精品课件-一元二次方程单元复习(精品)
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中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
一元二次方程 复习课件
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程复习
定义和一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一 元 二
解法
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b2 4ac 0,
方程没有实数根
二次三项式 ax2 bx c 是 完全平方式的条件是：b2 4ac 0.
k为何值时，二次三项式 x2 （k 1）x k是完全平方式 .
练习
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是
；
当k
解题步骤
(2)配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
(3)公式法
x b b2 4ac 0
2a
(4)因式分解法 (x a)(x b) 0
阅 读 一元二次方程的解法：（配方法）
例 解方程 x2 6x 7 0
阅 读 一元二次方程的解法：（因式分解法）
例 解方程 （y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一 个整体，分解
因式，化为 a×b=0形式。
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
一元二次方程复习
定义和一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法 (x a)2 bb 0
一 元 二
解法
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
x b b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b2 4ac 0,
方程没有实数根
二次三项式 ax2 bx c 是 完全平方式的条件是：b2 4ac 0.
k为何值时，二次三项式 x2 （k 1）x k是完全平方式 .
练习
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是
；
当k
解题步骤
(2)配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
(3)公式法
x b b2 4ac 0
2a
(4)因式分解法 (x a)(x b) 0
阅 读 一元二次方程的解法：（配方法）
例 解方程 x2 6x 7 0
阅 读 一元二次方程的解法：（因式分解法）
例 解方程 （y 2)2 3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
把y+2看作一 个整体，分解
因式，化为 a×b=0形式。
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
一元二次方程复习课件
02 一元二次方程解法
直接开平方法
01
对于形如 $x^2 = a$ （$a geq 0$） 的方程，可以直接开平方得到 $x = sqrt{a}$ 或 $x = -sqrt{a}$。
02
注意：当 $a < 0$ 时，方程无实 数解。
配方法
步骤
移项、配方、开方、求解。
示例
解方程 $x^2 + 4x + 3 = 0$，可以配方为 $(x + 2)^2 = 1$，然后开方得到 $x + 2 = pm 1$，最后求解得 $x_1 = -1, x_2 = -3$。
05 一元二次方程的特殊形式 及解法
完全平方形式及Leabharlann 法1 2 3完全平方形式
一元二次方程可以表示为 $(ax+b)^2=c$ 的形 式，其中 $a, b, c$ 为常数，且 $a neq 0$。
解法
对于完全平方形式的一元二次方程，可以直接开 平方求解。即 $x = pm sqrt{frac{c}{a^2}} frac{b}{a}$。
06 一元二次方程复习策略与 建议
系统梳理知识体系
回顾一元二次方程的定义、标 准形式及相关概念，明确方程 的基本性质。
梳理一元二次方程的解法体系， 包括直接开平方法、配方法、 公式法和因式分解法。
总结一元二次方程与一元一次 方程、二元一次方程组的联系 与区别，形成知识网络。
熟练掌握各种解法技巧
示例
方程 $(x+3)^2=16$ 可以直接开平方求解，得 到 $x = pm 4 - 3$，即 $x_1 = 1, x_2 = -7$。
平方差形式及解法
平方差形式
一元二次方程可以表示为 $(ax+b)(cx+d)=0$ 的形式，其 中 $a, b, c, d$ 为常数，且 $ac neq 0$。
一元二次方程单元复习课件
6.用配方法证明：
关于x的方程
（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0，无 论m取何值，此方程都是一元二次方 程
四：根与系数关系：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两根分别为x1、x2，则
x1
x2
c a
x1
x2
b a
1、用配方法解方程2x²+4x +1 =0，配方后得到的方程
是
销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x，则
可列方程（
100(1-20%)(1+x)2=135.2）
拓展提高：
某超市1月份的营业额为200万元， 第一季度营业额为1000万元，若 平均每月增长率相同，求该增长率。
200+200(1+x)+200(1+x)2=1000
某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈
6000元
由题意得:
(10+x)(500-20x)=6000
解得: x1=5,x2=10 因为为了使顾客得到实惠,所以x=5
答:每千克应涨价5元.
（二）几何问题
方法提示：1)主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的 面积公式是等量关系, 如果图形不规则应割或补成规则图形, 找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出 方程;
解:(1)横条道路的面积为2a平方米,
竖条道路的面积为2b平方米.
b (2)设b=x米,则a=2x米
由题意得:
(x-2)(2x-2)=312
a
解得: x1=14,x2=-11(不合,舍去)
答:此矩形的长与宽各为28米,14米.
拓展提高：
一元二次方程复习课件
通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟 练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决 实际问题.
