数列高考真题数列大题教师版

数

列

一.等差数列、等比数列的基本概念与性质

全国Ⅱ卷

1.（2014.全国2卷5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的

前n 项和n S =（ ）

（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）

()12

n n + (D)

()12

n n -

2.（2014.全国2卷16）数列{}n a 满足11

1n n

a a +=

-，2a =2，则

1a =_________.

12

3.（2015.全国2卷5）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）

A ．

5 B ．7 C ．9 D ．11

4.（201

5.全国2卷9）已知等比数列{}n a 满足11

4

a =，()35441a a a =-，则2a =（ ）

二.数列综合

（一）新课标卷

1.（2011.全国新课标17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13

q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12

n

n a S -=

（II ）设31323log log log n n b a a a =++

+，求数列{}n b 的通项公式．

解：（Ⅰ）因为.3

1)31(311n n n

a =⨯=- 所以,2

1n n a S --

（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=

所以}{n b 的通项公式为.2

)

1(+-

=n n b n

2.（2014.全国3卷17）（本小题满分12分）已知

{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程

2560x x -+=的根。

（I ）求

{}n a 的通项公式；

（II ）求数列2n n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和. 错位相减 【解析】：（I ）方程2

560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列

{}n a 的

公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12

，从而13

2a =， 所以

{}n a 的通项公式为：1

12

n a n =

+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n

n a n ++=， 则：234134512

22222n

n n n n S +++=

+++++ 34512134512222222

n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 所以14

22

n n n S ++=- ………12分

（三）全国Ⅱ卷

1.（2013.全国2卷17）(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －

2. 解：(1)设{a n }的公差为d. 由题意，211a ＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2

＝a 1(a 1＋12d)．

于是d(2a 1＋25d)＝0.

又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.

(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.

由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2

n (－6n ＋56)＝－3n 2

＋28n.

2.（2016全国卷）(本小题满分12分) 等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]=0,[]=2. 试题解析：(Ⅰ)设数列

{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得

12

1,5

a d ==，

所以

{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=

. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

， 当n =1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n =4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n =6,7,8时，23

34,35n n b +≤<=；

当n =9,10时，23

45,45

n n b +≤<=，

所以数列

{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.

（三）全国III 卷

1、（2016全国卷）（本小题满分12分）

已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2

11(21)20n n n n a a a a ++---=.