清华大学数值分析A第三次作业
【清华】第三次作业汇总
第三次作业小结
这次作业是一道关于细胞生长代谢动力学的计算题。
几乎所有的同学都给出了正确的解答，其中运用的方法主要有三大类，分别是解析法，matlab法，和分段简化法。
值得表扬的是有部分同学采用了不止一种方法进行计算，并对结果进行了比较分析，深入剖析的题目的内涵。
1）解析法，就是将题目中给出的条件整合积分，得出解析式，然后代入边际值计算得出结果，这应该说是最精确的计算。
2）Matlab法类似于解析法，就是利用计算工具中的已有算法，画图近似出积分的结果。
3）第三种方法，也是我认为最实用的方法就是分段简化法。
其实根据我们题目中的条
件，可以将计算式简化为，当然必须在计算中给出条件证明，
，需要注意的是不只是起始浓度，整个计算范围内的浓度都必须满足这一条件。
还有同学进一步把三种简化的计算式和对应浓度范围都给出了，当然是更好不过。
此外还有一个需要注意的点，就是计算中必须写出必要的单位，因为单位不同计算中的很多参数和结果都会不同，没有单位的数值其实是没有意义的。
这次作业大家完成的都比较好，其中格外好的同学有：彭翃杰、白琳、陈阳、刘芯言、王钢、王文婷、苏倡、郑翔、刘昆。
下面给出一个简单范例：
解答：
1)Monod方程：
由倍增时间可得，故
将的值代入（1）式得
2)由比生长速率定义：推导出
又有推导出
当时，，故可近似
则有
3)。
2019-2020数值分析A 答案
-*+ 密 封 线2019-2020学年 第 1学 期 数值分析（A ） 答案一、填空题（每空2分，共10分）1. 模型误差、测量误差、截断误差、舍入误差2. ()010()[,,,],!n n n f f x x x x x n ξξ=K 其中介于、之间。
3. 2n+14. 213123k k k k k x x x x x +++=−+5. 8二 简答题（10分）1. 有效数字各有 6位、3位、5位；误差限为0.00005、0.00005、0.5. ……….4分2.112222ππ解：令f(x)=2x-sinx-2,则f(x)在[,]连续,且f()<0,f()>0,且 f'(x)=2-cosx>0,所以有唯一根。
…….3分1*1sin 1.211()sin 12221()|'()|<1,22122|'()|01k x x x x x x x πϕπϕϕπϕ+=+=+≤≤≠建立迭代格式：由于在区间[,]满足，所以，迭代格式对任意初值属于[,]都收敛。
因为，所以阶收敛。
……….6分三、计算题（共20分）1.（10分）注：本题中误差限可以适当放松。
30011223332()()()()()(0)(1)(2)(1)(1)(2)0(1)(10)(11)(12)(01)(01)(02)(1)(0)(2)(1)(0)(1)215(11)(10)(12)(21)(20)(21)21L x l x y l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x x x =+++---+--=??------+--+--+--+??+--+--=+-………………………….5分001001201012301232()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()0(1)(1)2(1)(0)(1)(0)(1)1N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+--+--+---=+-…………………………10分 2. （10分）令所要求的多项式为1()p x a bx =+，取()()011,x x x ϕϕ==，计算()1000,11dx ϕϕ==⎰，()10101,2xdx ϕϕ==⎰，()121101,3x dx ϕϕ==⎰，()100,x f e dx e ϕ==⎰，()110,e 1x f x dx ϕ==⎰……………………………………………………………….…….5’得法方程组1e 211123a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………….7’解之，得： 4.87, 4.31a b ==−，于是得一次最佳平方逼近多项式为1() 4.87 4.31.p x x =−.………………………………………………………………………….10’四、计算题（共30分）1. （10分）()a(()4()())62bb a a bf x dx f a f f b −+++⎰的辛普森公式：验证代数精度： 取f (x ) = 1, 有：左边＝()baf x dx b a =−⎰=右边；取f (x ) = x , 有：左边＝()221()2baf x dx b a =−⎰=右边；……………（4分） 取2()f x x = ，有：左边＝()331()3baf x dx b a =−⎰=右边； 取3()f x x = ，有：左边＝()441()4baf x dx b a =−⎰= 右边；当4()f x x = ，左边＝()441()4baf x dx b a =−≠⎰右边；…………（8分）故公式对4()f x x =不精确成立，其代数精度为4；…………………………………………（10分）2.