2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试(四)文科数学
(衡水金卷)部编版2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 文
（衡水金卷）2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．{}0 B ．{}0,1,3 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．若复数3i12iz -+=-（i 是虚数单位），则4i z +=（ ）A B ．2 D ．43．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c c a b >B ．20c a b >-C ．22a b >D ．2211a bc c >++ 4．下列结论中正确的个数是（ ） ①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ∀∈>R ”；③函数()cos f x x =在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.A ．1B ．2C ．3D ．05．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．156．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ） A ．S S i =- B ．1S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i=-7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．163π B ．643 C ．16643π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．sin 2xy = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，12EF AB ∥，若这个刍甍的体积为403，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =且ABC ∆，则ABC ∆的周长为（ ）A ．1+．2+．4．511．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E于,A B 两点，若12AF F ∆的面积是12BF F ∆的三倍，23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23C ．212．已知定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（ ）A ．226f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 ．14．已知平面向量,a b r r ，4a b ==rr ，且6a b +=r r ，则a r 在b r 方向上的投影是 ．15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(222x y +=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，4PA =，则球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 满足11a =，()1n n n na na a n +=-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T . 18． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；（2）若AD =2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.19． 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.20． 已知点()00,M x y 在圆22:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）过()0,1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，是否存在实数k使得12OE OF ⋅=uu u r uu u r，并说明理由.21． 已知函数()()ln f x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，方程()()2f x m m =<-有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：2122x x ⋅<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l 的倾斜角； （2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x a a =++->-，若()7f x ≥的解集是{3x x ≤-或}4x ≥. （1）求实数a 的值；（2）若x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC 二、填空题 13．1 14．13815．( 16．3三、解答题17．解：（1）∵1n n n na na a +=-， ∴11n n a n a n++=. ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L 121121n n n n n -=⋅⋅⋅⋅=--L ， ∴数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由23n n S b =-，得13b =， 又()11232n n S b n --=-≥， ∴1122n n n n n b S S b b --=-=-， 即()122,n n b b n n -=≥∈*N，∴数列{}n b 是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴()132n n b n -=⋅∈*N ，∴132n n n b a n -⋅=⋅，∴()012131222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ，()123231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，两式相减，得()0121322222n n n T n --=++++-⋅L ()3121nn ⎡⎤=--⎣⎦，∴()3123nn T n =-+.18．解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1A A ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，∴1A A BC ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥.又1A A ⊂平面1A AB ，AD ⊂平面1A AB ，1A A AD A =I ， ∴BC ⊥平面1A AB .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥.在Rt ABD ∆中，AD =2AB BC ==，∴sin 2AD ABD AB ∠==， 即60ABD ∠=︒，在1Rt ABA ∆中，1tan60A A AB =︒=由（1）知，BC ⊥平面1A AB ，AB ⊂平面1A AB ， 从而BC AB ⊥， ∴1122222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=. ∵F 为AC 的中点， ∴112BCF ABC S S ∆==.∴11113P A BC A PBC BCF V V S AA --∆==⋅=113⨯⨯=.19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为()17778838580898892979986.810⨯+++++++++=， 乙地得分的平均数为()1657275798280848696918110⨯+++++++++=，乙地得分的中位数为8280812+=. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在[)60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：()65,72，()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共6种，其中至少有一份分数在[)70,80间的情况有：()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共5种.故所求概率56P =. （3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为,,A B C ，乙地中的两份分别为,a b .随机抽取其中2份，所有情况如下：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，一共10种.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：(),A B ，(),A C ，(),B C ，. 故所求概率310p =. 20．解：（1）由中点坐标公式，得00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()f x ，()f x .∵点()00,M x y 在圆224x y +=上运动，∴22004x y +=，即()()222624x y -+=， 整理，得()2231x y -+=.∴点P 的轨迹C 的方程为()2231x y -+=.（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l 的方程是1y kx =+，代入圆()2231x y -+=.可得()()2212390kxk x +--+=，由232240k k ∆=-->，得304k -<<， 且()122231k x x k -+=+，12291x x k =+， ∴()()()2212121212291111k y y kx kx k x x k x x k =++=+++=++()()22222432391111k k k k k k k --+=++++.∴2121228610121k k AB AB x x y y k++⋅=+==+uu u r uu u r ， 解得12k =或1，不满足0∆>. ∴不存在实数12k =使得OF .21．解：（1）由题得，()()110axf x a x x x-=-=>.当0a <时，由于0x >，可得10ax ->， 即()0f x '>.∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增， 当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<， 由()0f x '<，得1x a>， ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.（2）由（1）可设，方程()()2f x m m =<-的两个相异实根12,x x ，满足ln 0x x m --=， 且101x <<，21x >，即1122ln ln 0x x m x x m --=--=. 由题意，可知11ln 2ln 22x x m -=<-<-，又由（1）可知，()ln f x x x =-在区间()1,+∞内单调递减，故22x >.令()ln g x x x m =--， 则()1112211223ln ln 2g x g x x x x ⎛⎫-=-++-⎪⎝⎭. 令()()223lnt ln 22h t t t t =-++->， 则()()()2221t t h t t -+'=-. 当2t >时，()0h t '<，()h t 是减函数， ∴()()322ln 202h t h <--<. ∴当22x >时，()12220g x g x ⎛⎫-<⎪⎝⎭， 即()1212g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭. ∵()g x 在区间()0,1内单调递增， ∴1222x x <， 故2122x x ⋅<.22．解；（1）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得sin cos 2ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简，得2y x =+.所以直线l 的倾斜角为4π. （2）在曲线C上任取一点),sin Aαα，则点A 到直线l的距离d =当()sin 601α-︒=-时，d取得最大值，且最大值是11 23．解：（1）∵2a >-，∴()22,2,2,2,22,.x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩作出函数()f x 的图象，如图所示：由()7f x ≥的解集为{3x x ≤-或4x ≥及函数图象，可得627,827,a a +-=⎧⎨+-=⎩解得3a =.（2）由题知，x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立， 即x ∀∈R ，不等式32332x x m m ⎡++-⎤≥++-⎣⎦恒成立， 由（1）可知，235x x ++-≥（当且仅当23x -≤≤时取等号）， ∴3235m m ++-≤⨯，当3m ≤-时，3215m m ---+≤，∴8m ≥-，∴83m -≤≤-，当32m -<<时，3215m m +-+≤，成立；当2m ≥时，3215m m ++-≤，∴7m ≤，∴27m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为[]8,7-.。
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试(五)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（五)数学（文）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知集合{}0A x x =>，{}21B x x =-<<，则A B =U （ ）A. ()2,0-B. ()0,1C. ()2,-+∞D. ()1,+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】解：{}0A x x =>Q ，{}21B x x =-<< {}()|22,A B x x ∴⋃=>-=-+∞故选：C【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.()23z i i +=-，则z =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】 根据复数代数形式的除法运算计算出z ，再根据复数模的公式计算可得.【详解】解：()23z i i +=-Q()()()()232363212225i i i i i i z i i i i -----+∴====-++- ()22112z ∴=+-=故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的运算，以及复数的模，属于基础题.3.中华文化博大精深，源远流长，每年都有大批外国游客入境观光旅游或者学习等，下面是2014年至2018年三个不同年龄段外国入境游客数量的柱状图：下面说法错误的是：（ ）A. 2014年至2018年外国入境游客中，2544-岁年龄段人数明显较多B. 2015年以来，三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加C. 2015年以来，2544-岁外国入境游客增加数量大于4564-岁外国入境游客增加数量D. 2017年，2544-岁外国入境游客增长率大于1524-岁外国入境游客增长率【答案】D【解析】【分析】根据柱状图一一判断可得.【详解】解：根据柱状图可知，2544-岁年龄段人数明显多于其它年龄段的人数，故A 正确；三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加，其中2544-岁每年都将近增加了450万人次，增加最多，故B 、C 正确；从柱状图可看出，2017年，2544-岁外国入境游客增长率小于1524-岁外国入境游客增长率，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查统计图表的应用，学会分析图表，属于基础题.4.已知椭圆22:143x y C +=的右焦点、右顶点、上顶点分别为,,F A B ，则FAB S =△（ ）A. 12 B. 2 C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程求出点的坐标，即可求出三角形的面积. 【详解】解：22143x y +=Q2a ∴=，b =1c =()1,0F ∴，()2,0A ，(B11122FAB S FA OB ∴==⨯=△ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.5.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2-，则cos2=α（ ）A. 35- B. 35 C. 45- D. 45【答案】A【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式求解.【详解】解：因为角α的终边经过点()1,2-，所以sin 5α-==223cos 212sin 1255αα⎛⎫-∴=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题.6.设,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩则2z x y =-的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立133x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()2,3A．2z x y ∴=-的最小值为2231⨯-=．故选：C ．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．7.已知ln a π=，3log 2b =，20.3c = ）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b c a>>【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的性质比较大小.【详解】解：ln ln 1a e π=>=Q ，3331log 3log 2log 312=<=，即112b <<，2210.090.30.30.30.3=<<=，即00.3c <<所以a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.8.已知1a =r ，2b =r ，0a b ⋅=r r ，若23c a b =r r ，则a r 与c r 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】【分析】首先求出向量c r 的模，再求出a c ⋅r r ，最后根据夹角公式计算可得.【详解】解：23c a b =-r r r Q ()222222234343413243016c a b a b a b ∴=-=+-⋅=⨯+⨯-⨯=r r r r r r r 4c ∴=r()223232a c a a b a a b ∴⋅=⋅-=-⋅=r r r r r r r r 设a r 与c r 的夹角为θ 所以21cos 142a c a c θ⋅===⨯⋅r r r r ，[]0,θπ∈Q 3πθ∴=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量的夹角的运算，属于基础题.9.函数sin ln y x x =⋅的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，即可排除A 、C ，又根据当0x →时，函数值趋近于零，即可得出答案.【详解】解：()sin ln y f x x x ==⋅Q 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、C ， 又0x →时， sin 0x →，ln x →-∞，()sin ln 0y f x x x ∴==⋅→即可排除B ，故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，判断函数的图象可以通过定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊值进行排除．一般不需要直接列表描点作图，属于基础题．10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，2PF 交另一条渐近线于Q ，且Q 为2PF 的中点，则C 的离心率为（ ）C. 2【答案】A【解析】【分析】 设一渐近线方程为b y x a=，则1F P 的方程为0()a y x c b -=-+，代入渐近线方程求得P 的坐标，由中点公式求得中点Q 的坐标，再把点Q 的坐标代入渐近线方程求得离心率． 【详解】解：由题意可知，一渐近线方程为b y x a =，则1F P 的方程为0()a y x c b -=-+，代入渐近线方程b y x a=可得 P 的坐标为2,a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2PF 的中点2,22a c ab c Q c ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，根据中点Q 在双曲线的渐近线b y x a =-上， ∴222a c b ab c a c --⋅=-，∴222c a =，故c a =故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出2F P 的中点Q 的坐标是解题的关键，属于基础题．11.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，过AB 中点E 的直线l 与直线11A D ，直线1BC 分别交于点,M N ，则MN 的长为（ ）A. 5B. C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】先判断l 与11A D 的交点N 与1D 重合，延长1D E ，与1C B 的延长线交于M ，结合E 是AB 的中点，可确定M 位置，进而可得结果． 【详解】因为直线l 过E 与11A D 相交，所以l ⊂平面11A D E ，因为直线l 过E 与1BC 相交，所以l ⊂平面1BC E ，即l ⊂平面11BC D E ，所以l 是两平面的交线，而平面11A D E ⋂平面111BC D E D E =，所以l 与1D E 重合，l 与11A D 的交点N 与1D 重合，延长1D E ，与1C B 的延长线交于M ，因为E 是AB 的中点，所以B 是1C M 的中点，因为正方体的棱长为2122242MC ∴=⨯= ()2214226MN MD ∴==+= 故选：C【点睛】本题考查学生作图能力和计算能力，空间想象能力．解题的关键在于确定直线l 过E 点与异面直线11A D ，1BC 的交点M 、N 两点，属于难．12.关于曲线22:1C x xy y -+=有下述三个结论：①曲线C 关于y 轴对称②曲线C 上任意一点的横坐标不大于1③曲线C 2其中所有正确结论个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】 根据曲线方程，将x 换成x -即可判断①；再将曲线方程看成关于y 的方程，利用根的判别式求出x 的取值范围，即可判断②；再根据基本不等式可判断③；【详解】解：曲线22:1C x xy y -+=将x 换成x -，则()()221x x y y ---+=整理得221x xy y ++=，故曲线22:1C x xy y -+=不关于y 轴对称，故①错误；由221x xy y -+=得2210y xy x -+-=()()22410x x ∴∆=---≥解得33x -≤≤，故②错误；设(),P x y 为曲线上的一点，则P 到原点的距离为：OP =221x xy y -+=Q222212x y x y xy +∴+-=≤（当x y =时取等号） 222x y ∴+≤OP ∴=C故③正确故选：B【点睛】本题考查曲线方程及命题的真假判断与应用，属于中档题.二、填空题：13.曲线x y e =在点()1,e 处的切线方程为__________． 【答案】3122y ex e =- 【解析】【分析】首先求出函数的导数，再求导函数在1x =处的导数值，即切线的斜率，再用点斜式求出切线方程.【详解】解：12x x y e x e ==Q ()1111222212x x x x y x e x e x e x e -'⎛⎫''∴=+=+ ⎪⎝⎭ 111122113|1122x y e e e -='∴=⋅⋅+⋅= 所以切线方程为：()312y e e x -=-即3122y ex e =- 故答案为：3122y ex e =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求在一点处的切线方程，属于基础题.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知30a =，848S =，则公差d =__________．【答案】4【解析】【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据所给条件列出方程组，解得.【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，30a =Q ，848S =()11208818482a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得184a d =-⎧⎨=⎩ 故答案为：4【点睛】本题考查等差数列通项公式，求和公式的应用，属于基础题.15.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，无极值点，则ω的取值范围是_______． 【答案】1145,,6333⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U 【解析】【分析】依题意首先求出ω的大致范围，再根据在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点， 得到不等式组22662k k k k ππππωπππππωπ⎧-+≤-<⎪⎪⎨⎪<-≤+⎪⎩，()k Z ∈，即可求出ω的取值范围.【详解】解：()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 依题意得22πT π-≤ T π∴≥ 2T πω=Q02ω∴<≤,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 2666x ππππωωπω∴-<-<-因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点， 22662k k k k ππππωπππππωπ⎧-+≤-<⎪⎪∴⎨⎪<-≤+⎪⎩，()k Z ∈，解得2122331263k k k k ωω⎧-+≤<+⎪⎪∴⎨⎪+<≤+⎪⎩，()k Z ∈，当0k =时，1163ω<<满足条件， 当1k =时，4533ω≤≤满足条件，当2k ≥时，显然不满足条件， 综上可得1145,,6333ω⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U故答案为：1145,,6333⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U 【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.16.