材料力学 第四章扭转
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x
16mx
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 /m 注意单位换算: 1 rad / m π
Page35
第四章
扭转
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。
W
薄壁管的扭转切应力近似计算
•极惯性矩与抗弯截面系数 3 D4 4 D 4 Ip 1 W 1 p 32
16
T 2 2 R0
适用范围？
d D
• 切应力互等定理 (适用范围？）
Page27
第四章
扭转
§4-4
圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效与扭转极限应力
Page37
第四章 3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
扭转
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
T
2M x a
max
max
2M M A: , B: D3 D3 1 4 16 16 max
Page38
设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
16Tmax
d1 27.311mm
b、根据刚度条件
32Tmax d2 4 G
d1 30.588mm
取 d 31mm
Page41
第四章 例：求最大切应力。 解：
扭转
T mx
3
d
2d
1 x 3 WP 1 d 16 l
轴：
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
Page 3
第四章
扭转
工程中的扭转问题
传动轴
Page 4
第四章
扭转
Page 5
第四章
扭转
A M
4.2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表示。
A M
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
扭转极限应力
s u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
Page28
第四章
扭转
二、圆轴扭转强度条件
工作应力： max
许用切应力： 强度条件：
max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数
Tmax 等截面圆轴： WP
Page 6
第四章
扭转
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分别 考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
画扭矩图。
注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
Page11
连续体的变形协调条件(数学公式)
第四章
扭转
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
第四章
扭转
M
4、刚度校核
m
2M a
A
B
3M
d D
a
a
a
a
M
T
x
A B
2M
x
2M T x a
max
注意
max
单位换算 分别设计，取较大者 设计轴，可按 ，
2M M A: , B: D4 D4 1 4 32 32 max
x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
Page 8
第四章
扭转
2. 对应的轴力图与扭矩图
M 3ml
m
A B
C
对应拉压问题 与轴力图
D
q
l
F 3ql
l
l/2
l/2
l/2
l/2
T
ml
FN
ql
x
2ml
2 ql
Page 9
x
第四章
扭转
百度文库
3.
轴的动力传递
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
装配应力与热应力
Page 1
第四章
扭转
第四章 扭转
§4-1 §4-2 引言 圆轴扭转应力
§4-3
§4-4 §4-5 §4-6
圆轴扭转强度与动力传递
圆轴扭转变形与刚度计算 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
Page 2
第四章
扭转
§4-1
引言
受扭杆件的外力及变形特征
外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶， 扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。 变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。
由此得
d dx
截面常数
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第四章
扭转
d dx
2. 物理方面
G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律 与 成正比， 垂直于半径
Page16
第四章
扭转
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？
Page39
第四章
扭转
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa,
30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径
A
d
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
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第四章
扭转
B
Tmax 120N
max
dA
T W P max
1. 合理截面形状
增大 W p
实心轴
思考：R0 / 是否是愈大愈好？
R0
空心轴
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第四章 2. 采用变截面轴与阶梯形轴
扭转
试讨论怎样设 计变截面轴和 阶梯形轴。
3. 合理分配载荷
减小Tmax
Page32
第四章
扭转
4. 减小应力集中 在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集 中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过 度圆角以减小应力集中。
M M
M
M
截面尺寸突变
配置过渡圆角
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第四章
扭转
§4-5
圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P T 微段dx的扭转变形 d GI dx P T
相距l 的两横截面的扭转角 l d l GI dx
P
长l 常扭矩等截面圆轴 GIp
Tl GI P
A
dA T
定义： Ip
dA
d G dx
A
2dA T
极惯性矩
A
2dA
O
T
d T dx GI P T IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
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第四章
扭转
三、最大扭转切应力
最大扭转切应力发生在圆轴 表面
O
max
R
TR T max IP IP R IP 定义： 抗扭截面系数 WP R T max WP
x
2M
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第四章 例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
扭转
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡 AB段： T1 x mx BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
l
l/2
l/2
T1 ( x)
x
T
ml
画扭矩图
扭转
§4-3
圆轴扭转应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
(r , ) f (r )
T
2M x a
M
A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
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第四章 2、总扭转角 T
m 2M a
扭转
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma T a 4 dx 0 D D4 D4 D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
T W p max
[ ] 与 [ ] 关系
详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577）
脆性材料： = （0.8－1.0）t
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第四章
扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
Page30
第四章
扭转
三、圆轴合理截面与减缓应力集中
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P(千瓦） 60 （秒）
