专升本高等数学(二)笔记大全
成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习
(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
高数二专升本知识点
高数二专升本知识点《高数二专升本那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠“高数二专升本知识点”这个话题。
每当提起这个，那真是让好多小伙伴们又爱又恨啊！就说那些个函数、导数、积分啥的，刚开始接触的时候，简直就像是一团乱麻，让人摸不着头脑。
什么正弦余弦，什么求导公式，感觉就像一群小精灵在脑子里上蹿下跳，让人晕头转向。
我还记得我刚学的时候，看着那一道道题，心里直犯嘀咕：“这都是啥玩意儿啊！”但是，咱可不能被这点小困难给吓倒不是！慢慢地，通过不断地学习、做题、请教老师，好像也能找到点感觉了。
就好像是慢慢摸着了那团乱麻的线头，一点点地给它解开。
其中有个知识点叫什么来着？哦对，极限！这玩意儿刚开始听着还挺玄乎的。
什么无穷小、无穷大，感觉都快要超出我的理解范围了。
不过经过一番折腾，我终于搞明白了，原来极限就像是一个目标，我们要去努力靠近它。
还有那些个导数，一开始真觉得超级难啊！什么复合函数求导，那公式长得跟绕口令似的。
但等真的掌握了，嘿，还挺好用的呢！感觉就像是有了一把钥匙，能打开好多难题的锁。
积分那就更别提了，刚开始根本不知道从哪儿下手。
看着那一个个奇奇怪怪的图形，心想：“这得怎么算面积啊！”不过慢慢学下来，也发现了其中的规律和乐趣。
原来通过积分，我们可以把那些原本复杂的东西给简化了。
学习高数二专升本的过程，就像是一场冒险。
有时候会遇到陡坡，有时候会掉进坑里，但只要坚持爬出来，继续前进，总会看到不一样的风景。
当然啦，这中间也少不了各种搞笑和尴尬的时刻。
记得有一次考试，我紧张得大脑一片空白，本来会做的题都给做错了，考完后那个懊悔啊！还有一次，我跟同学一起研究一个难题，结果两个人折腾了半天，发现是我们把题目都给看错了，真是哭笑不得。
总之，高数二专升本知识点虽然有点难，但只要我们保持一颗好奇和探索的心，勇敢地去面对挑战，相信大家都能搞定它！最后送给大家一句话：“高数虐我千百遍，我待高数如初恋！”加油吧，小伙伴们！。
专升本高等数学(二)笔记大全
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A y n n =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}ny 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x=→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f 称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
专升本高数二公式常用
专升本高数二公式常用在专升本考试中，高等数学二是许多考生需要攻克的重要科目。
而掌握常用公式是学好高数二的关键。
接下来，让我们一起来梳理一下专升本高数二中那些常用且重要的公式。
一、函数、极限与连续1、函数的基本性质奇偶性：若对于定义域内任意 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为偶函数；若 f(x) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为奇函数。
周期性：若存在非零常数 T ，使得对于定义域内任意 x ，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为周期函数，T 为函数的周期。
2、极限的运算四则运算：若 lim f(x) ＝ A ，lim g(x) ＝ B ，则 lim f(x) ± g(x) ＝lim f(x) ± lim g(x) ＝ A ± B ；lim f(x) × g(x) ＝ lim f(x) × lim g(x) ＝ A ×B ；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）。
两个重要极限：lim （1 ＋ 1/x)＾x ＝ e （x → ∞）；lim sin x ／ x ＝ 1 （x → 0）。
3、连续的定义函数 f(x) 在点 x₀处连续，当且仅当lim(x → x₀) f(x) ＝ f(x₀) 。
二、一元函数微分学1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
2、基本导数公式（C)＇＝ 0 （C 为常数）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（sin x)＇＝ cos x（cos x)＇＝ sin x（tan x)＇＝ sec² x（cot x)＇＝ csc² x（e^x)＇＝ e^x（ln x)＇＝ 1 ／ x3、导数的四则运算（u ± v)＇＝ u' ± v'（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）4、复合函数求导法则设 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) ，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为：dy ／ dx ＝ dy ／ du × du ／ dx 。
专升本高等数学二知识点总结
专升本高等数学二知识点总结嘿，想专升本的小伙伴们！今天咱就来好好唠唠高等数学二的那些知识点。