《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在,A B 两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为h ，测得表距为d ，两表日影长度差为()0εε>，则可测算出日高”由所学知识知，日高H =__________．（用,h d 表示）【答案】()h d εε+【解析】 【分析】如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =，设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+，由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽，利用三角形相似得到边的比例关系，再化简即可得到.【详解】解：如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =， 设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+ 由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽11A E EF AD A A ∴=，11B EEF BC B B= 即H x y h y +=，H x y d h y εε+++=+ 即()Hy h x y =+①，()()()()H y h x y d h x y h d εεε+=+++=+++②， ②减①得()H h d εε=+()h d H εε+∴=故答案为：()h d εε+【点睛】本题考查解三角形的应用，题目新颖，属于难题.三、解答题：17.某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到如图示的列联表：闯红灯不闯红灯合计年龄不超过45岁 6 74 80年龄超过45岁 2496 120合计 30 170200（1）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？（2）下图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计该路口6月份闯红灯人数.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-参考数据：521685ii y==∑，511966i i i x y ==∑【答案】（1）有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关（2）ˆ8.9163.7yx =-+,估计该路口6月份闯红灯人数为110（111也可） 【解析】 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与所给数据对比即可得出结论.（2）根据所给数据计算出x ，y ，b$，$a ，即可得到回归方程，代入计算可得. 【详解】（1）由列联表计算()2220069674243017080120K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.882 5.024≈>,所以有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关. （2）由题意得，()11234535x =++++=，()11581431341301201375y =++++= 51522155i ii i i x y x ybx x==-∴==-∑∑$1966531378.95559-⨯⨯=--⨯137ay bx ∴=-=$$()8.93163.7--⨯= 8.9163.7yx ∴=-+$当6x =时，8.96163.7110.3y=-⨯+=$ 所以估计该路口6月份闯红灯人数为110（111也可） 【点睛】本题考查独立性检验，回归方程的计算，属于基础题. 18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围.【答案】（1）12n n a -=（2）7n ≥，n N ∈【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）由（1）可得2122n n a -=，21nn S =-，从而得到不等式解得.【详解】（1）由题知，12n n S a +=①，当1n =时，11a =当2n ≥时，1112n n S a --+=② ①减②得，12n n a a -=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=（2）由（1）知，2122n n a -=，21n n S =-22020n n a S >+即210221202n n --+> 等价于()2224038nn->易得()222nn-随n 的增大而增大而6n =，()2224038nn-<，7n =，()2224038n n ->故7n ≥，n N ∈【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 19.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()sin cos bA B A B a=+-+. （1）求A ； （2）若2b =+，求cos B .【答案】（1）4π（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得；（2）利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而求出角B ，再用两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin BC C A=+ sin sin sin sin cos B A C A C ∴=+即()sin sin sin sin cos A C A C A C +=+ 整理，得cos sin sin sin A C A C =因为sin 0C ≠，则cos sin A A = 又()0,A π∈Q ，4A π∴=（2）由正弦定理得：2sin B A C =+2sin 4B π∴=+4B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭6sin cos B B ∴-=3sin 42B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 304B π<<Q ，442B πππ∴-<-<，43B ππ∴-= 即43B ππ=+，所以212326cos cos cos cos sin sin 434343222B ππππππ-⎛⎫=+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角恒等变换的化简求值，属于基础题.20.如图，DA ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为矩形，AB CD ∥，4AB =，2AF AD CD ===，,M N 分别为,DF BC 的中点.（1）证明：MN ∥平面ABEF ； （2）求点F 到平面MBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）21111h =【解析】 【分析】（1）取AD 中点O ，连结,OM ON ，依题意可知//OM AF ，//OM AB ，即可得到平面//OMN 平面ABEF ，从而得到线面平行；（2）连结,AM OB ，可证AF ⊥平面ABCD ，从而得到MO OB ⊥，即可求出MBC S △， 设点F 到平面MBC 的距离为h .由题可得，AM ⊥平面CDFE ，13F MBC MBC V S h -=⋅△，13A FMC FMC V S AM -=⋅△，利用等体积法求出线面距.【详解】（1）证明：取AD 中点O ，连结,OM ON .由题知，//OM AF ，//OM AB ，又OM ON O =I ，AF AB A ⋂=,OM ON ⊂平面OMN ，,AB AF ⊂平面ABEF则平面//OMN 平面ABEF ，而MN ⊂平面OMN 所以//MN 平面ABEF （2）连结,AM OB .由题知，AF AB ⊥，AF AD ⊥且,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂= 所以AF ⊥平面ABCD ，OB ⊂Q 平面ABCD则AF OB ⊥故MO OB ⊥，可得22211432MB =++=在MBC ∆中，32MB =6MC =，22BC =可得11MBC S =△设点F 到平面MBC 的距离为h . 由题可得，AM ⊥平面CDFE13F MBC MBC V S h -=⋅△，13A FMC FMC V S AM -=⋅△而F MBC B FMC A FMC V V V ---==，可得21111h =【点睛】本题考查线面平行，面面平行的证明，等体积法的应用，点面距的计算，属于中档题. 21.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.【答案】（1）MN =2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02xk =，因为P 为直线:2l y =-上的动点，从而求出0x =±MN（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t -则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-，即211112042x tx --=，即可得到12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根，列出韦达定理，根据()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+化简即可得证. 【详解】（1）24x y =Q 即24x y =2x y '∴=设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02xk =，切线方程为()2000142x y x x x -=-又因为切线过点P ，则20124x -=-，0x =±所以MN =（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t -则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-，即211112042x tx --=同理有222112042x tx --= 于是12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根，则122x x t +=，128x x =-229PF t ∴=+()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+=()()22121211164x x x x ++2121192x x t -+=+ 2PF MF NF ∴=⋅【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，导数的应用，属于中档题. 22.已知函数()()1xf x x a e =+-.（1）证明：()f x 存在唯一零点；（2）若0x ≥时，()2f x ax ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明解析（2）[)1,+∞ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由()0f x '=，得1x a =--，当1x a <--时，()0f x <，又()1110a f a e ----=--<，且当1x a >--时， ()f x 单调递增，只需说明函数在1x a >--部分存在大于零的函数值，即可说明函数存在唯一零点.（2）设()()2g x f x ax =-=()21xxa e x xe -+-，再设()()20xh x e x x =-≥，利用导数求出()h x 的最小值，可知最小值大于零，由()00g ≥，可得1a ≥，再验证1a ≥时()0g x ≥恒成立即可. 【详解】（1）()()1xf x x a e '=++，由()0f x '=，得1x a =-- 当1x a <--时，()0f x <当1x a >--时，()0f x '>，()f x 单调递增()1110a f a e ----=--<Q取b 满足0b >且1b a >-+，则()()1b f b b a e =+-10b e >->故()f x 存在唯一零点（2）设()()2g x f x ax =-=()21x x a e x xe -+-设()()20x h x e x x =-≥，则()2x h x e '=-，令()20x h x e '=-=则ln 2x =且当ln 2x >时，()0h x '>，即()h x 在()ln 2,+∞上单调递增，当0ln 2x ≤<时，()0h x '<，即()h x 在[)0,ln 2上单调递减，易得()()min ln 2h x h ≥=()21ln 20->由题知，()00g ≥，可得1a ≥当1a ≥时，()()21x x g x e x xe ≥-+-()121121x x x e x +⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭设()()11021x x x e x x ϕ+=-≥+，()()2223021x x xx e x ϕ+'=≥+（仅当0x =取等号）则()x ϕ在[)0,+∞递增，所以()()00x ϕϕ≥=，可得()()()210g x x x ϕ≥+≥因此a 的范围是[)1,+∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.。
【衡水金卷】河北省衡水中学2024届高考模拟押题卷(一)语文(含解析)
【衡水金卷】河北省衡水中学2024届高考模拟押题卷（一）语文留意事项：1．本试卷分第I卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2．作答时，请仔细阅读答题卡上的留意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读(9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成l～3题。
百年中国，再没有其他学说像儒家思想这样，经验了如此长时间的反复跌宕和严峻拷问。
读经和反对读经，曾成为学界和舆论界争吵不休的一桩公案。
反对者明显占上风，连鲁迅也站出来发声，指责提倡读经者即使是真正的醇厚人也不过是“笨牛”而已。
文革十年，儒家思想成为众矢之的，必欲清除扫尽而快之。
改革开放后，把历史还给历史成为思想学术界共同呼声，孔子由被幼童也参加唾骂的斯文扫地变而为正常的文化古人。
由于所经验的“毁圣弃知”的时间实在太长，难免积非成是，变更世人乃至学界部分人士的成见尚需时日。
儒学产生之初，即春秋战国时期，儒家只是诸子百家中的一家，其影响比之墨家或犹有未及。
所以孟子颇为焦虑地说：“圣王不作，诸侯放恣，处士横议，杨朱、墨翟之言盈天下。
天下之言不归杨，则归墨。
”他因此想起而矫正此种“仁义充塞”的时代风气，欲以承继虞舜、周公、孔子的圣道为己任。
汉代中期汉武帝实施“独尊儒术，罢黜百家”的政策，使儒学地位隧然提升，成为社会主流意识形态。
但儒学以外的学说仍有存在空间。
东汉佛教的传入和道教的兴起，即为明证。
而到魏晋南北朝时期，释、道、玄之风大炽，其思想所宗更非只有儒学一家。
隋唐佛教发展的势头，亦不在儒学之下。
但假如认为隋唐时期的思想主潮是佛而非儒，轻忽儒家地位，又有误读古人之嫌。
直承郑康成而撰《五经正义》的孔颖达，即是当时继往开来的儒学健将。
明清以还，儒学的地位日趋稳固，但佛、道两家在民间社会的影响也起先定式成型儒家思想在宋代呈现变易之势。
二程和朱子等宋代大儒，诚然是承继了先秦以孔子、孟子为代表的儒家思想，但朱子的理学实为思想大汇流的产物，道家和道教的思想，佛教特殊是禅宗的思想，一起参加进来成为理学的助发资源。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准预测试卷(四)理科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准预测试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|20,{1,0,1,2,3}M x x x N =-->=-，则M N =（ ）A. {0,1}B. {3}C. {1,0,1,2,3}-D.{0,1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】先化简集合M 、N,再求M N ⋂. 【详解】由题得M={x|x ＞2或x ＜-1}, 所以M ∩N={3}. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞）【答案】B 【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 则（ ）A. 1212,m m n n <<B. 1212,m m n n <>C. 1212,m m n n ><D. 1212,m m n n >>【答案】C 【解析】 【分析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解．【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知： 甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 得12m m >，12n n <． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3t a n4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264c o s 2s i n 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5.运行下图程序框图，则输出框输出的是（ ）A.12B. -1C. 2D. 0【答案】A 【解析】 【分析】直接按照程序框图运行,找到数列的周期，即可得解. 【详解】n=1,x=12,1≤2019，x=1-2=-1,n=2,2≤2019，x=1+1=2,n=3,3≤2019，x=1-11=22,n=4,所以由x 组成的数列的周期为3， 2019=673×3， 所以输出的是12. 故选：A【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线离心率为（ ）A.5B.32D.2【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可得关于a,b 的方程组，解得a 、b 的值，再求出双曲线的离心率. 【详解】圆22:650C x y x +-+=的圆心(3,0)C ，半径2r =∴双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点坐标为(3,0)，即3c =，229a b ∴+=，①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，C ∴2=② 由①②解得：25a =，24b =，所以29c =∴该双曲线的离心率为e ==故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用7.设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，且满足()2f x …的x 的取值范围是（ ）A. [1,2]-B. [0,2]C. [1,)+∞D. [0,)+∞【答案】D 【解析】试题分析：当1x ≤时，122x -≤的可变形为11,0x x -≤≥，∴01x ≤≤． 当1x >时，21log 2x -≤的可变形为12x ≥，∴1x >， 故答案为[0,)+∞． 故选D ．考点：解关于分段函数的不等式.8.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P QEF -的体积D. △QEF 的面积 【答案】B 【解析】试题分析：将平面QEF 延展到平面11CDA B 如下图所示，由图可知，P 到平面11CDA B 的距离为定值.由于四边形11CDA B 为矩形，故三角形QEF 的面积为定值，进而三棱锥P QEF -的体积为定值.故A ，C ，D 选项为真命题，B 为假命题.考点：空间点线面位置关系.9.湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ）A.12B.18C.14D.16【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数122412n C C ==，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数 133m C ==，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必 考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数122412n C C ==， 在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==， ∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为31124m p n ===． 故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A.C. 7D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P 、Q 两点间的最大距离.【详解】设椭圆上点Q (,)x y ，则221010x y =- ，因为圆22(6)2x y +-=的圆心为0,6（），，所以椭圆上的点与圆心的距离2==≤，所以P、Q两点间的最大距离是=【点睛】本题主要考查了圆与椭圆，两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值，属于中档题.11.已知函数()sin(),f x xϕ=-且23()0,f x dxπ=⎰则函数()f x的图象的一条对称轴是( )A.56xπ= B.712xπ= C.3xπ= D.6xπ=【答案】A【解析】试题分析：函数()f x的对称轴为12x kπϕπ-=+12x kπϕπ⇒=++,因为()232sin0cos cos03x dxππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+=⎪⎝⎭⎰sin03πϕ⎛⎫⇒-=⎪⎝⎭,所以23kπϕπ-=23kπϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k kππϕπππ=++=-+(12,k k N∈) 则56xπ=是其中一条对称轴,故选A.考点：三角函数图像辅助角公式定积分12.定义在R上的函数()f x满足()()f x f x-=，对任意不相等的实数1x和2[0,)x∈+∞有()()1212f x f xx x-<-成立，若关于x的不等式(2ln3)2(3)(2ln3)f mx x f f mx x--≥--++在[1,3]x∈上恒成立，则实数m的取值范围（）A.1ln6,12e6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.1ln6,2e3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.1ln3,2e3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1ln3,12e6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵函数()f x 满足()()f x f x -=， ∴函数()f x 为偶函数．又()()()()()2ln 3232ln 3232ln 3f mx x f f mx x f f mx x --≥--++=---， ∴()()22ln 323f mx x f --≥， ∴()()2ln 33f mx x f --≥．由题意可得函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减． ∴[]2ln 331,3mx x x --≤∈对恒成立， ∴[]32ln 331,3mx x x 对-≤--≤∈恒成立，即ln ln 622x x m x x+≤≤[]1,3x ∈对恒成立． 令[]ln (),1,32x g x x x =∈，则21ln ()2x g x x -'=， ∴()g x 在[]1,e 上单调递增，在(,3]e 上单调递减， ∴max 1()()2g x g e e==． 令[]ln 6(),1,32x h x x x +=∈，则25ln ()02xh x x --'=<， ∴()h x 在[]1,3上单调递减， ∴min 6ln 3ln 3()(3)166h x h +===+． 综上可得实数m 的取值范围为1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．选D ． 点睛：解答本题的两个注意点（1）要根据条件中给出的函数的奇偶性的性质，将问题转化为[]2ln 331,3mx x x --≤∈对上恒成立的问题，去掉绝对值后转化为不等式恒成立求解．（2）解决恒成立问题时，选用分离参数的方法进行，转化为求具体函数的最大值或最小值的问题，然后根据导数并结合函数的单调性去解即可．二、填空题。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(十一)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（十一）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，{}|ln P x y x ==，{}1Q x x =<，则()U P Q ⋂ð=（ ） A. (]1,0- B. ()0,1 C. ()1,-+∞ D. ()1,1-【答案】A 【解析】 【分析】先由ln y x =的定义域得到P ，进而求出U P ð，再由1x <得到Q ，最后求交集即可. 【详解】因为{}{}|ln 0P x y x x x ===，所以{}|0U P x x =≤ð， 由1x <得11x -<<，所以{}11Q x x =-<<， 所以(){}10U P Q x x ⋂=-<≤ð. 故选A【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.若()()235z i -+=（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A. 82i + B.7122i + C. 82i -D.7122i - 【答案】B 【解析】 【分析】先由复数的运算法则求出z ，进而可得其共轭复数.【详解】因为()()235z i -+=，所以()()()53537222333222i i iz i i i --=+=+=+=-++-， 因此其共轭复数为7122z i =+. 故选B【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数的概念，熟记运算法则即可，属于基础题型. 3.若在区间()1,4-上任取一实数x ，则“39x <”的概率是（ ） A.14B.34C.25D.35【答案】D 【解析】 【分析】先由39x <求出x ，再由几何概型的概率公式即可求出结果. 【详解】由39x <得2x <，因为()1,4x ∈-，所以12x -<<， 所以“39x <”的概率是()()213415--=--.故选D【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可求解，属于基础题型. 4.若1tan 2θ=-，则sin cos θθ的值为（ ） A.15B. 35C. 45-D. 25-【答案】D【分析】 由22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ=+，分子分母同除以2cos θ，即可求出结果. 