导数公式导数运算法则
常用导数公式及运算
常用导数公式及运算导数公式及运算是微积分的基础，对于研究函数的性质和求解实际问题具有重要作用。
下面将介绍一些常用的导数公式以及其运算。
1.常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0，即dy/dx = 0。
2.幂函数的导数若y = x^n，其中n为实数，其导数可以通过幂函数的定义和求导法则求解。
根据求导法则，对于y = x^n，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
特殊情况下，我们可以得到以下幂函数的导数公式：- y = x，导数为1，即dy/dx = 1；- y = x^0，导数为0，即dy/dx = 0；- y = x^1/n，则其导数为dy/dx = (1/n)x^(1/n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是相互逆的函数。
若y = a^x，其中a为正常数且a ≠ 1，其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
对数函数的导数为dy/dx = 1/(x * ln(a))。
4.三角函数的导数- y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)。
- y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)。
- y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)。
- y = cot(x)的导数为dy/dx = -csc^2(x)。
- y = sec(x)的导数为dy/dx = sec(x) * tan(x)。
- y = csc(x)的导数为dy/dx = -csc(x) * cot(x)。
5.反三角函数的导数- y = arcsin(x)的导数为dy/dx = 1/√(1-x^2)。
- y = arccos(x)的导数为dy/dx = -1/√(1-x^2)。
- y = arctan(x)的导数为dy/dx = 1/(1+x^2)。
- y = arccot(x)的导数为dy/dx = -1/(1+x^2)。
- y = arcsec(x)的导数为dy/dx = 1/(x * √(x^2-1))。
求导数公式及运算法则方程
求导数公式及运算法则方程在微积分中，求导数是一项重要的运算技巧，它用于计算函数的变化率。
本文将介绍一些常见的求导数公式和运算法则方程，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
导数基本概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(f)，它在点f处的导数可以定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$如果这个极限存在，那么函数f(f)在点f处可导，导数即为这个极限的值。
常见导数公式基本导数1.$ \frac{d}{dx} (c) = 0 $ （常数函数的导数为 0）2.$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $ （幂函数的导数）3.$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $ （指数函数的导数）4.$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} $ （对数函数的导数）三角函数导数1.$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) $2.$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) $3.$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) $复合函数导数若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $导数运算法则和差法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：1.$ \frac{d}{dx} (u(x) + v(x)) = \frac{du}{dx} +\frac{dv}{dx} $2.$ \frac{d}{dx} (u(x) - v(x)) = \frac{du}{dx} -\frac{dv}{dx} $乘法法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：$ \frac{d}{dx} (u(x) \cdot v(x)) = u(x) \cdot \frac{dv}{dx} + v(x) \cdot \frac{du}{dx} $商法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，且 $ v(x)eq 0 $，则：$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{v(x)\cdot \frac{du}{dx} - u(x) \cdot \frac{dv}{dx}}{(v(x))^2} $运算法则的应用通过以上运算法则，我们可以对各种函数进行求导操作。
导数公式与运算法则
导数公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数的变化率。
导数公式和运算法则是求导的基本工具，可以帮助我们计算各种函数的导数。
本文将详细介绍导数公式和运算法则，并提供相应的推导和证明。
1.导数的定义在解释导数公式和运算法则之前，我们首先介绍导数的定义。
设函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗导数的几何意义是函数在其中一点处的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则该函数在该点的切线斜率就是该点的导数值。
2.基本导数公式2.1常数函数对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其导数等于0：f'(x)=0证明：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(c-c)/Δx〗= lim┬(Δx→0)0/Δx=02.2幂函数对于幂函数f(x)=x^n，其中n为非零实数，其导数为：f'(x) = nx^(n-1)证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖((x+Δx)^n-x^n)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(nx^(n-1)Δx+...)/Δx〗 (利用二项展开)= nx^(n-1)2.3指数函数对于指数函数f(x)=e^x，其导数为：f'(x)=e^x证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(e^(x+Δx)-e^x)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(e^x*e^Δx-e^x)/Δx〗= e^x*lim┬(Δx→0)〖(e^Δx-1)/Δx〗这里需要引入极限的定义，e的定义就是使得e^x的导数等于e^x的常数。
因此，我们可以得到以上结论。