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ( x a)2 b b 0 直接开平方法 程一 元 二 次 方 配方法 解法
b b x bx x c c 0 2 2
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 6 另一个根为__.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 1 个根为0.则a的值为（ B ） A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4 3、一元二次方程ax² +bx＋c =0， 若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 . 若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
2
(5) x 1 3
2
(6) y 2 0
y 4
× (√ ) ( ) × ( ) × ( ) × (√ )
( )
2 2 ≠2 时，方程 kx 3x 2 x 1 是关于x 2.当k 的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .
8 是 4 , 则 t 的值是 _______ . 3 2
8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。 分析 : 设x a 2 b 2 , 则原方程化为: x 2 3 x 10 0
一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ( x a)2 b b 0 直接开平方法 程一 元 二 次 方 配方法 解法
b b x bx x c c 0 2 2
一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 6 另一个根为__.
2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 1 个根为0.则a的值为（ B ） A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4 3、一元二次方程ax² +bx＋c =0， 若x=1是它的一个根，则a+b+c= 0 . 若a-b+c=0，则方程必有一根为 -1 .
2
(5) x 1 3
2
(6) y 2 0
y 4
× (√ ) ( ) × ( ) × ( ) × (√ )
( )
2 2 ≠2 时，方程 kx 3x 2 x 1 是关于x 2.当k 的一元二次方程.
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 x2-x-9=0 其中常 x2 .一次项为 -x .二次项系数 数项为 -9 .二次项为 为 1 .一次项系数为 -1 .
8 是 4 , 则 t 的值是 _______ . 3 2
8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。 分析 : 设x a 2 b 2 , 则原方程化为: x 2 3 x 10 0
一元二次方程复习PPT
顶点
抛物线的顶点是抛物线的最高点 或最低点。
焦点
抛物线的焦点是与抛物线上的每 个点距离相等的点。
一元二次方程的实际应用
1
抛物线的运动轨迹
一元二次方程可以描述抛物线的运动轨迹，应用于物理学和工程学领域。
2
经济学模型
一元二次方程可以用于建立经济学模型，分析生产成本和利润之间的关系。
3
自然科学现象
一元二次方程也可以用来解释自然科学中的现象，如天体运动和声音传播等。
一元二次方程复习PPT
欢迎来到本次一元二次方程的复习PPT！在这个PPT中，我们将会讨论一元二 次方程的定义和基本形式，解方程的方法和步骤，方程的性质和特点，以及 方程的图像和实际应用。我们也会在最后提供一些复习练习题和解答，让您 巩固所学的知识。让我们一起开始吧！
一元二次方程的定义和基本形式
学习一元二次方程的定义和基本形式是理解方程的第一步。一元二次方程是具有形如 ax^2 + bx + c = 0 的形式， 其中 a、b、c 是已知数（常数），而 x 是未知数。
解一元二次方程的方法和步骤
பைடு நூலகம்
方法一：
因式分解法
方法二：
配方法
方法三：
求根公式法
一元二次方程的性质和特点
唯一解
一元二次方程可能有一个解、 两个解或无解。
判别式
通过方程的判别式可以判断方 程的解的情况。
对称性
一元二次方程的图像在抛物线 的顶点处具有对称性。
一元二次方程的图像及相关概念
抛物线
一元二次方程的图像是一个抛物 线，具有顶点、焦点和对称轴等 概念。
一元二次方程的解的存在性和 唯一性
一元二次方程的解的存在性和唯一性由方程的判别式决定。当判别式大于零 时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于零时，方程有一个重根；当 判别式小于零时，方程无实数解。
《一元二次方程》 单元复习PPT实用课件
9．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米 的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路， 余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计， 现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l 、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程 不解．
Page 9
巩固提高
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为 600平方米． ②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为 600平方米． ③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为 540平方米．
Page 5
变式练习
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四 天该单位能收到多少捐款？
（2）12100×（1+10%）=13310元． 答：第四天该单位能收到13310元捐款．
Page 6
巩固提高
3. 方程5x2=6x-8化成一元二次方程一般形式后，二次
项系数、一次项系数、常数项分别是（ C ）
8.本题考查中心论点的提炼。从文章 的标题 “如何 看待数 字时代 的文学 评论” 来看， 文章的 中心论 点是对 这一论 题的回 答。解 答时， 我们要 在整体 阅读的 基础上 ，从文 中找出 最能回 答该问 题的句 子，作 为本文 的中心 论点。
Page 12
巩固提高
11. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再 砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可 利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料， 试设计一种砌法，使矩形花园的面积为30m2.