（10分）解：{}1max 83,78A ==， （2分）{}max 54,99A ∞==， （4分）111213212223212133100212100=013,100612u u u A LU l u u l l u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………（6分）121201,013.3212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦所以，L=U=………………………（10分）3. （10分）由题意可知，()()2014,1,1,,1i m n x x x ϕϕω=====()4000,15i ϕϕ===∑，，()()4201100,,5327i x ϕϕϕϕ====∑，()44110,7277699i x ϕϕ===∑，()()400,271.4i i f f x ϕ===∑，()()4210,369321.5i i f f x x ϕ===∑…………（4分）可得55327271.453277277699369321.5a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得0.050.97a b =⎧⎨=⎩故此多项式为20.050.97y x =+…………………………………………………………（10分） ’五、计算题（10分）方程组的Gauss-Seidel 迭代格式为(1)()()123(1)(1)21(1)(1)31522(1)/3(22)/7k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪=−+⎨⎪=−⎩(5分) 其迭代矩阵为10221022221300033207044077G B −⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎢⎥⎣⎦（8分） 其特征方程为32223021260207λλλλλλλ−−=−= 解之得123260,21λλλ===谱半径26()121G B ρ=>，故迭代发散。
清华大学第五版【数值分析】习题答案
第一章 绪论(1)1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
北航数值分析全部三次大作业
北航数值分析全部三次大作业第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。
我们被要求实现各种常用的线性方程组求解算法，例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
我首先学习了这些算法的原理和实现方法，并借助Python编程语言编写了这些算法的代码。
在实验中，我们使用了不同规模和条件的线性方程组进行测试，并比较了不同算法的性能和精度。
通过这个作业，我深入了解了线性方程组求解的原理和方法，提高了我的编程和数值计算能力。
第二次大作业是关于数值积分的方法。
数值积分是数值分析中的重要内容，它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。
在这个作业中，我们需要实现不同的数值积分算法，例如矩形法、梯形法和辛普森法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们计算了不同函数的积分值，并对比了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了数值积分的原理和方法，提高了我的编程和数学建模能力。
第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。
常微分方程是数值分析中的核心内容之一，它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。
在这个作业中，我们需要实现不同的常微分方程求解算法，例如欧拉法、龙格-库塔法和Adams法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们解决了一些具体的常微分方程问题，并比较了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了常微分方程的原理和方法，提高了我的编程和问题求解能力。
总的来说，北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性，但也非常有意义。
通过这些作业，我在数值计算和编程方面得到了很大的提升，也更加深入地了解了数值分析的理论和方法。
虽然这些作业需要大量的时间和精力，但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。
清华大学高等数值分析 第三次作业第八题
第三次作业第八题取b=(1,1,1,...1)T ,x0=0，停机准则为10-6。
1）当取A 1=(a ij )=1/(i+j-1)时，取阶数n=50，m=20时，得到收敛曲线如下0246810121416182010-1010-810-610-410-210GMRES 算法的||r k ||收敛曲线（所有步数） (A=A 1 阶数n=50, m=20)迭代次数||r k ||/||b ||结果表明，重启的GMRES 算法没有重启就得到了非常精确的结果。
这是由于该矩阵在n 较小时的数值正定特性有关。
取n=500 m=20计算结果如下，该图为重启次数与残差之间的关系曲线010203040506070809010010-610-510-4GMRES 算法的||r k ||收敛曲线 (A=A 1 阶数n=500, m=20)重启次数||r k ||/||b ||可以看出，该方法重启100步都无法收敛到10-6。
提高m 的值为m=100，计算如下010203040506070809010010-1010-810-610-410-210迭代次数||r k ||/||b ||从结果中可以看出，第一次计算（未重启）就得到了精确的结果。
该方法是数值qi 下面将阶数增为1000，m=20计算如下010203040506070809010010-710-610-510-410-3GMRES 算法的||r k ||收敛曲线 (A=A 1 阶数n=1000, m=20)重启次数||r k ||/||b ||图中可以看出，重启的GMRES 已经无法收敛，并且残差下降非常慢，没有再进行计算的必要。
将m 增为100，结果依然如前面，在一次重启就解出了结果。
010203040506070809010010-1010-810-610-410-210迭代次数||r k ||/||b ||2）当取A=A 2◆ 当n=100时，对该矩阵使用GMRES 方法，迭代20步即得到结果。
