矩阵理论在其他数学学科中的应用

b1 。
b2
其中 A11是满足 A 11x( 10) = b11的 A 的行向量的最大线性无关组, 秩( A11) = p 显然有p [ n;
由 A12将 A11扩充成可逆矩阵 A1, 显然有 A 12x( 0) > b 12;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 的余下行组成 A 2, 则 A2 x(0) \b2, 显然( A2, b2) 的任意行都是( A 1, b1) 的行向量的线性组合;
分析: 原书[ 2] 的证明是用反证法把 B 进行调整, 假设方程 X B = 0 有除( 1, 1, ,, 1) 外的非零解, 最后 推出假设与图 G 的连通性矛盾, 故秩( B) = n - 1。由于该问题是矩阵问题, 故可以由矩阵理论得到下面 一种新证法:
证明: 设 G 是有 n 个点, m 条边的连通有向图。 x1
16
14
化问题, 应用基本可行解的相关知识进行证明。由于以上问题是矩阵问题, 故我们完全可以把它转化成一 个高等代数问题, 以下就是应用了矩阵理论的新证法:
证明: ( 1) 必要性:
把 A 行调换, 使得 A=
A11 A12 = A2
A1 , 而 b 随 A 的调换而调换, b =
A2
b 11 b 12 = b2
求解后应用了矩阵秩与解的关系, 更加突出矩阵的思想, 使证明过程简单, 明了。我们也可以用矩阵中行
线性相关知识证明以下结论: 2. 2 证明: 关联矩阵 B 的任意 n- 1 行线性无关。
证明: 反证法。
b1
令 B= b2 , 假设存在 bi , 使得 b1 b 2 , bi - 1 bi + 1 , bn 线性相关, s
3 在其它学科的应用
前面两节我们主要讨论了矩阵理论在最优化理论和图论上的应用, 可以看出使用矩阵理论大大简化 了解题过程, 使我们从另外一个角度把问题看得更透彻, 从而加深了我们对矩阵理论的理解; 其实它的作 用之大可从它对数学其他分支的渗透看出, 如: 数学分析[ 3] 中就是用黑赛矩阵来判断函数的极值; 空间解 析几何中二次曲面的分类问题更是和矩阵紧密相关; 对于斐波那契数列, 假如应用矩阵理论把数列写成矩 阵, 再对它求特征值使之对角化, 就会使问题变得相当简单了。
第 27 卷 第 4 期 2005 年 12 月
湘潭师范学院 学报( 自然科学版) Journal of Xiangtan Normal University( Natural Science Edition)
Vol. 27 No. 4 Dec. 2005
矩阵理论在其他数学学科中的应用*
邢永丽, 陈维兵, 阎真真
当 p = n 时, 原题得证。
当 p< n 时,
0
0
令 x1=
x ( 0) +
EA
1
1
s 0
共 n-
1 个 0, x 2=
x ( 0) -
EA1- 1
s 0
共 n- 1 个 0;
1
1
显然有: x (0) =
1 2
x
1+
1 2
x
2
( 1)
0
当 E取充分小时, 显然 A 1x1=
A1( x ( 0) +
随着人们对科学研究的深入, 矩阵理论的应用愈来愈广。它在众多学科和领域中发挥着不可替代的 作用, 如数学分析中多元函数的一阶近似、隐函数存在定理与矩阵理论密切相关; 常微分方程中的一阶线 性方程组和高阶线性方程理论的建立及其求解方法完全要建立在矩阵理论的基础上; 解析几何上对于二 次曲线、二次曲面的分类和研究, 也必须用到矩阵理论; 还有计算方法的许多理论, 以及最优化理论中许多 问题的提出和求解, 图论上对图的定量研究都离不开了矩阵理论。总之, 矩阵理论在其它数学学科和研究 领域中应用的实例不胜枚举。因此我们不应该独立地学习它, 应将其应用到其他的数学课程并同它们有 机地结合起来, 从而加深对高等代数的理解。而把矩阵理论应用到这些数学学科如最优化、图论等中时, 与常规方法相比, 往往会有独特的效果, 使很多问题变得简单明了。就矩阵理论在最优化理论和图论中的 应用举例说明。
数学是科学之母, 是众多学科的共同基础。随着计算机的飞速发展和信息时代的到来, 在大多研究领 域中, 人们对定量研究越来越重视。可以说任何一个学科的发展都与定量分析和研究密不可分, 而数学在 定量研究中起着至关重要的作用。就数学本身而言, 作为大学数学的老三高之一的高等代数是理工科专 业特别是数学专业最重要的基础课之一。而矩阵理论是高等代数中的核心内容, 矩阵理论中的许多思想 和方法极大地丰富了数学的代数理论。
