线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。

线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。

而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。

设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

1.2最优解判别准则准则一：若 T m b b b X )0,,0,,,,('2'1')1( = ，为对应于基B 的基本可行解，且对于一切的 n m m j ,,2,1 ++= ，j σ>0 ，则X 为线性规划问题的最优解。

证明：j σ>0 ，由（'7）式可知，对任意一组可行解Tn x x x X ),,,(21 =，∑==nj j j x c Z 1,均有 0Z Z >，但 )1(X 能使等式成立，即0Z Z = ，故 )1(X 为线性规划问题的最优解。

准则二：当j σ0≥,n m m j ,,2,1 ++= ，有某一个0=j σ，设1+=m j ,m i ,,2,1 = ,01'>+im a ，则该线性规划问题有第二个最优的基本可行解。

证明：构造一个行解 )2(X ，('8) 得：11''++-=m im i i x a b x m i ,,2,1 = θ=+1m x 0>θ 0=j x n m j ,,2 +=根据θ 原则θ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=++≤≤0|min 1'1''1im im i m i a a b 1''+Lm L a b =+1m x θ 1''+=Lm L a b , 0=L x将 )2(X 带入原目标函数（4）得：',1i mLi i i b c Z ∑≠==+(1+m c -1'1+=∑im mi i a c +1'+Lm L a c ）1''+Lm La b由于 =+1m σ 1+m c -01'1=+=∑im mi i a c ，故：=Z ',1imLi i i bc ∑≠= + L L b c 'L mi i b c ===∑='10Z)2(X 也是最优的基本可行解。

推论：若 )1(X 和 )2(X 均为最优的基本可行解，)2()1()1(X X X αα-+= ,10≤≤α 均为最优可行解。

准则三：当 j σ≥0 ,n m m j ,,2,1 ++= ，有某一个 0=j σ ，对一切 m i ,,2,1 = ，则该线性规划有无穷多个最优解。

证明：构造一个新解 )3(X ，由 ('8)11''++-=m im i i x a b x m i ,,2,1 ==+1m x θ 0>θ0=j x n m j ,,2 +=由于 01'≤+im a ，0>θ ,故 0>i x ,m i ,,2,1 = 将)1(X 代入原目标函数（4）得：=Z ',1imLi i i bc ∑≠=+(1+m c -1'1+=∑im mi i a c ）θ由于：=+1m σ1+m c -01'1=+=∑im mi i a c故：=Z ',1imLi i i bc ∑≠=+0 , =θ '1i mi i b c ∑=当 ∞−→−θ时，)3(X 仍为可行解，得到无穷多可行解，而目标函数仍为 =Z =∑='1i mi i b c 0Z ，即)3(X 也是最优解。

以下举出一些实例，进一步说明线性规划最优解的具体求解方法：2. 线性规划最优解的问题举例2.1图解法求解线性规划问题例[]51：求解下面的线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-++=++-=--+-=.6,,2,1,0,20342,0574,0232,85max 6543654265416 j x x x x x x x x x x x x x x Z j （1）显然 ==T x x x X ),,,(621* T )0,0,0,20,0,0( 是该线性规划问题（1）的一个最优解。

因05'4'==c c ，及 {}==>=3,2,1,0:min 4'4''4i a a b i i i θ014'1'=a b ，{}==>=3,2,1,0:min 55'5''i a a b i i θ025'2'=a b ，可考虑如下线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-=-++=.5,4,2,1,0074032max 54254154j x x x x x x x x x W j （2）易解得线性规划问题（2）的最优解为==T x x x x X ),,,(5421''T )0,0,0,0( ,0)(''=X W , 于是可得 ==T x x x X ),,,(621* T )0,0,0,20,0,0( 是该线性规划问题（1）的唯一最优解。

例[]72：求解下面的线性规划问题：6145624563456max 5204422252300,1,2,,6.j Z x x x x x x x x x x x x x x j ⎧=-⎪+--=⎪⎪++-=⎨⎪-++=⎪⎪≥=⎩ （1）显然 ==T x x x X ),,,(621* T )0,0,0,0,20,0( 是该线性规划问题（1）的一个最优解。

因05'4'==c c ，及 {}==>=3,2,1,0:min 4'4''4i a a b i i i θ014'1'=a b ，{}==>=3,2,1,0:min 55'5''i a a b i i θ025'2'=a b ，可考虑如下线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-=-++=.5,4,3,1,00202max 54354154j x x x x x x x x x W j （2）易解得线性规划问题（2）有无界解，==T x x x x X ),,,(5431''T )1,2,3,0(是该问题的一个可行解 ,03)(''>=X W , 于是线性规划问题的最优解不唯一。

只要取T x x x X ),,,(621* =如下：1324560,3;25(42421)0;2,;0.x x s x s x s x s x ===-⨯+⨯≥===那么 'X 也是线性规划问题的最优解。

例如，分别取s=0.5、0.25时，则T )0,5.0,1,5.1,0,0(和T )0,25.0,5.0,75.0,5.12,0(以及=*X T )0,0,0,0,25,0(都是该线性规划问题（1）的最优解，其中，T )0,0,0,0,25,0(是一退化的基可行解，T )0,5.0,1,5.1,0,0(是一非退化的基可行解，而=T )0,25.0,5.0,75.0,5.12,0(()()10,0,1.5,1,0.5,00,25,0,0,0,02T T⎡⎤+⎣⎦是一可行解而不是基解。

例[]43：要将两种大小不同的钢板结成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数乳下表所示：钢板类型 规格类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 123今需 A , B , C 三种规格的成品分别为 15 ，18 ，27 块，问：各截取这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使得所用钢板张数最少？解：需要截得第一种钢板X 张，第二种钢板Y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x （*）作出可行区域图如下： 目标函数为y x z += ，经过可行区域内的整点且与原点最近的直线是12=+y x 。

它上面的整点有（0，12）、（1,11）、（2,10）、(3,9)、（4，8）、（5，7）、（6,6）、（7,5）、（8,4）、（9,3）、（10,2）、(11,1)、（12,0），若逐一讨论其是否在可行域内比较麻烦时，只需先判断点A （539,518）附近的整数点是否满足条件，若满足条件，则再试附近的整数点；若不满足条件，则不需要再判断下去。