清华大学数值分析A往年试题回顾
5 道大题，若干小题，卷面成绩满分70
1.(1)求f(x)=sqrt(1-x A2)在span{1,x,xA2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x A2)的最佳平方逼近多项式
⑵求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)= / p(x)l(x)dx= / p(x)lA其(X)dXk)为Lagrange多项
式
2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb各种方法的收敛性怎样？(其中0<w<2)
(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解
3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的a和B
⑵已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ
4(1)f(x)=[x2A2-x1A2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式sin(x1A2)-x2];
(2)已知G(x)=[x2A2-x1A2 sin(x1A2)];
给出区域D 使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因
5.(1)线性2 步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1,判断其稳定性
⑵已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定？(pade 逼近的计算公式卷子上给了)。
数值分析第三次作业解答
数值分析第三次作业解答思考题：1：（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。
×;(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。
√(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。
×(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。
√3． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ， 比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？ 解： 构造插值多项式：0122022(0.15)(0.2)()0.050.1(0.1)(0.2)()0.050.05(0.1)(0.15)()0.10.05()()()()(0)0;(0)0.1403x x l x x x l x x x l x P x x x x f P --=⨯--=⨯--=⨯=++==在（0，2）区间，5''''''23()(0.2)118.585458f x x f -=≤=从而，对任意的 '''3()(0,0.2),(0)0.05933!f ξξω∈≤ 不存在'''32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!f f P ξξω∈=-=。
演示程序：x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2);plot(x,y,'r')pause,hold onx0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')5：（a ）求()f x x =在节点123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。
清华大学高等数值分析_第三次作业答案
得如下算法： (1) 选初始 x0 ∈ Rn , 计算初始残差 r0 = b − Ax0 , ε > 0 为停机准则； (2) 对 k = 1, 2, . . .直到 rk < ε
T 求解 (D1 D1 + E T E )y1 = (AT rk−1 )(1 : m) ; T 求解 (D2 D2 + F T F )y2 = (AT rk−1 )(m + 1 : n) ;
1 0 0 0 √ √ 3 2 − 2 / 6 0 H= √ √ 0 2/ 6 1/2 − 3/6 √ 0 0 3/6 −1/2
1 1 7. 取 上 题 中 的 矩 阵 A 以 及 b = , m = 2, x0 = 0, 完 成 求 解 Ax = 1 1 G b 的 Arnoldi 和 GMRES 算法, 得出 xA 2 和 x2 . 8. 分别取 A1 = (aij ) = ( 2 1 ), i+j−1 1
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高等数值分析第三章作业参考答案
1. 考虑线性方程组 Ax = b, 其中 A 是对称正定矩阵. 用 Galerkin 原理求解方 程 K = L = Span(v ), 这里 v 是一个固定的向量. e0 = x∗ − x0 , e1 = x∗ − x1 证明 (e1 , Ae1 ) = (e0 , Ae0 ) − (r, v )2 /(Av, v ), 其中 r = b − Ax0 . v 应当取哪个向量在某种意义上是最佳的? (∗)
证明. 令 x1 = x0 + αv , 那么 r1 = r − αAv, e1 = e0 − αv . 由 Galerkin 原
数值分析A作业5(清华大学)(杨顶辉)
第四题首先证明G(x)在任何区间[a,b]上是压缩的。
