江苏省泰州中高一数专项练习1新人教

1
1
【解析】 sin A sin B = sin Acos A sin 2A ，故 sin Asin B 的最大值是 .
2
2
5．在△ ABC中，已知 AB=2，∠ C=50°，当∠ B=
时， BC的长取得最大值．
2 【解析】 由正弦定理知 sin 500
BC
2sin A
sin
A
，∴BC=
sin
500
左边＝ 2R2 (2sin 2 Asin 2B 2sin 2 B sin 2 A) 2R2 [(1 cos2 A)sin 2B (1 cos2B)sin 2 A]
＝
2R2 [sin 2B sin 2 A (sin 2B cos2 A cos2 Bsin 2 A)] 2 R2[sin 2 B sin 2 A sin(2 A 2B)]
江苏省泰州中学高一数学专项练习一 正弦定理
一、填空题 1．在△ ABC中，已知 A=450 ， B=600 ， c =1 ，则 a= . 2．在△ ABC中，已知 b=4,c=8,B=30 0 . 则 a= .
3．在△ ABC中，若 a=50，b=25 6 , A=45 °则 B=
.
4．在 Rt △ABC中， C=90 0 ，则 sin Asin B 的最大值是 _____________.
又∵最大边为最小边的 2 倍，∴ c=2a, ∴据正弦定理可得： sinC=2sinA, 将 C＝ 120o－ A 代入该
式可得： sin(120 o-A)=2sinA, 化简可得：
3 cos A
3 sin A ，故 tanA=
3 , ∴ A=30o,C=90 o,
2
2
3
∴三角形三个内角之比为： A:B:C=1:2:3.
用心 爱心
专心
17．在△ ABC中 , ∠ A. ∠ B. ∠ C 的对边分别是 a . b . c ；求证： a2 sin2 B b2 sin2 A 2absinC .
18 ． 在
c o s 2A a2
A B C中 ，（ 1 ） 已 知 ：
c o sB2
11
b2
a 2 b 2.
acosB=bcosA , 试 判 断
.
二、解答题 15．已知下列各三角形中的两条边及其一条边的对角，先判断三角形是否有解？有解的则解 三角形 .
（ 1） a 7 ， b 8 ， A 105 ；（ 2） a 10 ， b 20 ， A 80 ；（ 3） a 5 ， b 5 3 ， A 30 .
cosA b 4 16．在△ ABC中，已知边 c=10, 又知 cosB = a = 3 ，求 a、 b 及△ ABC的内切圆的半径 .
cosA sinB
解：由cosB = a ，sinA = a , 可得 cosB = sinA ，变形为 sinAcosA=sinBcosB ，∴ sin2A=sin2B,
又∵ a≠b, ∴ 2A=π － 2B, ∴ A+B= . ∴△ ABC为直角三角形 . 由 a2+b2=102和 b = 4 ，解得 a=6,
5．在△ ABC中，已知 AB=2，∠ C=50°，当∠ B=
时， BC的长取得最大值．
6 ． 在 △ ABC 中 ， 有 等 式 ： ① asinA=bsinB ； ② asinB=bsinA ； ③ acosB=bcosA ； ④
a s i nA
b c . 其中恒成立的等式序号为 ____________. s iBn sCi n
2
a3
a+b-c 6+8-10 b=8, ∴内切圆的半径为 r= 2 = 2 =2.
17．在△ ABC中 , ∠ A. ∠ B. ∠ C 的对边分别是 a . b . c ；求证： a2 sin2 B b2 sin2 A 2absinC .
证明：由正弦定理：
a
b
c 2R ；
sin A sin B sinC
5
BC=10，∴三角形腰长 AB=AC=
1
20，∴该三角形的周长是
50.
1
，再据条件：底边
4
10．△ ABC 的三个角
为
.
