性质：a) 对边平行：平行四边形的对边都是平行线。
b) 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。
c) 同底角对顶角相等：平行四边形的同底角对顶角相等。
8.4判定定理
泰山博文中学学生课堂学习设计学科数学年级初二四制设计人高伟广课题：8.4平行线的判定定理课型：新授课一、学习目标1.了解证明的基本步骤和书写格式；2. 掌握平行线的判定定理，并能灵活应用。
二、重点、难点重点：体会平行线的判定的思维过程，判定定理的应用。
难点：灵活选择方法证明平行。
三、自学指导1、回顾三线八角，找一找：同位角内错角同旁内角2、认真自习课本，写一写：平行线的判定定理⑴⑵四、典型例题例1已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b练习1：如图，CD 平分∠ACB,∠DCB=40°,∠CED=100°求证：DE ∥BC例题2：已知:如图,∠1和∠2是直线a,b 被直线c 截出的内错角,且∠1=∠2. 求证:a ∥b.五、对应训练1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2.如图２，写出一个能判定a ∥b 的条件： ．3.在四边形ABCD 中，若∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）．4.如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ .5.如图4，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， a bc d 1 2 3 图３ A BC E D1 2 3图１图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠= 180°（已知），∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠= 180°（已知），∴AC∥ED（）；六、当堂检测1.已知，如图，BP交CD于点P，∠ABP+∠BPC=180°，∠1=∠2，求证：EB∥PF2.已知：如图，，，且.求证：EC∥DF.3．如右图，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．4.将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F ．（1）求证：CF ∥AB ；（2）求∠DFC 的度数．1 32 A E C D B F。
初二数学平行线的判定及性质
初二数学平行线的判定及性质1、平行线的判定1）判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行．2）判定定理（一）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．3）判定定理（二）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．2、平行线的性质定理1）性质定理（一）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等﹒简述为：两直线平行，同位角相等﹒2）性质定理（二）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等﹒简述为：两直线平行，内错角相等﹒3）性质定理（三）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补﹒简述为：两直线平行，同旁内角互补﹒3、解答证明题一般有以下三个步骤：1）画出图形——根据题意画出图形，标上必要的字母；2）写已知、求证——用字母、符号表示命题的条件和结论；3）写证明过程——用“∵……”、“∴……”，再注明相应依据的方式，写出证明过程．注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题﹒题目已经明确用字母、符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题，我们只需从第三步开始写即可．例1、如图所示，直线a，b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°．求证：a∥b．1、如图所示，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠B C．∠1＋∠3＝180°D．∠3＋∠B＝180°2、学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）所示）．从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④3、如图所示，若AB∥EF∥DC，EG∥BD，BD交EF于点H，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．6个B．5个 C．4个 D．2个4、如右上图所示，AB∥CD，∠A＝25°，∠C＝45°，则∠E的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．65°5、如图所示.1）如图∠1＝∠3，可推出_______//________，其理由是________________；2）如果∠2＝∠4，可推出_______//__________，其理由是________________；3）如果∠B＋∠BAD＝180°，那么可推出____//______，其理由是________________.6、如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，点E在CB的延长线上，E，A，F三点共线，∠C＝50°，∠FAD＝60°，则∠EAB＝__________．7、如图所示，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2＝59°，则∠1＝__________°．9、如图所示，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC．10、王师傅焊制了一种如图所示的铁架，按要求AB与CD应是平行的，王师傅在焊制完后想看一下自己所焊制的是否符合要求，于是他测量了一下∠B与∠CDF的度数，发现∠B＝∠CDF＝88°，那么王师傅焊制的铁架符合要求吗？11、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．求证：∠C＝∠CDE．12、如图所示，A，C两地之间要修一条公路，在A地测得公路走向是北偏东50°，如果A，C两地同时开工，那么在C地应按什么方向开始施工，才能使公路准确接通？。
平行线的判定一
（三）练习
1.请你说明图中用直尺和平移三角尺画出的 两条直线a和b平行的理由。
a
b
根据平行线的判定公理
2.已知：如图，a⊥c,b⊥c。 求证：a∥b。 请你根据括号中推证的根据，在横线处填上推证 的过程。
a 1 b 2 c
a 1
b
2
c
∵a⊥c（已知） ∴∠1=90°（垂直的定义）。 ∵b⊥c（已知） ∠2=90°垂直的定义)。 ∴________( ∠1=∠2 （等量代换）。 ∴________
平行线的判定定理一 两条直线被第三条 直线所截，如果内错角相等，那么两直线 平行（简记为：内错角相等，两直线平行）
（二）做一做 已知：如下图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1 和∠2是同旁内角，并且∠1＋∠2＝180°。 求证：AB∥CD。
E
A C
F12Fra bibliotekBD
E
A
C F
3 2 1
B D
证明：∵∠1+∠2＝180° 已知 ( )，
大营镇中学
（一）一起探究 已知：如下图；直线AB，CD被直线EF所截，∠1 和∠2是内错角，并且∠l＝∠2． 求证：AB∥CD．
E A
1 2
B
C F
D
E
A
C F
1 2
3
B
D
证明：∵∠1＝∠2(已知)， ∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)。
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。
a∥b （同位角相等，两直线平行）。 ∴______
谢谢
∠2＋∠3＝180° 平角的定义 ( )， 等式的性质 )， ∴∠1＝180°－∠2 ( ∠3=180°－∠2 (等式的性质 )。 ∴∠l＝∠3 ( 等量代换 )。 ∴AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )。
数学七年级下学期第2讲 平行线的判定(1)
第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM ＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB ∥CD的是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．①B．②C．③D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行线的判定
