第5章 机构运动分析与综合的解析法

1 曲柄滑块机构 2 导杆机构
1.曲柄滑块机构
在图5-2所示的曲柄滑块机构中，已知曲柄1的长度l1、转角 φ1、等角速度ω1及连杆2的长度l2，要求确定连杆的转角φ2、角 速度ω2和角加速度α2，以及滑块的位置xc、速度vc和加速度ac。
图 5-2
（1）位置分析
如图所示，该机构的封闭矢量方程式为
以为A原点、机架AD为x轴建立直角坐标系Axy，则它们之 间有如下关系：
a cos b cos d c cos
a sin b sin c sin
（5.2-10）
因两连架杆角位移的对应关系，只与构件的相对长度有关，
为此以AB的长度a为基准，并设
mb nc
a
a
pd a
（5.2-11）
1、位置分析
将铰链四杆机构ABCD看作一封 闭矢量多边形，如图所示。若以l1、 l2、l3、l4分别表示各构件的矢量，该 构件的封闭矢量方程式为
l1 l2 l4 l3
以复数形式表示为
1ei1 +
2ei2 =
4+
e i3
3
规定角φ应以轴的正向逆时针方向度
量。
按欧拉公式展开得
1(cos1 i sin1) 2 (cos2 i sin2 ) 4 3(cos3 i sin3)
（5.1-28）
两边乘 ei3以后展开，并取实部和虚部得
112 cos(1 3 ) aB2B3 s32
2
11
sin( 1
3)
s3
2B2 B3 3
故
aB2B3 s32 112 cos(1 3 )
3
2B2 B3 3
2
11
s
sin( 1
3)
（5.1-29） （5.1-30）
5.2 平面低副机构运动综合的解析法
（5.2-9）
当A、D位置未给定时，式（5.2-6）含有四个未知量x’B、 y’B和xA、yA，共有（n-1）个方程，其有解的条件为n≤5，即四 杆机构最多能精确实现连杆五个给定位置。当n<5时，可预先选 定 某 些 机 构 参 数 ， 以 求 得 唯 一 解 。 同 样 将 式 （ 5.2-2 ） 代 入 式 （5.2-5），得含四个未知量x’C、y’C和xD、yD的(n-1)个方程。求 出此x’B、y’B、xA、yA和x’C、y’C 、xD、yD后，利用上述关系即 可求得连杆、机架及两连架杆的长度。
aC
两边乘以，展开后取实部得
aC
2
11
cos(1
2
)
cos2
2
22
将式（ 5.1-18 ）展开后取虚部得
2
2
11
sin
1
2
22
2 cos2
sin 2
（5.1-18） （5.1-19） （5.1-20）
在某种情况下，例如计算往复式原动机惯性力的平衡时,只
需知道滑块的近似加速度，这时便可按如下方法求解。
11ie i1
ei3 B2B3
s3iei3
（5.1-27）
两边乘ei3 后展开，取实部和虚部得
B2B3 11 sin( 1 3 )
3
11
cos(1
s
3 )
（3）加速度分析
将式（5.1-27）对时间求导得
2
11
ei1
(aB3B2
s32 )ei3
(s3
2B2 B3 3 )iei3
（5.1-23）
2. 导杆机构
在图5-3所示的导杆机构中，已知曲柄的长度l1、转角φ1、
等角速度1及中心距l4，要求确定导杆的转角φ3、角速度ω3和角
加速度α3，以及滑块在导杆上的位置s、滑动速度vB2B3及加速度 aB2B3 。
图 5-3
（1）位置分析
如图所示，该机构的矢量方程式
为
l4 l1 s
由式（5-8）得
sin
2
1
2
sin
1
sin
1
式中
1
为曲柄与连杆的长度比，
2
由 cos2 1 sin 2 2 1 2 sin 2 1 利用牛顿二项式定理展 开成级数得
cos2
1
1 2
2
sin
2
1
1 8
4
sin
4
1
这个级数收敛得很快,当 1 时，取其前两项便可准确到 小数点后三位数字。因此将 3
4i 1ei 1 sei3 （5.1-24） 展开后分别取实部和虚部：
1 cos1 s cos3
4i 1 sin 1 s sin 3
两式相除得
tan3
1 sin1 1 cos1
4 （5.1-25）
求得角φ3后可得
s
1
cos
1
cos 3
（5.1-26）
（2）速度分析
