线性代数—解线性方程组的消元法
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
加减消元法的步骤
加减消元法的步骤加减消元法，也称为线性方程组的消元法，是一种常用的解线性方程组的方法。
它通过逐步消除方程组中的未知数，最终得到唯一的解，从而解决了线性方程组的问题。
在本文中，我们将详细介绍加减消元法的步骤。
步骤一：列出线性方程组首先，我们需要将给定的线性方程组写成一个矩阵形式。
假设有n 个未知数和m个方程，我们可以将线性方程组写成如下形式：```A · X = B```其中，A为一个m×n的系数矩阵，X为n维列向量表示未知数，B 为m维列向量表示常数项。
步骤二：选取主元在加减消元法中，为了使计算更简明，我们需要选取一个主元。
主元可以是系数矩阵中的某一行或某一列的某个元素。
通常情况下，我们选择系数矩阵的第一列或第一行作为主元。
步骤三：消除主元以下的元素在这一步骤中，我们将对主元以下的元素进行消去操作，使其变为0。
我们使用加减运算来实现消去。
具体操作为，将主元以下的每一行与主元所在行相减，并将结果放回原来的行中。
例如，假设我们选择系数矩阵的第一列的第一个元素作为主元。
首先，我们将第一行的倍数加给其他行，使得主元以下的元素变为0。
然后，我们将第二行的倍数加给其他行，使得主元以下的第二行元素变为0。
以此类推，直到所有的主元以下的元素都变为0。
步骤四：选取新的主元在完成第三步的消去后，我们需要选择新的主元。
通常情况下，我们会选择消去后的第二列或第二行的元素作为新的主元。
然后，我们重新进行第三步的消去操作，将新的主元以下的元素消为0。
步骤五：重复步骤三和步骤四重复进行步骤三和步骤四，直到所有的未知数都消去为止。
在每一次的迭代中，我们都会选择一个新的主元，并将主元以下的元素消去。
步骤六：回代求解经过前面的步骤，我们已经得到一个上三角矩阵。
接下来，我们可以通过回代求解的方法，得到未知数的解。
回代求解的步骤是从最后一行开始，将已知的未知数代入方程中，求解出最后一个未知数。
然后，将求得的未知数代入方程中，求解出倒数第二个未知数。
【VIP专享】1--消元法
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...
傅立叶消元法
傅立叶消元法傅立叶消元法是线性代数中一种重要的求解线性方程组的方法，它的原理基于傅立叶变换和矩阵分解。
傅立叶消元法可以将原始的线性方程组转化为易于处理的矩阵形式，进而求解线性方程组的解。
（一）傅立叶消元法的原理傅立叶消元法的原理可以概括为以下步骤：1.对原始的线性方程组进行增广矩阵表示。
2.将增广矩阵中的右端项进行傅立叶变换，得到一个新的矩阵。
3.将新矩阵进行对角化处理，得到对角矩阵和一组变换系数。
4.将原始的增广矩阵中的左端项进行傅立叶逆变换，得到一个新的矩阵。
5.将新矩阵与对角矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
6.重复步骤4和5，直到新矩阵变为单位矩阵。
7.通过原始的增广矩阵和变换系数，求解线性方程组的解。
（二）傅立叶消元法的应用场景傅立叶消元法具有以下应用场景：1.信号处理：在信号处理中，傅立叶消元法可以用于求解时域信号的频谱，从而分析信号的频率特性。
2.图像处理：在图像处理中，傅立叶消元法可以用于求解图像的频谱，从而分析图像的频率特性。
3.线性方程组求解：傅立叶消元法可以用于求解大规模的线性方程组，特别是在矩阵较大且稀疏的情况下，具有较高的计算效率。
4.控制系统：在控制系统中，傅立叶消元法可以用于分析系统的稳定性和动态性能，从而设计合适的控制器。
5.通信系统：在通信系统中，傅立叶消元法可以用于分析信号的传输特性，从而设计高效的通信协议。
（三）傅立叶消元法的价值傅立叶消元法的价值体现在以下方面：1.高效性：在某些情况下，傅立叶消元法可以比其他求解方法（如高斯消元法）更快地求解线性方程组。
2.稳定性：傅立叶消元法具有较好的数值稳定性，适用于大规模矩阵的求解。
3.普适性：傅立叶消元法不仅适用于实数矩阵，还适用于复数矩阵和复数向量的求解。
4.易于并行化：傅立叶消元法的计算过程可以分解为多个独立的子任务，便于进行并行计算。
（四）傅立叶消元法的研究方向傅立叶消元法的研究方向包括：1.算法优化：研究更高效、更稳定的傅立叶消元算法，以适应不断发展的计算需求。
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11)0()1(1a a aij j =， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+ 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2） 其中n i a m a a iji ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
