概率论期末测试答案

2008-2009年度第二学期概率论与数理统计测试题

1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？(5分)

⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？(5分) 解：设{}习的被调查的学生是努力学

=A ，

{}被调查的学生考试及格=B ．

由题设，有 ()9.0=A P ，()1.0=A P ；()9.0=A B P ，()

9.0=A B P ． 要求的概率为()

B A P 和()B A P ．由Bayes 公式，有 ⑴

()

()()()()()()

()()

0.110.910.0121950.90.90.110.982

P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯-=

=

=

=⨯+⨯-+．

⑵ ()()()()()

()()

()

()5.09

.01.09.019.09.019.0=⨯+-⨯-⨯=

+=

A

B P A P A B P A P A

B P A P B A P

2. 设随机变量X 服从区间)6,1(上的均匀分布，求一元二次方程012=++t X t 有实

根的概率；(10分)

解：要使一元二次方程012=++t X t 有实根，则240.X ∆=-≥

故62

2

14(40)(22).5

5

P X P X X dx -≥=≥⋃≤-=

=

⎰

3．设X 与Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布(0,1)U 。试求

Z X Y =-的分布函数与概率密度函数；(10分)

解： Z 的分布函数为

10

101001

22

0,

1,01()()(,)1,101,

10,

111

,10221,01221,

1y z

z Z x z

x y z x z y z dy dx z F z P X Y z f x y dxdy dx dy z z z z z z z z z z +---≤<<<<-≥⎧⎪≤-<⎪⎪=-≤=

=⎨

⎪--≤-<⎪

-≤-⎪⎩≤-⎧⎪⎪++-<≤⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎪

>⎩⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

Z 的概率密度函数为

0,11,

10()1,010,

1

Z z z z f z z z z <-⎧⎪

+-≤<⎪=⎨

-≤<⎪⎪≥⎩

4．设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=

-x e

x f x

① 求X 的数学期望EX 和方差DX ；(10分)

② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？(10分) ③ 问X 与X 是否相互独立？说明理由。(10分) 解：(1) 0E X =, 2

1 2.2

x

D X x e

dx +∞--∞

=

⋅

=⎰

(2) 1(,)()()()0.2

x

C ov X X E X X E X E X E X X x x

e

dx +∞--∞

=-⋅==

=⎰

0X

X

ρ=，X 与X 是不相关。

(3) X 与X 不是相互独立，因为

11

1

2

11(01,01)(01)(1);

2

2

1(01)(01)(1)2

x

P X X P X e

dx e P X P X e ---≤≤≤≤=≤≤==

-≤≤⋅≤≤=

-⋅

⎰

故(01,01)(01)(01)P X X P X P X ≤≤≤≤≠≤≤⋅≤≤.

5. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是

`一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。求收入至少400元的概率；(10分)

解：设第i 只蛋糕的价格为,1,2,,300i X i = 。则i X 有分布律：

(1)0.3,( 1.2)0.2,( 1.5)0.5.i i i P X P X P X ======

由此得222() 1.29,()()[()] 1.713 1.290.0489.i i i i E X D X E X E X ==-=-=

以X 表示这天的总收入，则300

1

i i X X ==

∑

，由定理得

300

300 1.29

400300 1.29(400)1(3.39)10.99970.0003.

i

X

P X P -⨯-⨯≥=≥

≈-Φ=-=∑

7．已知X 的概率分辨为

21012320.1

32i

X p a

a

a

a

a

-- ，试求：

（1）常数a ；(2分) （2）21Y X =-的概率分布。(5分) 解：

0.13210.130.30.20.30.2

a a a a a a Y p +++++=⇒= 2 -1 0 8 (1) (2 ) 8． 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为+∞

<<-∞+∞<<∞-⎪

⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=y x y C x B A y x F ,2arctan 2arctan ),(其中A ,

B ,

C 为常数.

(1) 确定A , B , C ； (3分)

(2) 求X 和Y 的边缘分布函数；(6分) (3) 求P (X > 2) (4分)

二维分布函数()y Y x X P y x F ≤≤=,),(

解：（1）122),(=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+

=+∞+∞ππC B A F ，022),(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=+∞-∞ππC B A F