高考数学二轮复习资料专题一 集合与常用逻辑用语

高考数学二轮复习资料
专题一集合与常用逻辑用语
【考纲解读】
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.
2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.
3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.
4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.
5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.
6.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【考点预测】
3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.
4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.
5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.
6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.
7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
【考点在线】
考点一集合的概念
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则
M∩N=（）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系.
【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.
练习1:若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）
A．P B．Q C． D．不知道
【答案】B
【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x 2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B．
考点二集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例2.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－1
2 (a2－3a－8), a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是
________．
【答案】2
【解析】∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}.
当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．
当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．
当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故a=2为所求．
【解析】分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1
．
2
考点三集合间的关系
例3.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
【答案】A=B
【解析】任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A B
．①
又任设b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B A
②
由①、②知A=B．
【名师点睛】这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．考点四要注意利用数形结合思想解决集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工
具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活
直观地获解．
例4.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，
则集合A、B是________．
【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.
【解析】由题意,画出图如下:
由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．
【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，
由图不难看出．
【备考提示】：熟练数形结合的思想是解答好本题的关键.
练习4.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．【答案】A∪B=R,A∩B={x|－6≤x＜－3或0<x≤1}.
【解析】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．【易错专区】
问题1：空集
例1.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值
为______．
解：∵ A∪B=A，,
∴⊆
B A
∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=∅，则令△<0得a∈∅；
若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈∅；
若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．
1.（2019年高考山东卷文科1)设集合M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =( )
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A.
2. （2019年高考海南卷文科1)已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
【答案】B
【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素，所以其子集个数为224=个，选B.
3．(2019年高考安徽卷文科2)集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则()U S C T 等于( )
（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345
【答案】B
【解析】{}1,5,6U T =，所以(){}1,6U S T =.故选B.
4．(2019年高考广东卷文科2)已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，
5． （2019年高考江西卷文科2)若全集
{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）
A.M N ⋃
B.M N ⋂
C.()()U U C M C N ⋃
D.()()U U C M C N ⋂
【答案】D
【解析】
{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){
}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U .
6.（2019年高考福建卷文科1)若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N 等于
A.｛0，1｝
B.｛-1，0，1｝
C.｛0，1，2｝
D.｛-1，0，1，2｝
【答案】A
【解析】因为{}{}{}1,0,10,1,20,1M N ⋂=-⋂=,故选A.
7．（2019
年高考湖南卷文科1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M
C N ===则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}
答案：B
解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。

8．（2019年高考湖北卷文科
1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则()C
A B = A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}
10．（2019年高考全国卷文科1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）（ ）
（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4
【答案】D
【解析】{2,3}M N =，()U C M N ={}1，4.
11. （2019年高考陕西卷文科8)设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，
1{|||2,N x x i =-<}i x R ∈为虚数单位，则M N 为
（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）[0,1) （D ）[0,1]
【答案】C
【解析】：由22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈即M =[0,1] 由1||2x i -<得2||1211x i x x +=+<-<<即N =(1,1)-[0,1)M N =故选C
12.（2019年高考浙江卷文科1) 若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则( )
（A ）P Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R P Q ⊆ （D ）R Q P ⊆
【答案】 C
【解析】：{}|1,R R P x x P Q =≥∴⊆，故选 C
13. (2019年高考天津卷文科4)设集合
{}
=∈<{}
|(2)0,
C x R x x
=∈->则“x A B
B x R x
|20,
|0,
A x R x
=∈->{}
∈⋃”是“x C
∈”的( )
15．（2019年高考重庆卷文科2)设2
U R M x x x
==->，则U M=
,{|20},
（）
A．[0，2] B．()
0,2
C．()()
-∞⋃+∞
,02,
D．(][)
-∞⋃+∞
,02,
【答案】A
16.（2019年高考山东卷文科5)已知a，b，c∈R，命题“若a b c
++=3，则222
++≥3”，的否命题是
a b c
(A)若a+b+c≠3，则222
++<3
a b c
(B)若a+b+c=3，则222
++<3
a b c
(C)若a+b+c≠3，则222
++≥3
a b c
(D)若222
++≥3，则a+b+c=3
a b c
【答案】A
【解析】命题“若p,则q”的否命题是“若p
⌝”,故选A.
⌝,则q
17. (2019年高考天津卷文科4)设集合
{}|20,A x R x =∈->{}|0,B x R x =∈<{}|(2)0,C x R x x =∈->则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之
"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。