【详解】因为222sin cos tan sin cos 1sin cos tan θθθθθθθθ==++，又1tan 2θ=-，所以122sin cos 1514θθ-==-+. 故选D【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，将弦化切即可，属于基础题型. 5.若抛物线21:4C y x =上的点()3,2P m n -+到其焦点的距离为5，则实数n =（ ） A.52B. 2C. 32D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出结果. 【详解】因为抛物线21:4C y x =的准线方程为1y =-， 又抛物线上的点()3,2P m n -+到其焦点的距离为5， 所以215n ++=，因此2n =. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，灵活运用抛物线的定义即可求出结果，属于基础题型. 6.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ②若//αβ，m β⊂，则//m α； ③若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【详解】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C. 7.若将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象，则()f x =（ ） A. cos2x B. sin 2x -C. sin 2xD. cos2x -【答案】D 【解析】 【分析】根据函数平移左加右减的原则，即可得出结果.【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度后可得到函数()f x 的图象， 所以()sin 2sin 22662f x x x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选D【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记平移原则即可，属于基础题型.8.若实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则14x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A.14B. 2C.12D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，再令z x y =-，因此14x y-⎛⎫ ⎪⎝⎭要取最大值只需z 取最小值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件40,220,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如下：令z x y =-，所以14x y-⎛⎫ ⎪⎝⎭要取最大值只需z 取最小值，又z x y =-可化为y x z =-，所以z 表示直线y x z =-在y 轴截距的相反数，由图像可得，直线y x z =-过点A 时，截距最大，即z 最小，易得()A 01，，所以011minz =-=-，因此14x y-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为4.故选D【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.9.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，以双曲线C 的实轴为直径的圆Ω与双曲线的渐近线在第一象限交于点P ，若FP bk a=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y x =± B. 2y x =±C. 3y x =±D. 4y x =±【答案】A 【解析】依题意，联立222,,x y a by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故20abb c a a c c-=--，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±，故选A.10.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，且OA AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r在向量u u r CB 方向上的投影为（ ） A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】D 【解析】由题意可得：()()0AB AO AC AO -+-=u u u v u u u v u u u v u u u v v ，即：0,OB OC OB OC +==-u u u v u u u v u u u v u u u vv ,即外接圆的圆心O 为边BC 的中点，则ABC V 是以BC 为斜边的直角三角形，结合1OA AB ==u u u r u u u r 有：,6ACB CA π∠==则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为3cos 62CA π==u u u v .本题选择D 选项.11.已知等差数列{}n a 、等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若21n n S n T n +=+，则68a b 的值是（ ）A. 1316B. 1314C. 1116D. 1115【答案】A 【解析】 【分析】先由()()2211n n n n S n T n n n ++==++，不妨令()2n S n n =+，()1n T n n =+，由此分别求出n n a b ，，进而可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a 、等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n S n T n +=+，所以()()2211n n n n S n T n n n ++==++，不妨令()2n S n n =+，()1n T n n =+， 所以()()()()1211212n n n a S S n n n n n n ，-=-=+--+=+≥； ()()()11122n n n b T T n n n n n n -=-=+--=≥，；所以68261132816a b ⨯+==⨯. 故选A【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前n 项和公式，即可求解，属于常考题型. 12.已知()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()(2)f x f x =-恒成立，且当01x ≤≤时，2()22f x x =-.设函数3()()log g x f x x =-，则()g x 的零点的个数为（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】由()f x 为偶函数，对任意x R ∈，()()2f x f x =-恒成立，知()()()2f x f x f x =-=+，所以函数的周期2T =,又()()2f x f x =-知()()11f x f x +=-，所以函数关于1x =对称，当01x ≤≤时，()222f x x =-做出其图象.并做关于1x =的对称图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为[]0,2，令3log 2x =，得9x =，在同一直角坐标系内作函数()3,log y f x y x ==在[]0,9x ∈上的图象，由图象可知共有8个交点，所以函数()g x 的零点的个数为8个. 点睛：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的1()(),(=(),()()f a x f a x f x T f x f x T f x -=++-+=）以及函数的奇偶性，通过变形处理都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问题.二、填空题：每题4小题，每小题5分，共20分。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(四)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（四）数学（文）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一部分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =U （ ） A. {|3}x x ≥ B. {}|10x x -<< C. {}|10x x x ≤-≥或D. {}|3x x <【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集. 【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x -<<，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}R M N x x ⋃=≥ð，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－ 考点：同角间三角函数关系 【此处有视频，请去附件查看】3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ） A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】A 【解析】 试题分析：因为当时，2()2f x x x =-，所以. 又因为()f x 是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.4.已知两条直线1l ： ()1210a x y -++=， 2l ： 30x ay ++=平行，则a =（ ） A. -1 B. 2C. 0或-2D. -1或2【答案】D 【解析】试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a ． 解：因为直线l 1：（a ﹣1）x+2y+1=0的斜率存在， 又∵l 1∥l 2， ∴，∴a=﹣1或a=2，两条直线在y 轴是的截距不相等， 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行． 故选D ．点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．5.设323log ,log log a b c π=== ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】A 【解析】∵a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log22＝1，∴a>b ，又b c＝231log 321log 22＝(log 23)2>1，∴b>c ，故a>b>c. 6.已知点()2,P y 在抛物线24y x =上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为( ) A. 2 B. 3C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求，抛物线上的点到焦点的距离等于到它到准线的距离.【详解】因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，准线为1x =-，结合定义P 点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离3，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，利用抛物线定义能实现点到焦点和点到准线距离的转化. 7.下列说法正确的是( )A. “f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件B. 若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ￢：x R ∀∈，210x x --< C. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”D. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．【详解】对于A ，f （0）＝0时，函数 f （x ）不一定是奇函数，如f （x ）＝x 2，x ∈R ； 函数 f （x ） 是奇函数时，f （0）不一定等于零，如f （x ）1x=，x ≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，∴B 错误； 对于C ，若α6π=，则sin α12=的否命题是 “若α6π≠，则sin α12≠”，∴Ｃ正确． 对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴Ｄ错误； 故选C ．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．8.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，则C 的方程是( ) A. 22134x y +=B. 22143x += C. 22142x y +=D. 22143x y +=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为22221(0)x y a b a b +=>>，可知11,2c c e a ===，可得2a =，又222a b c =+，可得23b =，所以椭圆方程为22143x y +=.考点：椭圆的标准方程.【此处有视频，请去附件查看】9.已知向量,a b r r ，满足3a =r ，23b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r的夹角为( )A.2π B.23πC.34π D.56π【答案】D 【解析】 【分析】先根据()a a b ⊥+r r r求出a b ⋅r r，然后利用夹角公式可求.【详解】因为()a a b ⊥+r r r ，所以2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=r r r r r r ，因为3a =r ，所以9a b ⋅=-r r；cos ,a b a b a b ⋅===r rr r r r a r 与b r 的夹角为56π，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，垂直条件的使用是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 11.已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.12.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+，则满足1(())2f f a =的实数a 的个数为（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数作出函数的图象，结合图象及1(())2f f a =可以求解. 【详解】因为()y f x =为偶函数，所以图象关于y 轴对称，如图，设()t f a =，则结合图象由1()2f t =可知t 有4个不同的解，不妨设为1234t t t t <<<，结合图象可知1(2,1)t ∈--，此时1()f a t =，a 有两个解；同理2(1,0)t ∈-，此时2()f a t =，a 有两个解；3(0,1)t ∈，此时3()f a t =，a 有四个解；4(1,2)t ∈，此时4()f a t =，a 无解；综上可得实数a 的个数为8，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，数学结合是求解的捷径，侧重考查数学抽象，直观想象的核心素养.第二部分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.函数()(01)x f x a a a =≠f 且在[0,1]上最大值与最小值之和3,则a=___________ 【答案】 2【解析】 【分析】讨论01a <<与1a >时，函数xy a =在[]0,1上的单调性，求出函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值，由此求出a 的值.【详解】①当01a <<时，函数xy a =在[]0,1上为单调减函数，∴函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值分别为1,a ；又函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值和为3 ,13a ∴+= ,解得2a = (舍去)；②当1a >时，函数xy a =在[]0,1上为单调增函数，∴函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值分别为,1a ；又函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值和为3 ,13a ∴+= ,解得2a =；综上，2a =，故答案为2.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.14.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为_______．【答案】90o 【解析】 【分析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为90︒可知,AB AC ⊥.【详解】由1+2AO AB AC =u u u r u u u r u u u r（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB u u u r 与AC u u u r的夹角为090 所以答案为90︒【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.15.已知：圆C 过点A （6,0），B （1,5）且圆心在直线:2780l x y -+=上，求圆C 的方程． 【答案】22(3)(2)13x y -+-=. 【解析】试题分析：由圆C 过A 和B 点，得到AB 为圆C 的弦，求出线段AB 垂直平分线的方程，根据垂径定理得到圆心C 在此方程上，方法是利用中点坐标公式求出线段AB 的中点，根据直线AB 的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB 垂直平分线的斜率，由求出的中点坐标和斜率写出线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出圆心C 的坐标，然后再根据两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆C 的半径，由圆心和半径写出圆C 的标准方程即可．解法1：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由题意可得6)20)221)25)22(({((2780a b a b r r a b ----+=+=-+=n n n n ,解得：所以求圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.解法2：求出AB 垂直平分线方程10x y --=联立方程组103{{27802x y x x y y --==⇒-+==求出半径13r =,写出圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.考点：此题考查了中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理及两点间的距离公式，理解圆中弦的垂直平分线一定过圆心是解本题的关键． 16.下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上角的集合是{|,}2k k Z παα=∈． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象．⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【解析】【详解】①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x=在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17.设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x ∈R . （Ⅰ）.若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的集合； （Ⅱ）.若8x π=是()f x 的一个零点，且010ω<<，求()f x 的单调递增区间．【答案】(1) ；34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；(2)3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)先利用诱导公式化简为标准型，然后求解最值和相应的x 的集合； (2)根据8x π=是()f x 的一个零点及010ω<<，求出ω，然后求解增区间.【详解】(1) ()sin sin sin cos 2f x x x x x πωωωω⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭当1=2ω时，()sin cos 2224x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又1sin 124x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以f (x )，此时，2242x k πππ-=+，k ∈Z ，即342x k ππ=+，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝32π＋4k π，k ∈Z}．(2)因为()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，8x π=是f (x )的一个零点⇔0884x f πωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即84x k ωπ-=π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，14- <k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，得3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合恒等变换化简解析式是关键步骤，侧重考查转化化归，数形结合的思想.18.在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A（2）若3a =，△ABC 的面积为b c 、 【答案】：（Ⅰ）1cos 3A =（Ⅱ）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin 3A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c +=解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩【此处有视频，请去附件查看】19.已知圆22C :8120x y y +-+=，直线l :ax y 2a 0++=． （1）当直线l 与圆C 相切，求a 的值；（2）当直线l 与圆C 相交于,A B两点，且AB =时，求直线l 的方程． 【答案】(1) 34a =- (2) 7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】试题分析：（1）把一般方程配成圆的标准方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离为半径得到关于a 的方程，解出a 即可．（2）先利用几何性质由弦长AB，再利用点到直线距离公式得到关于a 的方程，解出a 即可．解析：圆22:8120C x y y +-+=化成标准方程为()2244x y +-=，则此圆的圆心为()0,4，半径为2.（1）当直线l 与圆C2= ，解得34a =-（2）过圆心C 作CD AB ⊥于D ，则根据题意和圆的性质，CD =，=解得7a =-或1a =-，故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.20.平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι)22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=【解析】 【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值. 【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c =-，即222a c =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +-=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =又因为()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅= . 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键. 21.已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'，……………………………………………………（2分） (1)213f =+='.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为.…………………………………（4分） (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.……………………………………………………（5分） ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………………………………（6分）②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………（8分）（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.…………………………………………………（9分）max ()2g x =……………………………………………………………………………（10分）由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)……………………（11分）当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，…………（13分）所以21ln()a >---， 解得31a e<-. ………………………………………………………………………（14分） 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用．（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值． （2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论． （3）由已知，转化为max max ()()f x g x <.由(Ⅱ)知，当a ≥0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R ，故不符合题意. 当a<0时，f(x)在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故f(x)的极大值即为最大值，进而得到．解(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'， (1)213f =+='.曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为. (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.max ()2g x =由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，所以21ln()a >---， 解得31a e<-. 请考生从第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB V 面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知 |OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=--≤当α12π=-时， S 取得最大值2.所以△OAB 面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.选修4-5：不等式选讲23.（Ⅰ）.设函数()|3||1|f x x x =+--，解不等式()1f x ≤； （Ⅱ）.已知0a >，0b >，222a b +=，证明：2a b +≤. 【答案】（1）1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值，求解不等式； （2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）当1x ≥时，()3(1)41f x x x =+--=≤无解； 当31x -<<时，()3(1)221f x x x x =++-=+≤，解得132x -<≤-； 当3x ≤-时，()3(1)41f x x x =--+-=-≤，得3x ≤-； 综上可得1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）因由柯西不等式得22222)(1)((1)a b a b ++≥+，所以222()2()4a b a b ≤+=+，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立； 所以 2a b +≤.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和证明不等式，含有绝对值不等式常用零点分段讨论的方法进行.。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(十五)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（十五）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集。
