第六章(3) 逆Z变换

z1, z2 , , zn ,
（1）F ( z )有单极点 （2）F ( z )有共轭单极点 （3）F ( z )有重极点
（1）F ( z )有单极点
如 F的(z极) 点 z1, z都2 ,互,不zn相, 同，且不等0 则 F(z)可/ z展开为
F(z) K0
K1
Kn
n
Ki
z
z z z1
z2 z 2
z2 z 1 2z1
F (z) f k zk k0
3 2z1
即
F(z)
z2
z2 z
2
1
z 1
3z2
5z3
相比较可得原序列 f (k) {1, 1, 3, 5, }
k0
（2）由于F(z)的收敛域为 z 1 故 f (k为) 反因果序列。
用长除法将 F(展z) 开为 的z 幂级数如下：
2
（3）F ( z )有重极点
如果F(z) 在 z z1处 a有r重极点，
则可将 F (z) 展开为
z
F(z) z
Fa (z) z
Fb (z) z
K11 (z a)r
K12 (z a)r1
K1r za
Fb (z) z
式中Fb (是z) 除重极点 z以外a 的项，在
z
Fb(z) 。各项系数 K可ir 用下式求得
复习
• Z变换的性质
§6.3 逆z变换
求逆z变换，即由象函数 F(求z) 原序列 f的(k问) 题。
求逆z变换的方法有：幂级数展开法； **部分分式法； 反演积分法（留数法）。
本节重点讨论最常用的部分分式法。 一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。
f (k) f2(k) f1(k) f (k) (k 1) f (k) (k)
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
F (z) z-1 k1z z1 k2z
z-z1
z z2
F (z) k1 k2 z z-z1 z z2
F (z) k1z k2z z-z1 z z2
将 F展(z)开/ z为部分分式，其方法与第五章中 F展(s)开方法相同。
F(z的) 分母多项式为 A(z), A有(zn)个 0根 它们称为 F(的z) 极点。
2
1
F1 ( z )
F2 ( z )
f1
(k
)
[2
(
1 2
)k
]
(k
)
f2(k) [2k 3k ] (k 1)
f (k)
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
处z a
K1i
(i
1 1)!
d i1 dz i1
[(
z
a
)r
F(z) ]
z za
F(z)
K11z (z a)r
K12z (z a)r1
K1r z za
Fb (z)
根据给定的收敛域，求上式的逆变换。
如果F (z有) 共轭二重极点， z1,2 c jd可得：e j
F(z)
z
K11 (z z1 )2
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
1z 3 z1
1 3
1 3
z 1
1 3
z2
1 3
z3
F2 (z)
2z 3 z2
1 12
z3
1 6
z2
1 3
z
f (k) { , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , } 12 6 3 3 3 3 3 k 0
3 8
z4
1 4
z3
1 2
z2
0 z
F(z) f kzk f 1z f 2z2 k 1
相比较可得原序列
f (k) {
,
5
, 3 , 1 ,
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
1 z2 1 z3 3 z4 5 z5 2 4 8 16
2 z z2 z2 z2 1 z3 1 z4 22 1 z3 1 z4 22 1 z3 1 z4 1 z5 244 3 z4 1 z5
4 4
z2 F(z) z2 z 2
即 F(z)
z2
z2 z2
5 16
z5
z
K e j12 12 z z2
]
2 K12 k
cos[k
12 ) (k)
若 z ， 则
Z
1[
z (
K11 z
e z1
j 1
)2
1
z K11 (z
e j11 z2 )2
]
2
K11
k k1
cos
(k
1)
11
(k
1
Z 1[ z
K e j12 12
z z1
z
K e j12 12 z z2
z zn i0 z zi
各系数为
Ki
F(z) (z zi ) z
z zi
(z zi ) F(z)
z
z zi
上式等号两端乘以z，得
F(z)
K0
n i0
Kiz z zi
根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即
F1(z)( z )和F2(z)( z )
根据已知的变换对，如 (k) 1
(z
K11 j2)2
(z
K1*1 j2)2
K12 (z j2)
ak(k) z , z a
za
ak (k 1) z , z a
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
1)3
F(z) z
z 1
2
所以 即
K12
d dz
[( z
1)3
F(z)] z
z1
3
K13
d2 dz 2
[( z
1)3
F(z) ]
z z1
1
F(z) 2
3
1
z (z 1)3 (z 1)2 (z 1)
2z
3z
z
F (z) (z 1)3 (z 1)2 (z 1)
由于收敛域 z ，1 由表6-2可得逆变换为
z e j
取上式逆变换，得
若 z , fa (k) 2 K1 k cos(k ) (k)
若 z , fa (k) 2 K1 k cos(k ) (k 1)
例6.3-5 求下面象函数的逆变换。
z2 6 F(z) (z 1)(z2 4) , z 2
解 F(的z) 极点为
z1
例6.3-2 某因果序列的象函数
a
F(z) ez ,
z 0
求其原函数 f (k。)
解 指数函数 e x可展开为幂级数
e x 1 x 1 x2
1
xk
xk ,
2!
k!
k0 k!
