浙江高考数学二轮复习模拟试卷及答案

浙江高考数学二轮复习模拟试卷及答案（2套）
模拟试题一
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U ＝{－1，0，1，2}，A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，则∁U A ＝( ) A ．{2} B ．{0，2} C ．{－1，2}
D ．{－1，0，2}
2．设复数z ＝2－i
1＋i ，则z 的共轭复数为( )
A.12－32i B ．12＋32i
C ．1－3i
D ．1＋3i 3．在△ABC 中，“A >π3”是“sin A >3
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设a ＝log 12
3，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1
2，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．25
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，
a x －6，x >7，
数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是
递增数列，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫
94，3 B ．⎣⎡⎭⎫
94，3 C ．(1，3)
D ．(2，3)
7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －3≤0，
x ∈N ，y ∈N ，则|x －3y |的最大值是( )
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
8．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，
F 2是双曲线的两个焦点，且2|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )
A.13 B ．
132
C ．13
D ．132
9．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB >BC ，O 为AC 的中点，P 为△ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，设二面角P －AB －C 的大小为α，二面角P －BC －A 的大小为β，则( )
A ．α<β
B ．α>β
C ．α＝β
D ．α，β的大小与点P 的位置有关
10．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( )
A.29
B ．29－3 2 C.19－2 3 D ．5
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．椭圆x 24＋y 2
3
＝1的长轴长是________，离心率是________．
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．
13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 14．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝________；a 7＝________．
15.如图，△ABC 是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，AB ＝13，则△EDF 的面积为________．
16．设点P 是△ABC 所在平面内动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →
，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|AB →
|＝3，则△ABC 的面积最大值是________．
17．记max{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≥q
q ，p ＜q
，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈
R ，则M (x ，y )的最小值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －1
2
的最小正周期为π，
ω＞0.
(1)求f (x )的表达式；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求f (x )的最大值和最小值．
19.(本题满分15分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π
3
.
(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；
(2)设CE →＝λCC 1→
(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．
20．(本题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6.(n ∈N *
)
(1)设C n ＝log 5(a n ＋3)，求证{C n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设b n ＝1a n －6－1a 2n ＋6a n
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：－516≤T n <－14.
21．(本题满分15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点M (m ，－2)与其焦点的距离为2.
(1)求实数p 与m 的值；
(2)如图所示，动点Q 在抛物线C 上，直线l 过点M ，点A ，B 在l 上，且满足QA ⊥l ，QB ∥x 轴．若|MB |2
|MA |
为常数，求直线l 的方程．
22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋mx (m ∈R )． (1)当m ≠0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)有这样的结论：若函数p (x )的图象是在区间[a ，b ]上连续不断的曲线，且在区间(a ，b )内可导，则存在x 0∈(a ，b )，使得p ′(x 0)＝p （b ）－p （a ）
b －a .已知函数f (x )在(x 1，x 2)上可导(其
中x 2>x 1>－1)，若函数g (x )＝f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
(x －x 1)＋f (x 1)．证明：对任意x ∈(x 1，x 2)，都
有f (x )>g (x )．
答案及解析
1．解析：选A.因为A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，所以A ∈{－1，0，1}，所以∁U A ＝{2}，故选A. 2．解析：选B.z ＝2＋i 1－i
＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋3
2i.
3．解析：选B.取A ＝2π3，则sin A ＝3
2，
由sin A >
32⇔π3<A <2π
3
. 所以“A >π3”是“sin A >3
2
”的必要不充分条件．
4．解析：选A.因为a ＝log 123<log 12
2＝－1，0<b ＝⎝⎛⎭⎫
130.2
<1，c ＝2>1，所以a <b <c . 5．解析：选D.根据题意可分以下三种情况：①考生甲选物理不选化学，有C 25
种选考方法；②考生甲选化学不选物理，有C 25种选考方法；③考生甲同时选物理和化学，有C 1
5种选考方法．根据分类加法计数原理可知，考生甲的选考方法的种数为C 25＋C 25＋C 15＝25.
