5-21-3定态、一维势阱

2
22
a2
a x p x 2 a 2
19
6. 基态能（有三种求法）
已知基态波函数
2 2 d ( x) ˆ H ( x ) U ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
U ( x) 0
0 xa
2 x s in a a
12
图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x)
4 x
4 x
E4
2
n4
3 x
E3
3 x
2
n3
2 x
2 x
2
n2
2
E2
1 x
E1
1 x
n 1
-a/2
x
a/2
-a/2
x
a/2 13
能量本征值En 对应的能量本征函数n(x) 组成完备集。 能量量子数 n 从 1至 在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开,这组完备集满足正交性
能量是量子化的，由标准化（边界）条件而来。 能级间隔
2 2 (2n 1) En En 1 En (2n 1) E1 2 2m a 10
图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
n ( x)
( x)
4 x
2 nx si n ( ), a a
n ( x)
2 nx si n( ), a a
x 0, x a
n 1,2,3, 0 xa
讨论
2 2 本征能量： 2 En n 2ma 2
n 1,2,3,
称n为量子数；n(x)
为本征态；En 为本征能量
2 2 零点能的存在 E1 称为基态能量 2 2m a
期末考试安排
时间：1月8日（周五） 10:00 – 11:40 地点：第二主教学楼B101 答疑： 3 - 105 (1月6、7日全天)
答 疑 时 间 1月6日上午8:30-11:30 下午2:30-5:30 晚上6:30-9:30 1月7日上午10:00-11:30 下午2:30-5:30 晚上6:30-9:30 答疑老师
a
2
a
2
0
sin
2
x
a
dx
2 2
a2
5. 验证不确定关系
2 2 2 2 2 2 a a a a a ( x )2 ( x x )2 x 2 x 2 2 ( 1) 2 3 2 4 2 6 4 2
( px )2 ( px px ) 2 px 2 px
n 1,2,3,
0 xa
4 x
3 x
2
n4
E4
2
n3
3 波长 越短， 能量 2 x 越大
x
E3
2 x
2
n2
2
E2
1 x
E1
1 x
n-1个节点
n 1
o
a x 稳定的驻波能级
xa
11
若取势阱中心为坐标的原 点，此时势函数可表示为
U ( x)
A
2

a
0
a nx 2 nx 2 2 a sin dx A (1 cos ) / 2 dx A 1 0 a a 2 2
A
2 a
17
2. 基态概率密度
2 2 x 1 2x ( x ) | ( x ) | sin ( ) (1 cos ) a a a a 极值处 d ( x) / dx 0 0 a 2 2x x max 2 a a
* 半无限深势阱 *§6 一维方势垒
3
§5 一维势阱问题 分立谱
定态薛定谔方程
2 2 [ U ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
从数学上来讲： E 不论为何值该方程都有解。 从物理上来讲： E只有取一些特定值，该方程的解才 能满足波函数的条件：单值、有限、连续和归一。 特定的E值称为能量本征值； 特定的E值所对应的方程称为能量本征值方程； 相应波函数称为能量本征函数。 下面以一维定态为例，求解已知势场的定态薛 定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而 看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
但能否E = 0呢？
在限定粒子的位臵范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零，
所以动量P > 0， E > 0
k 2mE 0 。
8
2mE 因为 k 2
2
ka n
n 1,2,3,
n 1,2,3,
结论：
2 2 2 En n 2 2ma
取x a; p
h 2a
20
p2 h2 2 2 估 算 得 E1 2 2m 8ma 2ma 2
薛定谔方程
ˆ (r i ( r , t ) H , t) t
2 ˆ H 2 U (r ) 2m 2 i (r , t ) [ 2 U (r )] (r , t ) t 2m
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
nx ( x) A sin( ), a
由归一化条件
n 1,2,3,
0 xa
A 2 a
9

a
0
2 2 n x A sin ( )dx 1 a
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
n ( x ) 0,
x2
a
0
2 a x 2 2 x 2 2x a2 a2 sin ( ) x dx (1 cos )dx 2 0 a a a a 3 2

