数据的基本分析—— 数据特征值的计算

但由于每个样本在很多情况下不会一样大， 但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应 将这一平方和（ ）平均一下， 将这一平方和（SS）平均一下，以利于比较 如上例的两批数据： 如上例的两批数据： 23，25，26，31，45，47，48 其平均值为 35 离均差平方和为 SS＝754，用自由度平均一下，得 ，用自由度平均一下， 125.667 23，32，34，34，37，37，48 其平均值为 35 离均差平方和为 SS＝332，用自由度平均一下，得 ，用自由度平均一下， 55.333 显然第二个样本较第一个样本要集中一些
µ ,σ
2
样本： 样本：
x ±统计量 是s
x , s
2
标准差的计算公式 总体标准差 标准差： 总体标准差： 标准差： 样本标准差 样本标准差：
s =
σ =
∑ (x
i
−µ)
2
N
− x
=
∑
∑
xi
2
(∑ x ) −
i
2
N
N
xi
2
∑ ( xi
)
2
n −1
=
(∑ −
n −1
xi ) n
2
上面两个式子中， 上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从 前面部分变来的，请同学们作为作业自行推导 前面部分变来的，请同学们作为作业自行推导 作业 比较两个公式的不同，我们会发现： 比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用 来得到， 总体含量 N 来得到，而样本标准差则用 n-1 来得 到
n-1 在这里称为自由度（degree of freedom df） 在这里称为自由度 自由度（ ） 自由度的含义和说明 的样本来说， 对于样本容量为 n 的样本来说，每一个观测值都有 一个离均差， 个离均差， 一个离均差，即 n个离均差，由于受 ∑( x − x ) = 0 的 个离均差 限制， 个离均差是自由的， 限制，只有 n-1个离均差是自由的，有一个离均差 个离均差是自由的 失去了自由 失去了自由 在统计学中， 在统计学中，若某个统计量的计算受到 k个条件的限 个条件的限 制，则其自由度就为 n-k，在估计样本方差时受到 ， 了平均数的限制， 了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是 n-1； ； 估计平均数时没有限制条件， 估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由 度就是 n
样本方差有一个十分重要的作用， 样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总 体方差由于 x ≠ µ ，根据平均数的第二个性质可 知， ( xi − x ) ∑
s2 =
2
必小于 ∑( xi − µ )
2
，因此如用 必定偏小
∑( xi − x )
2
n
来估计σ 2 =
∑( xi − µ)
2
N
将分母改为 n-1，则可适当增大 s 2 值，使样本方差 ， 的数学期望更接近于总体方差 因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好 地、无偏（unbias）地估计总体方差 无偏（ ）
极差（ 极差（range
R）
将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差 将资料中的最大值数据减去最小值数据 即为极差 显然，一批数据不管其样本量有多大， 显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总 是只用两个值，一个最大值，一个最小值， 是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余 数据都没有用上，因此这是不合理的， 数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统 计学意义， 计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比 较，如以下两个样本： 如以下两个样本： 23，25，26，31，45，47，48 23，32，32，34，36，36，48 其极差为 25 其极差为 25
−1
分组资料几何平均值的计算公式为： 分组资料几何平均值的计算公式为：
1 G = lg ∑ f i lg xi n
−1
算术平均数一般用在加性（ 算术平均数一般用在加性（additive）资料、或称线 加性 ）资料、或称线 性（linear）资料中 ） 所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的， 所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的， 或每一个数据可分解成若干个可加的部分， 或每一个数据可分解成若干个可加的部分，如人 可加的部分 体和动物体的身高、体重等外形性状， 体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家 畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近 畜的生理、生化数值等， 似服从正态分布 几何平均数一般用在非加性（ 几何平均数一般用在非加性（non-additive）或非线 非加性 ） 性（non-linear）资料中，如平均增长率、药物或 ）资料中，如平均增长率、 疫苗的平均效价、 疫苗的平均效价、抗体滴度等
显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大， 显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大， 但仅从极差上是看不出来的， 但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极 差都等于 25
