组合数学第二章习题解答
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1 1 2 2 n 1 G(x) = +2 x +...(n+1) x +... 1− x 1− x 1− x
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k=1
n+1
1+4x+ x2 ∞ =∑ n+1 3 xn ( ) 4 (1−x) n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+23)x+(1+23 +33)x2 +...+(1+23 +...+(n+1)3)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +23 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)3 xn(1+ x+ x2 +...) +...
2.25 分母展开求出an的递推关系，再求出bn的递推关系 将分母展开(1-x)(1+x-x2)=1-2x2+x3 因此an满足递推关系：an-2an-2+an-3=0,a0=4,a1=-3 an-an-1+an-1-an-2-an-2+an-3 = bn+bn-1-bn-2=0 b0=4,b1=-7,母函数为：
b +(b +b )x 0 1 0 4−3x = 1+ x − x2 1+ x − x2
G x) = (
2.26 逐项展开，两边合并。
2.27 求下列递推关系的一般解
(a)an-4an-1=5n
a −4 n−1 −5 n−1 +2 a −2 = 0 a a 0 n n a −9 n−1 +2 a −2 = 0 a 0 n n 特 方 的 为和 征 程 解 4 5 一 解 : r 4n +r 5n 般 为 1 2
2 n=0
∞
证明（1-3x+3x2-x3)G是一个多项式，并求母函数G
G=[x+2x2 +...+(n+1)xn+1 +...]'
x ( − x)2 +2x( − x) 1− x2 1 1 1+ x =[ ]' = = = ( − x)2 1 ( − x)4 1 ( − x)4 ( −x)3 1 1
2.7 G=1+2x2+3x4+4x6+...+(n+1)x2n+... 解：令t=x2代入上式 G=1+2t+3t2+4t3+...+(n+1)tn+... =1/(1-x)2 =1/(1-x2)2
2.11 an = (n +1) ,G= ∑anxn =1+4x +...+(n+1)2 xn +...
(k +n+1 k +n+1 )! C(k +1+n, k +1 = ) = C(k +n, k) n!(k +1 )! k +1 n =(1+ )C(k +n, k) k +1 x −k− 1 其 函 为1− x) 母 数 ( + [(1− x)−k−1]' = ( − x)−k−2 1 k +1
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
1 × × 2 [2 5n +5 (− )n ] 7 0 1 [2 5n +5 (− )n ] × × 2 7 0
a =a n
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
2.30
a = a2n−1a3n−2, a0 =1 a = 2 , 1 n
两 求 数 边 对 l a = 2l a −1 +3l a −2 n n n n n n 令 n =l a b n n b −2 n−1 −3 n−2 = 0 特 根 : r =3 r2 = − , b b , 征 为 1 , 1 n b +b n b −3 0 1 0 1 b b =l a = n n 3 − (− )n 1 n 4 4 n n 1 1 × 1 [3 −(− )n ] 1 [3 +3 (− )n ] = l a + l a n 0 n 1 4 4 =l a n
2.27 求下列递推关系的一般解
(e)an-4an-1=2×5n-3×4n
a −4 n−1 = 2×5n a n 的 解 h n, 代 替 关 特 为5 入 推 系 5 5 0 h n −4h n−1 = 2×5n, h =1 0 一 解 : r 4n +1 ×5n 般 为 1 a −4a −1 = − ×4n 3 n n 的 解 h 4n, 代 替 关 特 为n 入 推 系 h 4n −4h n−1 4n−1 = − ×4n, h = − n ( ) 3 3 一 解 : r 4n −3 4n 般 为 1 n
因此，m=k+1时成立
2.17 已知：
G(x) =1+2x+3x2 +...+(n+1)xn +...