6．解析：选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )，n ∈N *， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）
⇒2<a <3.
7．解析：选B.约束条件对应的可行域如图中阴影部分内整点：令z ＝x －3y 知z max ＝3－3×0＝3，z min ＝1－3×2＝－5，－5≤z ≤3，0≤|z |≤5，所以|x －3y |的最大值为5.故选B.
8．解析：选A.
由于⎩⎪⎨⎪
⎧2|PF 1|＝3|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2a |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2
，令|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝2t ，所以t ＝2a ，13t 2＝4c 2.所以13×4a 2
＝4c 2，所以
c 2＝13a 2.所以
e 2＝
c 2
a 2
＝13，所以e ＝13，故选A. 9．解析：选B.
如图，分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接OP ，OM ，ON ，PM ，PN ，则OM ∥BC ，ON ∥AB .因为∠ABC ＝90°，所以OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，又P A ＝PB ＝PC ，所以PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，所以AB ⊥平面PMO ，BC ⊥平面PNO ，所以AB ⊥PO ，BC ⊥PO ，所以PO ⊥平面ABC ，易知∠PMO 为二面角P －AB －C 的平面角，∠PNO 为二面角P －BC －A 的平面角，即α＝∠PMO ，β＝∠PNO ，则tan α＝PO OM ，tan β＝PO
ON .因为AB >BC ，所以ON >OM ，所以tan
α>tan β，α>β，选B.
10．解析：选A.设c ＝(x ，y )，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则x 2＋y 2＝1，从而|a ＋2c |＋|3a ＋
2b
－
c |
＝
（2x ＋1）2＋（2y ）2＋
（x －3）2＋（y －2）2＝3（x 2＋y 2）＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋
（x －3）2＋（y －2）2
＝
（x ＋2）2＋y 2
＋
（x －3）2＋（y －2）2≥52＋22＝29，等号可取到． 11．解析：因为a ＝2，所以2a ＝4， 因为b ＝3，所以c ＝1， 所以c a ＝12.
答案：4 1
2
12．解析：
根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体截去一个三棱锥后剩下的几何体，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积S ＝3×2×2＋2×（1＋2）×22＋12×2×2＋
1
2
×22×5－2＝20＋6，体积V ＝23－13×12×1×2×2＝22
3
.
答案：20＋6
22
3
13．解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5a 1＋4d ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝7
d ＝－1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，所以a 7＝8－7＝1， S 7＝7×（a 1＋a 7）
2＝28.
法二：a n ＝a 3＋(n －3)×
a 5－a 32＝8－n ，S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）
2
＝
7×（5＋3）
2
＝28. 答案：8－n 28
14．解析：令x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝310＝59 049. 令x －1＝y ，则(1＋2y )10＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 10y 10，
得a 7＝C 71027
＝15 360.
答案：59 049 15 360
15．解析：由题意知DB ＝AF ＝CE ，设DB ＝x ，则AD ＝3AF ＝3x ，在△ABD 中，∠ADB ＝120°，根据余弦定理得AB 2＝AD 2＋DB 2－2AD ·DB cos 120°，即13＝9x 2＋x 2＋3x 2＝13x 2，解得x ＝1，所以DF ＝2x ＝2，因此△DEF 的面积为
3
4
×22＝ 3. 答案： 3
16．解析：由3λ2＋2μ＝1(λ，μ∈R )知可配凑CP →＝3λ2·2CA →3＋2μ·CB →
2＝3λ2·CD →＋2μ·CE →
，故
P ，D ，E 三点共线．又由|P A →|＝|PB →|＝|PC →
|知，点P 为△ABC 的外接圆圆心．如图可知PE 是AB 的中垂线，故CD ＝BD ，且|BD ||AD |＝|CD |
|AD |
＝2，设点D (x ，y )，
则（x －3）2＋y 2
x 2＋y 2＝2，化简得(x ＋1)
2＋y 2＝4 所以S △ABC ＝3S △ABD ≤3·1
2·3·r ≤9.