方差（ 方差（variance V 2 s2 ） σ 合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的 过程中去，将某一个数据均与平均值相比较， 过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即 某一个数据均与平均值相减 显然有多少个数据，就有多少个差值， 显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值 之和必为 0（算术平均数的第一个性质） （算术平均数的第一个性质） 将这些差值平方以后再相加， 将这些差值平方以后再相加，得到一个值 这个值不会等于 0，且由于各个差值都平方了，其 ，且由于各个差值都平方了， 中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明 显了
f1 x1 + f 2 x2 + ... + f k xk w= = f1 + f 2 + ... + f k
∑ f x =∑ f x ∑f
i i i
i i
是频数： 加权法第二式中的 f i是频数： n n 而 ∑ fi = 1 fi = i = i
∑n
i
n
表示，在很多情况下， 加权平均值用 w 表示，在很多情况下， w 与算术平 x 不一定相等， 均值 不一定相等，特别是当我们用组距式分组法 xi 中每一组的组中值作为每一组的组平均值 时更是 如此 直接法所得到的平均值有两个基本性质： 直接法所得到的平均值有两个基本性质： 1、离均差之和为零，用公式表示，即 、离均差之和为零，用公式表示，
∑x µ=
N
i
但一般情况下，总体平均值总是未知的 但一般情况下，总体平均值总是未知的，需要用样 未知 本平均值来进行估计 因此，样本的代表性 估计， 代表性就显 本平均值来进行估计，因此，样本的代表性就显 得尤为重要
几何平均值（ 几何平均值（geometric mean）主要用于非线性数 ） 据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、 据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效 价、抗体滴度等的平均值 表示： 几何平均值用 G 表示：
n
∑
i =1
i
n
∑
2、加权法 在次数分布表或资料分类的基础上进 、 行计算， 行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平 均值（ 均值（weighted mean） ） n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk ∑ ni xi w= = n1 + n2 + ... + nk ∑ ni 或：
∑(x − xБайду номын сангаас = 0
2、离均差平方和为最小，即 、离均差平方和为最小，
2
a 其中， 的任意一个数： 其中， 为不等于 x 的任意一个数：a ≠ x
∑( x − x ) < ∑( x − a)
2
用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很 重要， 重要，同学们可以自己加以证明 需要指出的是， 需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质 因此，一般不计算加权平均值） （因此，一般不计算加权平均值） 对于总体来说，我们通常用 µ 表示其平均数 对于总体来说， 当总体为有限，且总体容量为 N 时，总体平均值的 当总体为有限， 计算公式为： 计算公式为：
在本专业的统计和日常工作中， 在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何 平均值最为常见， 平均值最为常见，使用最频繁 调和平均数一般用在速度类问题方面 众数、 众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多
算术平均数（ 算术平均数（arithmetic mean）是最常用的平均值， ）是最常用的平均值， 简称为平均值， 简称为平均值，或均值 算术平均数有两种计算方法： 算术平均数有两种计算方法： 1 n 1 1、直接法 、 x = x = x
第三章
数据的基本分析
本章提要
算术平均数和几何平均数的计算 算术平均数的性质 极差、方差和标准差的计算 方差与标准差之间的关系 标准差的性质
平均值——数据集中性 第一节 平均值 数据集中性
平均值的计算 平均值的计算 平均值（ 平均值（mean、average）——观测值的平均 、 ） 观测值的平均 水平和集中趋势的表示 常用的平均值有： 常用的平均值有： 算术平均数 调和平均数 中位数 几何平均数 众数 百分位数
变异数的计算 变异数的计算 变异数（ 观测值离散程度的表示， 变异数（variable）——观测值离散程度的表示， ） 观测值离散程度的表示 用来表示平均值代表性的强弱 变异数大，说明数据离散程度大， 变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性 反之，变异数小，说明数据离散程度小， 差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平 均值的代表性好 因此， 因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描 述是不够的， 述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的 统计量 常用来表示数据离散性的变异数有以下几个： 常用来表示数据离散性的变异数有以下几个： 极差 方差 标准差
调和平均值（ 调和平均值（harmonic mean）一般用在平均速度、 ）一般用在平均速度、 “有效群体”等方面，其公式为： 有效群体”等方面，其公式为：