高斯消元法及其在线性代数中的应用
高斯消元法及其在线性代数中的应用在线性代数中，高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法。
它基于一些简单的矩阵运算，如变换、代入和消去，可用于解决各种复杂的数学问题。
本文将深入探讨高斯消元法的原理和在线性代数中的应用。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种逐步消元的过程，以化简线性方程组为其主要目标。
它通常适用于线性方程组形如Ax=b的情况，其中A是一个矩阵，x和b都是向量。
该方法的基本原理是，将方程组从标准形式转换为上三角形式，然后向后代入和解出变量。
高斯消元法的主要步骤如下：1. 选择一个非零元素a11作为主元素，并将与其在同一列中的所有元素所乘的倍数从该列中减去。
2. 依次选择其他主元素并完成类似的操作直到达到上三角矩阵的形式。
3. 通过向后代入解出未知量。
这些步骤可以通俗地理解为一个简单的消元过程，将未知量的值从下面的式子中一步步代入到上面的式子中，以获得最终的结果。
二、高斯消元法在线性代数中的应用高斯消元法是线性代数中最基本的工具之一，可以用于各种数学问题的解决。
其中包括求解线性方程组、矩阵求逆、计算矩阵的秩和求解特征值等。
下面将更具体地探讨高斯消元法在线性代数中的应用。
1. 线性方程组的求解在线性方程组中，高斯消元法是求解未知量的一个常用方法。
例如，对于以下的线性方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 5y + 2z = 142x + 6y + 5z = 23可以将系数矩阵和右侧的向量表示为增广矩阵：2 3 4 | 103 5 2 | 142 6 5 | 23然后使用高斯消元法，将增广矩阵转化为上三角矩阵：2 3 4 | 100 -1.5 -2.6667 | -1.33330 0 1.3333 | 5最后，通过向后代入计算出未知变量的值：x = 2y = 3z = 4通过高斯消元法，我们成功的求解了这个线性方程组。
2. 矩阵求逆高斯消元法也可以用于求解矩阵的逆。
例如，对于一个2x2的矩阵：a bc d其逆矩阵可以表示为：1/ad-bc -b/ad-bc-c/ad-bc a/ad-bc可以使用高斯消元法来获得逆矩阵。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
线性代数之——消元法
线性代数之——消元法1. 消元的思想针对下⾯的⽅程，我们⽆法直接得到⽅程的解。
x− 2y= 13x+ 2y= 11但如果我们将第⼆个⽅程减去第⼀个⽅程的 3 倍，上⾯的⽅程组就变成了下⾯这样。
x− 2y= 18y= 8这时候，我们就可以直接得到y=1，进⽽从第⼀个⽅程得到x=3。
可以看到，消元之后，⽅程组变成了⼀个下三⾓（upper triangular）的形式，然后我们就可以⽤回带法（back substitution）来快速地解出⽅程组的解。
进⾏消元的那⼀⾏的第⼀个⾮零值称为主元（pivot），消元时候的乘数就等于待消项的系数除以主元，在上⾯的例⼦中，乘数 3=3/1。
⼀般地，乘数可以表⽰为l ij=第i⾏待消去项的系数第j⾏的主元4x− 8y= 43x+ 2y= 11如果我们改变了第⼀个⽅程，那么乘数就等于 3/4。
消元之后，所有的主元都位于下三⾓的对⾓线上，并且主元不能是 0。
4x− 8y= 48y= 82. 消元的失效⽆解x− 2y= 13x− 6y= 11消元后x− 2y= 10y= 8这种情况下，我们遇到了 0y=8，说明原⽅程组⽆解。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条平⾏的直线⽆法相交于⼀点。
⽽在列图像中，两个在同⼀⽅向上的向量不可能线性组合出不在这个⽅向上的向量。
⽆穷解x− 2y= 13x− 6y= 3消元后x− 2y= 10y= 0这种情况下，我们遇到了 0y=0，任何的y值都满⾜要求，此时y是“⾃由”的，确定了y之后x则由第⼀个⽅程确定。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条直线相同，因此整条直线都是交点。
⽽在列图像中，左边的两个向量和右边的向量⽅向都相同，有⽆穷多个线性组合都可以产⽣右边的向量。