【详解】，故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素。
2.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】复数的除法法则化简复数z，再根据复数的模长公式求解。
【详解】。
故选B【点睛】对于分数型的复数，首先采取复数的除法运算法则进行化简，化简成的形式，再求模长。
3.已知，则（）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和，进行变形，再代入求值。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准预测试卷(三)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
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一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则( )A. {}1A B x x ⋃=> B. A B =R C. {|0}AB x x =<D. A B ⋂=∅【答案】C【解析】 【分析】化简集合B ，然后计算A B ⋃和A B ⋂，得到答案.【详解】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<,而{|1}A x x =<，所以{}1A B x x ⋃=<，{}0A B x x ⋂=< 故选C 项.【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.2.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案.【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.已知p ：12x +> ，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 3a -≤ C. 1a ≥- D. 1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得q 是p 的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】由12x +>，解得1x >或3x <-，因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 从而可得(,)a +∞是-∞-+∞(,3)(1,)的真子集，所以1a ≥，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.4.等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A. ±4 B. 4 C. 14±D.14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a ．=±=±⨯=±故选：A ．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．5. 若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A. log a c ＜log b c B. log c a ＜log c bC. a c＜b cD. c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A. (,2)-∞- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选：D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.7.设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AF BF +的值是（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】分析：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF 则四边形2AFBF 是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF BF +=2a 得解.详解：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF因为OA=OB,OF=O 2F ,所以四边形2AFBF 是平行四边形. 所以2BF AF =,所以AF BF +=|AF|+2AF =2a=4, 故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形2AFBF 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】C 【解析】由题可得立体图形：则4145,4A B C B C ==+=,6,AP BP ===所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可9.设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为( )A.π8B.π4C.12π+ 【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB △的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω为半径的14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.10.已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A. 关于直线12x π=对称B. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 周期为2π D. ()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在在(,0)3π-上是增函数。
高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第三部分 刷模拟 高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题
2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(二)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）数学(文科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】可求出N ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{}1,0,1M =-，{}()2200,2N x x x =-<=，∴M N =I {}1 故选B【点睛】本题考查二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.复数1ii-对应点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解. 【详解】由题得1(1)1i i iz i i i i--⋅===--⋅. 所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限. 故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若1tan 2α=，则cos2=α( ) A. 45-B. 35- C.45D.35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r，1a =r ，3b =r ，则a b -r r =( )A. 0B. 2C.【答案】D 【解析】直接利用向量的模的公式求解.【详解】由题得a b -=vv 故选D【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.已知抛物线2y ax =上的点(1,)M m 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( ) A. 24y x = B. 22y x = C. 25y x = D. 23y x =【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，转化列出方程求出ａ，即可得到抛物线方程． 【详解】抛物线2y ax =的准线方程x 4a =-， ∵抛物线2y ax =上的点()1,M m 到其焦点的距离为2， ∴124a+=， ∴a 4=，即该抛物线的标准方程为24y x =， 故选Ａ【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查． 6.设随机变量ξ的概率分布列如下表，则(21)P ξ-==( )A.712B.12C.512D.16【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量ξ的概率分布列，求出a 的值，再利用和概率公式计算()21P ξ-=的值． 【详解】解：根据随机变量ξ的概率分布列知，111a 643+=＋＋1， 解得1a 4=；又21ξ-=， ∴ξ＝1或ξ＝3， 则()()()11521136412PP P ξξξ-===+==+= 故选C ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，考查转化思想与计算能力，是基础题． 7.已知()x f x e x =-，命題:,()0p x R f x ∀∈>，则( ) A. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ B. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈< C. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ D. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】 分析】利用导数求出函数的最小值，可知p 是真命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得结果. 【详解】由题意可得，令()0f x '=，则0x =∴()xf x e x =-在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增， ∴()()f 010x f ≥=>，即p 是真命题，命題():,0p x R f x ∀∈>的否定为：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤， 故选A【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查全称命题的否定为特称命题，属于容易题. 8.已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>与()cos (0,0)2Ag x x A ωω=>>的部分图像如图所示，则( )A. 31,A ωπ== B. 2,3A πω== C. 1,3A πω==D. 32,A ωπ==【答案】B 【解析】 【分析】先根据最值分析出A 的值，再根据周期分析出ω的值. 【详解】因为A ＞0,所以1, 2.2AA =∴= 由题得23,.4423T ππωω==∴= 故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A. 2.6B. 3C. 3.1D. 14【答案】C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．11.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将ADE ∆，BEF ∆，CDF ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EDF '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 5πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积． 【详解】解：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ． 三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 1146++=6∴球的表面积为264()2π⋅=6π． 故选A ．【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. )+∞B. 7(1,)6C. 7(6D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标得到线段|F 2Q |和|F 2A |，从而得32a ＞2b a ，进而有|AQ |＝232a ba =-，结合|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即可求得离心率的范围. 【详解】AF 2垂直于x 轴，则|F 2A |为双曲线的通径的一半，|F 2A |＝2b a ，A 的坐标为2bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，|AF 1|222b a a +==. Q 32a c ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴|F 2Q |＝32a . 又|F 2Q |＞|F 2A |⇒32a ＞2b a，故有|AQ |＝232a b a =-；A 在第一象限上即在右支上，则有|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|， 即222b a a +＋32a －2b a＞32×2c ⇒22432a a a +＞3c ⇒7a ＞6c ⇒e ＝c a ＜76.∵e ＞1，∴1＜e ＜76.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在61(2)2x -的展开式中，二项式系数最大的项为________． 【答案】320x - 【解析】 【分析】判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．【详解】解：因为6122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，共有7项， 所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为()33334612202T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n ，故答案为320x -【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大．14.已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______． 【答案】92【解析】 【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【详解】解：∵正实数,a b 满足21a b +=，∴112a b +=（2a+b ）115592222b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时取等号． ∴112a b +的最小值为92故答案为92：．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题． 15.已知函数()()21+4,1,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩的定义域为R ，数列{}()n a n N*∈满足()naf n =，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】3a > 【解析】 【分析】根据已知得到关于a 的不等式组，解之即得.【详解】由题得21211,,32+3a a a a a a a >>⎧⎧∴∴>⎨⎨<<⎩⎩. 故答案为3a >【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在ABC ∆中， 6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【答案】106【解析】【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为2111sin 561()6225ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯-=又由126(),2ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积126106252S =⨯⨯⨯=.故填106.考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中， 25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】(1) 5n a =或n a 21n =+(2) 22n S n n =+或5n. 【解析】 【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题得()()()2525511d d d +=-+，解方程得到d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求n S .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则15a d =-，452a d =+，13511a d =+ 因为1a ，4a ，13a 成等比数列，所以()()()2525511d d d +=-+， 化简的22d d =，则0d =或2d = 当0d =时，5n a =.当2d =时，153a d =-=，()312n a n =+-? 21n =+ (2)由(1)知当5n a =时， 5n S n =. 当21n a n =+时，13a =则()232122n n n S n n ++==+.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述22⨯列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据表格中数据的关系，完善22⨯列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0,1,2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望. 【详解】(1)所求的22⨯列联表如下：(2)在本次试验中()221001020304040605050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.6710.828=>故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关. (3)由题意可知ξ的可能值为0,1,2()0436105C P C ξ===，()122436315C C P C ξ===，()212436125C C P C ξ===， ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形， //AB CD ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证:平面BD ⊥平面SAD ；(2)若120SDA ∠=︒，求二面角C SB D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)77. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点M ，连接DM ，可得DB⊥AD 又侧面SAD⊥底面ABCD ，可得BD⊥平面SAD ，即可得平面SBD⊥平面SAD （2）以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量为：(),,n x y z =v ，面SBD 的法向量为)3,0,0m =v．利用向量即可求解．解析：（1）因为090ABC ∠=，BC CD =， 所以045CBD ∠=，BCD ∆是等腰直角三角形， 故2BD CB =，因为2AB BD =，045ABD ∠=，所以ABD ∆∽BCD ∆，090ADB ∠=，即BD AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ， 所以BD ⊥平面SAD ，所以平面SBD ⊥平面SAD . （2）过点S 作SE AD ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以SE ⊥底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060SDE ∠=， 过点D 在平面SAD 内作DF AD ⊥， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ， 所以DF ⊥底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，设1BC CD ==，()22262,0,,222B C S ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 则()262,0,2,DB BS ⎛==- ⎝⎭u u u v u u u v ，22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ， 设(),,m x y z =v是平面SBD 法向量，则2026202y x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取)3,0,0m =v，设(),,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则2202620x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取)3,3,1n =--v ，()()()2227cos ,31331m n m n m n⋅===+⋅+-+v v v vv v所以二面角C SB D --.20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=； （2）见解析.【解析】 【分析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =MN，，0OM ON OM ON ==⋅=u u u u ru u u r u u u u r u u u r，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r，()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21.已知函数2()(1)1f x a x lnx a =+--+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数32ln (1)y x a x x =++-的图像上方. 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ()2211a x x+-=，x ＞0，由此利用导数性质讨论函数f （x ）的单调性；（2）问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+且()()121f x a x x =+-' ()2211a x x+-=当1a ≤-时，()0f x '< ，函数()f x 在()0,∞+上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增 (2)证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+ 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=- 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，所以()()11g x g e a e ≥=--+ 又1a <，所以1111a e e--+>->-即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方.