考研数学高等数学强化习题常数项级数

考研数学高等数学强化习

题常数项级数

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模块十三 常数项级数

Ⅰ经典习题

一．具体级数收敛性的判别

1、判断下列级数的收敛性

（1）21ln n n

n

∞

=∑ （2

）)

11n ∞

=∑

（3

）1

n ∞=∑

（4）221

1

ln 1n n n ∞

=+-∑

（5）()()()

2111...1n

n

n a a a a ∞

=+++∑ （6）()211212n n n ∞

+=⎡⎤

+-⎣⎦∑ （7）21

n n n e ∞-=∑ （8）()1

1

ln 1n n x dx ∞

=+∑⎰

2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）

（1）()22ln 1n

n n

n ∞

=-∑ （2）

1

1n

n ∞

=-（3）()

1

1111...2n

n n

∞

=-+++∑

（4）()

21

11n

n

n

n a a ∞

=-+∑

，（1a >）

3、下列级数中不一定收敛的是（ ）

（A ）12!n n n n n

∞

=∑ （B ）()1

1

11n n n n n -∞+=+∑ （C ）()

2

1

1

,0,0n a b an

bn c α

∞

=>>++∑

（D ）1

,01n n np p ∞

=<<∑

4、下列级数条件收敛的是（ ）

（A ）()211n

n k n n ∞

=+-∑ （B ）1

(2)sin 3n

n

n π∞

=-∑

（C ）(

)

1

1n

n ∞

=-∑2

1n n a ∞=∑收敛. （D ）121n

n n n ∞

=-⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 5、对于常数0k >，级数121

1(1)tan()n n k

n n ∞

-=-+∑( )

(A)发散 (B)绝对收敛

(C)条件收敛 (D)收敛性与k 的取值有关 6、设a

为常数，则级数21sin()[

).n na n ∞

=-∑ （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与a 的取值有关

7、判别级数111[ln

]n n n

n ∞

=+-∑的敛散性，并证明11

12lim 1.ln n n n →∞+++

= 二．抽象级数收敛性的判别

8、1

3

1sin (1)

1n

n n kx

dx x

∞

=-+∑⎰

(k 为常数) （ ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性有k 有关 9、设()f x 是微分方程2(1)x y xy x e '+=+满足初始条件(0)0y =的特解，

则无穷级数1

(1)()n f n

-∑ ( )

（A ） 绝对收敛 （B ） 条件收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不定 10、设函数()f x 在区间(0,1)内可导，且导函数()f x '有界：()f x M '≤，证明

（1）级数11

1()(

)1n f f n n ∞

=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑绝对收敛； （2）1

lim ()n f n

→∞存在．

11、设函数()y y x =是微分方程'y x y =+当()01y =时的一个特解，试讨论级数

1111n f n n ∞

=⎡

⎤⎛⎫

-- ⎪⎢⎥⎝⎭

⎣

⎦∑的收敛性.

12、设()f x 在[)1,+∞上单调增加，且()lim .x f x A →+∞

=

（1）证明级数()()1

1n f n f n ∞

=+-⎡⎤⎣⎦∑收敛，并求其和；

（2）进一步设()f x 在[)1,+∞上二阶可导，且()0,f x ''<证明级数()1

n f n ∞

='∑收

敛。

13、设正项数列{}n a 单调下降，且()11n

n n a ∞

=-∑发散，证明111n n n a a ∞

+=⎛⎫

- ⎪⎝

⎭∑收敛.

三．收敛性的讨论

14、已知0(1,2,3)n u n >=，且1(1)n n n u ∞

=-∑条件收敛，若设

2123(1,2,3...)n n n u u n ν-=-=，则级数1

n n ν∞

=∑( ).

(A)条件收敛 (B)绝对收敛

(C)发散 (D)收敛或发散取决于{}n u 的具体形式 15、下列选项中正确的是( )

(A)若lim 1n

n n

a b →∞=，则1n n a ∞=∑与1n n b ∞

=∑有相同敛散性 (B)若正项级数1n n a ∞

=∑

收敛，则必有lim

1n →∞

<

(C)若正项级数1

n n a ∞

=∑发散，则必有1

n a n

>

(D)正项级数1

(0,0)n

n n

α

βαβ∞

=>>∑

的敛散性与αβ、有关

16、下列四个有关级数的论断 ①若级数1

n n u ∞

=∑发散，则lim 0

n n u →∞

≠