平行线的判定《平行线的判定》是数学课程标准第三学段的二、图形与几何（一）图形的性质2.相交线与平行线（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
相交线与平行线（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行。
本节课掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行并探索、证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行。
有两项内容。
第一项课标要求的维度目标是结果目标，行为动词是掌握，学习水平为掌握。
学习内容是同位角相等，两条直线平行。
第二项课标要求的维度目标是过程、结果目标，行为动词是探索、证明，学习水平探索、运用。
学习内容是平行线判定定理的证明。
教材分析：《平行线的判定》是学生在学过同位角、内错角、同旁内角、平行线的定义内容之后学习的又一个重要知识。
它是后续学习平行线的性质不可或缺的知识铺垫，起到承上启下的作用。
它是空间与图形领域的基础知识，是学生进一步学习平行四边形及梯形有关知识的基础, 在中考中是考察的重点内容，向学生渗透转化的数学思想是本章教学的重点，向学生渗透转化的数学思想，对今后的学习有着非常重要的作用。
教学重点、难点：课标要求“掌握基本事实”。
教材分析中指出：让学生掌握判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
探索、证明平行线的判定定理2、3：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行。
但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交。
这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定。
因此，三个判定方法就显得尤为重要了。
也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．所以，通过对课标和教材的分析，确定本节的重点是：判定方法一及判定方法二、三。
8.4 平行线的判定定理
13 如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O， OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB分别交于点P， Q，已知∠OPQ＋∠DOQ＝90°.
(1)若∠DOQ ∶∠DOF＝2 ∶5，求∠FOQ的度数. 解：∵OQ 平分∠DOE，∴∠EOQ＝∠DOQ. ∵∠DOQ：∠DOF＝2：5， ∴∠EOQ：∠DOQ：∠DOF＝2：2：5. 又∵∠EOQ＋∠DOQ＋∠DOF＝180°， ∴∠EOQ＝2＋22＋5×180°＝40°. ∴∠FOQ＝180°－∠EOQ＝140°.
解：a与d平行．理由如下： ∵a∥b，b∥c，∴a∥c. 又∵c∥d，∴a∥d.
11 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分 ∠DCE交DE于点F.
求证：CF∥AB．
证明：由题意可知∠DCE＝90°，∠ABC＝45°. ∵CF 平分∠DCE， ∴∠FCE＝12∠DCE＝45°. ∴∠ABC＝∠FCE. ∴CF∥AB.
③∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠BAC－∠2＝90°－30°＝60°. 又∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E.∴AC∥DE.故③正确． ④∵∠2＝45°， ∴∠3＝∠DAE－∠2＝90°－45°＝45°. 又∵∠B＝45°，∴∠3＝∠B. ∴BC∥AD.故④正确．
10 【母题：教材P47随堂练习T2】已知直线a∥b，b∥c， c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
【答案】 D
3 如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一 平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依 据是_内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行___.
【点拨】
∵两个三角尺是完全相同的， ∴∠1＝∠2.由内错角相等，两直线平行，即可判定 m∥l，因此可以画出两条互相平行的直线．
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
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1.如图：直线AB，CD都和AE相交，
且 ∠1+∠A=180°.
A
求证：AB//CD
C
B
2
13
D
E
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2.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
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b
2
你还有其 它的方法 解决本题 吗？
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定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直 线平行. 这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.
数学语言：∵ ∠1=∠2. ∴a∥b.
c
a 13
b
2
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方法总结：
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清条件和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据条件和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
c
a 1
b
2
3
已给的公理,定义和定理以后都可以作为依据,用来证明新的命题.
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定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
数学语言：∵ ∠1+ ∠2=180° ∴ a∥b
a
1
2 b
c
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议一议
据说,人类知识的75%是在操作中学到的. 小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
通过这个操作活动,得到了什么结论?
你能运用所学知识来证明它是一个真命题吗?
东平县实验中学
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已知: 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,
且 ∠1=∠2. 求证: a∥b.
c
a 13
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问题驱动课堂 平行线的判定方法
公理:
同位角相等,两直线平行.
a
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理:
内错角相等,两直线平行.
a
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理:
同旁内角互补,两直线平行.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c 1
2
c
1
2
c
1 2
东平县实验中学 【跟踪训练】
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8.4平行线的判定定理
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1.平行线的Байду номын сангаас定方法有：
2.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条 直线 ?
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已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内 角，且∠1与∠2互补. 求证：a∥b
通过本课时的学习，我们掌握： 1.两条直线被第三条直线所截，会产生同位角、内错角、同旁内 角.角的关系决定了两条直线是否平行,因此在做题时要掌握好“三 线八角”； 2.同位角相等、内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线 平行. 3.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 平行。