实验1 斐波那契数列

实验1 斐波那契数列

一、 实验内容

讨论调和级数的讨论调和级数的 变化规律。 （1）画出部分和数列 变化的折线图，观察变化规律； （2）引入数列： ，作图观察其变化，猜测是否有极限；

（3）引入数列：

，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合； （4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？

二、 实验过程

（1）画出部分和数列 变化的折线图，观察变化规律；

代码如下：

function plotfibe(n)

Sn=[1,3/2];

for i=3:n

Sn=[Sn,Sn(i-1)+1/i];

end

plot(Sn)

这个函数的调用为：plot(10),plot(30),plot(80)。如下图：

2n n n H S S =-2n n G S =11

n n

∞=∑{}n S {}n S

规律：由图可知，部分和数列{Sn}称单调递增，且增长速度先快后慢。

（2）引入数列： ，作图观察其变化，猜测是否有极限；

代码如下：

function plotfile(n)

2n n n H S S =-

Hn=[1/2,7/12];

for i=3:n

Hn=[Hn,Hn(i-1)+1/(2*i*(2*i-1))];

end

plot(Hn)

函数调用为：plot(20),plot(50),plot(80)。如下图：

规律：如图，可知{Gn}呈单调递增趋势，最后趋向于稳定。故可猜测此数列有极限。

（3）引入数列： ，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合； 代码如下：

function Gn = Gn(n)

Gn=1.5

for j=2:n

Sn=1

for i=2:2^j

Sn=Sn+1/i;

end

Gn=[Gn,Sn];

end

plot(Gn)

函数调用为：plot(10),plot(20),plot(30)。如下图：

2

n n G S

观察发现，Gn的图像近似于一条直线，即一阶多项式，利用MATLAB拟合代码如下：function fitGn(n)

x=1:n;

y=Gn(n);

polyfit(x,y,1)

这个函数的调用方式为：fitGn（30），运行后返回结果是：0.6903和0.6369，即:

Gn= 0.6903n+0.6369

下面观察拟合数据与原始数据的吻合程度。

经过拟合，得到了Gn数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将Gn数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。

具体的实现流程为：（1）定义数组fn1,Gn；（2）显示数组fn1,Gn。

具体的代码如下：

Function Gn（n）

Gn=1.5

for j=2:n

Sn=1

for i=2:2^j

Sn=Sn+1/i;

end

Gn=[Gn,Sn];

end

fn1=[];

for i=1:n

fn1=[fn1,0.6903*i+0.6369];

end

x=1:n;

plot(x,fn1,x,Gn,'r*')

调用方式为：Gn2（10），Gn2（20），Gn2（30），如下图

由图可知，拟合数据数据与原始数据的拟合程度比较高，近似通项公式能很好地表示Gn 。

三、实验总结：

（1）观察部分和{Sn}数列的曲线图，可以发现，Sn 呈单调递增，且增长速度先快后慢；当n 比较大的时候，Sn 的图形近似于一个对数函数的曲线。

（2）观察数列 {Hn}的图像发现，Hn 也呈单调递增，并且增长速度越来越慢；与Sn 比较，Hn 的增长速度衰减得更加厉害，但同样近似于一个对数函数；在n 比较大的部分，其曲线近乎与X 轴平行，增长十分缓慢，可以猜测，Hn 是具有极限的一个数列，以下证明： 不妨将 ，写作Hn=∑an=1/(n+1)+1/（n+2）+…+1/2n

另有In=∑bn=1/(n+1)+ 1/(n+1)+ …+1/(n+1)= n/(n+1)，当n 趋向于无穷时，In=1故In 收敛;又因为an<=bn ，故Hn 收敛，即Hn 有极限。

（3）通过观察{Gn}的图像可发现，Gn 大致上呈现线性增长，拟合得到其近似关系为Gn= 0.6903n+0.6369，并且观察拟合数据与原始数据的图像可知，当n 越大，原始数据与拟合数据就越接近，因此可认为，此近似通项可以表示Gn 的变化。

2n n n H S S =-