答案：9
17．解析：由M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，可知当|x 2＋y ＋1|＝|y 2－x ＋1|时，M (x ，y )取得最小值，即x 2＋y ＋1＝y 2－x ＋1或x 2＋y ＋1＝－(y 2－x ＋1)，解得x ＝－y 或x ＝
y －1或(x －12)2＋(y ＋12)2＝－32(舍)．当x ＝－y 时，M (x ，y )＝y 2＋y ＋1＝(y ＋12)2＋34≥3
4；当x
＝y －1时，M (x ，y )＝x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74，所以M (x ，y )的最小值为3
4
.
答案：3
4
18．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －1
2
＝3
2sin 2ωx ＋1－cos 2ωx 2－12 ＝
32sin 2ωx －1
2
cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 因为f (x )的最小正周期为π，故T ＝2π
2ω＝π，所以ω＝1，
所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.当2x －π
6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，f (x )单调递增；当2x －π6∈⎝⎛⎦⎤π2，5π6， 即x ∈⎝⎛⎦⎤π3，π2时，f (x )单调递减； 又f (0)＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12
.
所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，f (x )min ＝f (0)＝－1
2
. 19．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1，在△BCC 1
中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3
，
BC 21＝BC 2＋CC 2
1－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cos π3
＝3， 所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1
，而BC ∩AB ＝B ， 所以C 1B ⊥平面ABC .
(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
则B (0，0，0)，A (0，1，0)，B 1(－1，0，3)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)． 所以CC 1→＝(－1，0，3)，所以CE →
＝(－λ，0，3λ)，E (1－λ，0，3λ)， 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→
＝(－1，－1，3)．
设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0
－x －y ＋3z ＝0，
令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝3
2－λ，
故n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1
E 的一个法向量．
因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →
＝(0，1，0)是平面BB 1E 的一个法向量， 所以|cos 〈n ，BA →
〉|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪n ·BA →|n ||BA →|＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪32－λ
1×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2
＋（3）
2
＝3
2. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0， 所以λ＝1或λ＝3
2
(舍去)．
20．解：(1)证明：由a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6得a n ＋1＋3＝(a n ＋3)2
，
所以log 5(a n ＋1＋3)＝2log 5(a n ＋3)，即C n ＋1＝2C n ， 所以{C n }是以2为公比的等比数列． (2)又C 1＝log 55＝1，所以C n ＝2n －
1， 即log 5(a n ＋3)＝2n －
1，所以a n ＋3＝52n －
1 故a n ＝52n －
1－3.
(3)证明：因为b n ＝1a n －6－1a 2n ＋6a n ＝1a n －6－1a n ＋1－6，
所以T n ＝1a 1－6－1a n ＋1－6＝－14－1
52n －9.
又0<152n －9≤152－9＝1
16，
所以－516≤T n <－1
4
.
21．解：(1)设焦点为F ，由题意得|MF |＝m ＋p
2＝2，
又点M (m ，－2)在抛物线上，故2pm ＝4. 解得p ＝2，m ＝1.
(2)设直线l 的方程为t (y ＋2)＝x －1，Q ⎝⎛⎭⎫y 2
04，y 0.
则y B ＝y 0，所以|MB |＝1＋t 2|y 0＋2|. 取直线l 的一个方向向量e ＝(t ，1)，
则MQ →＝⎝⎛⎭⎫y 2
04－1，y 0＋2.
|MA |＝
|MQ →
·e |t 2＋1
＝
⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 2
04
－1t ＋y 0＋2t 2＋1
.
