数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

求解数列前n_项和问题常用的技巧

解题宝典求数列的前n 项和问题具有较强的综合性，此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式.求数列前n 项和的技巧很多，如裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和等.下面结合实例谈一谈下列三种技巧.一、裂项相消运用裂项相消法求数列的前n 项和，需先将数列中的各项拆分为两项之差的形式，如1n (n +k )=1k æèöø1n -1n +k 、14n 2+1=12æèöø12n -1-12n +1、1n +n +1=n +1-n ；然后将各项相加，即可通过正负相消，顺利求得数列的前n 项和.例1.设数列{}a n ，其前n 项和S n =-3n 2，{}b n 为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3.（1）求数列{}a n ,{}b n 的通项公式；（2）若c n =b n()b n -2()b n -1，求数列{}c n 的前n 项和T n .解：（1）a n =-6n +3，b n =b 2∙2n -2=2n +1；（2）由（1）可得：c n =2n +1()2n +1-2()2n +1-1=2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，所以T n =c 1+⋯+c n =æèçöø÷121-1-122-1+æèç122-1-öø÷123-1+⋯+æèçöø÷12n-1-12n +1-1=12-1-12n +1-1=1-12n +1-1.仔细观察，可发现{}c n 的通项公式的分母()2n-1()2n +1-1为两项的乘积，其差为2n +1-1-()2n-1=2n，于是将{}c n 的通项公式裂项得2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，这样数列中大部分的项可以互相抵消.运用裂项相消法就能求得数列前n 项的和.二、错位相减错位相减法是求数列前n 项和常用的方法之一.该方法主要运用于求形如{}a n ∙b n 的数列的前n 项和，其中{}a n 为等差数列，{}b n 为等比数列.先将数列{}a n ∙b n 的每一项乘以数列{}b n 的公比；然后将其与数列{}a n ∙b n 的前n 项和错位相减，即可将问题转化为等比数列求和问题.例2.数列{}a n 的前n 项和为S n ,a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *).（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）设数列{}b n 满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .解：（1）a n =-3×æèöø34n；（过程略）（2）由3b n +(n -4)a n =0得：b n =-n -43a n =(n -4)×æèöø34n，即b n +1=(n -3)×æèöø34n +1，设c n =(An +B )×æèöø34n，则b n +1=c n +1-c n =[A (n +1)+B ]×æèöø34n +1-(An +B )×æèöø34n=[-An 4+14(3A -B )]×æèöø34n=(n -3)×æèöø34n +1，可得ìíîïï-A 4=34，3A -B 4=-94，解得{A =-3，B =0，所以c n =-3n ×æèöø34n，则T n =-()3×1-1×34-()3×2-1×æèöø342-(3×3-1)n 41解题宝典×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n -1-3n ×æèöø34n34T n=-()3×1-1×æèöø342-()3×2-1×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n-3n ×æèöø34n +1，将上述两式相减可得14T n =-2×34-2×æèöø342-2×æèöø343-⋯-2×æèöø34n -3n ×æèöø34n +1=-234×éëêùûú1-æèöø34n 1-34-3n ×æèöø34n +1，得T n =-4n ×æèöø34n +1.仔细观察{}c n 的通项公式，可发现该式为等差数列{}-3n 与等比数列ìíîüýþæèöø34n 的对应项的乘积，可运用错位相减法来求和.将数列的前n 项和式左右同时乘以公比34，即可得到等比数列-2×34,-2×æèöø342,-2×æèöø343,⋯,-2×æèöø34n,利用等比数列的前n 项和公式进行求解即可解题.例3.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2(n ∈N *)，数列{}b n 的首项b 1=1，点P (b n ,b n +1)满足2+b n =b n +1.（1）求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；（2）记T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n ，求T n .解：（1）a n =2n，b n =2n -1；（过程略）（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n=1×2+3×22+5×23+∙∙∙+(2n -3)2n -1+(2n -1)2n ，2T n =1×22+3×23+5×24+∙∙∙+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1，将两式相减得-T n =1×2+2(22+23+∙∙∙+2n)-(2n -1)2n +1=2+2∙22+2n ∙21-2-(2n -1)2n +1=(3-2n )∙2n +1-6.故T n =(2n -3)∙2n +1+6.由问题（1）可知数列{}a n 为等比数列，数列{}b n 为等差数列，则{}a n b n 的各项由等差、等比数列的对应项的积构成，于是采用错位相减法，首先列出T n 的表达式；然后列出2T n 的表达式；再将两式作差，通过错位相减求得-T n .三、分组求和若问题中出现形如a n =b n ±c n 的数列，其中{}b n 、{}c n 为等差、等比或常数列，便可以采用分组求和法，将数列中的各项进行拆分，再重新组合成几组，使得每一组为等差、等比或常数列，即可根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2，且a n +2=3S n -3S n +1+3,n ∈N *.（1）求证：a n +2=3a n ；（2）求S n .解：（1）过程略；（2）由（1）可知，a n ≠0，所以a n +2a n=3，则数列{}a 2n -1是首项a 1=1，公比为3的等比数列.则a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1，所以S 2n =a 1+a 2+∙∙∙+a 2n=()a 1+a 3+∙∙∙+a 2n -1+()a 2+a 4+∙∙∙+a 2n =()1+3+∙∙∙+3n -1+2()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()3n -12.所以S2n -1=S 2n -a 2n =3×()3n -12-2×3n -1=32()5×3n -2-1.综上可得，S n =ìíîïïïï32æèçöø÷5×3n -32-1,n 为奇数，32æèçöø÷3n2-1，n 为偶数.求出a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1后，可以发现在n 取奇数、偶数时，对应的S n 不同，需采用分组求和法，将数列中的项分成两组，一组由奇数项构成，一组由偶数项构成，分别根据等比数列的前n 项公式进行求和，得S 2n 、S 2n -1，最后用分段式表示S n .裂项相消、错位相减、分组求和的适用情形以及用法均不相同，同学们在解题时要重点研究数列的通项公式，对其进行合理的变形，可将其拆分、裂项、乘以公比等，以便将复杂的数列求和问题转化为简单的计算问题，这样便能化难为易、化繁为简.（作者单位：安徽省泗县第二中学）42。