这高等数学二啊，就像是一座神秘的城堡，里面有各种各样的宝藏（知识点）等待我们去挖掘呢。
先说说函数这一块吧。
函数就像是一个魔法盒子，你给它一个输入（自变量），它就会给你一个输出（因变量）。
一元函数是最基础的啦，就像我们走的单行道，只有一个方向决定结果。
比如一次函数y = kx + b，k就像是这条道路的坡度，b呢，就是在起点的时候的偏移量。
我记得我那同学小李啊，最开始学函数的时候，老是把k和b的意义搞混。
我就跟他说：“你看啊，k就好比是你骑自行车的速度，b就是你出发的时候离原点有多远，这能一样吗？”他这才恍然大悟。
接着就是极限。
极限这东西可神奇了，它像是一个目标，函数这个小火车一直朝着这个目标开去。
当自变量无限接近某个值的时候，函数值就无限接近极限值。
有次考试，有个求极限的题，小张在那愁眉苦脸的。
我问他咋了，他说这极限感觉就像天上的星星，看得见摸不着。
我就笑着跟他说：“你呀，别把它想得那么复杂。
你就想象你在追一只跑得特别快的兔子，你离它越来越近，这个越来越近的状态就是极限。
”求极限的方法有好多呢，像等价无穷小替换，就像是用相似的东西去代替，简化计算。
导数可不得了，它是函数的变化率。
这导数就像一个超级放大镜，能看到函数在每一点的变化速度。
如果把函数看成是一个爬山的路线，导数就是你在每个点上爬坡的陡峭程度。
我和小王一起讨论导数的时候，他说：“这导数感觉好抽象啊。
”我就说：“你想啊，你跑步的时候，你每一秒速度的变化，那就是导数啊。
”导数的公式得好好记，像常见函数的导数公式，就像是武功秘籍里的基本招式，不记住可不行。
求导法则呢，加法求导法则就像两个人合作干活，各自的效率相加就是总的效率；乘法求导法则就稍微复杂点，有点像互相影响的关系。
再讲讲积分吧。
积分和导数是相反的过程，就像上山和下山一样。
不定积分是求原函数，就像是把已经加工好的东西还原到原材料。
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
成人高考专升本《高等数学二》公式大全1.函数的导数公式：1）常数函数求导：(C)'=02）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1), 其中n为常数3）指数函数求导：(a^x)' = a^x * ln(a), 其中a>0且a≠14）对数函数求导：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), 其中a>0且a≠15）三角函数求导：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x)6）反三角函数求导：(arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2), (arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2), (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)2.高等数学中的极限公式：1）常数函数极限：lim(C) = C, 其中C为常数2）多项式函数极限：lim(a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... +a_1*x + a_0) = a_n*x^n, 其中n为正整数，a_n为非零常数3）指数函数极限：lim(a^x) = 1, 其中a>0且a≠14）对数函数极限：lim(log_a(x)) = log_a(1) = 0, 其中a>0且a≠15）三角函数极限：lim(sin(x) / x) = 1, lim((1 - cos(x)) / x) = 0, 当x趋近于0时3.定积分公式：1）换元积分法：∫f(g(x)) * g'(x)dx = ∫f(u)du, 其中u = g(x) 2）分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du3）凑微分法：∫f(x)dx = ∫f(x) *1dx = ∫f(x) *[g'(x)/g'(x)]dx = ∫(f(x) * g'(x))/g'(x)dx4.微分方程公式：1）一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = e^(-∫P(x)dx) * ∫[Q(x) * e^(∫P(x)dx)]dx2）一阶齐次线性微分方程：dy/dx = f(y/x), 令v = y/x, 可得dv = [(f(v) - v)/x]dx5.级数公式：1）等比数列前n项和：S_n=a(1-q^n)/(1-q),其中a为首项，q为公比2）调和级数：∑(1/n)是发散级数3）幂级数展开：e^x = ∑(x^n)/n!, sin(x) = ∑[(-1)^n *(x^(2n+1))/(2n+1)!], cos(x) = ∑[(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!]。
成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多．元．函．数．。其自 变量的变化范围称为定．义．域．，通常记作 D 。 例如：二元函数通常记作： z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数 z = f (x, y) ，则函数 z 在区域 D 内对 x 和对 y 的偏导数记为：
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x2
− 2x + x2 −1
1
.