【解析】根据题意：△
4
A<B<C，且２Ｂ＝Ａ＋பைடு நூலகம்，最大边为最小边的
ABC的三个角 A<B<C，且２Ｂ＝Ａ＋Ｃ，可得：
2 倍，则三内角之比 B＝ 60o, 且 A＋ C＝ 120o,
即 sinA cosB- cosA sinB=0 ， sin(A-B)=0 ，∴ A-B=0， A=B，∴ ABC 为等腰三角形 .
1 2sin 2 A 1 2sin 2 B 1
(2) 证明：左边 =
a2
b2
= a2
1
sin2 A
b 2 -2 （ a 2
sin 2 B b 2 ），
2
2
由正弦定理，得
=
sin B
sin 300
=2
3.
3．在△ ABC中，若 a=50，b=25 6 , A=45 °则 B=
.
【解析】由正弦定理得
50 sin 450
25 6
， sinB=
3 , 故 B=60°或 120°.
sin B
2
4．在 Rt △ABC中， C=90 0 ，则 sin Asin B 的最大值是 _____________.
2
27 ac cosB
A=80 ；④ a=14， b=16， A=45 . 解三角形，其中有 2 个解的有
件的序号）
.
（写出所有符合条
用心 爱心
专心
13．在 ABC中，若 tan A
2c b , ，则 A=
.
tan B b
14．已知 ABC 中 , a x,b 2, B 45 , 若该三角形有两解 , 则 x 的取值范围是
。故当
A=900 时，BC最大。 此时
B=400.
6 ． 在 △ ABC 中 ， 有 等 式 ： ① asinA=bsinB ； ② asinB=bsinA ； ③ acosB=bcosA ； ④
a s i nA
b c . 其中恒成立的等式序号为 ____________. s iBn sCi n
【解析】①不符合正弦定理；②两边同除以
sin B
，即 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,
cosB cosA
∴ 2A=2B或者 2A+2B=π ，即 A=B或者 A+B= ，∴该三角形是等腰三角形或者直角三角形 .
2
12．在 ABC中，根据条件① b=10，A=45 ， C=70 ；② a=60， c=48， B=60 ； ③ a=7， b=5，
sinAsinB 即为正弦定理；③取 A=900, 便知等式不
用心 爱心
专心
成立；④正弦定理结合等比定理可得 .
7．在 ABC 中，若 a
A cos
2
b B
cos 2
c ，那么 C
cos 2
ABC 是
三角形． 等边
8．在 ABC 中，若 A＝600， a 2 3 ，则
a 2b 3c
__________． 4
2 sin C 1
sin B
cosB
sin A cos B
2 sin C
sin( A B) 2 sin C
1
，
，
sin C
2 sin C
，
cos Asin B
sin B
sin B cos A sin B
sin B cos A sin B
1
cos A
，A
.
2
3
用心 爱心
专心
3
20．在△ ABC中，已知角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、b、 c，．且 C=2A．cos A=
11．已知三角形 ABC中，有： a 2 tan B b 2 tan A ，则三角形 ABC的形状是
.
a
【解析】 设
b
c =k. 可得：a=ksinA,b=ksinB, ∴由条件 a 2 tan B b2 tan A 可
sin A sin B sinC
得： sin 2AtanB=sin 2 BtanA, 化简得： sin A
A B C形 状 ；（ 2 ） 求 证 ：
用心 爱心
专心
19．在 ABC 中，在 ABC中，若 tan A 2c b ,，求 A . tan B b
20．在△ ABC中，已知角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、b、 c，．且 C=2A．cos A= 3 4
27
(1) 求 cosC 和 cosB 的值； (2) 当 BA BC
是 . 2 x 22
15．已知下列各三角形中的两条边及其一条边的对角，先判断三角形是否有解？有解的则解 三角形 .
（ 1） a 7 ， b 8 ， A 105 ；（ 2） a 10 ， b 20 ， A 80 ；（ 3） a 5 ， b 5 3 ，
用心 爱心
专心
A 30 .
