空心轴优化设计

约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优 学模型：
化设计，故采用 SUMT 惩罚函数内点法进行求解，将目标 函数定义在可行域内部，序列迭代点在可行域内逐步逼近约 束边界上的最优点。 ■■1.2 目标函数
本文目标函数是使空心传动轴在满足传动要求的情况 下其体积最小 [6]。空心轴的理论体积为：
最后得到的结果如下：
空心传动轴的设计既需要传统的设计理念同时需要新的
X = (x1, x2, x3)T = (D, d ,l)T = (178.0648，177.0523 3001.7751)T 最后圆整后的结果为： X = (x1, x2, x3)T = (D, d ,l)T = (179,177,3002)T
τ
=
16MD π (D4 − d4)
查 45 号 钢 的 相 关 物 理 参 数 有： 密 度 7.8×10-6Kg/
mm3，弹性模量 E=2×105Mpa，许用切应力 [τ]=60MPa，
所以上式整理得：
d 4 − D4 + 1.27 ×105 D ≤ 0
空心传动轴满足抗皱稳定性，即其扭转切应力不得超过
信息工程
空心轴优化设计
庞春 （广州市机电技师学院，广东广州，510430）
摘要：对空心轴传动的优化设计进行了研究。以空心轴的质量作为目标函数，建立了空心轴优化设计的数学模型。根据空心轴设计计算的 特点，对设计中的相关参数的规范化计算进行了论述。用Matlab软件、相关语言和复合形法，编写了空心轴传动的优化设计程序。对轴长 不小于3m，材料为45钢，所受扭矩为M=1.5×106N·mm的空心轴进行了优化设计。 关键词：空心轴；Matlab；复合形法；优化设计
E=2*10^5; tao=60; g(1)=(x(2))^4-(x(1))^4+(16*M*x(1))/(pi*tao); g(2)=(16*M*x(1))/(pi*((x(1))^4-(x(2))^4)*0.7*E)((x(1)-x(2))/x(1))^(3/2); ceq=[];
2 相关参数的处理
0 引言
几乎在所有的机械产品中都存在着机械传动装置，不同
f
(X
)
=
π 4
(D2
−
d 2 )l
× 10−9
=
π 4
( x12
−
x22 )x3
× 10−9
■■1.3 约束条件
传动机构或装置有不同需求。如有些需要大传动比的减速机
空心传动轴的优化设计的约束条件有扭转强度、抗皱稳
构，有些需要较长的传动轴，有些需要减轻自身的重量而使 定性和结构尺寸 [7]。且其扭转切应力不能超过许用值，即
理。当然在进行数据圆整处理时需要注意顾及目标函数和
空心传动轴设计体积 v=0.0008 m^3
约束条件，有可能在进行圆整处理之后就不再满足约束条件
* * * 空心传动轴实现函数优化设计最优解 * * *
了。本文中的外径 D，即 x¬1 作扩大圆整，只入不舍，内
径 d 只以缩小方式圆整，轴长以四舍五入的方式进行圆整。 4 结论

g4
(
X
)
=
− x2
≤
0
g5 ( X ) = x2 − x1 < 0
信息工程
通过 Matlab 软件的优化安装程序，对空心传动轴进行
M=1.5*10^6;
设计程序优化，使用的优化逼近方法是比较经典的复合形法 以及最优化问题可行解的快速有效方法 [8-9]。作为空心传动 轴优化设计的数例，输入的数据有：扭矩 1.5×106N•mm、 45 钢 的 弹 性 模 量 2×105MPa、 钢 材 密 度 7.8×10-6Kg/ mm3 以及许用切应力 60MPa，求解并得到最后的优化设计 结果 。 [10]
运行结果： * * * 空心传动轴实现函数优化设计最优解 * * *
通过优化设计算法计算之后得到的结果一般情况下并
空心传动轴外径 D=178.0648 mm
不是整数，即都是小数，但是该空心传动轴的设计参数一
空心传动轴内径 d=177.0523 mm
般规范为整数，即需要对优化设计到的参数进行圆整处
空心传动轴长度 l=3001.7751 mm
用空心轴传动等。并且在机械制造中，减轻重量，节约材料
τ ≤ [τ ]
几乎是每个设计工作者所要追求的目标之一，对于某些轴类
扭转切应力大小为：
的其它受力与其所受的扭矩相比较可以忽略的情形，从减轻 重量节约材料的角度考虑，将其设计成空心是相当必要的 [1]。 由于横截面上的剪应力沿半径方向是按线性分布，圆心附近 的应力很小，即圆心附近的材料没有充分发挥其应有的性能 [2]。这一理论早被人们所熟悉，并且得到广泛的应用，如飞机、 轮船、汽车等运输机械的某些传动轴为了减轻其质量都设计 为空心的。但是按照传统的设计方法和设计技术是不可能在 满足使用强度的条件下达到最低质量的，因为这样设计的计 算量非常大，由原来的人工计算几乎是不可能完成的 [3]。只 有在计算机技术和软件技术高度发达的今天，才能解决手工 难以计算的高次方方程，使优化设计的设计方案得以实现 [4]。
l ≥ lmin d ≥0
轴的体积达到最小化，本文取空心轴长度 l 为设计变量。综
D−d ≥0
合上述分析可得优化数学模型为：
■■1.4 小节
X = (x1, x2, x3)T = (D, d ,l)T 综分析上述模型可知，该模型具有 3 个设计变量，5 个
主要分析和阐述了空心传动轴的设计要求、优化设计的 约束条件以及相关数学模型，整理可以得到以下优化设计数
扭转稳定的临界切应力，所以有：
τ ≤τ′
扭转稳定的临界切应力为：
τ
′
=
0.7
E
(
D−d 2D
)3/
2
1 优化设计数学模型
■■1.1 问题描述 设计某型号的空心传动轴，空心轴的 D、d 分别为空心
整理得：
154.3D D4 − d4
−
(
D− D
d
)3/ 2
≤
0
空心传动轴的结构尺寸满足以下条件：
轴的外径和内经，轴的总长度不得小于 5m。在满足许用条 件和结构尺寸限制条件的前提下对该空心轴进行优化，使该
46 | 电子制作 2018 年 7 月
min
f
(X
)
=
π 4
( x12
−
x22 )x3
× 10−9

g1
(
X
)
=
x24
−
x14
+ 1.27
×105
x1
≤
0

g2
(
X

)
=
154.34x1 x14 − x24
−
(
x1
− x2 x1
)3/ 2
≤
0
g3( X ) = 3 − x3 ≤Байду номын сангаас0