将式（5.1-24）对时间求导得
Fi (xM i sin i xM1 sin 1) ( yM i cosi yM1 cos1) xA (sin i sin 1) yA (cosi cos1)
（5.2-7） （5.2-8）
Gi (x2M i y2Mi ) / 2 (x2M1 y2M1) / 2 xA (xMi xM 1) yA ( yMi yM1)
i( )
22
22
i(3 2 ) 33
按欧拉公式展开后，取实部得
3
1
1 3
sin( 1 sin( 3
2 ) 2 )
（5.1-7）
同理得
2
1
1 2
sin( 1 sin( 2
3 ) 3 )
（5.1-8）
角速度为正表示逆时针方向；为负表示顺时针方向
3．加速度分析
将式（5.1-6）对时间求导得
2
yB sin i yB cosi
（5.2-1）
xCi yCi
xMi xC cosi yMi xC sin i
yC yC
sin i cos i
（5.2-2）
其中φi为x轴正向值至x’轴正向沿逆 时针方向的夹角，由下式给出
i
arctan
yMi xM i
yNi xN i
（5.2-3）
图5-5
将其代入式(5-30)得
m cos p n cos cos
m sin n sin sin
将上式等号两边平方后相加并整理得
式中
cos P0 cos P1 cos( ) P2
（5.2-12）
P0 n
P1
n p
P2
p2
n2 1 m2
2p
（5.2-13）
若两连架杆AB和DC第一位置线相对于x轴的夹角分别记为
5.2.1 实现连杆给定位置 5.2.2 实现已知运动规律 5.2.3 实现已知运动轨迹
5.2.1 实现连杆给定位置
对 于 图 5-5 所 示 铰 链 四 杆 机 构 ， 在
机架上建立固定坐标系Ｏxy，已知连杆
平面上两点M、N在该坐标系中的位置 坐标序列为Mi（xMi,yMi）、Ni（xNi，yNi） （i=1,2, …,n）、以M为原点在连杆上建 立 动 坐 标 系 Mx’y’ ， 其 中 x’ 轴 正 向 为 M→N的指向。
复数矢量法是将机构看成一封闭矢量多边形，并用复数形 式表示该机构的封闭矢量方程式，再将矢量方程式分别对所建 立的直角坐标系取投影。
5.1.1 铰链四杆机构
在图5-1所示的铰链四杆机构中，已知杆长分别为 l1、l2、l3、 l4，原动件1的转角φ1为及等角速度为ω1，要求确定构件2、3的 角位移、角速度和角加速度。
构件2的角位移φ2可按式（5.1-2）求得
2
arctan
B A
3 sin 3 3 cos3
（5.1-5）
2．速度分析
将式（5.1-1）对时间求导数得
11iei1 Fra Baidu bibliotek22iei2 33iei3
为了消去ω2，将上式两边分别乘以 ei得2
（5.1-6）
ie ie ie i( ) 12
11
设B、C两点在动坐标系中的位置坐 标为（x’B，y’B）、 （x’C，y’C）， 在 固定坐标系中与Mi、Ni相对应的位置坐 标为（xB，yB）、 （xC，yC）、，
图5-5
则B、C两点分别在固定坐标系和 动坐标系中的坐标变换关系为：
xBi yBi
xM i yMi
xB xB
cos i sin i
若A、D位置预先给定，则四杆机构最多可精确实现连杆三 个预期位置。
5.2.2 实现已知运动规律
1 按给定两连架杆对应位移设计四杆机构 2 按给定从动件行程和行程速度变化系数设计 四杆机构
1 按给定两连架杆对应位移设计四杆机构
在图5-6所示的铰链四杆机构中，已知两连架杆AB和DC沿 逆时针方向的角位移序列为φ1i和ψ1i（i=2,3,…,n），要求确定各 构件的长度a、b、c、d。
5 机构运动分析与综合的解析法
5.1 平面低副机构运动分析的解析法 5.2 平面低副机构运动综合的解析法 5.3 平面高副机构运动分析与综合的解析法
5.1 平面凸轮机构的解析法设计
5.1.1 铰链四杆机构 5.1.2 含移动副的四杆机构
5.1 平面低副机构运动分析的解析法
