线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解

引言

线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨

1.1线性规划问题的提出

考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：

CX Z =min (1)

约束条件：

⎩

⎨⎧≥=0X b AX (2)

其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：

minZ ()N B C C ,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡B B X X (3)

约束条件：

⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡0),(N

B N B X X b

X X N B (4)

经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：

1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)

约束条件：

⎩⎨⎧≥=+--0,11N

B N B X X b

B NX B X (6)

T m b b b b B ),,,('

'21'1 =-

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

=++++++-mn

mm mm n

m m n m m a a a a a a a a a N B

212221

2121111 将（5）（6）展开为：

=Z min '

1i m

i i b c ∑=+

∑

+=n

m j 1

('

1

ij m

i i j a c c ∑=-)j x (7)

约束条件：

i n

m j j ij

i b x a

x '1

'

=+

∑+= ,m i ,,2,1 = (8)

0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)

令 '

1

0i m

i i b c Z ∑== , =j σ'

1

ij m

i i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

1.2最优解判别准则

准则一：若 T m b b b X )0,,0,,,,('2'1')1( = ，为对应于基B 的基本可行解，且对于一切的 n m m j ,,2,1 ++= ，j σ>0 ，则X 为线性规划问题的最优解。

证明：j σ>0 ，由（'

7）式可知，对任意一组可行解T

n x x x X ),,,(21 =，∑==n

j j j x c Z 1

,

均有 0Z Z >，但 )1(X 能使等式成立，即0Z Z = ，故 )1(X 为线性规划问题的最优解。

准则二：当j σ0≥,n m m j ,,2,1 ++= ，有某一个0=j σ，设

1+=m j ,m i ,,2,1 = ,01'>+im a ，则该线性规划问题有第二个最优的基本可行解。

证明：构造一个行解 )2(X ，('8) 得：

11''++-=m im i i x a b x m i ,,2,1 = θ=+1m x 0>θ 0=j x n m j ,,2 +=

根据θ 原则

θ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=++≤≤0|min 1'

1''1im im i m i a a b 1

'

'+Lm L a b =+1

m x θ 1

''+=Lm L a b , 0=L x

将 )2(X 带入原目标函数（4）得：

'

,1i m

L

i i i b c Z ∑≠==+(1+m c -1'

1+=∑im m

i i a c +1'

+Lm L a c ）1''+Lm L

a b

由于 =+1m σ 1+m c -01'

1

=+=∑im m

i i a c ，故：=

Z '

,1i

m

L

i i i b

c ∑≠= + L L b c '

L m

i i b c ===∑='1

0Z

)2(X 也是最优的基本可行解。

推论：若 )1(X 和 )2(X 均为最优的基本可行解，)2()1()1(X X X αα-+= ,10≤≤α 均为最优可行解。

准则三：当 j σ≥0 ,n m m j ,,2,1 ++= ，有某一个 0=j σ ，对一切 m i ,,2,1 = ，则该线性规划有无穷多个最优解。