【点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =， 所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥，∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b+，12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12aba b ≤+，所以2a b ab +≥.法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(四)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（四）数学试题（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数211i z i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则||z =（ ）A.14B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为2111111i i i z i i i +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝=⎝⎭⎭,故11111i i z i i ++=⋅==--. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合{}2,2,4A =-，{}2|4B x x ==，则A B =I （ ）A. {}4B. {}2C. {}2,4D. {}2,2-【答案】D 【解析】 【分析】用列举法写出B 集合，再求交集{},A B x x A x B ⋂=∈∈． 【详解】{}2,2B =-，{}2,2A B ∴⋂=- 故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有246C =种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有133C =种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为31=62． 故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．4.若α是第二象限角，且sin 3α=，则tan α=（）A. B. C.D. -【答案】D 【解析】 【分析】根据角的范围可确定cos 0α<，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果. 【详解】αQ 是第二象限角 cos 0α∴<1cos 3α∴==-sin 3tan 1cos 3ααα∴===--本题正确选项：D【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题. 5.已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果.【详解】00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==<Q a b c ∴<<本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知,x y 满足不等式组22y x x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩„…„，则2z x y =-+的最大值为（ ） A. 2 B. -2C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,再分析2y x z =+的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得2y x z =+在2y xx y =⎧⎨+=⎩即(1,1)处取最大值,代入有2111z =-⨯+=-故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型. 7.函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．【详解】22sin()sin ()()11x x x xf x f x x x -+-+-==-=-++，故奇函数，四个图像均符合．当(0,)x π∈时，sin 0x >，2sin 01x xy x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x xy x +=>+，排除A ．故选B ．【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值． 8.执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B 【解析】 【分析】将21log n S S n+=+利用累加改写赋值表达式,再分析当5S ≤的情况即可. 【详解】由图21log n S S n +=+即222211211log log ...log log (1)12n S n n+++=+++=+. 故当5S ≤有2log (1)531n n +≤⇒≤.当31n =时, 2log (311)5S =+=,下一步1=+n n 得32n =.此时满足5S ≤ 下一步2log (321)5S =+>,下一步1=+n n 得33n =.不满足5S ≤退出.此时33n =. 故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将21log n S S n+=+类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型. 9.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ()0,∞+B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】2()(1)x f x ax e -=-Q ，0(2)(21)21f a e a =-=-求导222'()(1)1(1)x x x f x aeax e ax a e ---=+-⋅=+-0='(2)(31)31k f a e a =-=-切3(21)=423132a k a a --∴=-=--切解得1a =2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-= 20x e ->Q ，则当0x >时，'()0f x >．则()f x 的单调递增区间是(0)+∞，． 故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101S =，307S =，则40S =（ ） A. 5 B. 10C. 15D. -20【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足10201030204030,,,...S S S S S S S ---成等比数列.设{}n a 的公比为q 则102010100q S S S -=>,故10201030204030,,,...0S S S S S S S --->. 故()()22010103020S S S S S -=⋅-,即()()220202202011760S S S S --=⋅-⇒-=.因为200S >故203S =.又()()()2302020104030S S S S S S -=--故()()()24073317S -=--,故4015S =. 故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型. 11.向量|||a b a b +=-rrrr，且()()a b a b +⊥-rr rr，则b r与2a b +rr所成角的余弦值是（ ）A.7B.7C.2D. 0【答案】B 【解析】【分析】将|||a b a b +=-r r r r 两边平方,再利用()()a b a b +⊥-r rr r 得出()()0a b a b +⋅-=r r r r 即可得,a b r r 模长与夹角的关系,再求b r与2a b +rr所成角的余弦值即可.【详解】|||a b a b +=-r rr r 两边平方有()()()()22223822a ba ba b ab +=-⇒⋅=+r r r r r r r r()()224aba b ⇒+=⋅r r r r .又()()a b a b +⊥-r rr r 有()()0a b a b a b +⋅-=⇒=r r r r r r设,a b rr 夹角为θ则()()2222424cos aba b a a θ+=⋅⇒=r r r r r r ,故1cos 2θ=.因为[]0,θπ∈,故a b =r r 且夹角3πθ=.不妨设(2,0),a b ==r r .故2(4,0)a b +=+=r r设b r 与2a b +r r 所成角为ϕ则()2cos 72b a b b a bϕ⋅+====⋅+r r r r r r故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调增函数；②存在[](),m n D n m ⊆>，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，那么就称()y f x =是定义域为D 的“成功函数”.若函数()()2log x a g x a t =+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是（ ）A. 104t <<B. 104t <≤C. 14t <D. 14t >【答案】A【解析】 【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造20x x a a t -+=,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为()()2log xa g x at =+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的“成功函数”,所以()g x 为增函数,且()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ,故()(),g a a g b b ==. 即()g x x =有两个不相同的实数根. 又()2log xa at x +=,即20x x a a t -+=.令0x m a =>,即20m m t -+=有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得0140t t >⎧⎨∆=->⎩.解得104t << 故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若()12143a x dx --=⎰，则a =______. 【答案】1 【解析】 分析】根据定积分的运算，得到()1231111()|3a x dx ax x ---=-⎰，代入即可求解． 【详解】由()1231111114()|()()3333a x dx ax x a a ---=-=---+=⎰，解得1a =．故答案为1．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[]80,130（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.【答案】220 【解析】 【分析】根据先由总频率为1计算出a 的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．【详解】根据频率分布直方图知：(20.040.030.02)1010.005a a +++=⇒=； 计算出数学成绩不低于100分的频率为：(0.030.020.005)100.55++=； 所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为0.55400220⨯=人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率÷组距．属于基础题 15.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，4B π=，tan 7C =，则b =__________．【答案】524【解析】 【分析】由题已知,B C 角度的关系可求得sin A ,再根据正弦定理求b 即可. 【详解】由tan 7C =且()0,C π∈可求得2272sin 105017C ===+, 2982cos 1sin 110010C C =-=-=.故222724sin sin()sin()(sin cos )()45A B C C C C π=+=+=+=+=. 又由正弦定理24sin sin sin52454a b b b A B π=⇒=⇒=. 故答案为：52【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，第n 个五角形数记作n a ，已知132(2)n n a a n n --=-…，则前n 个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++L ]【答案】21(1)2n n + 【解析】 【分析】由题意得132n n a a n --=-再累加求得n a 即可得出第n 个五角形数.再进行求和即可. 【详解】由题得112211...3235...41n n n n n a a a a a a a n n a ---=-+-++-+=-+-+++()221+3233=2222n n n n n n --==-.故前n 个五角形数中,实心点的总数2223(1)3(1)(12...)22221(1)(21)(1)(1)(2144)6n n n n n n n n n S n n n n n ++-++++=+++-=⨯⨯+-=2(1)2n n += 故答案为：21(1)2n n + 【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知p ：函数()()2246f x x a x =-++在()1,+∞上是增函数，q ：x R ∀∈，2230x ax a ++->，若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(],1a ∈-∞-【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P 真和q 真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p ，q 的真假．进而求参数取值范围【详解】解：p 真时，21a +≤，1a ≤-，q 真时，()224238120a a a a --=-+<，26a <<，q ⌝为真时，6a ≥或2a ≤，∵()p q ∧⌝为真，∴p 与q ⌝都为真，∴1a ≤-，即(],1a ∈-∞-. 【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反．18.已知()cos ,sin a x x =r ，()2,1b =r .（1）若a b r r P ，求sin (cos 3sin )x x x +的值；（2）若()sin f x a b x =⋅+r r ，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度后，得到()g x 的图象，求()g x及()g x 的最小正周期.【答案】（1）1；（2）()4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，周期2π． 【解析】【分析】 (1)利用a b r r P 计算可得1tan 2x =,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可. (2)计算()sin f x a b x =⋅+r r ,利用辅助角公式求得()f x 再根据平移求得()g x 即可.【详解】（1）由a b r r P 得cos 2sin 0x x -=,则1tan 2x = 2222213sin cos 3sin tan 3tan 24sin (cos 3sin )11sin cos tan 114x x x x x x x x x x x ++++====+++. （2）()2cos sin sin 2cos 2sin f x x x x x x =++=+4x x x π⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎭()24g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 周期：221T ππ== 【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系xOy 中，设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且a b +=，22sin 3sin sin C A B =.（1）求C ；（2）设()1,cos P A -，()cos ,1Q A -，且A C ≤，OP uuu r 与OQ uuu r 的夹角为θ，求cos θ的值.【答案】（1）3π；（2． 【解析】【分析】(1)利用正弦定理得232c ab =.再由a b +=平方与余弦定理求得cos C 进而求得C 即可. (2)将(1)所得的3C π=代入条件即可求得30A =︒,90B =︒.再利用平面向量的公式求解cos θ即可.【详解】（1）∵22sin 3sin sin C A B = ∴23sin sin sin 2C A B = ∴由正弦定理得232c ab =∵a b +=∴22223a b ab c ++= 根据余弦定理得：2222221cos 2222a b c c ab ab C ab ab ab +--==== ∴3C π=（2）由（1）知3C π=,代入已知,并结合正弦定理得3sin sin 21sin sin 2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1sin 2A =或sin 1A =（舍去） 所以30A =︒,90B =︒∴2cos OP OQ A ⋅==u u u r u u u r而27||||1cos 4OP OQ A ⋅==+=u u u r u u u r∴22cos cos 1cos 4A A θ===+．【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列{}n a 为等差数列.（1）求证：()212n n n a a a ++…；（2）设21n a n =-，且其前n 项和n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：2n T <. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质122n n n a a a ++=+,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解n S ,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列{}n a 为等差数列,所以122n n n a a a ++=+∴()()()()222212222424n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+=++…即()212n n n a a a ++…,故结论成立.或：设数列{}n a 的公差为d ,则()()()()22221111n n n n n n a a a d a d a d a +++++=-+=-„ 即()212n n n a a a ++…,故结论成立.（2）∵212(211)2n n n n S a a a n -+=+++==L ∴211n S n = 2n ≥时：211(1)n n n <- 1n =时：11112T S ==< 2n ≥时：211111(1)1n S n n n n n=<=--- 1211111111112231n n T S S S n n=++⋯+<+-+-++--L ∴122n T n<-<. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型.21.已知函数1()x f x ae ex -=-.（1）若a e <，试判断函数()f x 是否存在零点，并说明理由；（2）若a e =，1x >-，对t R ∀∈，()(1)f t x t et y +-+…恒成立，求()1x y +的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，只有一个零点. 0a e <<时函数()f x 存在零点.（2）2e.【解析】【分析】(1)分0a ≤与0a e <<两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) ()(1)f t x t et y +-+…化简得 (1)0t e x t y -+-…,构造函数求导求解函数的单调性,再构造函数求()1x y +的最值即可.【详解】（1）由1()0x f x ae ex -=-=得1x ae ex -=令11x y ae -=,2y ex =①当0a ≤时,结合函数图象知,显然只有一个零点.②当0a e <<时,由于1x =时,11x y aea -==,2y ex e ==,∴12y y < 而0x <时,110x y ae -=>,20y ex =<,∴12y y >所以1x <时,函数()f x 存在零点.（2）a e =时,()x f x e ex =-∴()(1)t f t e et x t et y =-+-+…,即(1)0t e x t y -+-…令()(1)t h t e x t y =-+-,∴()(1)t h t e x '=-+∴当1x >-时,由()0ln(1)h t t x '>⇒>+由()0ln(1)h t t x '<⇒<+∴()h t 在(,ln(1))x -∞+上单调递减,在(ln(1),)x ++∞上单调递增.∴()ln 1t x =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h t x x x y =+-++-…∴(1)(1)ln(1)y x x x +-++„则22(1)(1)(1)ln(1)x y x x x ++-++„令1(0)x m m +=>则设22()ln t m m m m =- ()22ln (12ln )t m m m m m m m '=--=-由()012ln 00t m m m '>⇒->⇒<<由()012ln 0t m m m '<⇒-<⇒>∴()t m 在(上单调递增,在)+∞上单调递减.∴当m =,max ()2e t m t ==综上得当1x =,y =时()1x y +取最大值为2e . 【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若A 、B 是直线l 上的动点，且||2AB =，()0,1M ，求MAB △的面积.【答案】（1）C 的普通方程为2213x y +=，l 的直角坐标方程为30x y --=.（2）【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出M 到l 的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）cos sin sin x y y αααα=⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩=⎩,两式平方相加后可得曲线C 的方程为2213x y +=, 直线l的方程可化为2cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即2cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故cos sin 3ρθρθ-=,即直线l 的直角坐标方程为30x y --=.（2）直线l 方程：30x y --=M 到l的距离d ==11||222MAB S AB d =⨯⨯=⨯⨯=△. 【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型. 23.选修4-5：不等式选讲已知()|1||21|f x ax x =++-.（1）当1a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）证明：当()0,1a ∈，()0,x ∈+∞时，()1f x >恒成立.【答案】（1）1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析. 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<,12x ≥三种情况进行分情况分段讨论即可. (2)根据()0,1a ∈,()0,x ∈+∞即可对()|1||21|f x ax x =++-去绝对值.再分102x <≤与12x >两种情况讨论即可.【详解】（1）1a =时,()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩或11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩或1212121x x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-<+⎩1132x ⇔<<或111123x x ≤<⇔<<所以,原不等式的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：1(2)2,02()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>⎪⎩()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数.min 1()122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,min ()()112af x f x ≥=+>成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.。
衡水金卷2020年高考模拟卷(四)数学(文)试题Word版含答案
S =S -1 C . S=S-2i i2i2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（四）第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1 •已知集合 A ={0,1,3}, B={x (x +1)( x —2 )c 。