Page 13
巩固提高
12. 关于 的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实 根x1,x2．
（1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1,x2,满足x1+x2=﹣x1·x2，求k的值．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程 不解．
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巩固提高
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为 600平方米． ②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为 600平方米． ③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为 540平方米．
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变式练习
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四 天该单位能收到多少捐款？
（2）12100×（1+10%）=13310元． 答：第四天该单位能收到13310元捐款．
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巩固提高
3. 方程5x2=6x-8化成一元二次方程一般形式后，二次
项系数、一次项系数、常数项分别是（ C ）
8.本题考查中心论点的提炼。从文章 的标题 “如何 看待数 字时代 的文学 评论” 来看， 文章的 中心论 点是对 这一论 题的回 答。解 答时， 我们要 在整体 阅读的 基础上 ，从文 中找出 最能回 答该问 题的句 子，作 为本文 的中心 论点。
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巩固提高
11. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再 砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可 利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料， 试设计一种砌法，使矩形花园的面积为30m2.
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巩固提高
12. 关于 的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实 根x1,x2．
（1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1,x2,满足x1+x2=﹣x1·x2，求k的值．
一元二次方程的复习课件
根
是使方程成立的未知数值。
解方程
是找到使方程成立的未知数值。
一元二次方程的标准形式及其含义
1 标准形式
一元二次方程的标准形式为ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
2 含义
方程中的a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与坐标轴的 交点。
解一元二次方程的一般步骤
一元二次程的应用：空气动力 学方程
在空气动力学中，一元二次方程被广泛应用于描述飞机的起飞距离、爬升率 和滑行的相关问题。
一元二次方程的应用：金融问题
金融领域中，一元二次方程可以用于解决投资回报率、利润最大化、财务规划等问题，帮助我们做出更明智的 金融决策。
一元二次方程可以通过完全平方公式(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2来求解。
一元二次方程的求解方法：图 像法
利用抛物线的图像来求解一元二次方程，可以通过观察抛物线与坐标轴的交 点和抛物线的开口方向得到解。
一元二次方程的根的性质
一元二次方程的根有以下性质： • 当判别式>0时，方程有两个不相等的实根。 • 当判别式=0时，方程有两个相等的实根。 • 当判别式<0时，方程没有实根。
一元二次方程的复习ppt 课件
本ppt课件将帮助你复习一元二次方程的基本概念和解法，学会如何应用于不 同领域中。
引言：什么是一元二次方程
一元二次方程是由一个未知数的平方项、一次项和常数项组成的二次方程。 它的一般形式为ax2 + bx + c = 0。
方程的定义
方程
是一个等式，其中含有一个或多个未知数。
步骤1
将方程化为标准形式。
步骤2
是使方程成立的未知数值。
解方程
是找到使方程成立的未知数值。
一元二次方程的标准形式及其含义
1 标准形式
一元二次方程的标准形式为ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
2 含义
方程中的a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与坐标轴的 交点。
解一元二次方程的一般步骤
一元二次程的应用：空气动力 学方程
在空气动力学中，一元二次方程被广泛应用于描述飞机的起飞距离、爬升率 和滑行的相关问题。
一元二次方程的应用：金融问题
金融领域中，一元二次方程可以用于解决投资回报率、利润最大化、财务规划等问题，帮助我们做出更明智的 金融决策。
一元二次方程可以通过完全平方公式(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2来求解。
一元二次方程的求解方法：图 像法
利用抛物线的图像来求解一元二次方程，可以通过观察抛物线与坐标轴的交 点和抛物线的开口方向得到解。
一元二次方程的根的性质
一元二次方程的根有以下性质： • 当判别式>0时，方程有两个不相等的实根。 • 当判别式=0时，方程有两个相等的实根。 • 当判别式<0时，方程没有实根。
一元二次方程的复习ppt 课件
本ppt课件将帮助你复习一元二次方程的基本概念和解法，学会如何应用于不 同领域中。
引言：什么是一元二次方程
一元二次方程是由一个未知数的平方项、一次项和常数项组成的二次方程。 它的一般形式为ax2 + bx + c = 0。
方程的定义
方程
是一个等式，其中含有一个或多个未知数。
步骤1
将方程化为标准形式。
步骤2
一元二次方程复习课件
一元二次方程复习课件
一元二次方程复习课件PPT大纲： 1. 引言：一元二次方程的概念及基本形式
一元二次方程的解法
因式分解法
通过因式分解将一元二次方 程求解。
公式法
利用求根公式求解一元二次 方程。
完全平方公式法
使用完全平方公式求解一元 二次方程。
一元二次方程解的判别式
1
判别式的含义
了解一元二次方程判别式的定义和含义。
2
判别式的求法
计算一元二次方程的判别式。
3
判别式的应用
理解并应用判别式辨别一元二次方程解的情况。
一元二次方程的图像
二次函数的定义
解释二次函数的定义和特点。
二次函数的图像特点
讨论二次函数图像的凸性、顶点 和开口方向。
用二次函数图像解释一元 二次方程解的意义
将二次函数图像解释为一元二次 方程解的含义。
总结：一元二次方程的重点知识点回顾
1 方程解法
掌握因式分解法、公式法 和完全平方公式法。
2 判别式
3 图像特点
理解判别式的含义和应用。