高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=，即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==，故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ．（Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

数列的前n项和计算

数列的前n项和计算数列是数学中非常重要的概念，它在各个领域的问题中都有广泛的应用。

而计算数列的前n项和是数学中常见的问题之一。

本文将介绍如何计算数列的前n项和，以及一些常见数列求和公式的使用方法。

一、等差等差数列是最简单的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

计算等差数列的前n项和可以通过以下公式实现：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列的前n项和。

举个例子，如果我们需要计算等差数列1, 3, 5, 7, 9的前10项和，首先我们可以确定a1 = 1，d = 2，然后根据通项公式计算an = 1 + (10-1)2 = 19。

最后代入前n项和的公式得到Sn = (10/2)(1 + 19) = 100。

二、等比等比数列也是常见的数列类型，它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

计算等比数列的前n项和可以通过以下公式实现：Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)其中Sn表示数列的前n项和。

举个例子，如果我们需要计算等比数列1, 2, 4, 8, 16的前5项和，首先我们可以确定a1 = 1，r = 2，然后根据通项公式计算an = 1 * 2^(5-1) = 16。

最后代入前n项和的公式得到Sn = (1 * (2^5 - 1))/(2 - 1) = 31。

三、其他常见除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列类型。

下面是它们的前n项和计算公式：1. 平方数列的前n项和计算（an = n^2）：Sn = (n * (n + 1) * (2n + 1))/62. 立方数列的前n项和计算（an = n^3）：Sn = (n^2 * (n + 1)^2)/43. 斐波那契数列的前n项和计算（an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1）：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an总结：本文介绍了计算数列的前n项和的方法，并给出了等差数列、等比数列、平方数列、立方数列和斐波那契数列的计算公式。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习：求：S n=1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k n k ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。

求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1① ①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-xn)1-x +1-（4n-3）x n]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

求数列通项公式及前n项和常见方法

数列求通项及前n 项和常见方法求n a一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．注意：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

例3．已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=3n a +1，求n a注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式；注意：利用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、累乘法对形如1()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累乘求得通项。

求数列前n项和8种的方法(史上最全)