解析法一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方程对 时间求导得速度和加速度方程。由于所用的数学工具不同，解 析的方法也不同，下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。
cos 2
1
1 2
2
sin
2
1
1
2
2
(1
cos 21 )
2
代入式（5.1-13），得距离xc的近似值为
xC
1 (cos 1
1
4
4
cos 21)
（5.1-21）
将上式对时间逐次求导,则得滑块的速度和加速度的近似值
为
C
11(sin 1
2
sin
21 )
（5.1-22）
aC
2
11
(cos
1
cos 21)
因为
sin 3
2 tan(3 / 1 tan2 (3
2) / 2)
cos3
1 1
tan2 (3 tan2 (3
/ /
2) 2)
解出
3 2arctan B
A2 B2 C2 AC
（5.1-4）
式（5.1-4）中有两个值，它说明在满足相同的杆长条件下， 该 机 构 有 两 种 装 配 方 案 ， 式 中 的 “ +” 的 适 用 于 图 标 机 构 位 置 ABCD的装配，根号前为 “-”号的φ3值适用于图示机构位置 ABC’D的装配，究竟取哪一个φ3 ，要根据从动件3的初始位置和 运动连续条件来确定。
若固定铰链中心A、D在固定坐标系中的位置坐标记为 (xA,yA)、 (xD,yD) ，则根据机构运动过程两连架杆长度不变得
(xBi xA )2 ( yBi yA )2 (xB1 xA )2 ( yB1 yA )2
(i 2,3, , n)
（5.2-4）
(xCi xD )2 ( yCi yD )2 (xC1 xD )2 ( yC1 yD )2 (i 2,3, , n)
2
)
cos(3
2)
（5.1-10）
为了消去α3，将两边分别乘以 ei，3 取实部得
2
332
112
cos(1 3 ) 22 2 2 sin( 2 3 )
cos( 2
3 )
（5.1-11）
角加速度的正、负号可表明角速度的变化趋势，角加速度 与角速度同号表示加速；反之则为减速。
5.1.2 含移动副的四杆机构
11
ei1
22iei2
222ei2
33iei3
332ei3
（5.1-9）
为了消去α2，将上式两边乘以 ei得2
ie e e i 2
i( )
12
11
22
2 22
i( 3 2 ) 33
2 i( 3 2 ) 33
取实部得
3
222
2
11
cos(1
2
)
2
33
3
sin(3
两边乘以 ei2后，展开并取实部得
C
11 sin( 1 cos 2
2 )
将式（ 5.1-15 ）展开后取虚部得
2
11 cos1 2 cos2
（5.1-15） （5.1-16） （5.1-17）
（3） 加速度分析
将式（ 5.1-15 ）对时间求导得
e2 i1
11
22iei2
222ei2
l1 l2 xC
ei 1
1
ei2
2
xC
展开后分别取虚部得
即：
1 sin 1 2 sin 2 0
2
arcsin(
1 sin 2
1 )
展开后取实部得
xC 1 cos1 2 cos2
（5.1-12） （5.1-13） （5.1-14）
（2）速度分析
将式（5.1-12）对时间求导得
11iei1 22iei 2 C
φ1和ψ1，则两连架杆第i位置相对于x轴的夹角分别为（φ1i+ φ1） 和（ψ1i+ψ1）。将式（5.2-12）用于两连架杆的第一和第i位置， 有
（5.2-5）
将式（5.2-1）代入（5.2-4）并整理得
Ei xB Fi yB Gi 0
(i 2,3, , n) （5.2-6）
式中
Ei (xMi cosi xM1 cos1) ( yM i sin i yM1 sin 1) xA cosi cos1) yA(sin i sin 1)
该方程式的实部和虚部应分别相等，即
消去φ2得 式中系数
1 cos1 2 cos2 4 3 cos3
1 sin1 2 sin2 3 sin3
Acos3 B sin3 C 0
A 4 1 cos1
B 1 sin1
C A2 B2
2 3
2 2
23
（5.1-2） （5.1-3）