了解二次函数图像的特点 和意。
4 应用问题
掌握解一元二次方程在实际问题中的应用。
5 拓展应用
了解一元二次方程在不等式和方程组中的拓 展应用。
答疑解惑
学生对自学内容及课堂所学内容进行提问，并得到解答。
解一元二次方程的应用
1
线性问题的转化为一元二次方程问题
将线性问题转化为一元二次方程，实际求解。
2
实际问题的应用
通过抛物线问题、面积问题等实际问题的应用，解一元二次方程。
一元二次方程的拓展应用
不等式问题的转化为一元二次方 程问题
将不等式问题转化为一元二次方程，求解不等式。
一元二次方程复习课件PPT大纲： 1. 引言：一元二次方程的概念及基本形式
一元二次方程的解法
因式分解法
通过因式分解将一元二次方 程求解。
公式法
利用求根公式求解一元二次 方程。
完全平方公式法
使用完全平方公式求解一元 二次方程。
一元二次方程解的判别式
1
判别式的含义
了解一元二次方程判别式的定义和含义。
2
判别式的求法
计算一元二次方程的判别式。
3
判别式的应用
理解并应用判别式辨别一元二次方程解的情况。
一元二次方程的图像
二次函数的定义
解释二次函数的定义和特点。
二次函数的图像特点
讨论二次函数图像的凸性、顶点 和开口方向。
用二次函数图像解释一元 二次方程解的意义
将二次函数图像解释为一元二次 方程解的含义。
总结：一元二次方程的重点知识点回顾
1 方程解法
掌握因式分解法、公式法 和完全平方公式法。
2 判别式
3 图像特点
理解判别式的含义和应用。
了解二次函数图像的特点 和意。
4 应用问题
掌握解一元二次方程在实际问题中的应用。
5 拓展应用
了解一元二次方程在不等式和方程组中的拓 展应用。
答疑解惑
学生对自学内容及课堂所学内容进行提问，并得到解答。
解一元二次方程的应用
1
线性问题的转化为一元二次方程问题
将线性问题转化为一元二次方程，实际求解。
2
实际问题的应用
通过抛物线问题、面积问题等实际问题的应用，解一元二次方程。
一元二次方程的拓展应用
不等式问题的转化为一元二次方 程问题
将不等式问题转化为一元二次方程，求解不等式。
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系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是_-1___.
4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
解一元二次方程的方法有几种?
例:解下列方程
• １、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x=-2±3
解：a k ,b 2 k 1 ,c k 2
b 2 4 a c (2 k 1 )2 4 k (k 2 )
1k21
∵方程有两个不相等的实数根
b 2 4 a c 0 ,即 1 2 k 1 0 题目解好了
k 1
吗？
又 k 的 k1 2取 0值k范 1围 且 k是 0
把y+2看作一个 未知数，变成
(ax+b)(cx+d)=0 形式。
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
步骤归纳
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x = - b±
b 2 - 4ac 2a
若b2-4ac＜0,方程 没有实数根。
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出 △，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的 符号情况，得出结论。
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
2 x 2 4 k 1 x 2 k 2 1 0
(
• 6、 x２＋６x-1=0 (
• 7、 x２ -x-３=０ (
• 8、 y2- 2 y-1=0
(
直接开平方 分解因式
分解因式 配方 公式 配方
公式
公式
法） 法） 法） 法） 法） 法）
法） 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
思考
1. 解方程: (x+1)(x+2)=6
∵方程有两个相等的实数根 b24ac0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
解：△= 4k12 422k2 1
16k2 8k116k2 8
8k9
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即k 9 8
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k 9 8
∴ x1=1, x2=-5
• 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
步骤归纳
① 二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边同时加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7
12
例 ：是否存在k，使方程
(k 1 )x2(k2)x40
有两个相等的实数根？若存在，求 出k的值；若不存在，请说明理由。
解： a=(k-1) b=-（k+2) c=4
b 2 4 a [ c (k 2 )2 ] 4 (k 1 ) 4
k24k41k6 16 k21k220
a0,b24ac0
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
练习三
选用适当方法解下列一元二次方程
• 1、 (2x+1)2=64
(
• 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 (
• 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ (
• 4、 x２-４x-10=０ (
• 5、 ３x２-４x-５=０
（1）4x - x²+ 2 =0
（2）3x²- y -1=0
（3）ax²+ｂx+c=0 （a、b、c 为常数）
（4）x +1x =0
2、已知关于x的方程
（m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0，
当m
时是一元二次方程，
当m=
时是一元一次方程。
3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：2_x2_-_3x_-_1=_0_____, 其二次项
2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
中考直击
二、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 a2 x b x c 0 a 0 根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 a2 x b x c 0 a 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b24ac0两个不相等实根 0
4×3×(-7)=100＞0
x ∴ = = 4± 100 6
2±5 3
∴x1=
7 3
x2 = -1