……… 0未定式，提取公因式 0
解：原式=
lim
x→1
(
x
( x −1)2 −1)( x +1)
=
lim
x→1
( (
x x
−1) +1)
=
2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版
高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I 、函数、极限一、 基本初等函数（又称简朴函数）：（1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H1）（4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ）（5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x（6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。
例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！三、 极限计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）.XT 心注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o（2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。
例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-XA —>-l .TfX J 〜丸•1弋2.未定式极限运算法（1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。
x 2 +3x-l~x+i02+3>0-l _o+i- 丽^1曲空41k 空—1------- 22 X-l 2-1（非特殊角三角函数值不用讣算出来）ini西计算黒m …•…存定式’提取公因式解：原式二 lim- V ~3)( V + 3)23X -3(2)对于三未定式：分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小 Q0这一关系进行讣算。
成人专升本高数二知识点总结
成人专升本高数二知识点总结嘿！今天咱们来好好总结一下成人专升本高数二的知识点呢！首先呀，函数这部分可太重要啦！函数的定义、定义域和值域，这都是基础中的基础。
比如说，一次函数y = kx + b ，其中k 和 b 对函数图像和性质的影响可大着呢！还有二次函数y = ax² + bx + c ，它的对称轴、顶点坐标，哎呀呀，都得牢记！再来说说极限。
极限的概念和计算方法那是必须掌握的。
无穷小量和无穷大量的关系，以及它们在求极限中的应用，这可都是重点呀！像夹逼准则、洛必达法则，用起来那叫一个顺手！导数也是高数二的核心知识点之一。
导数的定义、几何意义，还有各种函数的求导公式，比如常见的幂函数、指数函数、对数函数的求导，都得烂熟于心。
导数的应用更是广泛，判断函数的单调性、极值和最值，这些在解决实际问题中常常会用到。
积分这一块也不能忽视。
不定积分的计算方法，定积分的定义和性质，以及定积分在几何和物理中的应用，哇，都是考试的重点！牛顿-莱布尼茨公式更是计算定积分的利器。
微分方程也很关键呢！常微分方程的类型，比如一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程，求解的方法和步骤一定要清晰明了。
在学习高数二的过程中，哎呀呀，一定要多做练习题，通过实际的题目来加深对知识点的理解和掌握。
同时，要善于总结归纳，把相似的知识点进行对比和区分，这样才能记得更牢呀！还有哦，要建立起知识体系，把各个知识点串联起来，形成一个完整的知识网络。
比如说，导数和积分是互逆的运算，微分方程的求解往往需要用到导数和积分的知识。
总之呢，成人专升本高数二的知识点虽然有一定的难度，但是只要我们认真学习，多练习，多总结，就一定能够掌握好，顺利通过考试！加油呀！。
成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式
成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式（2）对数的运算法则：①②③④3、对数换底公式：由换底公式推出一些常用的结论：（1）（2）（3）（4）三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则如果那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则：特别地，如果C是常数，那么函数极限的四算运则如果那么推论设都存在，为常数，为正整数，则有：无穷小量的比较：某与n同时趋向+¥由夹挤准则第二章节公式1.导数的定义：函数y＝f(某)在某＝某0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(某)在某＝某0处的导数，记作f′(某0)或y′|某＝某0即f′(某0)＝.2．导数的几何意义函数f(某)在某＝某0处的导数就是切线的斜率k，即k＝＝f′(某0)．3．导函数(导数)当某变化时，f′(某)便是某的一个函数，我们称它为f(某)的导函数(简称导数)，y＝f(某)的导函数有时也记作y′，即f′(某)＝y′＝.4．几种常见函数的导数(1)c′＝0(c为常数)，(2)(某n)′＝n某n－1(n∈Z)，(3)(a某)′＝a某lna(a＞0,a1),(e某)′＝e某(4)(ln某)′＝，(loga某)′＝logae=(a＞0,a1)(5)(in某)′＝co某，(6)(co某)′＝－in某(7),(8)(9),(10)(11),(12)5．函数的和、差、积、商的导数(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．(uvw)′＝u′vw＋uv′w+uvw′微分公式：（1）(7),(8)(9),(10)(11),(12)6．微分的四算运则d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝vdu＋udvd(ku)＝kdu(k为常数)．洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