对于有n个⽅程的⽅程组，如果我们得不到n个主元，那么消元就会导致 0≠0，⽆解或者 0=0，⽆穷解，只有正好有n个主元的时候，⽅程组才有解，但我们可能需要进⾏⽅程的交换。
需要⾏交换0x+ 2y= 43x− 2y= 5消元后3x− 2y= 52y= 4⼀开始，第⼀⾏的主元为 0，⾏交换后，我们得到了两个主元 3 和 2，然后，⽅程就有了正常的解。
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
线性代数—解线性方程组的消元法
例4 t 为何值时线性方程组
x1 x3 t 4x1 x2 2x3 t 2 6x1 x2 4x3 2t 3
有解? 并求解.
解
1 0 1 t 1 0 1
t
A 4 1 2 t 2 0 1 2 3t 2
6 1 4 2t 3 0 1 2 4t 3
1 0 1 t 当 t1时 ， r(A )r(A )2,
若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r, 若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) 1 ,
线性方程组解的判定定理
线 性 方 程 组 A b 有 解 的 x 充 分 必 要 条 件 是 r(A)r(A).
在有解的情况下，
当 r(A )n时 有 唯 一 解 ； 当 r(A ) n 时 有 无 穷 多 解 ； 这 时 自 由 未 知 量 个 数 为 n r ( A ).
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
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2 4 4 9
称为方程组(1)的增广矩阵． 称为方程组 的增广矩阵． 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)： 用矩阵的初等行变换解方程组 ：
1 2 2 −1 −1 1 −2 1 − 4 1 B= 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9
2 x1 + 2 x 2 − x 3 = 6 解线性方程组 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 3 . 5 x + 7 x + x = 28 2 3 1
2 2 −1 6 ( A, b ) = 1 − 2 4 3 5 7 1 28
1 −2 4 3 0 6 −9 0 0 17 −19 13 1 −2 4 3 0 −1 8 13 0 0 13 26
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4 , 对应的方程组为 x 2 − x 3 + x4 = 0 x = −3 4
x1 = x 3 + 4 由下到上逐个解得 x 2 = x 3 + 3 ，其中 3为任意取值 . 其中x x = −3 4
12
例2 解
2
第一节 解线性方程组的消元法
例1 用高斯消元法解线性方程组 1 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 2 1 2 3 4 (1) 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4 1 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 解 2 x − x − x + x = 2, 2 1 ↔ 2 1 2 3 4 (1) 3 ÷2 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
a11 a12 a21 a22 系数矩阵 A = L L a m1 am2 L a1n L a2n , L L L amn a11 a12 L a21 a22 L 增广矩阵 A = ( A, b) = L L L a m1 am2 L
a1n a2n L amn
b1 b2 , L bm
15
化为阶梯形, 利用矩阵的初等行变换将 A 化为阶梯形,
c11 c12 0 c22 L L 0 0 A→ 0 0 0 0 L L 0 0 L c1r L c2 r L crr L L L 0 0 0 L c1n L c2 n L crn L L L 0 0 0 d1 d2 L dr d r +1 0 L 0
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = 0 , L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0 .