P(1000牛顿米） 60 （秒） 从扭力矩看 W T (牛顿米） （弧度） T (牛顿米） 2n（弧度） 60000 P P 两式得扭矩 T 9549 (牛顿米） 2n n Page10
第四章
32
4
IP
, WP
D3
16
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第四章
扭转
圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
切应变
d dx
d 求出截面常数 完全确定切应变分布 dx
剪切胡克定律
T 横截面上剪应力 IP
圆截面轴； max p
T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
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第四章
扭转
切应力互等定理
薄壁园管的扭转实验，沿壁厚方向取一微体
Page23
第四章
y dz
扭转
dydz 1
将所取微体置于坐标系下，研 究其平衡
dy
M
1dydz
x
z
0
1dydz dx dxdz dy 0
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第四章
扭转
四. 极惯性矩与抗扭截面系数
Ip 2dA
A
•空心圆截面
D d
d
dA 2 d
IP
D/2 d /2
2 2 d
4
D4
32
(1 4 )
•实心圆截面 设
d WP (1 ), 16 D
D3
0
D
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第四章
扭转
作业
3-30，4-1a,d(画扭矩图)，4，6
E 注意： G 2(1 )
Page26
第四章
扭转
上一讲回顾（6）
•受扭圆轴的外力特征与变形特征 •扭矩的符号（扭矩矢离开截面为正）与扭矩图 •圆轴的扭转应力 T d T 扭转变形基本公式 扭转切应力 I dx GI p p T 最大扭转切应力 max 适用范围 max p
z
dx
1 1
切应力互等定理
在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数 值相等，方向均指向或离开交线。
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第四章
扭转
切应力互等定理的几点推论
• 纵截面上存在切应力 • 受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切 线方向一致（即边缘切应力平行于周边） • 矩形截面轴角点上的切应力为零。
第四章
扭转
上一讲回顾（5）
静不定问题 静不定度 求解思路 平衡方程 fi FN1 , FN 2 ,… 0 协调方程 g j l1 , l2 ,… 0 物理方程 l j FNj
gj
*
FN 1 , FN 2 ,… 0
求解
静不定珩架的内力求解
先假设节点的位移，然后画变形图，根据变形图画受力 图，再找各杆之间的变形协调关系
圆轴截面扭转刚度
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第四章 二、圆轴扭转刚度条件 d T dx GI P
扭转
单位长度许用扭转角： 刚度条件: 注意
T GI P max
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Page12
第四章
扭转
二、扭转应力的一般公式
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第四章
扭转
1. 几何方面（截取楔形体，动画）
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转 变形 d
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第四章 1. 几何方面（变形公式推导）
扭转
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
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公式的适用范围：
第四章
扭转
例：画横截面扭转切应力分布示意图。设平面假设成立
R1 G1
G2
R1
R2
R2
O
T
T
空心轴
组合轴 (G2 G1 )
O
O
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第四章
扭转
薄壁圆管的扭转切应力
1、精确计算 ——按空心轴的计算办法
R1
R2
2、近似计算 管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布
16mx
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 /m 注意单位换算: 1 rad / m π
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第四章
扭转
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。
W
薄壁管的扭转切应力近似计算
•极惯性矩与抗弯截面系数 3 D4 4 D 4 Ip 1 W 1 p 32
16
T 2 2 R0
适用范围？
d D
• 切应力互等定理 (适用范围？）
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第四章
扭转
§4-4
圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效与扭转极限应力
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第四章 3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
扭转
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
T
2M x a
max
max
2M M A: , B: D3 D3 1 4 16 16 max
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设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
16Tmax
d1 27.311mm
b、根据刚度条件
32Tmax d2 4 G
d1 30.588mm
取 d 31mm
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第四章 例：求最大切应力。 解：
扭转
T mx
3
d
2d
1 x 3 WP 1 d 16 l
轴：
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
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第四章
扭转
工程中的扭转问题
传动轴
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第四章
扭转
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第四章
扭转
A M
4.2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表示。
A M
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
扭转极限应力
s u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
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第四章
扭转
二、圆轴扭转强度条件
工作应力： max
许用切应力： 强度条件：
max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数
Tmax 等截面圆轴： WP
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第四章
扭转
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分别 考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
画扭矩图。
注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
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连续体的变形协调条件(数学公式)
第四章
扭转
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
第四章
扭转
M
4、刚度校核
m
2M a
A
B
3M
d D
a
a
a
a
M
T
x
A B
2M
x
2M T x a
max
注意
max
单位换算 分别设计，取较大者 设计轴，可按 ，
2M M A: , B: D4 D4 1 4 32 32 max
x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
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第四章
扭转
2. 对应的轴力图与扭矩图
M 3ml
m
A B
C
对应拉压问题 与轴力图
D
q
l
F 3ql
l
l/2
l/2
l/2
l/2
T
ml
FN
ql
x
2ml
2 ql
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x
第四章
扭转
百度文库
3.
