常数项级数判别方法
常数项级数收敛性判别法精品
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
例4 判别交错级数 (1)n1 1 的收敛性.
n1
n
解
因为
un
1, n
un1
1, n 1
所以有 un un1,
且
limun
n
n1
n1
2知，级数 un 收敛. n1
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
例5
证明级数 (1)n1 sinn
n1
n4
收敛.
解 因为
(1)n1 sinn 1 ,
0.5
s1 s2 s3 sn
s1
s2 s3 sn
0O
1
x
-0.5
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列
sn 有界.
比较审敛法 设两个正项级数 un和vn, 且
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业
Hunan Foreign Economic Relations & Trade
小结：
学院
College
1．正项级数：
（1）定义；
（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法； 2．交错级数： （1）定义； （2）审敛法； 3．任意项级数：
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
常数项级数的敛散性判别
定理1.1正项级数 收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.
定理1.2（比较准则I）设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 收敛,则 收敛; (2)若 发散,则 发散.
定理1.3 (比较准则II)设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 ,则两个数列同时收敛或同时发散;
例7.判别级数 的敛散性.
解：
而 收敛;而对于 ,当 时收敛,当 时发散.综上可知,原级数当当 时收敛,当 时发散.
例8.判断级数 的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解：
,得到一个交错级数
则易知级数收敛,但其绝对值级数发散.故原级数条件收敛.
6.Cauchy积分法
即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数 与无穷积分 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:
结束语
本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯判别法、拉贝判别法等,如感兴趣,可在利用网络自行查找相关文献.
参考文献
[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2
且 .
定理2.2(绝对收敛准则)若级数 收敛,则级数 收敛.
若绝对值级数 收敛,则称级数 绝对收敛;若级数 收敛,但其绝对值级数 发散,则称 条件收敛.
有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.
1.不等式的利用
在此我们常用到的不等式有以下几种：
（1） ;（2） ;（3） ;（4）
个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则.
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
3.5常数项级数的判别法(1)
1
例8. 判别下列级数的敛散性 . 1 n (1) n ; (2) 2 sin n n 3 n1 8 6 n1
解: （1）所给级数的一般项为
1 1 1 un n n n 8 6 8 1 ( 3 )n 4
1 1 n 8 1 ( 3 )n 1 un 4 1, lim 令 vn n , 则因 lim 1 n v n 8 n 8n 1 而 n 收敛，所以原级数收敛。 n 1 8
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 k (k 1) (n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
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等比级数、调和级数与 p 级数是三个常用的参照级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有界 也收敛 .
有 . 由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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结束
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较判别法的极限形式知 sin 发散 . n 1 n
例7. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 根据比较判别法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n1 n
常数项无穷级数判别法综述_张永明
1
n
n
= 2 e,
所以 L 1 L 2 = 0 < 1, 由定理 2 知 , 级数收敛 。 达朗贝尔判别法更适用于比值型的级数审敛 , 柯西判别法更适用于幂指型的级数审敛 ,而定理 2 提供的方法 ,是达朗贝尔判别法和柯西判别法的结 合体 ,更适用于既含比值型乘积因子又含幂指型乘 积因子的级数的审敛 ,在使用的方便程度上具有一 定的优势 。
对数判 别 法 ; 1832 年 由 德 国 数 学 家 拉 阿 拉 [ 2 ] 291 ( J. L. Raabe, 1801 ～1859 ) 提出的拉阿伯判 伯 [ 2 ] 282 ( Raabe test) ; 以及较为精细的以德国数 别法
[ 2 ] 679 ( Ernst Eduard Kummer, 1810 ～ 学家 库 默 尔 [ 2 ] 282 ( Kummer test) 和 1893 )命名的库默尔判别法 [ 2 ] 676 ( Carl Friedrich Gauss, 1777 以德国数学家高斯 [ 2 ] 282 ( Gauss test) ; 以挪 ～1855 )命名的高斯判别法 [ 2 ] 678 ( N iels Henrik Abel, 1802 ～ 威数学 家阿 贝尔 [ 2 ] 684 ( U lisse D ini, 1845 1829 )和意大利数学家迪尼 [ 2 ] 283 ( Abel2 ～1918 )联合命名的阿贝尔 — 迪尼定理 D ini theorem ) ; 以法国数学家贝特朗 ( J. L. F. B er2 [ 2 ] 103 ) 命名的贝特朗判别 trand, 1822 ～ 1900
[ 2 ] 283 ( D irichlet test ) ; 柯 西 准 则 [ 4 ] 180 ( Cauchy 别法 criterion ) 。 虽然柯西准则给出了级数收敛的充要条件 ,但 其理论价值远远大于实用价值 ; 绝对收敛必收敛定 理对于任意项级数 (特别是项的符号较为复杂时 )
高等数学高数课件 12.3一般常数项级数
,
而
n1
1 2n
发散,
故
| un
n1
|
n1
n n2 +
1
发散.