成考专升本高数二知识点
成考专升本高数二知识点一、知识概述《成考专升本高数二知识点》①基本定义：成考专升本高数二包含很多内容呢，像函数、极限、导数、积分之类的。
函数就是像y = 2x这样，一个变量x通过一种规则确定另一个变量y。
极限嘛，简单说就是当自变量靠近某个值的时候，函数值接近的那个数。
导数则是函数在某一点上的变化率，就好比车的速度是路程函数的导数。
积分有点像是导数的逆运算，可以用来求面积这些。
②重要程度：在专升本学科里很重要，它是理工科类专业学习的基础，很多后续的专业课都会用到高数二的知识，像是工程力学之类的课程。
③前置知识：要掌握高中的基本数学知识，像代数式、方程、函数的简单概念，还有基本的运算，如加减乘除、幂运算等。
④应用价值：在实际生活中有用处，比如计算物体的运动速度、加速度，工程上计算材料的强度、工程量等。
像盖房子要计算建材用量就可能用到积分的知识。
二、知识体系①知识图谱：在高数整个学科里，高数二处于中级难度的地位，很多专升本的自然科学、工程类专业都会考查它。
它是建立在高数的一些基础概念之上，与后续的工程数学等又相关。
②关联知识：与高数一中的函数、极限概念联系紧密，都是在这个基础上深入和拓展的。
它还和一些工程课程中的物理、力学概念有联系，因为常常要用到高数二的计算。
③重难点分析：- 掌握难度：对一些从来没有接触过导数、积分概念的同学比较难。
导数的概念比较抽象，积分的计算规则比较复杂。
- 关键点：理解导数的定义和意义，掌握积分的基本计算方法，像换元积分法、分部积分法等。
④考点分析：- 在考试中的重要性：是成考专升本理工科类专业必考的科目，成绩对能否顺利升本很重要。
- 考查方式：主要以选择题、填空题、计算题、解答题等形式出现。
选择题考查基本概念，计算题主要考查导数、积分的计算能力。
三、详细讲解【理论概念类- 函数】①概念辨析：函数就是一种对应关系，对于定义域内每个自变量的值，通过某种规则都有唯一确定的函数值与之对应。
专升本高数二知识点总结
专升本高数二知识点总结嘿呀！专升本高数二的知识点那可真是不少呢！咱们一起来好好总结总结。
首先得说说函数与极限这一块。
函数可是数学里的基础呀！函数的定义、性质，像单调性、奇偶性、周期性等等，都得搞清楚。
极限呢，那更是重中之重！极限的定义、计算方法，比如四则运算法则、两个重要极限，哎呀呀，这些都是必考的知识点。
再来看看一元函数微分学。
导数的定义和几何意义可不能忘呀！求导公式得背得滚瓜烂熟，像基本初等函数的求导公式、导数的四则运算、复合函数求导等等。
还有导数的应用，比如判断函数的单调性、极值和最值，这在解题中经常会用到呢。
一元函数积分学也很关键哟！不定积分的概念和性质要明白，积分的基本公式得牢记于心。
定积分的定义、性质和计算方法，比如牛顿-莱布尼茨公式，那可是解题的利器呀！还有定积分的应用，比如求平面图形的面积、旋转体的体积，哇，这些都需要我们认真掌握。
向量代数与空间解析几何也不能忽视呢！向量的运算、向量的坐标表示，都要弄得明明白白。
空间直线和平面的方程，空间曲线和曲面的方程，这些知识点在解决一些复杂问题时会发挥大作用。
多元函数微分学也很重要哦！多元函数的概念、极限与连续，偏导数和全微分的定义和计算方法，多元函数的极值和条件极值，这些都得熟练掌握。
多元函数积分学也得好好学呀！二重积分的概念、性质和计算方法，三重积分的概念和计算方法，这些在考试中占比可不低呢。
无穷级数这部分也不能掉以轻心。
数项级数的收敛与发散的判别法，幂级数的收敛半径、收敛区间和和函数，这些知识点都得认真复习。
总之，专升本高数二的知识点繁多且复杂，需要我们花费大量的时间和精力去学习和掌握。
但是，只要我们有恒心、有毅力，认真复习，多做练习题，就一定能够在考试中取得好成绩！加油呀！。
专升本高数二公式常用
专升本高数二公式常用对于准备专升本考试的同学来说，高等数学二的学习是一个不小的挑战。
在这门课程中，掌握常用公式是解题的关键。
下面，让我们一起来梳理一下专升本高数二中那些常用的公式。
首先，函数与极限部分。
极限的计算是这部分的重点，常用的公式有：lim(x→a) （x a) ＝ 0 这个公式看似简单，却是计算极限时经常会用到的基础。
lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e 这是一个重要的极限公式，e 约等于 271828，在很多极限计算中起着关键作用。
当涉及到函数的连续性时，有连续的定义：lim(x→x₀) f(x) ＝f(x₀) ，若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
其次，导数与微分部分。
导数的定义式：f'（x) ＝lim(Δx→0) f(x ＋Δx) f(x) ／Δx ，这是求导的基础。
基本初等函数的导数公式一定要牢记，比如：（x^n)＇＝ nx^（n 1) ，（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x ，（e^x)＇＝ e^x ，（ln x)＇＝ 1/x 。
导数的四则运算法则也非常重要：（u ± v)＇＝ u' ± v' ，（uv)＇＝ u'v ＋ uv' ，（u/v)＇＝（u'v uv'）／ v²。
微分的定义：dy ＝ f'（x)dx ，它与导数密切相关。
接着，中值定理与导数的应用部分。
罗尔定理：如果函数 f(x) 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b) ，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f(b) f(a) ＝ f'（ξ)（b a) 。