令 x a ，则F(z) 可展开为
z
a
F(z) ez
(a )k z
ak zk ,
k0 k! k0 k!
K12 z z1
(z
K 21 z2 )2
K 22 z z2
Fb z z
且 k11 k21
k12 k22
若 z ，则
Z
1[
z (
K11 z
e z1
j 1
)2
1
z K11 (z
e j11 z2 )2
]
2 K11
k k1 cos
(k
1)
11
(k )
Z 1[ z
K e j12 12
z z1
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
z
z
z z z1 z z2 z
式中 Fb (z) 是 F (z) 中除共轭极点所形成分式外
z
z
的其余部分，而 Fa (z) K1 K2
z z c jd z c jd
可以证明，如 A(z是) 实数系数多项式，则
3
3
（3）收敛域1 z 2
2
f (k) 2 (2)k (k 1) 1 (1)k (k)
1
3
3
例6.3-4 求下面象函数的逆z变换。
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
22,
(z 1 )(z 1)(z 2)(z 3)
2
1 z 2
解 由上式可见其象函数的极点为1/2，1，2，3。
]
2
K12 k
cos(k
12 ) (k
1)
例6.3-6 求下面象函数的逆变换。
z3 z2 F(z) (z 1)3 , z 1
解 将 F (展z) 开为
z
F(z) z
z2 z (z 1)3
K11 (z 1)3
K12 (z 1)2
K13 (z 1)
根据求系数公式可得：
K11
(z
f (k) [2 1 k(k 1) 3k 1] (k) (k 1)2 (k)
2
例6.3-7 求下面象函数的逆变换。 z4
F(z) (z2 4)2 , z 2
解 F(有z) 一对共轭二重极点
z1,2
j2
2e
j
2
将 F (z展) 开为
z
F(z) z
(z
z3 j 2)2 ( z
j2)2
式中因果序列为 式中反因果序列为
f1(k) f (k) (k) f2(k) f (k) (k 1)
相应地，其z变换也分为两部分 F(z) F2(z) F1(z), z
其中 F1(z) Z[ f (k) (k)] f (k)zk z k0 1 F2(z) Z[ f (k) (k 1)] f (k)zk z k
1,
z2,3
j2
2e
j
2
,
F (z)可展开为
F(z) z
z2 6 z(z 1)(z2
4)
K0 z
K1 z1
z K2 z j2
K
* 2
z j2
求得各项系数
K0
z
F(z) z
z0
1.5
F(z)
K1 (z 1) z
1
z 1
F(z)
1 j2
K2 (z j2) z
z j2
4
5 e j63.4 4
F(z)
z2
z
K1 K2
z z(z 1)(z 2) (z 1)(z 2) (z 1) (z 2)
各项系数为：
F(z)
1
K1 (z 1) z
3 z 1
F(z) 2
K2 (z 2) z
z2 3
1
2
于是得
F(z)
3
3
z (z 1) (z 2)
即 F(z) 1 z 2 z 3 z1 3 z2
K1
K
* 2
将 F (的z) 极点 z写1, z为2 指数形式，即令
z1,2 c jd e j
z1,2 c jd e j
令 K1 K1 e j
K2 K1 e j
前式可改写为
Fa (z) z
K1
z e j
K2
z e j
等号两端乘以z，得
Fa (z)
K1 e j
z e
z
j
K1 e j z
于是得
F (z) 1.5 z z1
5 e j63.4 z
4
z
2e
j
2
5 e j63.4 z 4
z
2e
j
2
取上式的逆变换，得
f (k) 1.5 (k) [(1)k 5 2k cos(k 63.4)] (k)
2
2
1.5 (k) [(1)k 5 2k1 cos(k 63.4)] (k)
将 F(z) / z 展开为部分分式为
F(z) K1 K2 K3 K4 z z 1 z1 z2 z3 2
按求各项系数公式可得：K1 1, K2 2, K3 1, K4 1,
故象函数的展开式为：
z 2z z z
F(z)
, 1 z 2
z 1 z1 z2 z3
2
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2
z2
F(z) (z 1)(z 2) z2 z 2
z 0
f (k) ak k
k!
x
二、部分分式展开法
Baidu Nhomakorabea
在离散系统分析中，经常遇到的象函数是z的
有理分式，它可以写为：
F(z)
B(z) A(z)
bm zm bm1zm1 b1z b0 zn am1zn1 a1z a0
mn
F(z) B(z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
其收敛域如下，分别求其相应的原序列f(k)
(1) z 2 (2) z 1 (3)1 z 2
解（1）由于F(z)的收敛域为 z 2 故 f (k为) 因果序列。 用长除法将 F(展z) 开为 的z幂1 级数如下：
1 z1 3z2 5z5 z2 z 2 z2
z2 F(z) z2 z 2
1 z 2
2 z 1
31 z 2
F(z) 1 z 2 z 3 z1 3 z2
（1）收敛域 z 2 故 f (k) 为因果序列。得
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
3
3
（2）收敛域 z 1 故 f (k) 为反因果序列。得
f (k) [ 1 (1)k 2 (2)k ] (k 1)