3.导数的基本运算法则3.1基本导数法则（1）常数乘法法则：若 c 为常数，则 (cf(x))' = cf'(x)（2）加法法则：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)（3）减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)证明：我们以加法法则为例进行证明。
导数的基本公式与运算法则讲解
导数的基本公式与运算法则讲解在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求导的基础，下面将详细讨论这些内容。
导数的定义给定函数f(f)，在某一点f=f处的导数定义为：$$ f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$其中f表示自变量f的增量。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
导数的基本公式1.幂函数的导数如果f(f)=f f，其中f为常数，则有：f′(f)=ff f−1这个公式可以通过求导的定义和一些简单的代数运算来推导。
2.常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，导数恒为零：f′(f)=03.和差法则设f(f)和f(f)在f处可导，则有：$$ (f \\pm g)'(x) = f'(x) \\pm g'(x) $$4.积的法则如果f(f)和f(f)在f处可导，则有：(ff)′(f)=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)5.商的法则如果f(f)和f(f)在f处可导且f(f)ff0，则有：$$ \\left(\\frac{f}{g}\\right)'(x) = \\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$导数的运算法则1.复合函数的导数如果f=f(f)和f=f(f)均可导，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$2.反函数的导数如果f=f(f)在区间f上严格单调且可导，且f′(f)ff0，则它的反函数f−1在相应的区间上也可导，且有：$$ (y^{-1})'(x) = \\frac{1}{f'(y^{-1}(x))} $$3.链式法则设f=f(f)和f=f(f)均可导，则有：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} =f'(u) \\cdot g'(x) $$总结导数的基本公式和运算法则是微积分中的重要内容，它们为我们求各种函数的导数提供了便利。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
导数的基本公式及四则运算法则
常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。
导数的运算公式和运算法则
导数的运算公式和运算法则导数可是高中数学中的一个重要概念，它的运算公式和运算法则就像是打开数学世界奇妙之门的钥匙。
咱们先来说说常见的导数运算公式。
比如说，对于函数 $f(x) =x^n$ （$n$ 为常数），它的导数就是 $f'(x) = nx^{n-1}$ 。
这就好比是给一个数穿上了速度的外衣，能让我们更清楚地看到它变化的快慢。
再比如，对于函数 $f(x) = \sin x$ ，它的导数是 $f'(x) = \cos x$ ；对于函数 $f(x) = \cos x$ ，导数则是 $f'(x) = -\sin x$ 。
这是不是有点像变魔术，一下子就变出了新的东西。
还有，常数的导数为 0 ，这就好像是一个静止不动的家伙，压根没有变化的趋势。
接下来说说导数的运算法则。
加减法则，就像是把两个小伙伴的速度合起来或者分开算。
如果有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，那么 $(f(x) ±g(x))' = f'(x) ± g'(x)$ 。
乘法则有点复杂，就像两个小伙伴手拉手一起跑，速度的关系就变得微妙起来。
如果是两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，那么 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 。
除法则更是需要我们多费点心思，就好比是要算出两个小伙伴一起跑，但其中一个跑快了或者跑慢了对整体速度的影响。
如果是$f(x)÷g(x)$ ，那么它的导数就是$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 。
给大家讲讲我之前教学生导数的一个小经历。
有个学生叫小李，这孩子特别聪明，但就是对导数的运算法则总是弄混。
有一次做练习题，遇到一个函数是两个式子相除的形式，小李想都没想就直接把分子分母分别求导，然后就得出了答案。
我一看，哭笑不得，这孩子明显是把法则给记错了。
导数的加减乘除运算公式
导数的加减乘除运算公式
在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
导数的加减乘除运算是求导数时经常用到的基本运算法则。
下面将介绍导数的加减乘除运算公式，对于不同类型的函数进行计算。
导数的加法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的和 (f(x) + g(x)) 的导数为： (f(x) +
g(x))’ = f’(x) + g’(x)
导数的减法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的差 (f(x) - g(x)) 的导数为： (f(x) -
g(x))’ = f’(x) - g’(x)
导数的乘法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的乘积 (f(x) * g(x)) 的导数为： (f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
导数的除法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的商 (f(x) / g(x)) 的导数为： (f(x) /
g(x))’ = (f’(x) * g(x) - f(x) * g’(x)) / (g(x))^2
这些导数的加减乘除运算公式是微积分中非常重要的基本法则，通过这些法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而更深入地理解函数的性质和变化规律。
在实际问题中，导数的加减乘除运算公式为我们提供了有效的工具来分析函数的变化以及优化问题的最优解。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
函数y=ln(3x+2)的导数呢？ 基本初等函数的导数公式
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 求y=2x2+3x+1的导数 P18页 练习 第2题 （5）、（6）题
(3) f(x)= ax + xa + logax 求y= 的导数 基本初等函数的导数公式
(1) y = x3·ex
ln x (3) y = x
(2) y = x2·2x
ex x (4) y = 2
思考：如何求y=tanx导数呢？
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
(3) y=sin( x+ ) (其中 、 均为常数）
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
(2) y= 3cosx - 4sinx (3) f(x)= ax + xa + logax (4) y= ex + ln x
思考: 如何求下列函数的导数?