专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总
专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）cbx axyb kx y 2一般形式的定义域：x ∈R（2）xk y 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y 根式的形式定义域：x ≥0（4）x ya log 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y 的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ，则有D x ）(1) 偶函数)(x f ——D x ，恒有)()(x f x f 。
(2) 奇函数)(x f ——D x，恒有)()(x f x f 。
三、基本初等函数1、常数函数：c y，定义域是),(，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：ux y ，(u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: xa x f y)(， (a 是常数且0a，1a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(， (a 是常数且0a，1a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x ysin 2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。
(2) 余弦函数:x y cos .2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。
(3) 正切函数: x y tan .T ，},2)12(,|{)(Z R kkxxx f D ，),()(D f .(4) 余切函数: x y cot .T ，},,|{)(Z R kk xxx f D ，),()(D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc ，]1,1[)(f D ，]2,2[)(D f 。
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
专升本高数二公式常用
专升本高数二公式常用高等数学二是专升本考试中的重要科目，其中的公式众多且应用广泛。
熟练掌握这些公式对于解题和提高成绩至关重要。
首先，让我们来了解一下函数的相关公式。
函数的定义域和值域是函数的基本概念，对于常见的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，其定义域和值域都有明确的规定。
幂函数 y ＝ x^n（n 为常数），当 n 为正整数时，定义域为 R；当 n 为偶数时，值域为0, ＋∞）；当 n 为奇数时，值域为 R。
指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），定义域为 R，值域为(0, ＋∞）。
对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），定义域为(0, ＋∞），值域为R。
三角函数也是高数二中的重要内容。
正弦函数 y ＝ sin x，余弦函数y ＝ cos x，正切函数 y ＝ tan x 等，它们的周期、值域和定义域都需要牢记。
sin x 和 cos x 的周期都是2π，定义域为 R，值域为-1, 1。
tan x 的周期为π，定义域为{x ｜x ≠ （π/2) ＋kπ, k ∈ Z}，值域为R。
反三角函数也是常考的知识点。
反正弦函数 y ＝ arcsin x，定义域为-1, 1，值域为π/2, π/2。
反余弦函数 y ＝ arccos x，定义域为-1, 1，值域为0, π。
反正切函数 y ＝ arctan x，定义域为 R，值域为(π/2, π/2)。
在导数的部分，求导公式更是重中之重。
（x^n)＇＝ nx^（n 1)，这是幂函数求导的基本公式。
（a^x)＇＝ a^x ln a，指数函数的求导公式。
（logₐx)＇＝ 1 ／（x ln a)，对数函数的求导公式。
（sin x)＇＝ cos x，（cos x)＇＝ sin x，（tan x)＇＝ sec² x ，这些三角函数的求导公式要熟练运用。
还有复合函数的求导法则——链式法则。
若 y ＝ f(g(x)），则 y' ＝f'（g(x)） g'（x)。
高数二知识点.pdf
A
，(
B
0 ).
B
（ 4）设 P( x) 为多项式 P( x)
n
a0 x
n1
a1x
an ， 则 lim P(x) P(x0) x x0
（ 5）设 P( x), Q ( x) 均为多项式，
且 Q( x)
0， 则
P( x) lim
P ( x0 )
x x0 Q( x) Q( x0 )
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当 x 0 时 ， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctanx ~ x ， arcsin x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
□
1
其结构可以表示为： lim 1
e
□
□
八、洛必达 (L’Hospital)法则
“ 0 ”型和“ 0
f (x) ”型不定式，存在有 lim
x a g(x)
f ' ( x)
lim
xa
g ' ( x)
A （或 ）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数 y f (x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该邻域内）时，相