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =时，1n S na =；（2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

求前N项和方法技巧及公式

求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。

计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。

一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。

1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。

前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。

推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。

1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。

2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。

数列前n项和方法无答案

求数列前n 项和的常用方法常见方法：1、公式法：等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 等比数列前n 项和公式：①当q ＝1时，S n ＝1na② 当q ≠1时，S n ＝qq a n --1)1(1＝q q a a n --11. 2、错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．4、裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．【先对通项进行裂项，再求和】常用的裂项形式：①1n (n ＋1)＝111+-n n ②1(2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n ③1n (n ＋1)(n ＋2)＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)(1(1)1(121n n n n ④1n ＋n ＋1＝n n -+1 5、奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．6、倒序相加：例如等差数列前n 项和公式的推导方法．7、构造新数列一、公式法l 、设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．二、错位相减（方法：乘以公比，再两式相减）设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.2. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①3.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、分组求和4、求数列112，214，318，…，(n ＋12n )，…的前n 项和．四、裂项相消5、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.6、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.7、若21n b n =-，数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?五、奇偶并项【通常要分n 为奇数与偶数进行分类讨论】8、已知数列{}n a 的前n 项和()11234561n n S n +=-+-+-++-∙ ，求100S .9、求2222121234(1)n S n -=-+-++- （n N +∈）六、倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 10、求222222222222123101102938101++++++++ 的和．七、构造新数列11、数列}{n b )0(>n b 的首项为1，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （n ≥2）.求n b。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)求数列前N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n nn ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n]2. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +. [例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(nn n Sn-+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n 项和的常用方法1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)2n n +， 1+3+5+……+(2n-1)= 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++，3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦等. 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值.解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. …. …. …. ①将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ……②又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得：2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++⋅⋅⋅++o o o o o o ＝89∴ S ＝小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.3、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。

若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4）解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1， ①则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②①－②得：(1- x )S n =1+x+x 2+…+x n-2+x n -1－n x n ③∴当x =1时， ()(1)12312n n n S n n +=+++⋯+-+= ∴当x ≠1时， 2121(1)1...11111(1)1n n n n n n n x x x x nx nx x nx x S x x x x x-⨯-++++---==-=------ 小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.4、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L解：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L ()()123246235555n n ----=++++-++++L L()2111553113114515n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- （课本61页习题组4）例、求和：()()()()23123n n S a a a a n =-+-+-++-L （课本61页习题组4）解：2(1)1(1)(2)...()12...(1)2n n n a a a a n n -=+-++-=-----=-当时，- 221(1)(2)...()(...)(12...)n a a a a n a a a n ≠+-++-=+++-+++当时，-(1)(1)12n a a n n a -+=-- 小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.5、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

高中数学，求数列前n项和的8种常用方法

以上8种方法虽然各有其特点但总的原则是要善于改变原数列的形式结构使Байду номын сангаас能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决只要很好地把握这一规律就能使数列求和化难为易迎刃而解
高中数学，求数列前n项和的8种常用方法
以上8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解.

求数列前n项和常用方法

求前n 项和nS 常用方法 1、公式法：等差数列的前n 项和公式：等比数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n n )1(211+=∑=n n k nk ∑=n k k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k n k 2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．3、裂项相消法：通项裂成两项之差，求和产生抵消的数列。

常见的裂项公式有：（1）、n a =111)1(1+-=+n n n n （2）、)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （2）、n a =))2)(1(1)1(1(21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （4）、)(11b a ba b a --=+ 4、错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

5、倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和。

（等差、等比数列求和公式的推导）6、合并法求和：针对一些特殊数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求n S .求下面数列的前n 项和：(1)求和n S =1+4+7+…+（3n+1）(2)已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和. (3)求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。

(4)求数列1，a 14，217a …，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1123n a n ）（的前n 项和。

(5)求数列2112+，4212+，6312+，8412+，…，nn 212+，的前n 项和。

高考数学数列求和的8种常用方法（最全）

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法(定义法):i.等差数列求和公式：特别地，当前〃项的个数为奇数时，S2灯|=(2&+1).%1，即前〃项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：(1) q = 1, S n =叫:。

