导数的几何意义优秀课件2

1 3x 2? x ? 3x(? x )2 ? (? x )3
4
3
? lim
3 ?x? 0
?x
3
P
? 1 lim [ 3 x 2 ? 3 x? x ? (? x )2 ] ? x 2 . 3 ?x? 0
2 1
x
? y?|x? 2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于 4.
-2 -1 O -1
-2
点P逐渐转动的情y 况 .
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P?
o
x
我们发现 ,当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δ x→0 时,割线PQ有一个极限位置 PT.则我们把直线 PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为 α ,那么当Δx→0 时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点 P处的切线的斜率 .
即:
k切线 ?
新课标人教版课件系列
《数学》
选修1-1
3.1.2《导数的几何意义》
先来复习导数的概念
定义：设函数 y=f(x)在点x0处及其附近有定义 ,当
自变量x在点x0处有改变量 Δ x时函数有相应的改变量
Δ y=f( x0+ Δ x)- f( x0).如果当Δ x? 0 时,Δ y/Δ x的极限
存在,这个极限就叫做函数 f(x)在点x0处的导数 (或变化
?x
?x
(3)取 极 限 ， 得 导 数 f
?( x0 )
?
lim. ? y ? x? 0 ? x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量 ,它可正也可负 . 自变量的增量 Δx 的形式是多样的 ,但不论Δx 选择 哪种形式 , Δy也必须选择与之相对应的形式 .
下面来看导数的几何意义 :
如图,曲线C是函数y=f(x) y 的图象,P(x 0,y0)是曲线C上的
12
(2)在点P处的切线方程是 y-8/3=4(x-2), 即12x-3y-16=0.
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 ,当 时,f'(x 0) 是一个确定的数 .那么,当x变化时,便是x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x)的导函数.即:
f ?(x) ? y?? lim ? y ? lim fx( ? ? x) ? fx( )
在点x0处可导,如果极限不存在 ,就说函数 f(x) 在点x0处 不可导 .
由导数的意义可知 ,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是 :
(1)求 函 数 的 增 量 ? y ? f ( xx0 ? ? )(? f x0 );
(2)求 平 均 变 化 率 ? y ? fx( 0 ? ? x) ? fx() 0 ;
y=f(x)
任意一点 ,Q(x0+Δ x,y 0+Δ y)
Q
为P邻近一点 ,PQ为C的割线,
PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ的
Δy
倾斜角.则: MP ? ? x, MQ ? ? y, P β
?y ? tan ? .
?x
Δx O
M x
请问：? y 是割线PQ的什么?
斜
?x
率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点 P接近时,割线PQ绕着
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
? y ? f (x ? ? x) ? f (x) ;
?x
?x
(3)求极限，得导函数y?? f ?(x) ? lim ? y . ? x? 0 ? x
看一个例子:
例4.已知y ? x，求y?.
解：? y ? x ? ? x ? x ?
x
x? ?x ? x
?y ?
1
? x x ?? x ? x
? y?? lim ? y ? lim
1
? 1.
? x? 0 ? x ? x? 0 x ? ? x ? x 2 x
下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全
fx' ()l0
? im ?y ? lim f (x0 ? ?x)f ?
? x ?x? 0
?x? 0
?x
()x0
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在 x=x 0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x 2+1在点P(1,2)处的切线方程 .
解: k ? lim f (x0 ? ? x)? f (x0)
过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
?x? 0
?x
yQ
(1? ? x)2 ? 1? (1? 1)
? lim
?x? 0
?x
源自文库
y = x 2 +1
2? x ? (? x)2
? lim
? 2.
?x? 0
?x
因此,切线方程为 y-2=2(x-1),
?y
P
M
即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程
?x
1j
x
的基本步骤 :先利用切线斜率
-1 O 1
的定义求出切线的斜率 ,然后
利用点斜式求切线方程 .
练习:如图已知曲线
y
?
1 3
x
3上一点
P
(2,
8 3
),
求:
(1)点P处的切线的斜率 ; (2) 点P处的切线方程 .
解：(1) y ? 1 x 3 ,?
y??
lim
?y
?
lim
1(x ? 3
? x)3 ?
1 x3 3
3
? x ? x ? 0
?x? 0
?x
y y
?
1
x3
? x ? x? 0
? x? 0
?x
在不致发生混淆时， 导函数也简称导数．
函 数 y ? f ( x )在 点 x 0处 的 导 数 f ?( x 0 ) 等 于 函 数 f ( x )的 导 (函 )数 f ?( x )在 点 x 0处 的 函数值.
如何求函数y=f(x) 的导数?
(1)求函数的增量? y ? f (x ? ? x) ? f (x);
?x
?x
为端点的区间 [x0,x0+Δ x]( 或[x0+Δx, x0])上的平均变化 率,而导数则是函数 f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函
数随自变量变化而变化的快慢程度．
思考一下，导数可以用下式表示吗？
f ?(x0 ) ?
lim
x ? x0
f (x) ? x?
f (x0 ) x0
如果函数 y=f(x) 在点x=x 0存在导数 ,就说函数 y=f(x)
率)记作 f ?( x 0 )或y?|x ? x0即, :
f ?()x0
? lim ? y ? lim fx(
? x ? x? 0
? x? 0
0 ? ? x) ? fx() 0 ?x
.
瞬时速度就是位移函数 s(t) 对时间t的导数.
?y ?
f (x0 ? ? x)?
f (x0)
是函数f(x)在以x0与x0+Δ x