显然零向量必为它的解, 称为零解 零解. 显然零向量必为它的解, 称为零解.
t 1 0 1 当 t = 1 时， r( A) = r( A) = 2 , → 0 1 − 2 − 3t + 2 , 方程组有无穷多解。 0 0 0 方程组有无穷多解。 − t +1
18
称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组 称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组
L L L L
L L L L
其中 cii ≠ 0 ( i = 1,L, r ),
方程组有解的充分必要条件是 dr+1 = 0.
16
的秩, 实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r = r (A) ,
若 d r + 1 = 0 , 则 r ( A ) = r ( A) = r ,
若 d r + 1 ≠ 0 , 则 r ( A ) = r ( A) + 1 ,
r4 − 3r1
r2 ÷ 2
1 1 − 2 1 4 0 2 −2 2 0 0 −5 5 −3 −6 0 3 −3 4 −3
1 0 0 0 4 1 −1 1 0 0 0 2 −6 0 0 1 −3 1 1 −2
r3 + 5r2
r4 − 3r2
11
1 0 → 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 r3 ↔ r4 0 0 2 − 6 r4 − 2r3 0 0 1 − 3
1 0 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, 2x2 −2x3 +2x4 = 0, −5x2 +5x3 −3x4 = −6, 3x2 −3x3 +4x4 = −3,
3
4
4
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 2 x 2 − 2 x 3 + 2 x4 = 0, − 5 x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x4 = −3,
r1 ↔ r2
r3 ÷ 2
1 2 2 3
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
10
1 2 2 3
r3 − 2r1
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
r2 − r3
线性方程组解的判定定理
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
在有解的情况下， 在有解的情况下，
时有唯一解； 时有无穷多解； 当 r ( A) = n 时有唯一解； r ( A) < n 时有无穷多解； 当
这时自由未知量个数为 n − r ( A) .
17
例4
t 为何值时线性方程组
x1 + x 3 = t 4 x1 + x 2 + 2 x 3 = t + 2 6 x + x + 4 x = 2 t + 3 2 3 1
有解? 并求解. 有解? 并求解 t t 1 0 1 1 0 1 解 A = 4 1 2 t + 2 → 0 1 − 2 − 3t + 2 6 1 4 2t + 3 0 1 − 2 − 4t + 3
2 3 x = −3 4
6
小结： 小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 ．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； 相互替换） （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． ） （以 i + k j 替换 i ）
故方程组无解. 最后一个为矛盾方程组 0 = 2 , 故方程组无解
14
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , 线性方程组 L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
1 2 × 2
3 4
1 2
3
4
+52 −32
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, x2 − x3 + x4 = 0, 2x4 = −6, x4 = −3,
1 2
3
4
5
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 2 x4 = −6, 4 x4 = −3, x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 ↔ 4 3 4 −23 x4 = −3, 4 0= 0, = 回代”的方法求出解： 用“回代”的方法求出解： x1 = x 3 + 4 其中x x = x + 3 其中 3为任意取值 .
则只有零解； 若 r ( A) = n ,则只有零解；
则有非零解. 若 r ( A) < n , 则有非零解.
则必有非零解, 因为此时必 若 m < n , 则必有非零解 , 因为此时必有 r ( A) ≤ m < n . 此时
19
例5
解线性方程组 x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 = 0 3 x1 + 2 x2 + x 3 + x4 − 3 x5 = 0 . x2 + 2 x 3 + 2 x4 + 6 x5 = 0 5 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = 0 解 这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知 这是一个齐次线性方程组，