}，则 Al 8=( )A.{0}B. {0,1,3}C.{0,1}D . {0,1,2}—3 + i2. 若复数 z = ------- （ i 是虚数单，则 z + 4i =( )1 -2iA. 726 B . ^10 C .2 D .4 3•若a,b,c • R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）2C2 20 C . a b D a - b4.下列结论中正确的个数是（）②命题"-X • R ,sin x 冬 1 ”的否定是"—X R ,sin x • 1 ”; ③函数f x =-、x-cosx 在区间〔0,：；心［内有且仅有两个零点A. 1 B . 2 C . 3 D . 0 5.已知关于x 的不等式kx 2-6kx k ，8_0对任意的x R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间1-1,3 1上随机取一个数 k ，则k D 的概率是（ ）A.6.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭” 思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完•现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（a bc 2 1 c 2 ■ 1A. C Ca b（ 兀）1 是“sin x」的充分不必要条件;，其意•16：工-64C • y = In cosx9.《九章算术》卷第五《商功》中有记载： "刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广 .刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱 .刍甍字面意思为 茅草屋顶• ”现有一个刍甍，如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 ABFE 、CDEF 为两个1 40全等的等腰梯形， AB =4 , EF £-AB ，若这个刍甍的体积为 一，则CF 的长为（）16二 647•如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（1--：^ 1上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（&已知某函数在sin xA. y = 2B • y = cosx一2 3D . f 1 ：：：2f — sin1I 丿16丿第U 卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13•某乡镇中学有初级职称教师 160人，中级职称教师 30人，高级职称教师10人，要从其 中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数 为 __________ .r r r _ r r r r r14.已知平面向量a, b , a = y7, b =4，且a + b= 6，则a 在b 方向上的投影是 _______________占=1 a 0,b 0的渐近线与圆 x -32 y 2二2相交，则此双曲线b的离心率的取值范围是 ___________ 16 .已知三棱锥 P - ABC 的各顶点都在同一球面上，且 PA _平面ABC ，若AB =2 ,AC =1, BAC =60 , PA = 4，则球的体积为 __________________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演10.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c , acosB bcosA=2ccosC , c = 且 ABC 的面积为 三，则 ABC 的周长为（2A. 1.1 B . 2 .1211.设分别是椭圆E:笃a2y2 = 1 a b ■ 0的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，若AF 1F 2的面积是.BF 1F 2的三倍, 3COS. AF 2B，则椭圆E 的离心率为（）A.丄212 •已知定义在区间0,丄 上的函数f x , I 2丿 2f x 为其导函数，且 f x sinx - f x cosx - 0恒成立，则(f_ 心、 A. f22f 6B2x15.若双曲线—a算步骤•)17.已知数列\a n'满足a1=1, na n =na n1.-a n n •二N* .(1)求数列的通项公式；(2)若数列:b n 的前n项和为S n , S n = 2b n -3，求数列:b n a/?的前n项和T n.18.在直三棱柱ABC -AEG中，AD _平面A,BC，其垂足D落在直线A,B上.(1)求证：BC _平面AAB ；(2)若AD = .3 , AB二BC=2 , P为AC的中点，求三棱锥P_A,BC的体积.19.某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示•甲地乙地65B 77 2 5 9R 9 0 5 38 2 Q 4 69 7 29 6 1(1)分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；(2)从乙地所得分数在60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在1.75,80间的概率；(3)在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率•20.已知点M x°,y°在圆O:x2• y2 =4上运动，且存在一定点N 6,0，点P x, y为线段MN的中点.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过A 0且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F ,是否存在实数k使uuu uuu得OE OF =12，并说明理由.21.已知函数f x =ln x—axa・R .(1)求函数f x的单调区间；(2)当a =1时，方程f x二mm：：：-2有两个相异实根论公2，且捲：：：x2，证明：xf <2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x =，(：.是参数)，以原点o为y = sin a极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为"sin二一一=2 .I 4丿(1)将直线I的极坐标方程化为普通方程，并求出直线I的倾斜角；(2)求曲线C上的点到直线I的最大距离•23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x )= x+2+|x—a (a »-2 )，若f(x)3 7的解集是{x x兰一3或x兰4}.(1)求实数a的值；(2)若-x • R，不等式3f x _ f m 1恒成立，求实数m的取值范围.文数(四)答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11 、12: DC、填空题三、解答题17 •解：(1)T na n 二 na n 勺 - a n ,a n 1 _ n 1 a n n•••数列 的通项公式为a n 二n •(2)由 S n =2b n -3，得 b, =3 , 又 S n 厂 2b n 」-3 n -2 , …b n = Sn - Sn 1 = 2b n - 2b n 」，即 b n =20」n —2,n N * ,••数列^b n ，是以3为首项，2为公比的等比数列， • b n =3 2心 n • N * ,• b n a n = 3n 2n J ,• T n =3 1 20 2 21 3 22 L n 2心,2T n -3 1 21 2 22 3 23 L n 2n ,两式相减，得-Tn =3 20 • 21 • 22 • L 2n4 -n 2^-^M - n 2^1 ,•T n =3 n-1 2n 3.18 •解：(1)V 三棱柱 ABC-A^O 为直三棱柱， • A,—平面 ABC .又 BC 平面 ABC , • RA _ BC .••• AD —平面 A 1BC ，且 BC 平面 A 1BC ,a 2n n —12印= L 1 = n , a 1 n -1 n —2 1an 二 La n _2 13. 11413 8151,'、316份的情况有：65,72 , 65,75 , 65,79 , 72,75 , 72,79 , 75,79，共 6 种，其••• AD _ BC • 又 A 1A 平面 A 1AB , AD 二平面 AAB , AAIAD 二 A , •- BC _ 平面 A , AB .(2)在直三棱柱 ABC -A 1B1C 1 中，AA_AB .••• AD _平面A ,BC ，其垂足D 落在直线 A ,B 上，• AD _ AB .在 Rt. ABD 中，AD — 3 , AB 二 BC=2 ,即 ABD =60 ,在 RUABA ,中，AA = AB tan60 ° = 2^3 • 由(1)知，BC _ 平面 A ,AB , AB 平面 A ,AB , 从而BC _ AB ，1 1 •- S ABCAB BC 2 2=2. 2 2••• F 为AC 的中点，S BCF19•解：(1)由题得，甲地得分的平均数为 丄 77 78 83 85 80 89 88 92 97 99 = 86.8,10乙地得分的平均数为165 72 75 79 82 80 84 86 96 91 = 81, 10乙地得分的中位数为 82 80 »81 .2(2)由茎叶图可知，乙地得分中分数在160,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取 2•- sin . ABDAD .3一 AB 一 2… V p -A ^BC - V A 1 _PBC -'CF3AA 1 工丄 1 2,3=21333BCh.中至少有一份分数在170,80间的情况有：65,75 , 65,79 , 72,75 , 72,79 , 75,79 , 共5种. 故所求概率p = 2.6（3）甲、乙两地所得分数中超过 90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为 A,B,C ，乙地中的两份分别为a,b .随机抽取其中2份，所有情况如下：A,B ， A,C ， B,C ， a,b ， A,a ， A,b ，3故所求概率p 二一.1020.解：（1）由中点坐标公式，得即 f x , f x .T 点M x 0, y 0在圆x 2 • y 2 =4上运动，2 2.二 X 。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷(一)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（一）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求定义域得集合A，再解分式不等式得集合B，最后根据补集定义得结果.【详解】因为，所以,选A.【点睛】本题考查指数函数定义域、解分式不等式以及集合补集定义，考查基本求解能力，属基础题.2.已知复数z满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.3.设且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性化简不等式，再判断充要关系.【详解】因为,所以当时，; 当时，;因此“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.【点睛】本题考查对数函数单调性以及充要关系定义，考查基本分析判断与化解能力，属基础题.4.2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为 ( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 9500 【答案】C【解析】【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.【详解】参加工作就医费为，设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，因此选C.【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；点直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和双曲线交点问题，所以基础题.6.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据向量垂直得，再根据向量投影公式得结果.【详解】因为，所以因此在方向上的投影为，选D.【点睛】本题考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，属基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出异面直线所成的角，利用余弦定理计算出这个角的余弦值.【详解】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.古典数学文化，属于基础题.8.已知部分图象如图，则的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据图象确定的一个对称中心，再根据周期得所有对称中心，最后对照选项作判断. 【详解】由图得为的一个对称中心，因为,从而的对称中心为,当时为，选A.【点睛】本题考查根据图象求函数对称中心以及周期，考查基本分析求解能力，属基础题.9.程序框图如图，若输入的，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】执行循环，寻找规律，最后求和得结果.【详解】执行循环，得，选C.【点睛】本题考查根据流程图求输出结果，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据和项与通项关系得数列递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂项相消法求，最后根据最值得结果.【详解】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.11.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据各表面形状求表面积.【详解】几何体为如图四面体，其中所以表面积为，选D.【点睛】本题考查三视图以及四面体表面积，考查空间想象能力与综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆；以右顶点为圆心，椭圆的长轴长为直径作圆，则圆与圆的公共弦长为____.【答案】【解析】【分析】先根据条件得圆与圆的方程，再联立方程组解得交点坐标，即得结果.【详解】由题意得圆：，圆：，相减得，因此圆与圆的公共弦长为【点睛】本题考查圆方程与公共弦长，考查基本分析求解能力，属基本题.14.定义在上的函数满足，若，且，则______.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值.【详解】依题意，故为奇函数..故，所以.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15.若整数．．x，y满足不等式组，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.16.满足，，则面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得，设AB边上的高再根据条件得之间等量关系，最后根据三角形面积公式以及基本不等式求最值.【详解】因为，所以由正弦定理得，设AB边上的高则,因为，所以,因为,当且仅当时取等号，所以面积，即面积的最大值为【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求最值.，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前n项和为，求证：对于任意的，都有.【答案】（Ⅰ）（）.（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）根据和项与通项关系可得，（Ⅱ）根据裂项相消法求，即证得结果.【详解】（Ⅰ）因为① ；当时，②由①-② 得，故又因为适合上式，所以（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以.【点睛】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.【详解】（Ⅰ）连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，又，∴平面,又∵平面,∴，且.同理可得，过作，则面，且.设到平面的距离为,由等体积法可得：，即，即.即点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题. 19.2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，把年龄落在区间[15，35)和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1.（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）现采用分层抽样在[25，35)和[45，55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少?（Ⅲ）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图列方程，解得结果，（Ⅱ）根据枚举法以及古典概型概率公式求结果，（Ⅲ）先根据条件列2×2列联表，再根据公式求卡方，最后对照数据作判断.【详解】（Ⅰ）由题意得 ,解得（Ⅱ）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为，在[45,55)中抽取2人, 记为.则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则.（Ⅲ）2×2列联表如下：所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.【点睛】本题考查频率分布直方图、古典概型概率以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20.在中，，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;（Ⅱ）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线关于直线对称，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.（II）设出直线方程为，代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于轴对称，列方程，化简后求得直线过，求得的表达式，并利用单调性求得面积的取值范围.【详解】解：(Ⅰ)由得：,由正弦定理所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆(除轴上的点),其中，则，故轨迹的轨迹方程为.(Ⅱ) 由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得:.由得，，且∵直线关于轴对称,∴，即.化简得：,,得那么直线过点,,所以面积：设,,显然，S在上单调递减，.【点睛】本小题主要考查正弦定理，考查椭圆的定义和标准方程的求法，考查三角形面积公式，综合性较强，属于难题.21.已知函数，直线：.（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若在上存在极值，求的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.【答案】，（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先根据斜率公式列再求导数及其零点，最后根据条件列不等式，解得结果，（Ⅱ）设切点，根据导数几何意义得斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过（0，-1）点列方程，解得切点坐标，即得的值；（Ⅲ）先变量分离，转化为研究函数图象，利用导数研究其单调性，再结合函数图象确定交点个数.【详解】（Ⅰ）∵，∴，解得.由题意得：，解得.（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，∴切线的斜率.∴切线的方程为，又∵切线过（0，-1）点，∴.解得，∴，∴.（Ⅲ）由题意，令，得.令，∴，由，解得.∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，∴,又时，；时，，时，只有一个交点；时，有两个交点；时，没有交点.【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数极值以及零点，考查综合分析求解能力，属难题.22.选修4— 4：坐标系与参数方程设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设点，若直线与曲线相交于两点，且，求的值﹒【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，直线的参数方程（是参数）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用，消去，求得曲线的普通方程.先求得直线的直角坐标方程，然后利用直线参数方程的知识，写出直线的参数方程.（II）将直线参数方程代入切线的普通方程，写出韦达定理，利用直线参数方程参数的几何意义，列方程，解方程求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由题可得，曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为，即由于直线过点，倾斜角为，故直线的参数方程（是参数）（直线的参数方程的结果不是唯一的.）（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程并化简得：.所以, 解得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为参数方程的方法，考查直线参数方程参数的几何意义，所以中档题.23.选修4—5：不等式选讲已知.（Ⅰ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，且，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围.（II）根据（I）得到的最大值，由此得到，由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ），所以，恒成立，则，解得.（Ⅱ）由（I知），，则，又，所以，于是，故.【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题.。
2020届河北省衡水金卷新高三原创精准预测考试(二)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高三原创精准预测考试（二）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，()211i =+（ ）A. 2i - B. 2iC. 12D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算法则计算即可得到结果. 【详解】()22112221i i i i i ===-+ 本题正确选项：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.2.已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A. 充要条件 B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件 本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3.若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A. 1 B. 12C. 14D. 18【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，再由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小得答案．【详解】解：由y ＝2x 2，得212x y =， ∴2p 12=，则128p =， 由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF |的最小值为18．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的简单应用，是基础题．4.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 1y x=B. 2x y -=C. 2cos y x x =+D.33y x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数图象可排除,A B ；利用导数来判断,C D 选项，可得结果.【详解】由函数图象可知：A 选项：1y x =；B 选项：122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，可排除,A B ；C 选项：2sin y x '=-，因为[]sin 1,1x ∈-，所以0y '>，可知函数在()0,∞+上单调递增，则C 正确；D 选项：233y x '=-，当()0,1x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，可排除D .本题正确选项：C【点睛】本题考查函数在区间内单调性的判断，涉及到初等函数的知识、利用导数来求解单调性的问题.5. 在工商管理学中，MRP 指的是物质需要计划，基本MRP 的体系结构如图所示．从图中能看出影响基本MRP 的主要因素有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】试题分析：根据组织结构图的顺序，得出“基本MRP”隶属“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”的共同下级，受它们的共同影响． 解：组织结构图是从上往下画，从图中可以看出，“基本MRP”隶属“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”的共同下级， 受它们的共同影响；∴影响基本MRP 的主要因素是“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”，有3个． 故选：C ．点评：本題考查了结构图的应用问题，解题时应明确结构图常用来表示一个组织或部门的构成，下级受上级的限制和影响，隶属于上级管理，是基础题．6.某国企进行节能降耗技术改造，如表是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：预测第8年该国企的生产利润约为（ ）千万元（参考公式及数据：()()()121niii ni i x x y y b x x ∧==--=-∑∑,a y b x ∧∧=-）A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34【答案】C 【解析】 【分析】由所给数据求出,x y ，再求出线性回归方程，即可预测第8年该国企的生产利润。