故|MB |2|MA |＝（t 2＋1）1＋t 2（y 0＋2）2
⎪⎪⎪
⎪
⎝⎛⎭⎫y 2
04－1t ＋y 0＋2. 则t ＝1，定值为82，此时直线l 的方程y ＝x －3. 22．解：(1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1＋mx ＋m x ＋1＝m ⎝
⎛⎭⎫
x ＋
m ＋1m x ＋1.
当m >0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1
m <0，
即－m ＋1
m <－1，
因为x >－1， 所以f ′(x )>0，
所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．
当m <0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1
m >0，即－m ＋1m >－1，
由f ′(x )>0，解得－1<x <－m ＋1
m ，
由f ′(x )<0，解得x >－m ＋1
m
，
所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－m ＋1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－m ＋1
m ，＋∞上单调递减．
(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
(x －x 1)－f (x 1)，则h ′(x )＝f ′(x )－
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
.
因为函数f (x )在区间(x 1，x 2)上可导，则根据结论可知，存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，又f ′(x )＝1
x ＋1
＋m ，
所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)
＝
1x ＋1－1
x 0＋1＝x 0－x （x ＋1）（x 0＋1）
. 当x ∈(x 1，x 0]时，h ′(x )≥0，从而h (x )单调递增， 所以h (x )>h (x 1)＝0；
当x ∈(x 0，x 2)时，h ′(x )<0，从而h (x )单调递减， 所以h (x )>h (x 2)＝0.
故对任意x ∈(x 1，x 2)，都有h (x )>0，即f (x )>g (x )．
模拟试题一
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1，2} B ．{－1，1，2} C ．{0，1，2}
D ．{－1，0，1，2}
2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(3－i)(1＋3i)，则复数z 的实部为( ) A. 3 B ．2 3 C ．0
D ．2
3．已知α∈[0，π]，则“α＝π4”是“sin α＝2
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≤0，x －y －2≥0，y ≥－1，则z ＝2x ＋3y 的最大值是( )
A ．－1
B ．1
C ．5
D ．13
2
5．函数y ＝cos 2x ·ln|x |的图象可能是( )
6．已知0＜a ＜1
4
，随机变量ξ的分布列如下：
当a A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小
D ．
E (ξ)减小，D (ξ)减小
7．已知△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →
在向量BC →
方向上的投影为( )
A.12 B ．
32 C ．－12
D ．－
32
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．6
B ．6 2
C ．14
D ．14 2
9．已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( )
A ．lg x
B ．－x 2＋2x
C ．2x
D ．sin x
10．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝________，a·b ＝________．
12．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是________，最短弦长为________．
13．设(2x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，其中a i (i ＝0，1，…，8)是常数，则a 3＝________，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________．
14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
将f (x )的图象向左平移π
3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的
值为________，此时函数f (x )在区间(0，π
3
)上的值域是________．
15．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足：CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB
→
＝________．
16．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，
则实数b 的取值范围是________．
17．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，AD ＝1，AF ⊥平面ABC ，且AF ＝3.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△DAE 翻折成△D ′AE ，M 为BD ′的中点，则三棱锥M －BCF 体积的最小值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝4
5，
cos ∠ACB ＝5
13
，BC ＝13.
(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．
19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD .
(1)证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；
(2)求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．
20．(本题满分15分)设函数f (x )＝23＋1
x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，
且n ≥2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1
，若S n ≥3t
4n 恒成立，求实数t 的取值
范围．
21.(本题满分15分)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线
的交点)，直线CG 交y 轴于点D .
(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB |
|OD |
的值．
22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝ln x x 2＋x .
(1)求函数f (x )的导函数f ′(x )；
(2)证明：f (x )＜1
2e ＋e
(e 为自然对数的底数)．
答案及解析
1．解析：选D.因为A ＝{－1，1，2}，B ＝{x ∈N |－1<x ≤2}＝{0，1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}，故选D.
2．解析：选B.复数z ＝(3－i)(1＋3i)＝3－3i 2－i ＋3i ＝23＋2i ，所以复数z 的实部为2 3.