证明：
(a)G = ( − x) 1
2 2 ∞ −4 ∞
= ∑ (n+3 3 xn C , )
n= 0 n
(b G = ∑ nx ,其 a = ∑ k +1 n+1−k) ) a 中n ( )(
n n= 0 k= 0
2.32(c)
1 n 3 1 a −a0 = 1 3 1 a2−a = 2 1 3 1 a3−a2 = 3 3 .................... an −an−1 = 1 n 3 1 1 1 a −a0 = + 2 +... + n n 3 3 3 an −an−1 = 1 1 1 − n× 1 1 1 3 +a0 =1− 1 +a0 a = + 2 +... + n +a0 = 3 3 n n 1 3 3 3 3 3
(1−3x+3x2 − x3)G= (1− x)3
1+ x =1+ x 3 (1−x)
2.12已知
an = ∑k ,
∞ = ∑(n+1)2 xn (1− x)3 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+22)x+(1+22 +32)x2 +...+(1+22 +...+(n+1)2)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +22 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)2 xn(1+ x+ x2 +...) +...
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
[4n − 3 n ] ( ) 1 [4n − 3 n ] ( ) 1
a
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0 [4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
a =a n
[4n − 3 n ] ( ) 1
a
代 a =1 a = 2 入0 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
1 n [3 +3 (− )n ] × 1 4 0 1 n × 1 [3 +3 (− )n ] 4 0
a =a n
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
代 a0 =1 a = 2 入 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4
2.31
a −4 n−1 = 0 a n 的 般 为 r 4n 一 解 : 1
特 为 5n, 代 得 解 k 入 k5n −4k5n−1 =5n,两 同 以 n−1 端 除 5 5 −4 =1 k =1 特 为 n k k , , 解 5
特 为 5 ,代 得 解 k n 入
n n k5 −4 5 − = 5 ,两 同 以 n− k n1 端 除 5 1 n 5 −4 =1 k = 5 特 为 n+1,因 一 解 k 4n +5 +1 k k , , 解 5 此 般 为1
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G x) =1+4x +10x2 +...+C(n+3 3 xn +... ( , ) =1+4x +10x2 +... +C(4+n−1 n)xn +... , = 1 ( − x)4 1
2.5 设Gn=F2n,证明：Gn-3Gn-1+Gn-2=0,n=2,3,4,...求Gn的母函数
按 加 理 叠 原 an −4an−1 = − ×4n 3 的 解 hn4n,代 替 关 特 为 入 推 系 hn4n −4h(n−1 4n−1 = − ×4n, h = − ) 3 3 一 解 : r4n −3 4n +10×5n 般 为 n
2.28
10 a = a3n−1a n−2 n
两 求 数 边 对 l a =3l a −1 +1 l a −2 n n n n 0n n 令 n =l a b n n b −3 n−1 −1 b −2 = 0 特 根 : r =5 r2 = − , b 0n , 征 为 1 , 2 n b −b (− ) n b −5 0 1 0 2 1 b b =l a = n n 5 − (− )n 2 n 7 7 1 1 × × 2 [5n − − )n ] ( 2 [2 5n +5 (− )n ] n 1 = l a + l a n 0 7 7 =l a n
F n −3 2n−2 + F n−4 = 0 F 2 2
F n = F n−1 + F n−2 2 2 2 = F n−2 + F n−3 + F n−2 2 2 2
F n−3 = F n−2 −F n−4 2 2 2
G = F =1 1 2 G = F =3 2 4 G =0 0
G +(G −3 0)x G x 0 1 = 2 1−3x + x 1−3x + x2
1 1 3 3 n 1 G(x) = +2 x +...(n+1) x +... 1− x 1−x 1− x 1 = (1+23 x+...(n+1)3 xn +...) 1−x
1 1+4x+ x2 1+4x+ x2 G(x) = = 4 1−x (1−x) (1−x)5
