线性代数—解线性方程组的消元法

线性方程组解的判定定理
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
在有解的情况下， 在有解的情况下，
时有唯一解； 时有无穷多解； 当 r ( A) = n 时有唯一解； r ( A) < n 时有无穷多解； 当
这时自由未知量个数为 n − r ( A) .
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例4
t 为何值时线性方程组
t 1 0 1 当 t = 1 时， r( A) = r( A) = 2 , → 0 1 − 2 − 3t + 2 , 方程组有无穷多解。 0 0 0 方程组有无穷多解。 − t +1
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称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组 称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组
第三章
1
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 本章讨论关于线性方程组的两个问题： 线性方程组的两个问题 个未知数m个方程的线性方程组的解法 一、探讨n个未知数 个方程的线性方程组的解法 探讨 个未知数 即下面介绍的高斯消元法 高斯消元法）。 （即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有 从理论上探讨线性方程组解的情况： 何时无解。若有解，则有多少组解； 解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无 穷多解，如何表示。 穷多解，如何表示。 运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面 运用 维向量的理论可全面地解决第二个方面 的问题。 的问题。
则只有零解； 若 r ( A) = n ,则只有零解；
则有非零解. 若 r ( A) < n , 则有非零解.
则必有非零解, 因为此时必 若 m < n , 则必有非零解 , 因为此时必有 r ( A) ≤ m < n . 此时
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例5
解线性方程组 x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 = 0 3 x1 + 2 x2 + x 3 + x4 − 3 x5 = 0 . x2 + 2 x 3 + 2 x4 + 6 x5 = 0 5 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = 0 解 这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知 这是一个齐次线性方程组，
故方程组无解. 最后一个为矛盾方程组 0 = 2 , 故方程组无解
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a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , 线性方程组 L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
1 2 × 2
3 4
1 2
3
4
+52 −32
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, x2 − x3 + x4 = 0, 2x4 = −6, x4 = −3,
1 2
3
4
5
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 2 x4 = −6, 4 x4 = −3, x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 ↔ 4 3 4 −23 x4 = −3, 4 0= 0, = 回代”的方法求出解： 用“回代”的方法求出解： x1 = x 3 + 4 其中x x = x + 3 其中 3为任意取值 .
x1 + x 3 = t 4 x1 + x 2 + 2 x 3 = t + 2 6 x + x + 4 x = 2 t + 3 2 3 1
有解? 并求解. 有解? 并求解 t t 1 0 1 1 0 1 解 A = 4 1 2 t + 2 → 0 1 − 2 − 3t + 2 6 1 4 2t + 3 0 1 − 2 − 4t + 3
1 − 2 3 − 1 1 ( A, b ) = 3 − 1 5 − 3 2 2 1 2 − 2 3 1 − 2 3 −1 1 0 5 − 4 0 − 1 0 0 0 0 2
1 − 2 3 − 1 1 0 5 −4 0 −1 0 5 −4 0 1
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因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 常数进行运算 未知量并未参与运算． 进行运算， 数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记
2 −1 −1 1 1 1 1 −2 A = (Ab) = 4 −6 2 −2 3 6 −9 7
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = 0 , L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0 .
显然零向量必为它的解, 称为零解 零解. 显然零向量必为它的解, 称为零解.
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4 , 对应的方程组为 x 2 − x 3 + x4 = 0 x = −3 4
x1 = x 3 + 4 由下到上逐个解得 x 2 = x 3 + 3 ，其中 3为任意取值 . 其中x x = −3 4
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例2 解
a11 a12 a21 a22 系数矩阵 A = L L a m1 am2 L a1n L a2n , L L L amn a11 a12 L a21 a22 L 增广矩阵 A = ( A, b) = L L L a m1 am2 L
r3 + 5r2
r4 − 3r2
11
1 0 → 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 r3 ↔ r4 0 0 2 − 6 r4 − 2r3 0 0 1 − 3
1 0 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
L L L L
L L L L
其中 cii ≠ 0 ( i = 1,L, r ),
方程组有解的充分必要条件是 dr+1 = 0.
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的秩, 实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r = r (A) ,
若 d r + 1 = 0 , 则 r ( A ) = r ( A) = r ,
若 d r + 1 ≠ 0 , 则 r ( A ) = r ( A) + 1 ,
2 3 x = −3 4
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小结： 小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 ．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； 相互替换） （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． ） （以 i + k j 替换 i ）
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3．上述三种变换都是可逆 ． 的． i ↔j i ↔ 若( A) (B ), 则(B )
j
( A);
若( A)
若( A)
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B ) (B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的， 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换 同解变换． 变换是同解变换．
r1 ↔ r2
r3 ÷ 2
1 2 2 3
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
10
1 2 2 3
r3 − 2r1
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
r2 − r3
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, 2x2 −2x3 +2x4 = 0, −5x2 +5x3 −3x4 = −6, 3x2 −3x3 +4x4 = −3,
3
4
4
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 2 x 2 − 2 x 3 + 2 x4 = 0, − 5 x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x4 = −3,
r4 − 3r1
r2 ÷ 2
1 1 − 2 1 4 0 2 −2 2 0 0 −5 5 −3 −6 0 3 −3 4 −3
1 0 0 0 4 1 −1 1 0 0 0 2 −6 0 0 1 −3 1 1 −2
2 x1 + 2 x 2 − x 3 = 6 解线性方程组 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 3 . 5 x + 7 x + x = 28 2 3 1
2 2 −1 6 ( A, b ) = 1 − 2 4 3 5 7 1 28
1 −2 4 3 0 6 −9 0 0 17 −19 13 1 −2 4 3百度文库 0 −1 8 13 0 0 13 26
2 4 4 9
称为方程组(1)的增广矩阵． 称为方程组 的增广矩阵． 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)： 用矩阵的初等行变换解方程组 ：
1 2 2 −1 −1 1 −2 1 − 4 1 B= 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9
a1n a2n L amn
b1 b2 , L bm
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化为阶梯形, 利用矩阵的初等行变换将 A 化为阶梯形,
c11 c12 0 c22 L L 0 0 A→ 0 0 0 0 L L 0 0 L c1r L c2 r L crr L L L 0 0 0 L c1n L c2 n L crn L L L 0 0 0 d1 d2 L dr d r +1 0 L 0
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1 −2 4 3 0 −1 8 13 0 2 −3 0
解得唯一解 x1 = 1 , x 2 = 3 , x3 = 2 .
例3 解
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 解线性方程组 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4
2
第一节 解线性方程组的消元法
例1 用高斯消元法解线性方程组 1 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 2 1 2 3 4 (1) 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4 1 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 解 2 x − x − x + x = 2, 2 1 ↔ 2 1 2 3 4 (1) 3 ÷2 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
3
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
2 3 4
1 2
3
4 1 2
− 3 −2 1 − 31