3．解析：选A.若α＝π4，则sin α＝2
2，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α
＝
22，则α＝π4或α＝3π4，故必要性不成立．故“α＝π4”是“sin α＝2
2”的充分不必要条件． 4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝52
，y ＝12，
故A (52，1
2)．作出直线2x ＋3y ＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(52，12)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，故z max ＝2×52＋3×12＝13
2
.
5．解析：选D.由于函数y ＝cos 2x ·ln|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此可以排除A ，B 两个选项；当0<x <π
4
时，y ＝cos 2x ·ln|x |<0，所以排除C ，故选D.
6．解析：选A.E (ξ)＝－3
4＋a ，a 增大时，E (ξ)增大，
D (ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a 2＋52a ＋3
16
＝－⎝⎛⎭⎫a －542
＋28
16
， 当a ∈⎝⎛⎭
⎫0，1
4时，a 增大，D (ξ)增大．故选A. 7．解析：选A.因为AB →＋AC →＝2AO →
，所以点O 为BC 的中点，因为O 是三角形的外心，所以△ABC 是直角三角形， 且A 是直角，OA ＝BO ，因为|OA →|＝|AB →
|，所以△ABO 是正三角形，所以BA →在BC →方向上的投影等于|BA →
|·cos 60°＝12
.
8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A -BCDE 所示，故S 四边形BCDE ＝1
2×4×4
－1
2
×2×2＝6，四棱锥A -BCDE 的高h ＝3，故该几何体的体积V ＝
13S 四边形BCDE h ＝1
3
×6×3＝6，故选A. 9．解析：选D.对于选项A ，由于f (x )＝lg x 在x >0上是增函数，值域是R ，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项B ，f (x )＝－x 2＋2x 在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项C ，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |恒成立；对于选项D ，f (x )＝sin x 在x >0时的值域为[－1，1]，总存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，故选D.
10．解析：选C.由题意可得，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝（S 4＋5）2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2
S 4×25
S 4
＋10＝20，当且仅当
S 4＝5时等号成立．所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.选C.
11．解析：由|a ＋2b |2＝|a |2＋4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝4＋4|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝1，所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a·b 〉＝1.
答案：1 1
12．解析：直线l 过定点(0，1)，圆C 可化为(x －1)2＋y 2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，易知此时k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1.所以圆心到直线的距离为d ＝|1－0＋1|2
＝2，故最短弦长为24－（2）2＝2 2.
答案：y ＝x ＋1 2 2
13．解析：(2x －1)8展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x )8－
r ·(－1)r ，当8－r ＝3，即r ＝5时，a 3
＝C 58×23×(－1)5
＝－448.令x ＝1，得a 8＋a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝1，令x ＝－1，得a 8－a 7＋
a 6－…－a 1＋a 0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－6 560，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－3 280.
答案：－448 －3 280
14．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，可得函数的最小正周期T ＝
2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f (x ＋π
3)＝2sin[2(x ＋π3)＋φ]＝2sin[2x ＋(2π3＋φ)]，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin(2x －π6)．设t ＝2x －π
6，因为x ∈(0，π3)，所以t ∈(－π6，π2)，故sin t ∈(－12，1)，所以函数f (x )在区间(0，π
3
)上的值域为(－1，2)． 答案：－π
6
(－1，2)
15．解析：通解：如图，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (23，0)，B (3，3)，所以CA →＝(23，0)，CB →
＝(3，3)，所以CM →＝16(3，3)＋23(23，0)＝(332，12)，所以M (332，12)，MA →
＝(32，
－12)，MB →＝(－32，52)，所以MA →·MB →
＝32×(－32)＋(－12)×52
＝－2. 优解：MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(13CA →－16CB →)·(56CB →－23CA →)＝718CA →·CB →－29CA →2－
536CB →2＝718×23×23cos60°－29×(23)2－5
36
×(23)2＝－2. 答案：－2
16．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的
实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，
⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，
得－32<b <－ 2.