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试(二十)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（二十)文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2211220A B x x x =--=-≤，，，，，则A B =I （ ） A. ()12， B. []12， C. {}12， D. {}12x x ==， 【答案】C 【解析】 【分析】首先求集合B ，再求A B I . 【详解】220x x -≤， 解得：02x ≤≤{}02B x x ∴=≤≤，{}1,2A B ∴=I .故选：C【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2.若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A.725B. 2425C. 725-D. 2425-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出3cos 5α=，然后再用倍角公式求解即可得到结果． 【详解】由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．3.若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当2x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4.已知等比数列{}n a 满足1223612a a a a +=+=，，则1a 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由题意列方程组11211612a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩求解. 【详解】设等比数列的公比为q ，11211612a a q a q a q +=⎧∴⎨+=⎩ ，解得：12,2q a == 故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型. 5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为（ ）A. 2B.2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x 的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC -，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 6.已知ln 2421log 52a b c e ===，，，则a b c ，，满足（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小. 【详解】4221log 5log 5log 52a === 2213log 32b == ，2log y x =Q 是单调递增函数，2221log 5log 3log 42∴<<<= ，ln 22c e ==，故选：A【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7.已知直线:1l y x =-与抛物线24y x =相交于A B ，两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为（ ） A.72B. 4C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据数形结合分析可知点M 到抛物线准线的距离1'2MM AB =，再根据弦长公式求AB . 【详解】由题意可知直线1y x =-过抛物线24y x =的焦点()1,0，如图，',','AA BB MM 都和准线垂直，并且垂直分别是',','A B M ，由图象可知()1'''2MM AA BB =+， 根据抛物线的定义可知''AA BB AB +=，1'2MM AB ∴=， 214y x y x=-⎧⎨=⎩ 联立得2610x x -+=， 126x x += ，1228AB x x ∴=++=，故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos 2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即()0f x ¢< 所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C 故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9.关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】①代入周期公式，判断周期；②去绝对值得到分段函数判断最小值；③利用定义判断函数的奇偶性；④去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.【详解】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 4x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③. 故选：B【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率为（ ）A. (3±-B. (3±+C. 13⎛±+ ⎝⎭）D. 13⎛±- ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形以及中位线的性质得出24MF a =，由双曲线的定义得16F M a =，再由余弦定理以及222c a b =+化简得出(3ba=±，即可得出双曲线的渐近线斜率. 【详解】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A 因为2BO AF P ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a == 在直角三角形2AF M 中，1230F MF ∠=°，所以2224MF AF a ==由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=由余弦定理可知：()()()222264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒ 化简得：()221363c a =-，又222c a b =+所以()221263b a =-，即()222126333b a=-=-所以()33ba=±- 故双曲线的渐近线斜率为()33ba±=±- 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.11.2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a bc z ，，，…，的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：()()**26121322262x N x x x y x x N x x +⎧⎪⎪=⎨⎪+∈∈≤⎪≤⎩，，不能被整除，，能被整除，将明文转换成密文，如6613162→+=，即f 变换成251:25132p +→=，即y 变换成m .若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（ ） A. fujianB. puxianC. putianD. fuxian【答案】C 【解析】 【分析】分别得出u 、w 对应的自然数，将21y =、23y =代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案. 【详解】u 对应的自然数为21，即21y =，则1212x +=或13212x+=，解得：41x =(舍)，16x =即u 对应的明文为p ，故排除A ，D ；w 对应的自然数为23，即23y =，则1232x +=或13232x+=，解得：45x =(舍)，20x =，即w 对应的明文为t ，故排除B ； 故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12.已知对任意实数x 都有()()'2xf x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-，则k 的取值范围是（ ）A. ()1+∞， B. 32342e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 3214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】D 【解析】 【分析】首先根题意构造函数()()xf x F x e=，并且求得函数()()21xf x e x =-，再讨论1,1x x >< 和1x =三种情况，参变分离后讨论k 的取值范围. 【详解】设()()xf x F x e=， ()()()()()()22x xxx f x e f x e f x f x F x ee ''--'===， ()2F x x c ∴=+，即()()()22xxf x x c f x e x c e=+⇒=+， ()01f c ==-，不等式()()()()1211xf x k x ex k x >-⇒->-当1x >时，()211x e x k x -<-，即()min211x e x k x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦ ，设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x > 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ，()g x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当32x =时，函数取得最小值，32342g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当1x >时，324k e <，当1x <时，()211x e x k x ->-，即()max211x e x k x ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x < ， 当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 0x ∴=时，()g x 取得最大值，()01g =，1x ∴<时，1k >，当1x =时，()10f e =>恒成立， 综上可知：3214k e <<. 故选：D【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，()()()()xf x f x xf x ''=+，2x x =⎪⎝⎭，()()()()2x f x xf x x f x ''=+ ()()()()()xxe f x e f x f x ''=+，()()()x xf x f x f x e e ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】 【分析】 先化简13iz i+=，再求z . 【详解】22133331i i i iz i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为：3i +【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.14.已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是__________.【答案】[]05，【解析】 【分析】首先作出不等式表示的可行域，再令0z =作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求2z x y =+的取值范围.【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB ∆，令0z =，画出初始目标函数20x y +=，然后平移到点B 取得最大值2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得：1,2x y ==，max 1225z ∴=+⨯=.当目标函数过点()0,0时，取得最小值，min 0200z =+⨯=，2z x y ∴=+的取值范围是[]0,5.故答案为：[]0,5【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC 2，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________. 3【解析】 【分析】PN ^平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，由条件可知AN 是四边形ABNC 外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出2AN =，根据同弦所对的圆周角相等，可知60ANC ∠=o ，求出AC 的长. 【详解】PN ^平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，,PN AB PB AB ⊥⊥，AB ∴⊥平面PBN ，BN ⊂平面PBN ，AB BN ∴⊥，同理AC CN ⊥， AN ∴是四边形ABNC 外接圆的直径，取AN 的中点M ，即M 是四边形ABNC 外接圆的圆心， 作OM ⊥平面ABC ，则OA OB OC ON ===过PN 的中点H 作PN 的垂线，交OM 于点O ，则ON OP =OA OB OC ON OP ∴====，O ∴是三棱锥P ABC -外接球的球心，246S R ππ==，62R ∴=，22OM =, 2231122AM R OM ∴=-=-=, 2AN ∴=，即底面外接圆的直径是2，60ABC ∠=o Q ，60ANC ∴∠=o ，33AC AN ∴=⨯=.故答案3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.16.在锐角ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，点O 为ABC V 外接圆的圆心，3A π=，且AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ的最大值为__________.【答案】19【解析】 【分析】首先变形()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得到()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，两边平方后，得到()2221λμλμλμ∴--=+-，最后利用基本不等式求λμ的最大值【详解】ABC ∆Q 是锐角三角形，∴O 在ABC ∆的内部，0,1λμ∴<< ()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，两边平方后()()222222212AO OB OCOB OC OB OC λμλμλμλμ--=+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3A π=Q ,120BOC ∴∠=o，且AO BO CO ==u u u r u u u r u u u r， ()2221λμλμλμ∴--=+-()132λμλμ∴+=+0,1λμ<<Q ，13λμ∴+≥t =，2341t t ∴-+≥，解得：1t ≥（舍）或13t ≤，1139λμ≤⇒≤， λμ∴的最大值是19.故答案为：19【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理后得到()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，然后再两边平方求λμ的最大值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=. （1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1cos 2A =，求角A ；（2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c b B A b-=，由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C BB A B-=，化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， 即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 则sin 2sin cos C C A =.因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 2234ABC S AB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=V ，因为ABC S =V 4AB =8AB =， 因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =.在ACD V 中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，{}n b 为正项等比数列，且1134362b a b a =+=+，.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1211log n n n c a b ++=⋅，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-，212n n b -=；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】（1）首先已知n S 求n a ，再设数列{}n b 的首项1b ，设公比为q ，231b q b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）可知()()12121n c n n =-+，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由22n S n n =-，得当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，()()22112143n S n n n n -=---=-+， 所以当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，11a =-也满足此式.所以23n a n =-.又1134326232b a b a =+==+=，，因为{}n b 为正项等比数列，设{}n b 的公比为()0q q >.所以23116b q b ==，即4q =， 所以11211242n n n n b b q ---=⋅=⋅=. （2）因为()2111213212n n n a n n b +++=+-=-=，.所以()()()211212111log 21log 22121n n n n c a b n n n +++===-⋅-+.11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以123n n T c c c c =++++…1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11122121)n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查已知数列的前n 项和n S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能力，属于基础题型，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.19.如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD V 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA i λ=<<u u u r u u u r ，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结PO BO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMN B AMN AMN V V S BO --==⋅=V ，解得43AMN S =V ，由面积公式解得λ的值. 【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥. 在POB V 中，122PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥，又AC OB O =I ，且AC OB ⊂、面ABC ， 所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC . （2）因为面PAC ⊥面ABC ，又面PAC I 面ABC AC =，且BO AC ⊥， 所以OB ⊥面PAC ，所以13A BMN B AMN AMN V V S BO --==⋅V . 又因为2OB =，89A BMN V -=，所以43AMN S =V .因为PN PA λ=u u u r u u u r ，所以()112AMN APM PAC S S S λλ-=-=V V V . 又142PAC S PA PC =⋅=V ，所以14423λ-⨯=，得13λ=.【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左，右顶点分别为A B ，，离心率为12，且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，. （1）求C 的方程；（2）设过点F 的直线l 交C 于P ，Q （异于A B ，）两点，直线PAQB ，的斜率分别为12k k ，.若21k tk =，求t 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】 （1）根据12c a =，求得2243b a =，再代入点的坐标，求得椭圆方程； （2）设直线PB 的斜率为3k ，直线l 的方程1x my =+和椭圆方程22143x y +=联立，利用根与系数的关系表示13k k 和23k k 的值，再求21k t k =. 【详解】（1）依题意得椭圆的离心率为12c e a ===， 则2243b a =.将点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程2222:1x y C a b+=得221913a a +=， 则2243a b ==，，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线PB 的斜率为()()31122k P x y Q x y ，，，，.由题意可知，直线PQ 的斜率不为0，故可设直线1l x my =+：. 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，得()2234690m y my ++-=， 所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 所以()2112232211212221y y y y k k x x m y y m y y ⋅=⨯=---++ 22222992496413434m m m m m -+==--++++. 又因为点P 在椭圆上，所以211321344y k k x ==--， 则213k k =，所以3t =.【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，意在考查利用根与系数的关系求解定值，属于中档题型，本题第二问的关键是设直线PB 的斜率为3k ，并且表示13k k 和23k k 的值. 21.已知函数()ln 1f x ax x ax =++.（1）函数()f x 在1x =处的切线l 过点()22-，，求l 的方程； （2）若*N a ∈且函数()f x 有两个零点，求a 的最小值.【答案】（1）22y x =-+即220x y +-=；（2）8.【解析】【分析】（1）首先求出在1x =处的切线方程，然后代入点()2,2-，求参数a 的值；（2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >，再根据零点存在性定理证明()f x 在211a e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点，得到a 的最小值.【详解】（1）因为()()ln 10f x ax x ax x =++>，所以()1'ln ln 2f x a x ax a a x a x =+⋅+=+，所以()'12f a =又()11f a =+，所以()f x 在1x =处切线l 方程为()()121y a a x -+=-，即21y ax a =-+.又因为直线l 过点()22-，，所以得241a a -=-+即1a =-.所以直线l 方程为22y x =-+即220x y +-=.（2）因为()()'ln 2ln 2f x a x a a x =+=+.令()'0f x =得ln 2x =-即2x e -=，因为*a N ∈所以0a >，所以当20x e -<<时，()'0f x <，当2x e ->时，()'0f x >，则()f x 在()20e -，上单调递减，在()2e -+∞，上单调递增，所以()()22min 1f x f e ae --==-.因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >，又因为()110f a =+>，1111ln 1a a a a f a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2211aa a a a a e a a e e e -=++=-+.设()()21a g a e a a a =-+>则()'2a g a e a =-，因为()'g a 在()1+∞，上单调递增，所以()'0g a >，所以()g a 在()1+∞，单调递增，所以()()10g a g e >=>. 又10a e >，所以10a f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 故()f x 在211a e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点， 即()f x 在()0+∞，上有两个零点， 则2a e >又*a N ∈且2739e ≈．，所以a 得最小值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，和已知零点个数求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题第二问的难点是函数的最小值()min 0f x <后，如何说明左右各有一个零点，即根据零点存在性定理说明，当1a >时，证明1111ln 10a a a a f a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选--题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求曲线'C 的极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）54【解析】【分析】(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2213x y +=， 将曲线C上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入()()22''1x y +=得'C 的方程为：221x y +=.化为极坐标方程为：1ρ=.（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为直线l 过点A 且倾斜角为6π， 设直线l的参数方程为3212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入22:1C x y +=得：25024t t -+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，则1212524t t t t +==. 所以1254AM AN t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c ++=，证明：249a b c ++≥.【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值；(2)将1代换为11124a b c ++，利用基本不等式证明不等式即可.【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤，所以1m =.（2）由（1）得111124a b c ++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(四)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（四）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数1ii+对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A={12,3},{|0},B x x mx n =-+=,若A∩B=A,则n=( ) A.4B. -4C.3D. -33.“cos 2α=”是“1cos 22α=”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查。