1(1-矿)(2)S n =—~，特别要注意对公比的讨论:3. 可转化为等差、等比数列的数列；4. 常用公式：(2)1» = l + 2 + 3+L +〃=_〃(〃+1)：22 = ]2 + 22 + 32 +L + / =项〃 +1 )(2〃 +1 )=项〃 + '(〃 +1 )：4-1 63 2(3)£(2Sl)=l + 3+5+L +(2〃-1)=片.▲■I例 1 已知 log3X= T ,求x+x 2+x 3 + ...+x n 的前〃项和.log? 3解：由 log3 x = —zl_ => log 3 x = -log 3 2 n x = 5= x + x 2 + x 3 +L +y*n J = 1(1-1)A2(4)log 2 3由等比数列求和公式得x(l —x 1-X1&例 2 设S “=l + 2+3+ • +〃，解：易知 S =]_〃(〃+1), "2S..2"，求_/•(〃)=— 的最大值.(〃 + 32)S tS . =!(〃+1)(〃+2)jt+i 2n .・'(〃)-(〃 + 32)s* — / + 34〃+ 64= ]_________1_______ 1〃 +34+丝一(V ；-_L)2+50 - 50n JnQ1・•・当而-如即〃 =8时,f(n) =_.V82 50二.倒序相加法:如果一个数列{%},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前〃项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到〃个（0+4）.例3求sii?1°+sin22°+sin23° +-+sin288°+sin289°的值解：设S=sin2l°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°........①将①式右边反序得S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°........②(反序)又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1①得(反序相加)2S=(sin21°+cos2l°)+(sin22°+cos22。

(完整版)数列前n项和的求法总结

数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一．公式法（1）等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2）等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3）其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

(完整版)数列前n项和的求法

数列前n项和的求法一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解：S n=a1+a2+a3+...+a n ①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例题2：求数列的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)

解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n =
②若x≠1,则
两式相减得：
+…+
∴
例：求数列1，，，……，
+……+ 的和.
解：∵
∴
（5）奇偶求和法
（6）裂项相消法
此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．
此方法主要针对
这样的求和，其中{an}是等差数列．
（3）错位相减法
（4）分组化归法
此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．
此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
例：试化简下列和式：
例：求和
解：当n = 2k (k N+)时,
当，
综合得：
例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
解：
∵
∴
(7)分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{ }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的表达式，然后用数学归纳法证明之.
例：已知等比数列{ }中， =64，q= ，设 =log2 ，求数列{| |}的前n项和 .
解： = =
∴ =log2 =
（1）当 ≤7时， ≥0
此时， =－ +
（2）当＞7时， <0
此时， = － +42（ ≥8）

求前n项和公式的常用方法

求前n项和公式的常用方法
1.等差数列的前n项和：
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

设等差数列首项为a，公差为d，则其前n项和公式为：
Sn=(n/2)*[2a+(n-1)d]
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。

2.等比数列的前n项和：
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

设等比数列首项为a，公比为r，则其前n项和公式为：
Sn=a*(1-r^n)/(1-r)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。

3.平方数数列的前n项和：
平方数数列是指其每一项都是一些正整数的平方的数列。

设平方数数列的首项为1，则前n项和公式为：
Sn=(n/6)*(2n+1)*(n+1)
其中，Sn表示前n项和，n表示项数。

4.等差数列与等比数列混合的前n项和：
在一些问题中，数列既具有等差又具有等比的规律。

设数列的前n项和公式为：
Sn = (a1 * r^n - an) / (r - 1)
其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，an表示前n项的末项。

5.其他特殊数列的前n项和：
除了上述常用的数列，还有其他特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。

它们的前n项和公式可以通过递归、推导等方法得到。

综上所述，求前n项和的公式主要是根据数列的特点和规律进行推导得出的。

通过掌握不同类型数列的性质和规律，可以得到相应的前n项和公式，从而更快地求解数学问题。

数列前n项和求和方法集锦(错位相加法,分组求和法等)

一.求和方法大集锦1.分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2.数列累加法(1)逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。

(2)逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3.裂项求和当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

4.倒序相加最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。

所以便有首项加末项乘以项数除以二。

1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/1005.错位相减这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数）如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系。