第八章真空中的静电场

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第八章 真空中的静电场
§8-1 静电场
【基本内容】
一、电荷、库仑定律
1、电荷守恒定律
（1）电荷守恒定律：
对于一个孤立系统，不管发生什么变化，系统内的所有电荷的代数和保持不变。

（2）电荷的相对论不变性：
一个电荷的电量与它的运动状态无关，即在相对运动的两个惯性系中测量同一电荷的电量，其值相等。

2、库仑定律
（1）、点电荷模型：忽略带电体的形状和大小，视带电体为具有一定电荷的几何点。

（2）、库仑定律：真空中两个静止点电荷间的作用力(斥力或吸力)与这两个电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。

r r
q q F ˆ41
2210 πε= 其中ε0称为真空的介电常数，ε０＝８．８５×１０
－１２Ｃ２／Ｎ·m ２。

理解：（1）r →0时，将导致F →∞。

该结论是不正确的，这是因为r →0，两带电体也不能视为点电荷。

（2）电力叠加原理：施于任一点电荷的力F 等于其它每一个点电荷单独存在时对它所施库仑力i F 的
矢量和，即∑==n i i F F 1
二、电场、电场强度
1、电场
（1）电场：带电体和变化的磁场周围空间存在的一种物质。

（2）静电场的对外表现：电场中带电体受电场的作用力；带电体在电场中移动时，电场将对其作功。

2、电场强度矢量E
：描述电场力性质的物理量。

（1）检验电荷q 0
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要求：（1）q 0是点电荷，才能检验空间各点的场强；（2）q 0可正可负，其值不能太大，才能不影响原场强的分布。

（2）电场强度的定义：电场中某点的场强等于该位置处单位正电荷所受的场力。

（3）场强叠加原理：分离电荷系统：⎰=E d E 三、高斯定理 性质可完全描述该矢量场的性质。

1、电力线和电通量
（1）电力线：
规定：（1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；（2）曲线的疏密表示场强的大小。

性质：（1）电力线来自正电荷（无穷远），止于负电荷（无穷远），但不会在没有电荷的地方中断；
（2）在没有点电荷的空间里，任何两条电力线不能相交；
（3）静电场的电力线不会形成闭合曲线。

（2）电通量 s d E ds E d e ⋅==θφcos ⎰⋅=ΦS
e S d E
2、高斯定律
定律内容：∑⎰=⋅q S d E S 01ε
∑q 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，
由高斯面内外的全部电荷产生；⎰⋅S
S d E 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。

物理意义：静电场是有源场。

三、常见带电体的场强分布
（1）点电荷产生的场强和电势分布： r r q E 3041
πε=
（2）无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ)的场强: a E 02πελ=
,方向垂直于直线。

（3）带电圆环在轴线上产生电场强，如图5.1： 2/3220)(41x R qx E +=
πε，方向：沿轴线。

（4）均匀带电球面的电场，如图5.2：
r r q E 3
041
πε= 当R r >时 0=E 当R r <时
（5）无限大均匀带电平面的电场:0/εσ=E ，方向：垂直于平面。

【典型例题】
求电场强度的三种方法
1、利用场强叠原理求电场强度r r
dq E ˆ4120 ⎰=πε 这是矢量积分，一般方法是先分解在合适的方向，再进行积分，才能得到正确的结果。

2、利用高斯定理求电场强度
当电荷分布具有对称性，从而电场分布包括大小和方向具有相应的特殊对称性时，可用高斯定理求场强。

例如
（1）均匀带电球体、均匀带电球面和点电荷的电场强度在空间的分布具有球面对称性。

以球对称处为球心，半径为r 的球面上各点的电场强度的大小相等，方向沿该点的半径方向。

若高斯面取球面，且高斯面通过所求场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。

（2）无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面和无限长均匀带电直线的电场强度在空间的分布具有柱面对称性。

在垂直于该圆柱体轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r 的圆周上各点的电场强度其大小相等、方向沿该点的切线。

若高斯面取圆柱面，其轴线与无限长均匀带电圆柱体的轴线相同，侧面通过所求场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。

（3）无限大均匀带电平面所产生的电场强度也可由高斯定理很方便地求出。

3、若已知),,(z y x U U =，则可用U E -∇= 求电场强度。

【例8-1】 如图例5-1所示，一绝缘细棒弯成半径为R 的半圆形，其上半段均匀带有电量q ，下半段均匀带有电量－q 。

求半圆中心o 点处的电场强度。

【解】 若带正电的1/4圆弧dl ，其上带电量
它在o dE =+
R R 24sin 4πεηπεη= R
R 24cos 4πεηπεη- 22222242R
q R E E y x εππεη==+=++2222R q επ= 2222R q
E E επ=+=-+，方向沿502025444r K dr r K dr r dV
q r
r πππρρ====⎰⎰⎰⎰⎰ 由高斯定理得
502544r K E r S d E πεπ==⋅⎰⎰
内球面内 故有 )(,50
3R r Kr E <=ε内 在球外：取半径为r 的球面为高斯面，易求得高斯面内所包含的电量就
是球5
K =R 图5.3θx y 0_R +++++___
____d l r R 例5-2图+++++0c A B 例5-
50
2544R K E r S d E πεπ==⋅⎰⎰内球面
外 故有
)(,5205R r r KR E >=ε外 本题旨在说明根据高斯定律求场强。