2.16 用数学归纳法证明 C(m,m),C(m+1,m),C(m+2,m),...,C(m+n,m),...的母函数为 (1-x)-m-1 当m=1时成立，设m=k时成立。也就是： C(k,k),C(k+1,k),C(k+2,k),...,C(k+n,k),...的母函数为 (1-x)-k-1
× a =1 (n+1 +2×(n +... +(k +1 ×(n−k +1 +... ) ) ) ) n = ∑ k +1 n+1−k) ( )(
k= 0 n
2.23 设an=(k1+k2n)(-3)n, k1,k2 是常数，求{an}的递推关系。 特征方程为(x+3)2=x2+6x+9=0 递推关系为an+6an-1+9an-2=0 2.24 设an-2an-1+an-2=5,a0=1,a1=2,求解这个递推关系。 可认为是(1)n5,1是2重根，特解是kn2 代入递推关系：kn2-2k(n-1)2+k(n-2)2=5,k=5/2 一般解是：k1+k2n+5n2/2
2.32(b)
1 , a0 = 7 n 2 1 a −a0 = 1 2 1 a2−a = 2 1 2 1 a3−a2 = 3 2 .................... 1 an −a −1 = n n 2 1 1 1 a −7 = + 2 +... + n n 2 2 2 an −a −1 = n 1 1 1 − × 1 1 1 2 2n 2 +7 = 6− 1 a = + 2 +... + n +7 = n 1 2n 2 2 2 2
(c)a =C n+3 3 n∈ 012 ( , ), { , , ,...} n
(b G = ∑ nx ,其 a = ∑ k +1 n+1−k) ) a 中n ( )(
2 n n=0 0 k=
∞
n
G2 =(1+2x+3x2 +...+(n+1 xn +...)(1+2x+3x2 +...+(n+1 xn +...) ) )
[4n − 3 n ] ( )
2.32(a)
a = n n− , a =1 a =? a 1 0 , n n a =a 1 0 a2 = 2 1= 2 0 a a a =3 2 =3 2 0 3 a . a a4 = 4 3 = 4 3 2 0 a . . a .................................... a = n n− ) 4 3 2 0 = n a n .( 1 .... . . a ! 0
1 a = a7n− / a 2n−2, a =1 a = 2 0 , 1 1 n
两 求 数 边 对 l a = 7l a − − 2l a −2 n n n n1 1 n n 令 n =l a b n n b −7 n− +1 b −2 = 0 特 根 : r = 3 r2 = 4 b 1 2 n , 征 为 1 , , n b =l a = n n n =l a n =l a n b −4 0 n 1 b b −3 0 1 b 3 + (4 n ) − 1 1 +l a n
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k=1
n+1
1+4x+ x2 ∞ =∑ n+1 3 xn ( ) 4 (1−x) n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+23)x+(1+23 +33)x2 +...+(1+23 +...+(n+1)3)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +23 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)3 xn(1+ x+ x2 +...) +...
2.25 分母展开求出an的递推关系，再求出bn的递推关系 将分母展开(1-x)(1+x-x2)=1-2x2+x3 因此an满足递推关系：an-2an-2+an-3=0,a0=4,a1=-3 an-an-1+an-1-an-2-an-2+an-3 = bn+bn-1-bn-2=0 b0=4,b1=-7,母函数为：
b +(b +b )x 0 1 0 4−3x = 1+ x − x2 1+ x − x2
G x) = (
2.26 逐项展开，两边合并。
2.27 求下列递推关系的一般解
(a)an-4an-1=5n
a −4 n−1 −5 n−1 +2 a −2 = 0 a a 0 n n a −9 n−1 +2 a −2 = 0 a 0 n n 特 方 的 为和 征 程 解 4 5 一 解 : r 4n +r 5n 般 为 1 2
2 n=0
∞
证明（1-3x+3x2-x3)G是一个多项式，并求母函数G
G=[x+2x2 +...+(n+1)xn+1 +...]'
x ( − x)2 +2x( − x) 1− x2 1 1 1+ x =[ ]' = = = ( − x)2 1 ( − x)4 1 ( − x)4 ( −x)3 1 1
2.7 G=1+2x2+3x4+4x6+...+(n+1)x2n+... 解：令t=x2代入上式 G=1+2t+3t2+4t3+...+(n+1)tn+... =1/(1-x)2 =1/(1-x2)2
2.11 an = (n +1) ,G= ∑anxn =1+4x +...+(n+1)2 xn +...