解：(1) 本题无解； (2) 本题无解； (3) 本题有两解
＝ 右边＝ 18 ． 在
8R2 sin Asin B sinC 8R2 sin Asin B sinC
A B C中 ，（ 1 ） 已 知 ：
原题得证 . acosB=bcosA , 试 判 断
A B C形 状 ；（ 2 ） 求 证 ：
c o s 2A a2
c o sB2
11
b2
a 2 b 2.
解 :(1) 由正弦定理 , 得 a=2RsinA,b=2RsinB ，即 acosB =bcosA ，∴ sinA cosB=sinB cosA ，
A=80 ；④ a=14， b=16， A=45 . 解三角形，其中有 2 个解的有
.
（写出所有符合条
件的序号）④
13．在
ABC中，若 tan A
2c b , ，则 A=
.
60
tan B b
14 ． 已 知 ABC 中 , a x, b 2, B 45 , 若 该 三 角 形 有 两 解 , 则 x 的 取 值 范 围
.
10．△ ABC 的三个角 A<B<C，且２Ｂ＝Ａ＋Ｃ，最大边为最小边的
2 倍，则三内角之比
为
.
11．已知三角形
ABC中，有：
2
a tan B
2
b tan A ，则三角形 ABC的形状是
.
12．在 ABC中，根据条件① b=10，A=45 ， C=70 ；② a=60， c=48， B=60 ； ③ a=7， b=5，
sin A a2
sin B cos 2 A cos2B
b2 ，故 a 2
b2
1 a2
1 b2 成立 .
19．在 ABC 中，在
ABC中，若 tan A
2c
b , ，求
A.
tan B b
sin A
解：由正弦定理知 c 2Rsin C ， b sin B ， cos A sin B
2 sinC sin B sin B
B 60 ，C 90 c 10 ； B 120 ，
C 30 c 5
综上， B 60 ， C 90 c 10 ； B 120 ， C 30 c 5 .
cosA b 4 16．在△ ABC中，已知边 c=10, 又知 cosB = a = 3 ，求 a、 b 及△ ABC的内切圆的半径 .
cosA b sinB b
时，求 a、 c 的值．
2
用心 爱心
专心
江苏省泰州中学高一数学专项练习一
正弦定理答案
1．在△ ABC中，已知 A=450 ， B=600 ， c =1 ，则 a= .
【解析】由 A+B+C=180，得 C=1800 -45 0 -60 0 =75 0 。由正弦定理，得
a
1
=
，
sin 450 sin 750
a= 3 1 . 2
2．在△ ABC中，已知 b=4,c=8,B=30 0 . 则 a= .
【解析】（ 1）由正弦定理，得
sin C=
csin B 8 sin 300
=
=1。所以
C=90 0 ，
b
4
A=1800 -90 0 -30 0 =60 0 。又由正弦定理，得
a=
bsin A 4 sin 600
7．在 ABC 中，若 a
cos A 2
b cos B
2
c ，那么 cos C
2
ABC 是
三角形．
8．在 ABC 中，若 A＝600， a 2 3 ，则
a 2b 3c
__________．
sin A 2sin B 3sin C
9．在等腰三角形 ABC 中，已知 sinA ∶ sinB=1 ∶ 2，底边 BC=10，则△ ABC的周长是
4
(1) 求 cosC 和 cosB 的值； (2) 当 BA BC
27
时，求 a、 c 的值．
2
解 ： (1)cosC=cos2A=2cos 2A-1= 1 ；
sinA=
7 , cosC= 3 7 ，
∴
8
4
8
cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC= 9 . 16
（ 2）
27 BA BC
sin A 2sin B 3sin C
9．在等腰三角形 ABC 中，已知 sinA ∶ sinB=1 ∶ 2，底边 BC=10，则△ ABC的周长是
.
【解析】 据题意， 等腰三角形 ABC中，顶角为 A，底角 B=C，∴ A+2B=π，即 A=π -2B ，又∵ sinA ∶
sinB=1 ∶ 2，∴ sin( π -2B):sinB=1:2, 即 sin2B:sinB=1:2, 解得 cosB