最优化计算方法-第5章(线性规划)

第五章线性规划

线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规

划的一个重要的分支，其应用极其广泛．

1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究

了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法

─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规

划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇

扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美

国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性

规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间

算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论

基础和算法．

第一节

线性规划问题及其数学模型一、问题的提出

例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。问应如何安排计划使该工厂获

利最多？

ⅠⅡ现有资源

设备

原材料A 原材料B 1

4

2

4

8台时

16kg

12kg

每件利润23

ⅠⅡ现有资源

设备原材料A 原材料B 1402048台时

16kg

12kg

每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。

12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412

x ≤12,0

x x ≥

二、线性规划问题的标准型

112211112211

21122222

1122123max ..,,0

n n

n n n n m m m mn n m

n z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩

，，其中1,,0

m b b ≥

1

1

max ..,1,2,,0,1,2,,n

j j

j n

ij j i j j z c x s t a x b i m

x j n

=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)

T

n x x x =x 12(,,,)T

m b b b =b 111212122212n n

m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

A 12[,,,]

n = p p p

max ..()T

z s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00

1

max ..(

)

T

n

j j j z s t

x =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c x

p b

b x 00

对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：

（1）目标函数的转换对min z 可以化max()

z -（2）右端项的转换

对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换

约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量

（

4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j j

x x '=-

例将下列线性规划模型转化为标准形式

123

12312312312min 23..7

2

325

00

x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345

x x x =-1245

max 233x x x x -+-..s t 612457

x x x x x ++-+=712452

x x x x x -+--=12453225

x x x x -++-=

§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解

12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，

解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：

（3）作目标函数的一条等值线,120

x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行

例2 求下列线性规划的解

12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪

≥≥⎪⎩，

解（1）画可行域

c A B D C 2

x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：

（3）作目标函数的一条等值线,120

2x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解