(k +n+1 k +n+1 )! C(k +1+n, k +1 = ) = C(k +n, k) n!(k +1 )! k +1 n =(1+ )C(k +n, k) k +1 x −k− 1 其 函 为1− x) 母 数 ( + [(1− x)−k−1]' = ( − x)−k−2 1 k +1
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
1 × × 2 [2 5n +5 (− )n ] 7 0 1 [2 5n +5 (− )n ] × × 2 7 0
a =a n
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
2.30
a = a2n−1a3n−2, a0 =1 a = 2 , 1 n
两 求 数 边 对 l a = 2l a −1 +3l a −2 n n n n n n 令 n =l a b n n b −2 n−1 −3 n−2 = 0 特 根 : r =3 r2 = − , b b , 征 为 1 , 1 n b +b n b −3 0 1 0 1 b b =l a = n n 3 − (− )n 1 n 4 4 n n 1 1 × 1 [3 −(− )n ] 1 [3 +3 (− )n ] = l a + l a n 0 n 1 4 4 =l a n
2.27 求下列递推关系的一般解
(e)an-4an-1=2×5n-3×4n
a −4 n−1 = 2×5n a n 的 解 h n, 代 替 关 特 为5 入 推 系 5 5 0 h n −4h n−1 = 2×5n, h =1 0 一 解 : r 4n +1 ×5n 般 为 1 a −4a −1 = − ×4n 3 n n 的 解 h 4n, 代 替 关 特 为n 入 推 系 h 4n −4h n−1 4n−1 = − ×4n, h = − n ( ) 3 3 一 解 : r 4n −3 4n 般 为 1 n
因此，m=k+1时成立
2.17 已知：
G(x) =1+2x+3x2 +...+(n+1)xn +...
证明：
(a)G = ( − x) 1
2 2 ∞ −4 ∞
= ∑ (n+3 3 xn C , )
n= 0 n
(b G = ∑ nx ,其 a = ∑ k +1 n+1−k) ) a 中n ( )(
n n= 0 k= 0
2.32(c)
1 n 3 1 a −a0 = 1 3 1 a2−a = 2 1 3 1 a3−a2 = 3 3 .................... an −an−1 = 1 n 3 1 1 1 a −a0 = + 2 +... + n n 3 3 3 an −an−1 = 1 1 1 − n× 1 1 1 3 +a0 =1− 1 +a0 a = + 2 +... + n +a0 = 3 3 n n 1 3 3 3 3 3
(1−3x+3x2 − x3)G= (1− x)3
1+ x =1+ x 3 (1−x)
2.12已知
an = ∑k ,
∞ = ∑(n+1)2 xn (1− x)3 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+22)x+(1+22 +32)x2 +...+(1+22 +...+(n+1)2)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +22 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)2 xn(1+ x+ x2 +...) +...
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
[4n − 3 n ] ( ) 1 [4n − 3 n ] ( ) 1
a
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0 [4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
a =a n
[4n − 3 n ] ( ) 1
a
代 a =1 a = 2 入0 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
1 n [3 +3 (− )n ] × 1 4 0 1 n × 1 [3 +3 (− )n ] 4 0
a =a n
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
代 a0 =1 a = 2 入 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4
2.31
a −4 n−1 = 0 a n 的 般 为 r 4n 一 解 : 1
特 为 5n, 代 得 解 k 入 k5n −4k5n−1 =5n,两 同 以 n−1 端 除 5 5 −4 =1 k =1 特 为 n k k , , 解 5
特 为 5 ,代 得 解 k n 入
n n k5 −4 5 − = 5 ,两 同 以 n− k n1 端 除 5 1 n 5 −4 =1 k = 5 特 为 n+1,因 一 解 k 4n +5 +1 k k , , 解 5 此 般 为1