轴的动力传递
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
装配应力与热应力
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第四章
扭转
第四章 扭转
§4-1 §4-2 引言 圆轴扭转应力
§4-3
§4-4 §4-5 §4-6
圆轴扭转强度与动力传递
圆轴扭转变形与刚度计算 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
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第四章
扭转
§4-1
引言
受扭杆件的外力及变形特征
外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶， 扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。 变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。
由此得
d dx
截面常数
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第四章
扭转
d dx
2. 物理方面
G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律 与 成正比， 垂直于半径
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第四章
扭转
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？
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第四章
扭转
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa,
30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径
A
d
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
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第四章
扭转
B
Tmax 120N
max
dA
T W P max
1. 合理截面形状
增大 W p
实心轴
思考：R0 / 是否是愈大愈好？
R0
空心轴
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第四章 2. 采用变截面轴与阶梯形轴
扭转
试讨论怎样设 计变截面轴和 阶梯形轴。
3. 合理分配载荷
减小Tmax
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第四章
扭转
4. 减小应力集中 在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集 中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过 度圆角以减小应力集中。
M M
M
M
截面尺寸突变
配置过渡圆角
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第四章
扭转
§4-5
圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P T 微段dx的扭转变形 d GI dx P T
相距l 的两横截面的扭转角 l d l GI dx
P
长l 常扭矩等截面圆轴 GIp
Tl GI P
A
dA T
定义： Ip
dA
d G dx
A
2dA T
极惯性矩
A
2dA
O
T
d T dx GI P T IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
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第四章
扭转
三、最大扭转切应力
最大扭转切应力发生在圆轴 表面
O
max
R
TR T max IP IP R IP 定义： 抗扭截面系数 WP R T max WP
x
2M
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第四章 例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
扭转
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡 AB段： T1 x mx BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
l
l/2
l/2
T1 ( x)
x
T
ml
画扭矩图
扭转
§4-3
圆轴扭转应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
(r , ) f (r )
T
2M x a
M
A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
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第四章 2、总扭转角 T
m 2M a
扭转
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma T a 4 dx 0 D D4 D4 D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
T W p max
[ ] 与 [ ] 关系
详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577）
脆性材料： = （0.8－1.0）t
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第四章
扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
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第四章
扭转
三、圆轴合理截面与减缓应力集中
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P(千瓦） 60 （秒）
P(1000牛顿米） 60 （秒） 从扭力矩看 W T (牛顿米） （弧度） T (牛顿米） 2n（弧度） 60000 P P 两式得扭矩 T 9549 (牛顿米） 2n n Page10
第四章
32
4
IP
, WP
D3
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第四章
扭转
圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
切应变
d dx
d 求出截面常数 完全确定切应变分布 dx
剪切胡克定律
T 横截面上剪应力 IP
圆截面轴； max p
T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
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第四章
扭转
切应力互等定理
薄壁园管的扭转实验，沿壁厚方向取一微体
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第四章
y dz
扭转
dydz 1
将所取微体置于坐标系下，研 究其平衡
dy
M
1dydz
x
z
0
1dydz dx dxdz dy 0
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第四章
扭转
四. 极惯性矩与抗扭截面系数
Ip 2dA
A
•空心圆截面
D d
d
dA 2 d
IP
D/2 d /2
2 2 d
4
D4
32
(1 4 )
•实心圆截面 设
d WP (1 ), 16 D
D3
0
D
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第四章
扭转
作业
3-30，4-1a,d(画扭矩图)，4，6
E 注意： G 2(1 )
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第四章
扭转
上一讲回顾（6）
•受扭圆轴的外力特征与变形特征 •扭矩的符号（扭矩矢离开截面为正）与扭矩图 •圆轴的扭转应力 T d T 扭转变形基本公式 扭转切应力 I dx GI p p T 最大扭转切应力 max 适用范围 max p
z
dx
1 1
切应力互等定理
在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数 值相等，方向均指向或离开交线。
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第四章
扭转
切应力互等定理的几点推论
• 纵截面上存在切应力 • 受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切 线方向一致（即边缘切应力平行于周边） • 矩形截面轴角点上的切应力为零。
第四章
扭转
上一讲回顾（5）
静不定问题 静不定度 求解思路 平衡方程 fi FN1 , FN 2 ,… 0 协调方程 g j l1 , l2 ,… 0 物理方程 l j FNj
gj
*
FN 1 , FN 2 ,… 0
求解
静不定珩架的内力求解
先假设节点的位移，然后画变形图，根据变形图画受力 图，再找各杆之间的变形协调关系
圆轴截面扭转刚度
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第四章 二、圆轴扭转刚度条件 d T dx GI P
扭转
单位长度许用扭转角： 刚度条件: 注意
T GI P max
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
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第四章
扭转
二、扭转应力的一般公式
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第四章
扭转
1. 几何方面（截取楔形体，动画）
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转 变形 d
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第四章 1. 几何方面（变形公式推导）
扭转
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
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公式的适用范围：
第四章
扭转
例：画横截面扭转切应力分布示意图。设平面假设成立
R1 G1
G2
R1
R2
R2
O
T
T
空心轴
组合轴 (G2 G1 )
O
O
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第四章
扭转
薄壁圆管的扭转切应力
1、精确计算 ——按空心轴的计算办法
R1
R2
2、近似计算 管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布