20. （2019年高考陕西卷文科1)设,a b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的逆命题是
（A ）若a b ≠-则a b ≠ （B ）若a b =-则a b ≠
（C ）若a b ≠则a b ≠- （D ）若a b =则a b =-
【答案】D
【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是（互
逆）命题。

故选D
21. (2019年高考天津卷文科9)已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂
中所有元素的和等于 .
【答案】3
【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.
22.(2019年高考江苏卷1)已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A
【答案】{}1,2-
【解析】考察简单的集合运算，容易题.A B ⋂={1,1,2,4}{1,0,2}-⋂-={}1,2-.
半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，2(12)022m m +=+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，02
m m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有 2212222
m m m m ---≤2121m -≤≤.又因为
2m 1,2122m m ≤∴
≤≤+. 24. （2019年高考陕西卷文科14)设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =
【答案】3或4
【解析】：由韦达定理得124,x x +=又n N +∈所以11221232
x x x x ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩或则1234x x ⋅=或. 【高考冲策演练】
一、选择题：
1．（2019年高考山东卷文科1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =（ ）
A. {}22x x -<<
B. {}22x x -≤≤
C ．{}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或
【答案】C
【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，
所以U C M ={}22x x x <->或，故选C 。

3．（2019年高考福建卷文科1）若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）
A. {}x|2<x 3≤
B. {}x|x 1≥
C. {}x|2x<3≤
D. {}x|x>2
【答案】A
【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A.
4．(2019年高考北京卷文科1) 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M =（ ） (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
5．(2019年高考江西卷文科2)若集合{}1A x x =≤，{}0B x x =≥，则A B =（ ）
A ．{}11x x -≤≤
B ．{}0x x ≥
C ．{}01x x ≤≤
D ．∅
【答案】C
【解析】{|11}{|0}{|01}A B x x x x x x =-≤≤≥=≤≤。

6．(2019年高考浙江卷文科1)设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q =（ ）
(A){|12}x x -<<
(B){|31}x x -<<- (C){|14}x x <<- (D){|21}x x -<<
8．（2019年高考山东卷文科7）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则
“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知12a <a ，则设数列{}n a 的公比为q ，因为12a <a ，所以有
11a <a q ，解得q>1,又1a >0，所以数列{}n a 是递增数列；反之，若数列{}n a 是递增数列，则公比q>1且1a >0，所以11a <a q ，即12a <a ，所以12a <a 是数列{}n a 是递增数列的充分必要条件。

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。

9．（2019年高考天津卷文科5）下列命题中，真命题是（ ）
(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数
(B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数
(C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数
(D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数
【答案】A
【解析】当m=0时，函数=x 22f(x)+mx=x 是偶函数，故A 正确。

10．（2019年高考福建卷文科8）若向量(x,3)(x )a R =∈，则“x 4=”是“||5a =”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12．(2019年高考湖南卷文科2)下列命题中的假命题．．．
是（ ） A. ,lg 0x R x ∃∈= B.
,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D.
,20x x R ∀∈> 【答案】C
【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2
=，故选C
二．填空题：
13．已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M ∩N=__________.
【答案】 ∅
14．非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠⊆{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________.
【答案】7
15．设A=｛1，2｝，B=｛x ｜x ⊆A ｝若用列举法表示，则集合B 是 . 【答案】{,{1},{2},{1,2}}∅
16．含有三个实数的集合可表示为
{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则
20072008a b += ． 【答案】-1
三．解答题：
17．设集合A={(x ，y)|y=a x+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A ∩B 是单元素集合，求a 取值范围.
【解析】画图可得:a ≥1或a ≤-1.
18.设A={x|x 2+px+q=0}≠∅，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A ∩M=∅，A ∩N=A ，
当B=∅时，△=m 2-8<0．∴ 22m 22<<-．
当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆0
2m 2402m 10或，m 无解． 当B={1，2}时，12,12 2.
m +=⎧⎨⨯=⎩∴ m=3． 综上所述，m=3或22m 22<<-． 21．已知全集U =R ，且{}{}22120,450A x x x B x x x =--≤=-->，求()()U U C A C B .
22．已知集合{}{}22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤, 且{},34A B R A B x x =<≤，{},34A B R A B x x ==<≤，求a ,b 的值.
解：{}13A x x x =<>或， ∵A
B R =. ∴{}13x x -≤≤中元素必是B 的元素. 又∵{}34A B x x =<≤, ∴{}34x x <≤中的元素属于B, 故{}{}133414B x x x x x =-≤≤<≤=-≤≤或.
而{}20B x x ax b =++≤. ∴-1,4是方程20x ax b ++=的两根， ∴a=-3,b=-4.。