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G x) =1+4x +10x2 +...+C(n+3 3 xn +... ( , ) =1+4x +10x2 +... +C(4+n−1 n)xn +... , = 1 ( − x)4 1
2.5 设Gn=F2n,证明：Gn-3Gn-1+Gn-2=0,n=2,3,4,...求Gn的母函数
按 加 理 叠 原 an −4an−1 = − ×4n 3 的 解 hn4n,代 替 关 特 为 入 推 系 hn4n −4h(n−1 4n−1 = − ×4n, h = − ) 3 3 一 解 : r4n −3 4n +10×5n 般 为 n
2.28
10 a = a3n−1a n−2 n
两 求 数 边 对 l a =3l a −1 +1 l a −2 n n n n 0n n 令 n =l a b n n b −3 n−1 −1 b −2 = 0 特 根 : r =5 r2 = − , b 0n , 征 为 1 , 2 n b −b (− ) n b −5 0 1 0 2 1 b b =l a = n n 5 − (− )n 2 n 7 7 1 1 × × 2 [5n − − )n ] ( 2 [2 5n +5 (− )n ] n 1 = l a + l a n 0 7 7 =l a n
F n −3 2n−2 + F n−4 = 0 F 2 2
F n = F n−1 + F n−2 2 2 2 = F n−2 + F n−3 + F n−2 2 2 2
F n−3 = F n−2 −F n−4 2 2 2
G = F =1 1 2 G = F =3 2 4 G =0 0
G +(G −3 0)x G x 0 1 = 2 1−3x + x 1−3x + x2
1 1 3 3 n 1 G(x) = +2 x +...(n+1) x +... 1− x 1−x 1− x 1 = (1+23 x+...(n+1)3 xn +...) 1−x
1 1+4x+ x2 1+4x+ x2 G(x) = = 4 1−x (1−x) (1−x)5
2.16 用数学归纳法证明 C(m,m),C(m+1,m),C(m+2,m),...,C(m+n,m),...的母函数为 (1-x)-m-1 当m=1时成立，设m=k时成立。也就是： C(k,k),C(k+1,k),C(k+2,k),...,C(k+n,k),...的母函数为 (1-x)-k-1
× a =1 (n+1 +2×(n +... +(k +1 ×(n−k +1 +... ) ) ) ) n = ∑ k +1 n+1−k) ( )(
k= 0 n
2.23 设an=(k1+k2n)(-3)n, k1,k2 是常数，求{an}的递推关系。 特征方程为(x+3)2=x2+6x+9=0 递推关系为an+6an-1+9an-2=0 2.24 设an-2an-1+an-2=5,a0=1,a1=2,求解这个递推关系。 可认为是(1)n5,1是2重根，特解是kn2 代入递推关系：kn2-2k(n-1)2+k(n-2)2=5,k=5/2 一般解是：k1+k2n+5n2/2
2.32(b)
1 , a0 = 7 n 2 1 a −a0 = 1 2 1 a2−a = 2 1 2 1 a3−a2 = 3 2 .................... 1 an −a −1 = n n 2 1 1 1 a −7 = + 2 +... + n n 2 2 2 an −a −1 = n 1 1 1 − × 1 1 1 2 2n 2 +7 = 6− 1 a = + 2 +... + n +7 = n 1 2n 2 2 2 2
(c)a =C n+3 3 n∈ 012 ( , ), { , , ,...} n
(b G = ∑ nx ,其 a = ∑ k +1 n+1−k) ) a 中n ( )(
2 n n=0 0 k=
∞
n
G2 =(1+2x+3x2 +...+(n+1 xn +...)(1+2x+3x2 +...+(n+1 xn +...) ) )
[4n − 3 n ] ( )
2.32(a)
a = n n− , a =1 a =? a 1 0 , n n a =a 1 0 a2 = 2 1= 2 0 a a a =3 2 =3 2 0 3 a . a a4 = 4 3 = 4 3 2 0 a . . a .................................... a = n n− ) 4 3 2 0 = n a n .( 1 .... . . a ! 0
1 a = a7n− / a 2n−2, a =1 a = 2 0 , 1 1 n
两 求 数 边 对 l a = 7l a − − 2l a −2 n n n n1 1 n n 令 n =l a b n n b −7 n− +1 b −2 = 0 特 根 : r = 3 r2 = 4 b 1 2 n , 征 为 1 , , n b =l a = n n n =l a n =l a n b −4 0 n 1 b b −3 0 1 b 3 + (4 n ) − 1 1 +l a n