(1 )y(x1 )x (2)
(2)yx x
ex
(3) y x2
导数的运算法则:(积、商的导数)
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则一、基本导数公式：1.常数导数公式：如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n是实数，那么f'(x)= nx^(n-1)。
3. 指数函数导数公式：如果f(x) = a^x，其中a是常数，那么f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数导数公式：如果f(x) = log_a(x)，其中a是常数，那么f'(x) = (1 / (x * ln(a)))。
5.三角函数导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))' = cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))' = -sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))' = sec^2(x)。
- cot(x)的导数：(cot(x))' = -csc^2(x)。
- sec(x)的导数：(sec(x))' = sec(x) * tan(x)。
- csc(x)的导数：(csc(x))' = -csc(x) * cot(x)。
二、导数的运算法则：1. 常数倍法则：如果f(x)可导，c是常数，那么(cf(x))' = cf'(x)。
2.和差法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.除法法则：如果f(x)和g(x)都可导，且g(x)不等于0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^25.复合函数的导数法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
导数的四则运算法则
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
高中数学导数公式及导数的运算法则
高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。
二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。
2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。
3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。
4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。
(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。
5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。
(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。
(c) 若y = ln，x，则y' = 1/x。
6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。
(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。
(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。
1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。
(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘 第二个函数的导数,即
f xgx′= f′xgx + f xg′x
请同学们自己证明
知识拓展
推论 : (Cu) Cu
例4
求 y = 2x2 - 3x2 + 5x - 4的导数？
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8. 若fx ln x,则f 'x 1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀率
为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：
年）有函数关系
pt p0 1，5%其t 中
为t=p00 时的物价.假定某商品的
p那0 么 在1
第10个年头，这种商品的价格上涨的速度
的价格上涨的速度大约是多少？
0
当 p0 5时，pt 51.05，t 这时，求P
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则” 可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
旧知回顾
求函数的导数的方法是:
（1）求增量
（2）算比值 （3）求极限
Δy = f(x0 + Δx) - f(x0 ) ;
Δx
Δx
y = lim Δy . Δx→0 Δx
知识要点
f (x0 ) f (x) xx0
1) y f (x) c, 2) y f (x) x, 3) y f (x) x2, 4) y f (x) 1 ,
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
1.和(或差)的导数 (u v) u v
证明：y f (x) u(x) v(x)
u(x x) u(x) v(x x) v(x)
u v
y u v x x x
f(x) [g(x)]' |xx0
f
'(x0 )g(x0 ) f (x0 )g(x0 )
g ( x0 )2
例6
y = x2 的导数. sinx
解：y' (x2 )' sin x x2 (sin x)' sin2 x
2x sin x x2 cos x sin2 x
例7
求
y
=
x+3 x2 + 3
1. 若 fx c,则f ' x 0;
2. 若 fx xn n N ,则 f ' x nxn1 ;
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx 若 fx ax,则 f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可 以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数.记做y=f(g(x)).
lim y lim u v lim u lim v x0 x x0 x x x0 x x0 x
u'(x) v'(x)
例2
x 求y= + sin3x的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 3x2 cos x
例3
求 y = x4 - x的2导-数x. + 3
解：由导数的基本公式得：
3.
f g
x x
′
f′ x
g
xf x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？
我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们 先分析这个函数的结构特点.
若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可 以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到 的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
在点x
=
3处的导数.
解：y'
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3) 2x
x2 6x 3 (x2 3)2
y'
|x3
9 18 (9 3)2
3
24 144
1 6
导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;
x
y' 0；
y ' 1；
y ' 2x；
1 y' .
x2
新课导入
由上节课的内容可知函数y=x2的 导数为y’=2x，那么，于一般的二 次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是 什么呢?这就需要用到函数的四则运 算的求导法则.
又如我们知道函数y=1/x2的导数是
y=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又
的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
p' t 1.05t ln1.05.
所以,p' 10 1.0510 ln1.05 0.08 元 / 年.
因此，在第10个年头，这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
p 5 如果上式中的某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品
解：由导数的基本公式得：
y' 4x 6x 5 5 x
例5
求 y = (2x2 + 3)(3x - 2) 的导数？
解：由导数的基本公式得：
y' (4x)(3x 2) (2x2 3) 3 12x2 8x 6x2 9 18x3 8x 9
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子 的积,再除以分母的平方,即
情感态度与价值观
经历由实际问题中抽象出导数概 念，使同学们体会到通过导数也能刻 画现实世界中的数量关系的一个有效 数学模型.
教学重难点
重点
理解简单复合函数的复合过程.
难点
函数的积、商的求导法则的推导 及复合函数的结构分析.
知识要点
为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式 表：
基本初等函数的导数公式
是什么呢?
学习了这节课， 就可以解决这些
问题了！
3.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
教学目标
知识与能力
（1）掌握基本初等函数的导数公式.
（2）会运用导数的运算法则及简 单复合函数的复合过程.
过程与方法
（1）通过丰富的实例，了解求函数 的导数的流程图.
（2）理解两个函数的和(或差)的导数 法则，学会用法则求一些函数的导数．