【例8-3】在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，挖出一个以/O 为球心的球形小空腔，空腔的球心/O 相对于带电体球心O 的位置矢量为b ，如图例5-3所示。

求空腔中任一点P 的场强。

【解】 先求电荷体密度为ρ的均匀带电实心球体内的场强。

由对称性可知，电场E 的方向沿半径向
外。

取一半径为r 的球面为高斯面，此球面上场强的大小处处相等，由高斯定理可得 对于例5-3电ρ+的实心球体在P ρ-的实心球体在P 由上面的结论，有 013ε0
23ε于是，空腔中任一点P 的场强可由叠加原理求出
0/2133)(ερερb r r E E E =-=+= 由上式结果可知，在空腔内各处的场强均相等，方向由O 指向/
O 。

若0q 不
【8-3】ox轴上坐标为a
+和a
-处分别放置点电荷q
+和q
-（图5-3），求坐标为()a
x
x>>的P处
场强。

【8-5】在一个带有负电荷的均匀带电球外，放置一电偶极子，其电矩P的方向如图5-5，当偶极子被释放后，该偶极子将。

（1）沿逆时针方向旋转直到电矩P
沿径向指向球面而停止。

（2）沿逆时针方向旋转至电矩P
沿径向指向球面，同时沿电力线方向向着球面移动。

（3）沿逆时针方向旋转至电矩P
沿径向指向球面，同时逆电力线方向远离球面移动。

（4）沿顺时针方向旋转至电矩P
沿径向朝外，同时沿电力线方向向着球面移动。

【8-6】将线电荷密度为λ的无限长均匀带电细杆弯成如图5-6所示形状。

已知4/1圆弧的半径为R，求圆心O处的场强。

【8-7】电量Q
+均匀分布在长为L的细棒上（图5-7），在细棒延长线上距细棒中心为a的P处有一点电荷q
+，求点电荷q
+受到的静电力。

【8-8】一半径为R的带缺口细圆环，缺口长度为()R
d
d<<，环上均匀带电q
+（图5-8），求圆心O处场强。

【8-9】已知一高斯面包围的电量代数和为0，则下列说法正确的是：
（1）高斯面上各点场强均为0。

（2）穿过高斯面上每一面元的场强通量均为0。

（3）穿过此高斯面的场强通量为0。

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【8-11
【8-12一点电荷Q （1（2【8-13【8-14§8-2静电场的环流定理、电势
【基本内容】
一、静电场的保守性
静电场是保守场 0=⋅⎰l l d E
电场力作功与路径无关，是保守力，可引入电势能。

二、静电势能
1、静电势能的引入：静电力所作的功等于静电势能增量的负值。

P PA PB AB E E E W ∆-=--=)(
2、静电势能的定义：电荷q 0在电场中某点的电势能等于从该点把电荷q 0经任意路径移动到电势零点处，电场力所作的功。

⎰⋅==B
A A
B PA l
d E q W E 0
三、电势和电势差
1、 电势U ：静电场中某点处的电势，其数值等于单位正电荷在该点所具有的电势能，
⎰⋅==)()(00P P P l d E q E U ，0P 处为电势零点。

2、电势叠加原理
电荷系电场中，任一点处的电势等于每一带电体单独存在时，在该点产生的电势的代数和。

++=⋅+++=⋅=⎰⎰212100)(U U l d E E l d E U P P
P P 3、电势差
⎰⎰⎰⋅=⋅-⋅=-=b a P b P a b a ab l d E l d E l d E U U U 00
4、静电力作功与电势差的关系 )(b a ab ab U U q qU W -==
四、场强与电势的关系
1、等势面——电势相等的点所构成的曲面
等势面与电力线处处相交；在等势面上移动电荷，电场力不作功；等势面相距较近处，场强的数值大，相距较远处，场强的数值小。

2、E 与U 的关系
⎰⋅=-b
a b a l d E U U
k z
j y i x U E ∂∂+∂∂+∂∂=∇-∇=,，即场强指向电势降低最快的方向。

【典型例题】
求电势的两种方法
（1）利用电势叠加原理求电势r
dq U ⎰=041πε 这是标量积分，积分区间遍及整个带电体。

此式已取∞为电势零点。

若取适当的电荷元,可使数学计
圆周ＢＣＤ所带电荷在O点产生电位的叠加。

由于
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2ln 440
2031πεηπεη===⎰R
R dx x U U 0
0244πεπηθπεηπ==⎰d R R U 所以O 点的电位为
)2ln 2(40
321ππεη+=++=U U U U
本题旨在说明根据电势叠加原理求电势。