3 、复合函数求导公式：设
y f (u) , u
dy dy du f ' (u). ( x) 。 dx du dx
(x) ，且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数
y f [ ( x)] 的导数为
三、导数的应用
1、函数的单调性
'
f ( x) 0 则 f ( x) 在 (a,b) 内严格单调增加。
1
1 x 2 dx
专升本高等数学二笔记公式大全
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
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第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}ny 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：,,,∞→+∞→-∞→x x x 000,,x x x x x x →→→+-2．无穷小量：0)(lim =x f称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f4． 无穷小量的比较：0lim ,0lim ==βα⑴若0lim =αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若c =αβlim（c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）且：a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：)()()(x h x f x g ≤≤且：A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f xx =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nn x u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x x x =+→10)1(lim §1.3 连续一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，1o0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→ 右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x xx ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续。
在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f bx =-→ 右端点左连续。
a0 b x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：1o)(x f 在x 处无定义；2o )(lim 0x f xx →不存在；3o)(x f在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f xx ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在。
可去间断点：)(lim 0x f xx →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→，或)(x f在0x 处无定义。
2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞，或)(lim 0x f xx →振荡不存在。
无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f xx =→，)()(lim 00x g x g x x =→1o )()()]()([lim 000x g x f x g x f xx ±=±→2o )()()]()([lim 000x g x f x g x f xx ⋅=⋅→3o )()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x 2.复合函数的连续性：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===)]([)(lim ),()(lim 0)(000x f u f x x x u x x ϕϕϕϕ==→→则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x xx ϕϕϕ==→→3. 反函数的连续性：)(),(),(001x f y x fx x f y ===-)()(lim )()(lim 01100y f y f x f x f y y x x --→→=⇔=㈢函数在],[b a 上连续的性质 1.最大值与最小值定理：)(x f,[ax2. 有界定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定有界。
3.介值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒在),(b a 内至少存在一点ξ，使得：c f =)(ξ，其中：M c m ≤≤yx12x推论：)(x f 在],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000 00)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件： 定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件： 定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。