第11章动量矩定理资料

i 1
称为刚体对于 z 轴的转动惯量，于是
LZ JZ
11.2 动量矩定理
11.2.1 质点的动量矩定理
质点对定点O的动量矩
MO (mv ) r mv
作用力F 对同一点O的矩
MO(F) r F
将动量矩对时间取一阶导数，得
d
d
dr
d
dt
MO (mv )
dt
(r
mv )
dt
mv r
M0 (Fi(i) )
n i 1
M0 (Fi(e) )
而
n
M 0 (Fi(i) ) 0
i 1
n d
dn
d
i1 d t M0 (mivi ) d t i1 M0 (mivi ) d t L0
所以
d
dt
ห้องสมุดไป่ตู้
L0
n i 1
M0 (Fi(e) )
11.2 动量矩定理
d
dt
L0
n i 1
M0 (Fi(e) )
11.2 动量矩定理
解：取整体为研究对象,其受力分析如图示。
以顺时针为正，则
Lo Jω mvR
Fy
MO
F (e) i
M mg sin θ R
FN
a
Fx
P
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
d dt
J
mvR
M
mg
sin
R
mg
因 v
R
dv dt
a
得 a MR mgR 2 sin
J mR 2
将如何运动？（轮重不计）
解：取系统
MO(F(e)) 0
系统对O轴的动量矩守恒
0mAvArmB (vvA)r
vA
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样
11.3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力：F1 ，F2 ，……，Fn 轴承约束力：FN1 ，FN2
若轴承摩擦忽略不计，由质点系对z轴的动量矩定理，有
(F
)
上式为质点动量矩定理：
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对
同一点的矩。
11.2 动量矩定理
d dt
MO (mv)
MO (F )
上式在过O点的直角坐标轴上的投影式
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv )
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
11.2 动量矩定理
如果 M x (Fi(e) ) 0 则 Lx 常量。
上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。
11.2 动量矩定理
例：高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的 半径为R，转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩M，小 车和矿石总质量为m，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各 处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。
2020年10月8日
第11章 动量矩定理
11.1 质点和质点系的动量矩 11.2 动量矩定理 11.3 刚体绕定轴的转动微分方程 11.4 刚体对轴的转动惯量 11.5 质点系相对于质心的动量矩定理 11.6 刚体的平面运动微分方程
11.1 质点和质点系的动量矩
11.1.1 质点的动量矩
质点对于点O的动量矩——质 点Q的动量对于点O的矩。即
LO
z
LZ
11.1 质点和质点系的动量矩
刚体作平移：
LO rC mvC
可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。
刚体作定轴转动：
刚体对转轴的动量矩为
n
n
LZ M Z (mivi ) miviri
i 1
i 1
n
n
miriri miri2
i 1
i 1
n
令 miri2 J Z ,
MO (F (e) ) (m1 m2 )gr
m1
vA m1g
vB
m2
m2g
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
(m1
m2
1 2
m)r
2
d
dt
(m1
m2
)
gr
d
dt
2(m1 m2 )g (2m1 2m2 m)r
11.2 动量矩定理
例：已知：猴A重=猴B重，猴B
从静止开始以相对绳速度v上爬，
猴A不动，问猴B向上爬时，猴A
上式称为质点系动量矩定理：
质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于
质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主
矩）。
应用时，取投影式
注意：式中x、y、z为
定轴。
d
dt
Lx
n i 1
M x (Fi(e) )
d
dt
Ly
n i 1
M y (Fi(e) )
d
dt
Lz
n i 1
M z (Fi(e) )
11.2 动量矩定理
11.2.3 动量矩守恒定律
d
dt
L0
n i 1
M0 (Fi(e) )
质点： 如果 M0 (F ) 0 如果 M x (F ) 0
则 则
MM0x((mmvv))常常矢量量。。
上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律。
质点系：如果 M0(Fi(e)) 0 则 L0 常矢量。
MO (mv ) r mv
质点对于z轴的动量矩——质 点动量mv在Oxy平面内的投影 (mv)xMy 对Z 于(m点v)O的M O矩[(m。v即)xy]
质动点量Q矩的。动即量矩矢M在O (过mv点) OZ 的zM轴Z上(m投v影) ，等于对z轴的
在国际单位制中动量矩的单位为 kg·m2/s
11.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n 个质点。Fi(i)——第i个质点上的内力， Fi (e)——第i个质点上的外力。
由质点的动量矩定理有：
d dt
M0 (mivi )
M0 (Fi(i) )
M0 (FI(e) )
这样的方程共有n个，相加后得
n
i 1
d dt
M0 (mivi )
n i 1
dt
(mv )
11.2 动量矩定理
d dt
MO (mv)
d dt
(r mv)
dr dt
mv
r
d dt
(mv )
则上式为 因为
d
r
v
d
(mv) F
v
d d t MO (mv)
mv 0
v
r
dt mv
F
r F
MO (F
d )
t
所以
d dt
MO
(mv)
MO
11.2 动量矩定理
例: 已知: m 1 m 2 、 m 、 r 。求轮的角加速度。
解：取整体为研究对象，以逆时针为正。
LO m1vAr m2vBr Joω
FOy
而 vA vB ωr
JO
1 2
mr2
FOx mg
故 LO m1r 2ω m2r 2ω Joω
(m1
m2
1 2
m)r 2
d dt
(
J
Z
11.1 质点和质点系的动量矩
11.1.2 质点系的动量矩 质点系对点O的动量矩 —各质点对点O的动量矩的矢量和。
n
即
LO MO (mivi )
i 1
质点系对z轴的动量矩 —各质点对z轴的动量矩的代数和。
即
LZ MZ (mivi )
质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于 质点系对于该轴的动量矩。