R r r 无限区域，一般选有限远处为电势零点。

注意：本题不能用叠加原理求电势，因为在公式r
dq U ⎰=
041πε中，已经假定无限远处的电势为零点。

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【如图5-15间电势差-b a U U 【（1（2（3【
（y x ,以米计）。

【8-18】 静电场中，电力线与等势面总是 ；电力线方向总是沿着 方向。

描述静电场性质的两个基本物理量是 和 ，它们的定义式分别为=E 和=U 。

【819】 密立根油滴实验，是利用油滴上的电场力与重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。

如两板电势差为0U 时，带电为e 、半径为r 的油滴保持静止；当两板电势差为04U 时，半径为r 2的油滴带电多少时才能保持静止？
【8-20】 两同心均匀带电球面，半径分别为1R 和2R ，带电量分别为1Q 和2Q ，如图5-20，则距球心为r 的P 处，下列各情形的电势U 。

（1）1R r <，=U 。

（2）R 1
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【8-21】 电荷以相同的面密度σ分布在半径为cm r 101=和cm r 202=的两同心球面上。

球心处电势为V 300。

求：
（1）电荷面密度σ；
（2）若要使球心处电势为0，外球面应放出多少电荷？
【8-22】 相距d 2的两无限大导体平行平板，均与地相连，如图5-22。

板间充满离子数密度为n ，每个离子带电为q 的正离子气体。

如电场分布相对中心平面'
OO 对称，求在两板间场强和电势。

【8-23】 电荷面密度为σ和σ-的均匀无限大带电平面，分别与轴垂直且交于a 与a -两点，如图5-23。

设O 处电势为0，求空间电势分布并画出其分布曲线。

势。

【8-30】 电量q 均匀分布在长为l 2的细杆上，求：
（1）在杆延长线上与杆较近端距为a 处的电势；
（2）在杆中垂线上与杆距为a 处的电势。

【8-31】 一锥顶角为θ的圆台，上下底半径分别为1R 和2R ，如图5-31。

如在它的侧面均匀带电，其电荷面密度为σ。

求顶点O 处的电势。

【8-32】 某电场的电力线分布如图5-32，一负电荷由M 点移至N 点，电场力作 功（填正、负）。

【8-33】 BCD 是以O 为圆心，R 为半径的半圆弧，B A ,间距为R ，如图5-33。

A 点与O 点分别
有点电荷
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q 和q -，如将一单位正电荷从B 点沿BCD 移至D 点，求电场力的功。

【8-34】 一偶极距为P 的偶极子放于均匀电场E 中，P 与E 夹角为α，如此偶极子绕垂直于()E P ,平面的轴沿α增大方向旋转0180
的过程中，电场力的功为 。

【8-1】 单位正实验电荷在该点受到的电场力【8-2】 大【8-3】 130)(-x qa πε,沿x 轴正向
【8-4】 αsin ,0PE 【8-5】 （2）【8-6】 大小，R
042πελ【8-7】 )4(220L a qQ -πε，方向向右【8-8】 3028R qd
επ【8-9】 （3）【8-10】 0
6εq 【8-1 负，>【8-12】 0200185,0,r R Q Q πεε。

【8-13】 )2/(2),2/2/(),2/(2.0
00d x d d x d x d x d ><<--<-ερερερ，图略 【8-14】)(01R r <)(22101R r R r
<<πελ)(22021r R r <+πελλ【8-15】 S Qd S Qd 00,2εε 【8-16】 （1）（3）【8-17】 V 2000-【8-18】 垂直的；电势减少最快，场强 电势，q W q F e /,/ 【8-19】 e 2【8-20】 2021
01
44)1(R Q R Q πεπε+，r Q Q R Q r Q 021202014)3(,44)2(πεπεπε++ 【8-21】 （1）29/1085.8m C -⨯，C 91067.6-⨯【8-22】
)(2,2200x d nq i x ng -εε 【8-23】 )(),(),(000∞<≤≤≤--≤<-∞-x a a a x a x a x a εσεσεσ，图略【8-24】 r 0
2εσ- 【8-25】 m V m V /1070.1,/1054.246⨯⨯【8-26】a Q
02πε【8-27】 V V 15,45-
【8-28】4;213,213d d d +-【8-29】 0,43ln 40πελ【8-30】 （1）,2ln 80a
l a l q +πε（2）
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a l l q
-+++22220ln 8πε【8-31】 )(2120R R -εσ【8-32】 正【8-33】 R
q 06πε 【8-34】 αcos 2PE -【8-35】 202R Pq πε-
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。