px
2
x3 x (1 cos x ) dx 2 x cos x ( x 2 2 ) s in x 3



* m ( x ) n ( x )dx
2 a m x n x sin( ) sin( )dx a 0 a a 1 a mn mn cos( x ) cos( x ) dx 0 a a a mn
mn 0, mn 1,
类似于简谐振子的方程，其通解：
( x ) A sin( kx B)
( 0 ) A sin B 0 代入边界条件得： (a ) A sin( ka B) 0
所以
B m 0;
ka n n 1,2,3,
7
n不能取零，否则无意义
n不能取零，否则无意义。 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 还有以下原因： 从能量的意义看，可有E 0，
能级公式
2 2 2 2 d 2 x ˆ (x) H ( s in ) 2 2 m dx a a 2m a 2 2 2 E1 2m a 2
2 2 2 En n 2 2ma 不确定关系 x p 2
2 2 n 1,2,3, E1 2ma 2
2 2
U ( x)
o
a
5
x
(1) 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 d 2 ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx x 0, x a
方程的解必处处为零。 ( x ) 0 所以，粒子被束缚在阱内运动。
x 0, x a
根据波函数的标准化条件(单值性/连续性)，在边界上
n n ( x ) A sin x a 0 xa
求：1 归一化系数；2 基态的概率密度及最大值
3 [0，a/2]之间粒子出现的概率 ；
2 4 x, x2, px, px
（基态）
p x2 p x2 验证不确定关系
5 由 x
x2 x2 和 px
6 求基态能；
解：1. 归一化系数
mn
mn
14
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的 本征值、独立完整的叠加在一起。
( x) Cnn ( x)
n
粒子在某本征态上出现的几率：
p Cn

2
相应本征态的波幅可以用本征函数的正交归一性求出：
Cn ( x) ( x)dx
* n
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可 能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几 率来计算物理量的平均值。
4
一维无限深方势阱
已知粒子所处的势场为
U ( x ) 0, U ( x ) ,
0 xa x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称 为一维无限深方势阱。 * 其定态薛定谔方程
d ( x) U ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
2
2
3. 基态在[0，a/2]区间的概率
P( x)
a/2 0 a/2 2 1 2 2x 1 2 x si n ( )dx (1 cos )dx 0 a a a2 a 2
4. 基态的几个平均值
x
a 0 a x 2 x x 2x a si n ( ) x si n ( )dx (1 cos )dx 0 a a a a a 2 x2 x (1 cos x )dx 2 cos x x s in x 18
15
Baidu Nhomakorabea 例21.3 叠加态的物理意义 (无限深势阱，坐标原点在阱中间)
2 1 ( x, t ) cos( x )e iE1t / a a
2 2 2 ( x, t ) sin( x )e iE2t / a a
求叠加态的概率分布。
P12 | 12 ( x , t ) |2
(0) 0,
(a ) 0
(2) 在阱内粒子势能为零，满足：
2 d 2 ( x ) E ( x ) 2 2m dx
o xa
6
2 d 2 ( x ) E ( x ) 2 2m dx
o xa
2
2mE 在阱内的薛定谔 方程可写为： 其 中 k 2 2 d ( x ) 2mE 2 ( x ) k ( x) o xa 2 2 dx
0, U x ,
边界条件：
x a x a
2 2
a 2
a2
x
2 n a 2 a 2 0 cos x , n 1,3,5,, x a 2 a a 体系的解为 2 nπ n x sin x , n 2,4,6,, x a 2 2 2 a a 2 En n 2 0 2m a x a 2 n 1, 2, 3, 宇称
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期末考试安排
教务处最新规定： 携带有照片的有效证件，否则不能考试！！！ 不按考场就坐者，收回试卷，逐出该考场，责 令其找到自己的考场。请同学们一定按指定考场就 坐！！
2
提纲
§5 一维势阱问题 分立谱 一维无限深方势阱 薛定谔方程
例2.8 叠加态的物理意义 作业：21-7
标准化条件及解的物理意义 分立谱
12描述的不再是定态，两个能态的叠加表示粒子从一定态到 另一定态的跃迁。若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射， 电磁波的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。
( E2 E1 ) /
量子力学能给出粒子在两个定态之 间的跃迁几率，并计算辐射强度。
16
例题2.9 若粒子在[0，a]范围无限深一维方势阱中运动
2
a
0
2 x d x 2i a x x sin( )( i sin )dx sin cos dx 0 0 a a dx a a a a a
a 2 2 x x 2 2 2 d sin( )( sin )dx 2 a a dx a a
px
0

1 3 12 ( x , t ) 1 ( x , t ) 2 ( x, t) 2 2
1 3 | 1 ( x , t ) |2 | 2 ( x , t ) |2 4 4 3 2 cos( x ) sin( x ) cos[(E2 E1 )t / ] a a a