设对于任意区间[a,b]中的任意两个数x,y ，有|G(x)-G(y)|=|G ()||x-y|=||||11bbe e x y x y e eζζζ'-<-++ 取1bbe L e=+<1 故有|()()|||G x G y L x y -<-其中L<1，所以G(x)在区间[a,b]上是压缩的。
假设G(x)有不动点*x ，那么应该满足如下条件：****()ln(1)10x G x x e x =→+=→=由于上式显然不成立，假设错误，即G(x)没有不动点。
第九题 第一小题 映内性121212,){(,)|0,1}x x D x x x x ∈≤≤（有121212),()){(,)|0,1}x g x D x x x x ∈≤≤（g(即证明121200.7sin 0.2cos 100.7cos 0.2sin 1x x x x ≤+≤≤-≤由于1201,01x x ≤≤≤≤固有1122sin 0,cos 0sin 0,cos 0x x x x ≥>≥>显然有120.7sin 0.2cos 0x x +>此外120.7sin 0.2cos 0.70.20.91x x +<+=<为此，有1200.7sin 0.2cos 1x x ≤+≤而对于另一个不等式，有120.7cos 0.2sin 0.7cos10.2sin10x x -≥->此外，有120.7cos 0.2sin 0.701x x -≤-<因此便证明了1200.7cos 0.2sin 1x x ≤-≤可以得到121212),()){(,)|0,1}x g x D x x x x ∈≤≤（g(即证明了D 的映内性。
压缩性利用1范数进行证明121212120.7sin 0.2cos ()0.7cos 0.2sin 0.7sin 0.2cos ()0.7cos 0.2sin x x G x x x y y G y y y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭+⎛⎫= ⎪-⎝⎭其中12120,,,1x x y y ≤≤即有112211220.7(sin sin )0.2(cos cos )()()0.7(cos cos )0.2(sin sin )x y x y G x G y x y x y -+-⎛⎫-= ⎪---⎝⎭可得到11122112211112222||()()|||0.7(sin sin )0.2(cos cos )||0.7(cos cos )0.2(sin sin )|0.7(|sin sin ||cos cos |)0.2(|cos cos ||sin sin |)G x G y x y x y x y x y x y x y x y x y -=-+-+---≤⨯-+-+⨯-+- 由于x 1和y 1的地位相同，我们不妨假设x 1>y 1那么有1111sin sin cos cos x y x y ><从而得到：111111111111|sin sin ||cos cos |sin sin cos cos (sin cos )(sin cos )x y x y x y y x x x y y -+-=-+-=---令()sin cos f x x x =-那么111111|sin sin ||cos cos |()()x y x y f x f y -+-=-显然f(x)在[0,1]处连续，那么存在11[,]y x η∈，使得111111()()()()(cos sin )()f x f y f x y x y ηηη'-=-=+-而11[,][0,1]y x η∈⊂当4πη=时，（cos sin ηη+所以111111()()(cos sin )()|f x f y x y x y ηη-=+-≤-所以有11111222211222211221122||()()||0.7(|sin sin ||cos cos |)0.2(|cos cos ||sin sin |)||0.2(||||)0.98995||0.4||0.99(||||)G x G y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y -≤⨯-+-+⨯-+-≤-+⨯-+-=⨯-+⨯-≤⨯-+-而1122x y x y x y -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭所以11122||||||||x y x y x y -=-+-所以即得到11||()()||0.99||||G x G y x y -≤⨯-其中L=0.99<1，那么根据压缩映射原理就证明了12(,)G g g =在D 中有唯一的不动点。
中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案
中科院研究⽣院信息⼯程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案6数值分析第三次作业及答案明当h T 0时，它收敛于原初值问题的准确解 y证：梯形公式为 y n ⼗ yn+—[f(X n ，y n )+f(X n^1，y n 』] h由 f (X,y) = —y= y n+ =y n +2( — y n — yn G=L n = 3 Y y n」訓 /乂⼚％l 2+h <12 +h ⼃丫2. (P202(6))写出⽤四阶经典的龙格⼀库塔⽅法求解下列初值问题的计算公式:y n + =y n + — (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)=0.2214x n +1.2214y n +0.0214 6飞=3y n ⼼+x n )2)” k 2 =3(y n +0.1k 1〃(1+Xn +0.1) )L s =3(yn +0.1k2”(1+Xn +0.1)k 4 =3(yn +0.2k 3”(1+Xn +0.2) 0 2yn + =y n +〒(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4).1. ( P201 (4))⽤梯形⽅法解初值问题〔爲证明其近似解为y n 偌〕:并证⽤ . f 2-h 1 因 yoT " yn F ⼃.