若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）A.40B.60C.120D.3605.在△ABC 中,AB c AC b ==u u u r u u u r ,若点D 满足1,2BD DC =u u u r u u u r 则AD =u u u r()12.33A b c +21.33B b c +41.33C b c -11.22D b c + 6.圆2266x y x y +=+上到直线x +y-2 =0的距离为1的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.47.已知方程sinx +cosx =a 在区间[0 ,2π]上恰有三个解,则a=( )2.A B.1.2C.22D8.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(0, +∞)上单调递增,且f( -1) =0,则(21)()0x f x -⋅>的解集为( )A.(-∞，-1) ∪(1, +∞)B.( -1,0)∪(0,1)C.( -∞,-1)∪(0,1)D.( -1,0)∪(1, +∞)9.某兴趣小组有3名男生和2名女生,现从中选2人参加公益活动,则至少选中一名女生的概率为( )1.10A3.10B7.10C9.10D 10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm³ )是( )1.6A31.B1.2C5.6D 11.在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线2:4C y x =的焦点,M 在C 上,直线MN 与x 轴平行且交y 轴于点N.若∠ONM 的角平分线恰好过MF 的中点,则|MF|=( )A.1BC.2D.412.已知三次函数322()3(0)3x f x ax a x a =+->的导函数为()f x ',若方程[()]0f f x '=有四个实数根,则实数a 的范围为( )1.(3A ⋅19.(,)95B1.(0,))3C ⋃+∞19.(0,)(,)95D ⋃+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(十八)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（十八）数学试题（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合(){}50A x x x =-≥，{B x y ==，则()U C A B ⋂等于（ ） A. ()0,3 B. ()0,5C. ∅D. (]0,3【答案】D 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定B ，找出A 的补集与B 的交集即可. 【详解】由A 中不等式解得：0x ≤或5x ≥，即(][),05,A =-∞⋃+∞，()0,5U C A ∴=，由B 中y =可得30x -≥，解得3x ≤，即(],3B =-∞，则()(]0,3U C A B ⋂=.故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320a -=，23a =。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(十一)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（十一）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =I （ ） A. {}1,7 B. {}3,9 C. {}1,5,7 D. {}1,7,9【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B I ，得到答案. 【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =， 所以{}1,7S C A =， 而集合{}1,3,7,9B =，所以(){}1,7S C A B =I ， 故选：A.【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.2.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +-=，则角C =（ ） A. 30° B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒【答案】C 【解析】 【分析】对条件中()22a b c ab +-=进行化简整理，然后代入到余弦定理cos C 的表达式中，得到答案. 【详解】因为()22a b c ab +-=， 所以222a b c ab +-=-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因()0,C π∈，所以120C ︒=，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理求角的大小，属于简单题.3.已知等差数列{}n a 的前5项和为10，154a =，则9a =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的公式，得到15a a +，根据等差中项，得到3a 的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到9a 的值，得到答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以()1555102a a S +==，即154a a +=， 所以根据等差中项可得，15322a a a +==， 因为154a =，所以根据等差中项可得，315932a a a +==， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和，等差中项，属于简单题.4.已知函数()f x 是偶函数，其图象与x 轴有9个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y 轴对称，从而得到答案. 【详解】因为()f x 偶函数，所以其图像与x 的交点关于y 轴对称， 故如果()00f ≠，则()f x 图像与x 的交点个数应是偶数个， 而已知条件中，()f x 图象与x 轴有9个交点， 所以可得()00f =，其它8个交点两两关于y 轴对称， 故方程()0f x =的所有实根之和为0. 故选：A.【点睛】本题考查偶函数图像的性质和特点，属于简单题.5.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，则数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差是（ ）A. 20B. 18C. 10D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，所以数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差 是22520⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.6.设a r 与b r是相互垂直的两个向量，2a =r ，1b =r 且满足()()a b a b λ+⊥-r r r r ，则λ=（ ）A.12B. 4C. 2D.14【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到0a b ⋅=r r，再根据()()a b a b λ+⊥-r r r r ，得到()()0a b a b λ+⋅-=r r r r ，展开代入已知条件，得到λ的方程，求出答案.【详解】因为a r 与b r是相互垂直的两个向量， 所以0a b ⋅=r r，因为()()a b a b λ+⊥-r r r r ，所以()()0a b a b λ+⋅-=r r r r，即()2210a a b b λλ+-⋅-=r r r r ，因为2a =r ，1b =r，所以410λ-=， 解得14λ=. 故选：D.【点睛】本题考查垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.7.已知函数()(32019log 2f x x x =+，则不等式()()21130f x f x ++-<的解集为（ ）A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】判断出()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为()()2131f x f x +<-，利用单调性解得答案.【详解】函数()(32019log 2f x x x =+，定义域(),-∞+∞，()(32019log 2f x x x -=--(132019log 2x x -=+-(32019log 2x x =--()f x =-，且()00f =所以()f x 为奇函数，因为2019log y t =，2t x =和3y x =都是增函数所以()(32019log 2f x x x =+是增函数，所以由()()21130f x f x ++-<， 得到()()()211331f x f x f x +<--=-， 所以2131x x +<- 即2x >. 故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题. 8.对于任意两个数()*,,x y x y N∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=-∈⎩时，x y xy =◎. 则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A. 142个B. 132个C. 112个D. 72个【答案】C 【解析】 【分析】读懂条件中给出的定义，得到,x y 对应的取值情况，然后根据所求的集合(){},|10A x y x y ==◎，列出满足要求的(),x y ，得到其子集个数. 【详解】根据条件中的定义可知，当*,x y N ∈，且,x y 同为奇数或者同为偶数时，有x y x y =+◎，当*,x y N ∈，且x 为偶数，y 为奇数时，有x y xy =◎，故集合(){},|10A x y x y ==◎中10x y =◎，当,x y 同为奇数或者同为偶数时，10x y +=，(),x y 可取()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5,5，()6,4，()7,3，()8,2，()9,1，当x 为偶数，y 为奇数时，10xy =(),x y 可取()2,5，()10,1，所以(),x y 可取的情况共有11种， 即集合A 中有11个元素， 所以集合A 得子集个数为112. 故选：C.【点睛】本题考查对给出的新定义的理解，读懂题目是关键，考查了根据集合元素个数求子集的个数，属于中档题.9.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ）A. (),8-∞-B. ()8,-+∞C. (),8-∞D. ()8,+∞【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0，所以()280f x x b x '=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以28b x x >--，设()28g x x x =--，则()max b g x >()228g x x'=-令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以8b >-， 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.10.在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A. -B.C.4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到EF u u u r 和1u u uu r BC 的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值.【详解】以D 为原点，DA uuu r为x 轴，DC u u u r 为y 轴，1DD u u u u r 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以()A ，(1A ，()B ，(1C ，E 为棱1AA 的中点，所以(E ，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，所以(F ，所以()0,1,3EF =u u u r，()123,0,23BC =-u u u u r，设异面直线EF 与1BC 所成角为θ则1cos cos ,EF BC θ=u u u r u u u u r1164226EF BC EF BC ⋅===⨯⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试(一)文科数学试卷
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试（一）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知是虚数单位，复数满足，则（）B. C. D.A.2. 如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C.D.3.某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如下图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则的值为（ ）A. 5B. 13C. 15D. 204.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：65.设函数()2xf x e x =+-， ()2ln 3g x x x =+-若实数a 满足()0f a =， ()0g b =则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a << 6.中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A. B. 4 C. D.7.设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则（）A. 528B. 529C. 530D. 5318.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的周期是C. 函数在上单调递增D. 函数在上最大值是19.执行如下图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. 7B. 17C. 26D. 3710.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知双曲线：，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.12.已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
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绝密★启用前2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试（四)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题 1．函数sin ()xf x x=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[]2,2m ∈-， ()()230f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()(),13,-∞-+∞ C ．()3,3-D ．()(),31,-∞-⋃+∞3．下列函数中,最小值为A ．2y x x=+B ．2sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．e 2e x x y -=+ D ．2log 2log 2x y x =+4．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切5．下列命题中,正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若ac bc >，则a b < C ．若,a b c d >>，则a c b d ->-D ．若22a bc c <，则a b < 6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()()0f x xf x '+>，且()10f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+） B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－，－1）∪（1，+） D ．（－，－1）∪（0，1）7．下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-8．直线21y ax a a =+-+的图像不可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．9．在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =（ ）A ．BC ．D10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 是双曲线的两个焦点，且1223PF PF =，则双曲线的离心率为A B C ．13 D ．13211．．偶函数在上为增函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．12．在区间[]3,2-上随机选取一个数X ，则1≤X 的概率为（ ） A ． 54 B ．53 C ．52 D ．51第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为 ．14．在120°的二面角内，放一个半径为5cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上的最短距离是___.15．已知集合={1,2,5}A ，={2,3}B ，则AB =______．16．有6根木棒，，其余四根的长度均为1cm ，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为__________3cm ．三、解答题17．已知函数1()ln f x a x bx x=++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=.(1)求实数a ，b 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若关于x 的不等式3()22mf x x x-≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 18．我们称满足：21(1)()k n n n a k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”.（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a-的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.19．如图，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点，圆()2216:(0)3A x t y t -+=<与椭圆C 的一个公共点为()0,2B ，且直线FB 与圆A 相切于点B .（Ⅰ）求t 的值和椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若F '是椭圆C 的左焦点，点P 是椭圆C 上除长轴上两个顶点外的任意一点，且F PF θ∠'=，求θ的最大值.20．（A ）已知函数 在区间 上有最小值． （1）求实数 的取值范围； （2）当 时，设函数，证明函数 在区间 上为增函数.21．若-1≤x ≤2，求函数124325x x y -=-⨯+的最大值和最小值；并求出取得最值时x 的值．22．已知()1cos ,1ax ω=+-,)b x ω=(0>ω),函数()f x a b =⋅,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65fθ=,求cos θ的值．参考答案1．B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f （x ）为偶函数，再根据极限可得当x 01y +→→时，，即得解． 【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f （﹣x ）=sin()sin sin x x xx x x--==--=f （x ），∴f （x ）为偶函数，∴f （x ）的图象关于y 轴对称， ∵()sin x f x x=， 根据极限可得当x 01y +→→时，， 故答案为：B 【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证. 2．A 【解析】结合函数的解析式可得：()()f x f x -=-,且()2cos 30f x x =-<' ， 所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a -+> ()()()22233f ma f a f a ma a ⇒->-=-⇒-<-即223123{?{?111323a a a a a a a -<<-<-⇒⇒-<<-<<--<- ， 本题选择A 选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．C 【解析】对于选项A ，若0x <，则不成立； 对于选项D ，若01x <<，则不成立；对于选项B ，2sin sin x x +≥，当且仅当2sin sin x x=，即sin x =时取等号，但sin 1x ≤，故不成立；对于选项C ，e 2e x x -+≥当且仅当e x =x =. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．C 【解析】分析：求出圆心的距离MN ，与半径的和差的绝对值比较得出结论。
详解：圆0,0r 1M M =，，圆2,0r 3N N =，,2r r N M MN ==-，所以内切。
故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为MN ，半径分别为r r M N ，，，则：r r N M MN <-，内含；r r N M MN =-，内切；r r r r N M N M MN -<<+，相交；r r N M MN =+，外切；r r N M MN >+，外离。
5．D 【解析】 【分析】运用不等式的性质,结合取特殊值法,对四个选项逐一判断即可选出正确答案. 【详解】选项A:当0,0a b c d >>>>时,ac bd >成立,例如：21,12>->-,显然22->-不成立；选项B:当0c <时，能从ac bc >推出a b <.例如：(2)2(3)2-⨯>-⨯,显然23-<-不成立； 选项C:例如 32,21>>,显然11>不成立； 选项D:式子22a bc c<成立,显然0c ≠,所以20c >,根据不等式的性质:不等式两边同乘一个正数,所得的不等式与原不等式同向,显然有a b <成立. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了取特殊值法,属于基础题. 6．A【解析】试题分析：令，则是奇函数；当时，，即在为增函数；，所以当时，，当时；因为为奇函数，所以当时，；即不等式()0xf x >的解集为.考点：1.函数的奇偶性；2.导数的运算法则；3.函数的单调性与导数；4.不等式的解集. 7．B 【解析】 【分析】利用函数求导公式对选项进行一一验证. 【详解】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln 3xx'=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错． 【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题. 8．C 【解析】2213301()244x y a a a ==-+=-+≥时，，直线恒不过原点.故选C9． B【分析】先在三角形ABD 中用余弦定理计算出cos A 的值，然后在三角形ABC 中用余弦定理求得BC 的长.【详解】在三角形ABD 中，由余弦定理得254996513cos 2577014A +-===⨯⨯.在三角形ABC 中，由余弦定理得BC ==故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题. 10．A 【解析】因为1223PF PF =,122PF PF a -=,所以1264PF aPF a ==，,因为22222222236()364161326262a c a b a c a a c e a c a c+-++-=∴=∴=⨯⨯⨯⨯，选A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．B试题分析：根据偶函数图象关于原点对称，得f （x ）在[0，+∞）上单调增且在（-∞，0]上是单调减函，由此结合2+2x 是正数，将原不等式转化为|ax-1|＜2+x 2恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a 的取值范围．解：∵f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称,∴f （x ）在[0，+∞）上的单调性与的单调性相反,由此可得f （x ）在（-∞，0]上是减函数,∴不等式f （ax-1）＜f （2+2x ）恒成立，等价于|ax-1|＜2+x 2恒成立,即不等式-2-2x ＜ax-1＜2+2x 恒成立，得2x +ax+1＞0, x 2-ax+3＞0的解集为R,2∴结合一元二次方程根的判别式，得：2a -4＜0且（-a ）2-12＜0,解之得-2＜a ＜2,故选B 考点：偶函数的单调性点评:本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x 的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题 12．B 【解析】试题分析：由已知及几何概率公式，得：1(2)3(1)3(2)5P X --≤==--,故选B ．考点：几何概率． 13．【解析】试题分析：因为，所以，即，因为，故.考点：向量的数量积. 14．5π3【解析】 【分析】画出图形，在四边形OMAN 中，,OM ON 是球的半径，,AM AN 是球的大圆的切线，60MON ︒∠=，由弧长公式可求出答案.【详解】画出图形，如下图，在四边形OMAN 中，,OM ON 是球的半径，,AM AN 是球的大圆的切线，则,AM OM AN ON ⊥⊥，60MON ︒∠=， 故两切点间的球面距离是π5π33OM ⨯=.【点睛】本题考查了球的性质，考查了弧长公式的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 15．{}2 【解析】 【分析】集合A 、B 的公共元素是2，进而可得到集合A 、B 的交集． 【详解】集合A 、B 的公共元素是2，则A B ＝{2}. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题．16．12【解析】如图，1,22S h ==，则1312V Sh ==。