几何问题代数化微谈

们遇到问题时，转 换 下 视 角，时 而 要 几 何 证 明，时 而 要 代 数
计算，两者结合，才能更好了解题目本身，爱上数学．
数学学习与研究 2019. 7
明明很靠近最后结果了，就是到不了，就像反比例函数 y =
1 x
图像一样虽然可以无限接近
x
轴，但是永远到不了
x
轴，
这让我们对之又恨又爱． 代数法给了我们一个靠近它，了解
它，看穿它，走进它 心 里 的 一 个 机 会，让 我 们 掀 开 了 它 的 神
秘面纱．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，我觉得当我
们与数学几何世 界 的 距 离，找 回 了 几 何 证 明 无 法 轻 易 弄 清
的熟悉感．
题目三 点 A（ a，b） ，点 B（ c，
d） 为反比例函数 y =
k x
（ k ＞ 0） 图
像上不同的两个点，其中 0 ＜ a ＜
c，若 OA = OB，求证 A，B 两点关于
直线 y = x 对称．
关于此题，我 们 在 教 材 中 会
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
119
几何问题代数化微谈
◎陈天宇 胡瑜琳 （ 浙江省宁波杭州湾新区宁波科学中学，浙江 宁波 315336）
初中数学几 何 这 块 的 题 目 难 起 来 非 常 的 难，要 构 造 一 些基本结构如一 线 三 等 角，要 构 造 一 些 特 殊 三 角 形 如 等 边 三角形、直角三角 形，要 处 理 很 多 种 几 何 关 系，以 上 种 种 都 有自己的做题思 路 和 方 法，这 就 需 要 学 生 平 时 多 积 累 多 思 考，关键时刻才能有不错的发挥． 以上的几何证法有时候较 为复杂，但是用纯代数解法有时效果良好． 下面我就来介绍 几何问题的代数解法．
即 a － b = c － d 或 a － b = d － c，∴ a = （ 舍去） 或 a = d，∴ a =
d，b = c 即 A，B 两点关于直线 y = x 对称．
二、感 悟
在初中阶段，几 何 问 题 采 用 几 何 证 法 是 一 种 比 较 行 之
有效的方法，但有时候这个方法也会出现一点点问题，就是
OB2 = c2 + d2 ． ∵ OA = OB ∴ a2 + b2 = c2 + d2 ． 又∵ A（ a，b） ，
B（ c，d） 在反比例函数 y =
k x
（
k
＞
0）
图像上，∴
ab = cd = k，
∴ （ a + b） 2 = （ c + d） 2 ，即 a + b = c + d，（ a － b） 2 = （ c － d） 2 ，
有涉及，内容在浙教版八下反比例函数这一章，在那里有提
到过反比例函数图像具有对称性，对称轴为直线 y = x，y =
－ x，但对为什么有这个对称性就没有严谨的证明． 我在教
学之前，一直在想一种简单明了的几何证明方法，但一直没
有进展，后来采用代数法发现能够说明那层关系． 解析 ∵ A 为 （ a，b） ，B 为 （ c，d） ，∴ OA2 = a2 + b2 ，
那么 AD = AB － BD = 5 － y，CE = BC － BE = 5 － x． ∵ PD⊥AB，∴ AD2 + PD2 = AP2 ，
即（ 5 － y） 2 + x2 = （ 槡5） 2 ．
（ 1）
∵ PE⊥BC，∴ EC2 + PE2 = PC2 ，
即（ 5 － x） 2 + y2 = 52 ．
几何问题代数化，可以理解为以算代证，充分体现数形 结合的思想．
一、解法展示 题目一 如图所示，在等腰 Ｒt△ABC 中，AB = BC = 5，P 是△ABC 内部一点，且
PA = 槡5，PC = 5，则 PB 的长为
．
学生在拿到这道题目的时候，会觉得
很亲切，他会采用“将△ABP 绕点 B 顺时
针旋转 90°”方法，但是画完图形经过一定分析发现有困难，
即有（ a － b） （ a + b） = （ y － x） （ y + x） ，
∴ a － b = y － x．
{ { a － b = y － x， a = y，
∵
∴
a + b = x + y， b = x，
∴ a2 + b2 = Ｒ2 ．
这边采用两个直角三角形存在的三边关系建立两个等
式，进而说明了 CO = HP，FC = OP． 这边用代数法拉近了我
跟自己印象中的题目不一样．
下面展示代数证明的方法．
Leabharlann Baidu
解析 过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，过
点 P 作 PE ⊥ BC 于 点 E． 设 PD = x，
PE = y．
根据 PD ⊥ AB，PE ⊥ BC，AB ⊥ BC 可 知，四边形 PDBE 为矩形，则 BE = PD = x， BD = PE = y，
解析 连接 OF，OH，设 CO = x，OP = y． ∵ 四边形 CDEF，PHGD 为正方形，
∴ FC2 + CO2 = FO2 ， OP2 + HP2 = HO2 ， 即 a2 + x2 = y2 + b2 = Ｒ2 ．
又∵ CP = CD + DP，CP = CO + OP，
∴ a + b = x + y． ∵ a2 + x2 = y2 + b2 = Ｒ2 ，
题 目 二 如 图 所 示，正 方 形 CDEF，PHGD 的边 CD，PD 位于直径 AB 上，顶点 F，H 在⊙O 上，若两正方形的 边长分别为 a，b，⊙O 的半径为 Ｒ，求证 a2 + b2 = Ｒ2 ．
学生拿到此题时可能会去想着用几何证明的方法去说 明△FCO≌△PHO，但是试来试去做不出来． 有种图形结构 的熟悉感（ 一线三等角） ，又有种莫名的陌生感．
（ 2）
∴ （ 2） － （ 1） 可得 y = x + 2．
（ 3）
将（ 3） 代入（ 2） 得（ 5 － x） 2 + （ x + 2） 2 = 52 ，即有 x = 1 或
{ { x = 1， x = 2，
2，∴
或
（ 此时 PD ＞ AD，不符合，舍去）
y = 3， y = 4．
∴ PB = 槡BE2 + PE2 = 槡12 + 32 = 槡10．