⽤上述梯形公式以步长h 经n 步计算到y n ,故有nh ：=x.X◎ T 茹Jf 2—h \n7 l 2+h ⼃1) ]y =x + y, 0 e x ￡1; ly(0) =1;2)l y \3%+x)，O *1； [y(0)=1.解：令h =0.2k 1 = f (X n , y n )= h k2=f (Xn+；；,yn+-k1)=Xn+- + 2 2 2 h k s = f (X n +；, y n +-k 2)=X n +- +y n +-k 2 =1.11(X n + y n )+0.11 2 2 2 2X n +y nh 1)4h h ??yn +；；k i =1.1(Xn +y n )+0.1 2 2 h . . h .................................. .2 ⼋ 2 J 'k 4 = f(X n +h,y n +hk 3)=X n + h + y n +hk 3 =1.222(X n +y n )+0.2223. (P202(7))证明对任意参数t，下列龙格库塔—公式是⼆阶的:r hy n 卄yn+^g+G)；* K i = f (X n, yj；K2 = f (X n +th, y n +thK i);[K3 =f(Xn+(1—t)h,yn+(1—t)hK i).证：由⼀元函数的泰勒展开有2 '''"y(X nG =y(X n) +hy'(X n)⼸[f x(X n,y(X n)) +f y(X n,y(X n))f(X n,y(X n))]中严h'2 3!⼜由⼆元函数的泰勒展开有y n41 =y n +；2(⼼+K3)=y n +；2[(f(X n,y n) + ￡%区『)也+f y(X n, y n)thf (X n, Y n)⼗。
清华大学数值分析实验报告
数值分析实验报告一、 实验3。
1 题目：考虑线性方程组b Ax =，n n R A ⨯∈，n R b ∈,编制一个能自动选取主元,又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss 消去过程。
（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6816816816 A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157 b ,则方程有解()T x 1,,1,1*⋯=。
取10=n 计算矩阵的条件数。
分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元方法求解，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元,结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大,重复上述实验过程,观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用.(4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵,计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1. 算法介绍首先,分析各种算法消去过程的计算公式， 顺序高斯消去法:第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素()0k kk a ≠(若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算()(),1,2,,k ikik k kka l i k k n a ==++,分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2,,k k n ++行，则可将增广矩阵B 中第k 列中()k kka 以下的元素消为零；重复此方法，从第1步进行到第n-1步,则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B Ab ⎡⎤=⎣⎦； 列主元高斯消去法：第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子方阵()()()()k kkkknk k nknn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中,选取()k k i k a 使得()(k)max k k i k ik k i na a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换,然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。
清华大学数分3期末
2.
设幂级数
∑∞
n=0
anxn
的收敛半径为
r
> 0.
试利用上述判别法证明如果此幂级数在
x = r 处收敛则其和函数 S(x) 在 x = r 处左连续.
3. 试利用 log(1 + x) 在 x0 = 0 处的幂级数展开求如下级数的和, 并说明理由:
∑ ∞ (−1)n−1 .
n
n=1
4.
设数项级数
∑ n≥0 an,
考试课程
清华大学本科生考试试题专用纸 ( A 卷 )
数学分析 – III
2019 年 1 并说明推导过程的理由（在 3 题中任选 2 题即可）: (15 分)
∫ +∞ log(x2 + a2)
1.
0
x2 + 1 dx ,
2.
lim
x→ 0
∑ +∞
1
nx + n5x2
∫
1
f
∗
Hλ(x)
=
√ 2π
fˆ(ξ )e−λ|ξ| eixξ dξ .
R
其中
f
∗ Hλ(x)
=
√1 2π
∫
R
f
(t)Hλ(x
−
t)dt.（提示:
用
Hλ
的原始定义,
不需用第
1
小
题的计算结果）
3. 试利用上述结论证明，如果 fˆ 也是 R 上的有界连续且绝对可积函数, 则有等式
f˜ˆ = f.