答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解析：三棱锥M -BCF 的底面三角形BCF 是固定的，又
AF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AF ⊥BC .又在矩形ABCD
中，BC ⊥AB ，AB ∩AF ＝A ，所以BC ⊥平面ABF .又BF ⊂平面ABF ，
所以BF ⊥BC ，所以S △BCF ＝12
BC ·BF ＝3，所以要求三棱锥M -BCF 体积的最小值，只需求点M 到平面BCF 的距离h 的最小值即
可．因为M 为BD ′的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ′
到平面BCF 的距离h ′的一半．因为E 为DC 上的动点．且AD ′
＝1，所以D ′的轨迹为以A 为球心，1为半径的球面的一部分．作
AG ⊥BF 交BF 于点G ，当D ′为AG 与球面的交点时，h ′最小，此时h ′＝AG －AD ′＝32
－1＝12，所以V M ­BCF ≥13×12×12×3＝312
. 答案：312
18．解：(1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35
. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213
. 所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]
＝－cos(A ＋∠ACB )
＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB
＝35×1213－45×513
＝1665
. (2)在△ABC 中，由正弦定理得，AB ＝BC sin A ×sin ∠ACB ＝1335
×1213
＝20. 又AD ＝3DB ，所以BD ＝14
AB ＝5. 在△BCD 中，由余弦定理得，
CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝
52＋132－2×5×13×1665
＝9 2. 19．解：(1)由题意知AM ⊥BD ，
又因为AC ′⊥BD ，
所以BD ⊥平面AMC ′，
因为BD ⊂平面ABD ，
所以平面AMC ′⊥平面ABD .
(2)在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接FD . 由(1)知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．
设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BC ＝3，MD ＝2－3，
DC ＝DC ′＝33－2，AD ＝6－ 2.
在Rt △C ′MD 中，MC ′2＝C ′D 2－MD 2
＝(33－2)2－(2－3)2＝9－4 3.
设AF ＝x ，在Rt △C ′F A 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2，
即4－x 2＝(9－43)－(x －1)2，
解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2.
所以C ′F ＝223－3.
故直线C ′D 与平面ABD 所成角的正弦值为C ′F AF ＝23－33－1
. 20．解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭
⎫1a n －1得，a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2， 所以{a n }是首项为1，公差为23
的等差数列． 所以a n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13
，n ∈N *. (2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33
， 所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝
⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 则S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1
＝92⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3.
故S n ≥3t 4n 恒成立等价于3n 2n ＋3≥3t 4n ，即t ≤4n 2
2n ＋3
恒成立． 令g (x )＝4x 2
2x ＋3(x >0)，则g ′(x )＝8x （x ＋3）（2x ＋3）2
>0， 所以g (x )＝4x 2
2x ＋3
(x >0)为单调递增函数． 所以当n ＝1时，4n 22n ＋3取得最小值，且⎝⎛⎭⎫4n 22n ＋3min ＝45. 所以t ≤45
，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，45. 21．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，
即y ＝2x 0x －x 20.
(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭
⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12
x 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0y ＝x 2
，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0. 因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.
由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m
2.
所以（1－mx 0）216m 4＝x 2012m 2
， 解得mx 0＝－3±23，
所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43
， 故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪
⎪y B y D ＝43±6. 22．解：(1)f ′(x )＝
x ＋1－（2x ＋1）ln x （x 2＋x ）2. (2)设g (x )＝x ＋12x ＋1
－ln x ＝12＋14x ＋2－ln x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (e)>0，g (e)<0， 所以存在x 0∈(e ，e)，使g (x 0)＝0， 即x 0＋12x 0＋1
－ln x 0＝0， 所以x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，
所以f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)上单调递增，在区间(x 0，＋∞)上单调递减．
所以f (x )≤f (x 0)＝ln x 0x 0（x 0＋1）＝1x 0（2x 0＋1）<12e ＋e
.。