A1
b1
A=
, b= ,
A2
b2
其中 A1 有 n 行, 且 A 1 的秩为 n, b1 是 n 维列向量, 使得 A 1x ( 0) = b1, A 2x ( 0) \b2。
分析: 一般的最优化教材[ 1] 上的证法基本都是把 A 中的元素进行调整, 将该问题转化成标准的最优
* 收稿日期: 2005- 04- 06 作者简介: 邢永丽( 1963- ) , 女, 河北邯郸人, 副教授, 研究方向: 计算数学。
( 中国地质大学 信息工程学院, 北京 100083)
摘 要: 讨论矩阵理论在其他数学学科如 最优化理论、图论等中的应用, 给出若干用阵理论 解题的例子, 并给 出与常规
方法相比较的相应评价。
关键词: 矩阵理论; 矩阵的秩; 矩阵的特征值
中图分类号: O1- 1
文献标识码: A
文章编号: 1671- 0231( 2005) 04- 0014- 03
1 最优化中的应用
最优化理论与算法是一门重要的数学分支, 它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最
优以及怎样找出最优方案。而矩阵理论在其中扮演重要角色, 特别是最优化中线形规划的单纯形方法是
完全基于矩阵理论的。这一节我们仅用矩阵理论来解决一个线性规划问题。
1. 1 设 s= { x | Ax \b } , 其中 A 是 m @ n 矩阵( m > n) , A 的秩为 n, 证明: x (0) 是极点的充要条件是: A 和 b 可作以下分解:
EA
1
1
s
) \b1, 故 x 1 I S 。
0
1 同理 x 2 I S。而( 1) 式与 x (0) 是极点相矛盾, 故 p = n。 ( 2) 充分性: 根据极点定义反证即得。证毕。 可以看出一般的最优化教材[ 1] 上的证明主要是基于最优化的基本概念, 利用基本可行解使定理证明 虽然思路清晰, 但过程比较繁琐。而以上新证法特别是必要性的证明, 把该问题完全转化成一个高等代数
bn 则存在 n - 1 维非零向量 A= ( A1 A2 , Ai - 1 Ai + 1 , An ) 使得 AB = 0,
b1
而( A1 A2 , Ai- 1 Ai Ai + 1 , An ) b2 = 0 只有零解, s
bn 故 A1= A2= ,= An= 0, 故 B 的任意 n- 1 行线性无关。证毕。
问题, 充分利用了矩阵的性质进行行变换, 并用反证法构造出 x 1, x 2, 从而推出矛盾, 这样使得证明过程相 当简单。
2 在图论中的应用
在计算机科学蓬勃发展的今天, 图论在计算机的众多领域里都占有一席之地, 它有着广阔的发展前 景, 而矩阵理论在图论中的地位是显然的, 特别是它在道路, 回路, 树的各种矩阵中的作用巨大。本节用矩 阵理论就图论[ 2] 中树的关联矩阵的两个定理作一下证明。 2. 1 证明: 连通有向图 G 的关联矩阵 B 的秩等于 n- 1
参考文献:
[ 1] 陈宝林. 最优化理论与算法[ M] . 北京: 清华大学出版社, 1989. [ 2] 卢开澄. 图论及其应用( 第二版) [ M] . 北京: 清华大学出版社, 1995. [ 3] 华东师范大学数学系. 数学分析( 第三版) [ M] . 北京: 高等教育出版社, 2001.
作方程组 BTn @ mx = 0 ( 1) 则 x = x 2 为( 1) 的非零解, s
xn 对于任意 i , j I { 1, 2, ,, n} , 往证: xi = xj 。 事实上 G 为连通图, G 中必有从 vi 到 vj 的路 P : v1va1 va2 va3 ,vakvj , 由 B 的定义和性质得: ( ? xi ) +
15
( mxa ) = 0, 即得 xi = x a 。
1
1
同理可证: xi = x a1 = x a2= xa3 ,= x ak= xj
1
故( 1) 的解为 x = 1 s
1 故 R( B ) = R( BT ) = n- 1。证毕。
可以看出原书证明利用了反证法, 逻辑严密, 而且与图论本身知识紧密结合; 而以上新证明是在直接