六、 （附加题）定义函数 ζ 及 Bernoulli 数 Bn 使得
1. 试求 f 的三角 Fourier 级数, 并由此证明如下恒等式:
清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集
20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。
对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。
()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。
故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。
由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。
数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。
北航数值分析A大作业3
北航数值分析A大作业3-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、算法设计方案1、解非线性方程组将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。
2、二元二次分偏插值对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。
根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断t ij , u i j 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z i j ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为：112211(,)()()(,)m n k r k r k m r n p t u l t l u f t u ++=-=-=∑∑ 其中11()m w k w m k w w k t t l t t t +=-≠-=-∏ (k=m-1, m, m+1)11()n w r w n r w w r y y l u y y +=-≠-=-∏ (r=n-1, n, n+1)3、曲面拟合从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。
拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。
拟合系数矩阵c 通过连续两次解线性方程组求得。
[]rsc *=C ，11()()T T T --=C B B B UG G G 其中0011101011[()]1k k r i k x x x x x x x ϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，0011101011[()]1k k s j k y y y y G y y y ψ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[(,)]i j f x y =U4、观察比较计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(****⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。
数值分析(清华大学出版社)
第一章3.已知e=2.7182818..，求以下近似值A x 的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？（1）, 2.7A x e x ==； （2）, 2.718A x e x ==；（3）,0.027100A e x x ==； （4）,0.02718100A e x x ==。
解：（1）12.7182818.., 2.70.2710A x e x ====⨯ 10.01828...0.050.510A x x --=≤=⨯ 2.7A x ∴=有2位有效数字36.810A Ax x x --=⨯（2） 2.718A x =30.00028...0.00050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字 41.0410AAx x x --=⨯ （3）10.027182818...,0.0270.2710100A ex x -====⨯ 30.0001828...0.00050.510A x x --=≤=⨯ 0.027A x ∴=有2位有效数字36.810A Ax x x --=⨯（4）0.02718A x =50.0000028...0.0000050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字 41.0410AAx x x --=⨯4.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((22A A A A A A l l l l l A A εεε='=可知，若要求1))((2≤A A l ε，则2001100212))(()(2=⨯≤=Al l l A A A A εε，即边长应满足2001100±=l 。
5(1)①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin ²1°=2×0.0175²≈0.6125×310-44100917298.610125.6--⨯-⨯=0.3327具有几位有效数字则称若位有效数字具有＜x x a a a x A nk A x A n-k n 321323551010a 5.0.02106125.0105.0105.010⨯≤-⨯⋯⋯±=⨯∴⨯=⨯⨯------③()()位有效数字有＜41060919.0105.0105.0100005.010*******.010*******.6100919.61060919.0100919.69994.010349.02cos 12sin 2cos 1343744444422----------⨯∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⨯=+=︒+︒=︒-(2)位有效数字有＜！π！π4092.6105.0105.0100005.010*******.010*******.610092.610092.64902902cos 14374444442∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈︒---------6.求解方程25610x x ++=，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用73827.982≈。
2025届清华大学附中高三数学上学期第三次统练试卷附答案解析