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0
b24ac0 两个相等实根 0
b24ac0 无实根(无解)
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x23x40
（2） 16y2924y
（3） 5x217x0
解：（1） = b 2 4 a 3 c 2 4 2 4 4 0 1
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
知识运用
3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
一元二次方程单元复习(精 品)
练习一
定义及一般形式:
• 只含有一个未知数,未知数的最高次数是 _二__次___的_整__式方程,叫做一元二次方程。
• 一般形式:_a_x_2_+_b_x_+__c=__o_(_a_≠_o_)
一、与一元二次方程定义有关的题目：
1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？
项是_-1___.
4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
解一元二次方程的方法有几种?
例:解下列方程
• １、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x=-2±3
解：a k ,b 2 k 1 ,c k 2
b 2 4 a c (2 k 1 )2 4 k (k 2 )
1k21
∵方程有两个不相等的实数根
b 2 4 a c 0 ,即 1 2 k 1 0 题目解好了
k 1
吗？
又 k 的 k1 2取 0值k范 1围 且 k是 0
把y+2看作一个 未知数，变成
(ax+b)(cx+d)=0 形式。
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
步骤归纳
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x = - b±
b 2 - 4ac 2a
若b2-4ac＜0,方程 没有实数根。
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出 △，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的 符号情况，得出结论。
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
2 x 2 4 k 1 x 2 k 2 1 0
(
• 6、 x２＋６x-1=0 (
• 7、 x２ -x-３=０ (
• 8、 y2- 2 y-1=0
(
直接开平方 分解因式
分解因式 配方 公式 配方
公式
公式
法） 法） 法） 法） 法） 法）
法） 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
思考
1. 解方程: (x+1)(x+2)=6
∵方程有两个相等的实数根 b24ac0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
解：△= 4k12 422k2 1
16k2 8k116k2 8
8k9
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即k 9 8
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k 9 8
∴ x1=1, x2=-5
• 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
步骤归纳
① 二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边同时加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7
12
例 ：是否存在k，使方程
(k 1 )x2(k2)x40
有两个相等的实数根？若存在，求 出k的值；若不存在，请说明理由。
解： a=(k-1) b=-（k+2) c=4
b 2 4 a [ c (k 2 )2 ] 4 (k 1 ) 4
k24k41k6 16 k21k220
a0,b24ac0
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
练习三
选用适当方法解下列一元二次方程
• 1、 (2x+1)2=64
(
• 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 (
• 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ (
• 4、 x２-４x-10=０ (
• 5、 ３x２-４x-５=０
（1）4x - x²+ 2 =0
（2）3x²- y -1=0
（3）ax²+ｂx+c=0 （a、b、c 为常数）
（4）x +1x =0
2、已知关于x的方程
（m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0，
当m
时是一元二次方程，
当m=
时是一元一次方程。
3、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：2_x2_-_3x_-_1=_0_____, 其二次项
2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
中考直击
二、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 a2 x b x c 0 a 0 根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 a2 x b x c 0 a 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b24ac0两个不相等实根 0
4×3×(-7)=100＞0
x ∴ = = 4± 100 6
2±5 3
∴x1=
7 3
x2 = -1
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0
b24ac0 两个相等实根 0
b24ac0 无实根(无解)
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x23x40
（2） 16y2924y
（3） 5x217x0
解：（1） = b 2 4 a 3 c 2 4 2 4 4 0 1
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
知识运用
3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
一元二次方程单元复习(精 品)
练习一
定义及一般形式:
• 只含有一个未知数,未知数的最高次数是 _二__次___的_整__式方程,叫做一元二次方程。
• 一般形式:_a_x_2_+_b_x_+__c=__o_(_a_≠_o_)
一、与一元二次方程定义有关的题目：
1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？