八年级上数学(平方差公式)

14.2乘法公式

14.2.1 平方差公式

一、新课导入

1.导入课题:

某同学在计算98×102时将其变成（100-2）（100+2）并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.

2.学习目标:

（1）掌握平方差公式的推导及应用.

（2）了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.

3.学习重、难点:

重点：平方差公式及应用.

难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

二、分层学习

1.自学指导:

（1）自学内容：探究平方差公式.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进行总结规律.

（4）探究提纲：

①用多项式相乘的方法计算（x+1）(x-1)=x2-1.

(m+2)(m-2)=m2-4.

(2x+1)(2x-1)=4x2-1.

②再来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

④用你发现的规律直接写出结果.

(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;

⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？

方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.

S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.

方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，则S=S四边形AEBN=(a+b)(a-b).

2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.

3.助学：

（1）师助生:

①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.

②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计算方法.

（2）生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.

4.强化：

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.

（2）直接利用公式计算（3x+y）(3x-y)=9x2-y2.

1.自学指导:

（1）自学内容：教材第108页例1、例2.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？

（4）自学参考提纲：

①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x

看成公式中的a,2y

看成公式中的b,结果是x2-4y2.

②例2中，（y-1）(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？

不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差的形式.

③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，这是数字计算中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简便运算？

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代表什么？

②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中a,b代表的式子的确定.

(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.

4.强化：

（1）无论是“两数和乘以两数差”还是“两项式乘以两项式，一项相同，另一项互为相反数”，都应该符合平方差公式的要求，都能运用公式进行计算.

（2）认真分析式子的特点，特别注意符号变化.

（3）下列式子能用平方差公式计算吗？

①（3x+2）(3x-2); ② (b+2a)(2a-b); ③（-x+2y）(-x-2y);

能.9x2-4 能.4a2-b2 能.x2-4y2

④102×983；⑤（-x+y）(x-y).

不能. 不能.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.

一、基础巩固（每题10分，共70分）

1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（B）

A.(2a-3b)(-2a+3b)

B.(-3a+4b)(-4b-3a)

C.(a-b)(b-a)

D.(a-b-c)(-a+b+c)

2.下列各式中，运算结果为x2-36y2的是（D）

A.(x+4y)(x-9y)

B.(-6y+x)(-6y-x)

C.(-6y+x)(6y-x)

D.(-6y-x)(6y-x)

3.下列计算结果正确的是（C）

A.(x+2)(x-2)=x2-2

B.(x+2)(3x-2)=3x2-4

C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2

D.(-x-y)(x+y)=x2-y2

4.(x n+4)(x n-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2

5.计算：(1

2

+

1

4

x) (

1

2

-

1

4

x=

1

4

-

1

16

x2.

6.计算：（a+3）(-a+3)=9-a2.

7.用简便方法计算:

（1）201

3

×19

2

3

解：原式=（20+1

3

）（20-

1

3

） =202-（

1

3

）2=400-

1

9

=399

8

9

（2）20152-2014×2016

解：原式=20152-（2015-1）（2015+1）=20152-［20152-1］=1

二、综合应用（每题10分，共20分）

8.计算(x-3)(x2+9)(x+3)

解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-81