统练3一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{11}A x x =−<<，{02}B x x =≤≤，则A B =（A ）{12}x x −<<（C ）{01}x x <≤（D ）{02}x x ≤≤（2）若复数z 满足(1i)2z −⋅=，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i + （3）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 （A ）||a b > （B ）||a b >（C ）2a ab > （D ）2ab b >（4）已知13212112log log 33a b c −===，，，则( )（A ）a b c >>（B ）a c b >>（C ）c a b >>（D ）c b a >>（5）已知函数22()log 21f x x x x =−+−，则不等式()0f x >的解集为 (A) (1,4) (B) (0,1)(4,)+∞ (C) (1,2)(D) (0,1)(2,)+∞（6）若P 是△ABC 内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（B ）12（C ）1 （D ）2（7）无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是 （A ）π12（C ）π4（D ）π3（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为 （参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（10）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧−=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e−+∞，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(0, e) （B ）(e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分. （11 ）已知tan()24θπ−=，则tan θ= ______−3（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x = 对称，若3sin 5α=, 则cos β=_______．35（13）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()+⋅=a b c ___0____；⋅=a b ___3____．1第次操作2第次操作3第次操作（14）若函数()sin(+)(0)6f x x ωωπ=>和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____2_____；()6g π=_____±1_______．（15）已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是n S ，1a a =，且1n n n S a a +=（1,2,n =）. 给出如下结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*n ∀∈N ，1n n a a +>，则a 的取值范围是(0,1)； ④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a −−<+. 其中，所有正确结论的序号是 ．①③④三、解答题 共6道小题，共85分。
【清华】第三次作业点评_48903260
第三次作业总结
第一题：
希望同学们理解何种情况下可以进行近似处理，会对今后研究带来很大便利，因此需要注明这种情况下采取近似处理的理由，不少同学验证了在题设的全过程中近似处理的条件都是满足的，这点很好。
当然，严格进行积分运算也是正确且精确的。
部分同学的运算过程叙述过于简略，希望能够详细一些
部分同学看错了题设条件，0.3是产物相对于菌体的得率系数，而不是产物相对于基质
第二题：
第1问，关于所需时间，就按照菌体量达100倍的时间回答；至于所需传代数，则应取整。
摇瓶中各个菌体细胞分裂的时间点是不同的，表现为菌体总量呈连续变化，而非阶跃变化，扩增时间实际上是一个宏观参数，统计概念。
同理，在摇瓶转接次数的计算上，也应将整体作为一个连续变化处理较为妥当，所得答案应为30次左右；部分同学认为10%接种情况中一次摇瓶培养后产生了第4代菌株，即将一次摇瓶培养代数定为4，得出需要转接25次的结论，产生较大偏差。
少数同学将第二题中的100代误看作100倍
作业较好的同学：
银航、田佳瑞、贺志敏、侯淼、黄科、刘伯民、陈新、林研贤
未交作业名单：
2009080092 符悦广，2010011880 黄苏颋，2010012222 马高建。
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（2）证明： 只需证明
n
|
a(2) ii
|
|
a(2) ij
|
0,
i
2,
3,...,
n
j2
ji
由于
a(2) ij
aij
li1a1 j
则
n
n
|
a(2) ii
|
|
a(2) ij
|
|
aii
li1a1i
|
| aij li1a1 j |
j2
j2
ji
ji
| aii
|
n
|
j2
aij
|
n
| li1a1 j
A2
再证 的正定性，只要证明 的顺序主子式
a(2) 22
A2
a(i) ii
0
a(n) nn
易得将 作 Gauss 消去，最终得到
由于这种变换不改变矩阵的行列式，则
i1
a(2) 22
a(3) 33
...ai(ii)
,
i
2,3,..., n
由于 A 对称正定，则
，因此
，即 的顺序主子式大于零
综上， 对称正定。
又由于
A=
240 -179.5
-319.5 240
，A
1
0.96096 0.71872
1.2793
0.96096
A
0 0.5
0.5
0
,||
A
||
79.5,||
A 1
||
2.24,||
A
||
0.5
则，cond ( A) || A |||| A1 || 178.08
||
|| x || x x ||
第二步，选择 作为主元，则
0.61077 l32 2.0028 0.30496
消去，得
3.9960
( A(3)
|
b(3) )
0
0
5.5625 2.0028
0
回代计算得到方程的解为
4 7.4178
2.0020
0.40371
0.39047 0.35158
x1 1.92729, x2 0.69847, x3 0.90040
cond2 ( AU ) || AU ||2 || ( AU )1 ||2 [(( AU )T AU )]2[((( AU )1)T ( AU )1)]2
(( AU )T AU ) ( AU ( AU )T ) ( AUU T AT ) ( AAT )
((( AU )1)T ( AU )1) ((U 1A1)T U 1A1) (( A1)T (U 1)T U 1A1)
|| x x|| 1 || r || || x || cond ( A) || b ||
综上， 1 || r || || x x|| cond ( A) || r ||
cond ( A) || b || || x ||
|| b ||
（资料素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
cond ( A)
|| A || || A ||
1.12
|| x || 1.12 || x x || 4.48
与实际的
相比很接近。
18 定理 3.2 证明： （1）、
AA1 I || AA1 |||| I || 1 || A || || A1 || cond ( A)
cond ( A) 1 cond ( A) || A || || A1 |||| A1 || || ( A1)1 || cond ( A1) cond ( A) cond ( A1) cond ( A) || A || || ( A)1 |||| A || || A 1 1 ||| 1 ||| A || || A1 || cond ( A) cond ( A) cond ( A), R, 0
1, n为A按模最大和最小的特征值，则n1, 11分别为A-1按模最大和最小的特征值 由于||A|| (A)
cond(A)=||A||
||A1||
(A) (A 1 )=|1
|
|
1 n
||
1 n
|
1
cond2 (A)=[(AT A)((A1)T A1)]2
若A为是对称阵，则AT =A, (A1)T ( AT )1 A1
j2
j 1
ji
ji
则 严格对角占优。
13.