于是级数
(1)n1
n1
n n2 + 1
是条件收敛的.
例9 判别下列级数的敛散性 .
(1)n
(1) n2 n + (1)n
(2)
(1)n
n2 n + (1)n
解: (1) (1)n (1)n n 1
n + (1)n
n 1 n 1
绝对收敛与条件收敛
根据这个定理, 我们可以将许多一般常数项级数的
收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题.
为此先给出以下定义.
定义1 设 un 为一般常数项级数, 则
n1
(1) 当 | un |收敛时, 称 un为绝对收敛;
n1
n1
(2) 当 | un |发散, 但 un 收敛时, 称 un
解
这是一个交错级数,
令
un
(1)n
(
nn+1 n + 1)!
,
考察级数 | un | 是否绝对收敛, 采用比值审敛法:
n1
lim | un+1 | n | un |
lim1 n
+
1 n
n
e
1,
所以原级数非绝对收敛.
由 lim |un+1 | 1, n |un |
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
故
lim
n
un
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
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∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
数项级数基本知识点
一．常数项级数的概念
设有数列｛U n ｝，则称u 1+u 2+...+u n +...为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为∑Un ∞n=1，其中U n 称为级数的通项或一般项 令S n =u 1+u 2+...+u n （n=1,2,...），则称数列｛S n ｝为级数∑Un ∞n=1的部分和数列，
如果部分和数列｛S n ｝有极限S ,即
lim n→∞
Sn
则称级数∑Un ∞n=1收敛，这时极限S 叫做级数∑Un ∞n=1的和，即
S=∑Un ∞n=1
如果｛S n ｝没有极限，则称级数∑Un ∞n=1发散 讨论几何级数（等比级数） [1] =aq n-1
∑[1]∞n=1=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...的敛散性，其中a ≠0，q 是
级数的公比
解析：如果 |q|≠1，则部分和： 【2】=q n
∑[1]∞n=1
=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...=a （1−【2】）
1−q
级数（6--1）
二．收敛级数的基本性质
三．级数收敛的必要条件
定理1为必要条件，不是充分条件
四．正项级数的判别法
1.比较判别法
（比较判别法的极限形式）
2.比值判别法
例题：
3.其他判别法
五．交错级数的判别法
六．绝对收敛与条件收敛。
常数项级数的收敛性及其判别法
vn 收敛 ,则 un 收敛 ; n 1
n 1
(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 un 发散 ;
n 1 n 1
9/32
例 4 判定下列级数的敛散性:
n 1
思想是: 任意项级数
正项级数
u
n 1
n
n 1
un
34/32
定理
. 若级数 | un | 收敛, 则 级 数 un必 定 收 敛
n 1
n 1
证 设级数 | un | 收敛. | un | un | un |
n 1
0 un | un | 2 | un |,
3.当 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛, 2
17/32
例. 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
7/32
例 3. 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
第五章无穷级数第一节常数项级数资料
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
无 穷
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
级
数 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨
设对一切
都有
分别表示级数
- 23 -
部分和, 则有
第一节 常数项级数
(1) 若级数
收敛, 则有
第 十
因此对一切
有
一
章
由定理 1 可知,级数
也收敛 .
