冲刺2010—2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)2

15、（2009年烟台市）26．(本题满分14分)

如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点

(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C ,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使

以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重

合），经过A

B E ，，三点的圆交直线B

C 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；

（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

26．（本题满分14分）

解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a -=+-⎧⎪

⎨-=⎪⎩

，

················ 2分

解得12.a b =⎧⎨

=-⎩

，

∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． ·········· 3分 （2）存在．

在2

23y x x =--中，令0x =，得3y =-． 令0y =，得2

230x x --=，1213x x ∴=-=，．

(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．

又2

(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ·············································································· 5分

（第26题图）

M

（第26题图）

容易求得直线CM 的表达式是3y x =--． 在3y x =--中，令0y =，得3x =-．

(30)N ∴-，，2AN ∴=． ···································································································· 6分

在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．

2CP AN CP ∴=∴=，．

AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，．····································· 8分

（3）AEF △是等腰直角三角形．

理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．

∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，

，(30)B ，． OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ························································································· 9分

又 点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ······················································· 10分

由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ············································· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ···································· 12分 （4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． ···························· 14分

16、（2009年山东省日照）24． (本题满分10分)

已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

F B

D

第24题图①

B

D

E

第24题图②

B

第24题图③

24．（本题满分10分）

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴CG= FD．………………1分

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD．………………2分

∴CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG．

∴AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG．

∴MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG．

∴AG=EG．

∴EG=CG．……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC，……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF∥CD∥AB．………………………5分