解：显然 A 对称，
根法求得下三角矩阵 L 为
4
L=
1
2
2 3 3
由
得
，再由
得
，则 A 为对称正定矩阵，用平方
16. 解：容易得到两个方程的解为
x1 x2
8 6
,
x1 x2
x1 x2
4 3
则实际的 为
x (4,3)T 则实际的|| x|| =4
|| x || || b ||
|| x x|| ||A1|| ||r|| || A || cond ( A) || r ||
|| x ||
|| b ||
|| b ||
同理，由A(x x) r得|| x x|| || r || || A ||
由x=A1b得
||
1 x
||
||
b
||
1 ||A1||
12. （1）证明：
先证明 的对称性，易得
a(2) ij
aij
li1a1
j
,
a
(2 ji
ห้องสมุดไป่ตู้
)
a ji
l aj1 1i ,i
2,3,..., n,
j
2,3,..., n
由于A对称正定，则
aij
=a
ji，li1a1
j
=
ai1a1 a11
j
a1ia j1 a11
l aj1 1i
则
a(2) ij
=a
(ji2)，即AT2
(AT
A)
(AA)=|1
|2
,
((A1)T
A1
)
(A 1A 1 )=
|
1 n
|2
cond2 (A)
|
1 n
|
（3）、
（4）
定理 3.3 证明：
由Ax b和A x b r可得
A(x x) r, x x A1r 所以有
|| x x|| ||A1|| ||r|| 又由于||b||=||Ax|| ||A|| ||x|| 1 || A ||
j2
|
|
aii
|
n
| aij
j2
| |
ai1 a11
|
n
|
j2
a1 j
|
ji
ji
由于 A 严格对角占优，则
n
n
n
| a1 j |
| aii
|
| aij
j 1
|,| a11 |
| a1 j
j2
|, 则
j2
| a11 |
1
ji
n
n
|
a(2) ii
|
|
a(2) ij
|
|
aii
|
| aij | 0
（2）、
1
1
cond2 ( A) || A ||2 || A1 ||2 [( AT A)]2[(( A1)T A1)]2
由于A为正交矩阵，AT A=I, A1 AT , ( A1)T A1 AAT I
( AT A) (( A1)T A1) (I ) 1
cond2 ( A) 1
1
1
(( A1)T UU 1A1) (( A1)T A1)
1
1
[(( AU )T AU )]2 || A ||2,[((( AU )1)T ( AU )1)]2 || A1 ||2
cond2 ( AU ) cond2 ( A)
同理，cond2 (UA) cond2 ( A)
综上，cond2 ( A)=cond2 ( AU )=cond2 (UA)
11.
l21
1 3.996
0.25025
l31
0.002 3.996
0.0005005
解：计算中保留 5 位有效数字，第一步，选取 作为主元，则
消去，得
3.9960
(
A(2)
|
b(2)
)
0
0
5.5625 0.61077
2.0028
4 7.4178
1.0010
0.47470
2.0020 0.40371