无
穷
级 数
(2) 若级数
次相加, 简记为 un , 即
n1
第
十
一
章 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
无 穷
级数的前
n
项和
级
数
称为级数的部分和.
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
-4-
则称无穷级数
第一节 常数项级数
则称无穷级数发散 .
第
十 一
当级数收敛时, 称差值
章
无
穷 级
为级数的余项.
(
1)n 2n
收敛，且
均收(2敛) ，n所1以(32nnn1(n232)n
(1)n 2n
)
无 穷 级
2
n1 ( 3n
(1)n 2n )
2 (1)n1 3 n1 3
1 ( 1)n1 2 n1 2
数
21
3
1
1 3
1 1
2
1
1 2
2 3
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
常数项级数敛散性的判定法
应用广泛
常数项级数在数学物理方程、概 率论、统计学等领域有广泛的应 用，是解决实际问题的重要工具。
理论价值
常数项级数的敛散性判定法是数 学理论的重要组成部分，对于数 学的发展和深入研究具有重要意 义。
判定常数项级数敛散性的意义
解决问题
通过判定常数项级数的敛散性，可以解决一系列数学问题，如求和、 积分、无穷乘积等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，级数 中相邻两项的绝对值都小于$epsilon$，则级数收敛。
柯西收敛准则的适用范围
适用于所有常数项级数，是判定级数收敛性的最基本准则。
柯西收敛准则的证明
通过反证法，假设存在一个不收敛的级数，然后构造一个满足条件的$epsilon$和$N$，使得 对于所有的$n>N$，级数中相邻两项的绝对值都大于$epsilon$，这与假设矛盾，因此级数 必须收敛。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定 比例的级数。
详细描述
几何级数是一种特殊的等比级数，其一般形式 为$sum_{n=0}^{infty} a_n r^n$，其中$a_n$ 是首项，$r$是公比。当$|r| < 1$时，几何级数 收敛；当$|r| = 1$时，几何级数可能收敛或发 散；当$|r| > 1$时，几何级数发散。
常数项级数的性质
常数项级数的每一项都是非负的或非正的，即an ≥ 0或an ≤ 0。 常数项级数的和可以是有限的、无限的或无穷的。
常数项级数的分类
收敛级数
当常数项级数的和是有限的，则该级 数为收敛级数。
发散级数
当常数项级数的和是无限的或无穷的 ，则该级数为发散级数。
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常数项级数的审敛法
定义 形如：级数
其中
即： 正、负项相间的级
数称为交错级数。
列如
莱布尼茨判别法 莱
布
尼
茨
定理：如果交错级数满足条件
则级数收敛，其其和
其余项
的绝对
值
注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误 注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件.
使用本判别法时，关键是第一个条件的验证
是否收敛时, 要考察
与 大小
1
1
1()
n n n u ∞
-=-∑n u >0
111,2,3,);
n n u u n +≥=L （）（lim 0,
n x u →∞
=（2）1,
s u ≤n
r 1.
n n r u +≤0n u ≥（）
n u 1n u +n n u u +≥>10.（）1
11111111(1)
=1(1)234n n n n n
∞
--=--+-++-+∑L L
（）.1
1
12(1)
1234(1)
n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L
（）.
这是一个交错级数
又因为n n u u n n +=>=+1111，
且
显然收敛速度较慢.
收敛。
使用本判别法时，关键是第一个条件的验证
是否收敛时, 要考察
与
大小
比较 与
大小的方法有: 比值法
差值法
1
1
1
11111
(1)
=1(1)
234
n n n n n
∞
--=--+-++-+∑1
n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1
||.10n u ≥（）
n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +1
1n n
u u +<10
n n u u +->1
1n n u u +≥（）lim 0
n x u →∞=(2)则交错级数
1
1
1() n n n u ∞
-=-∑。