快速绘制弯矩图.
浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制
浅述单跨静定梁弯矩图的快速绘制摘要：梁是结构的主要受力单元，在计算梁的承载及破坏时，弯矩图的作用至关重要。
而弯矩图的绘制是学生在学习的一个弱点，因此针对静定粱结构的弯矩图快速绘制进行探讨，可以大大提高作图速度和效率。
关键词：静定梁弯矩弯矩图引言：力学课程是工科专业学生的一门必不可少的基础课程，它对于后续钢筋混凝土等课程的学习起十分重要的作用。
就建筑本身来说，就是一个力学模型，要保证结构的安全就必须确保每个受力构件的计算准确。
因此学好力学课程有非常重要的意义，而在日常力学课程的学习中，梁的弯矩图绘制却是学生在学习中的难点，文章通过总结各种弯矩图绘制的方法后，给出一种能够较为快速的绘制弯矩图的方法，对于梁的后续计算打下基础。
1理论知识1、1 单跨静定梁的种类（如图1）：（a)悬臂梁(b)简支梁(c) 外伸梁[1]图1 ：单跨静定梁的种类(Figure 1: The single-span beam statically determinate types)1、2弯矩出现的原因：弯矩伴随梁的弯曲变形而出现1、3弯矩的位置：弯矩出现在梁的截面上1、4弯矩的正方向规定：弯矩使梁的下侧（以梁的轴线为分界）纤维受拉为正1、5弯矩计算的基本方法：利用截面法计算，通过分段列弯矩图的函数表达式求解1、6 弯矩图绘制的方法：先绘制梁的轴线，弯矩图绘制在梁的受拉侧，不需要标明正负号2静定梁弯矩图绘制的实用结论2、1 弯矩的本质：弯矩是为了平衡所有外界力对截面的转动效果2、2弯矩分段的位置：弯矩作为内力的一种，与外力作用密切相关。
因此，绘制梁的弯矩图时，在有外力（）作用的位置分段进行[2]2、3 需要求解弯矩的截面位置：通常出现在梁的两端以及分段位置的截面处2、4 弯矩图形的特点：梁上的荷载分为四种情况：无荷载区段、均布荷载区段、集中力作用点和集中力偶作用点。
可以对梁的弯矩图特点总结出以下规律（如表1）：2、4、1、当某段梁上无分布荷载（无荷载区段），即时，是与无关的常数，是的一次函数。
巧画速画弯矩图
Fun with Structural mechanics
●弯矩图是梁和刚架最重要的内力图
●画弯矩图是结构力学重要的基本功
●“手算怕繁，电算怕乱”
手画弯矩图必须化繁为简，提高速度●充分利用定性分析，
将定量计算压缩到最低限度！
●分段叠加法（常规）：
M ( x ) = M
e ( x ) + M
( x )
特点－先求杆端弯矩，再作杆端弯矩图●分段叠加法（灵活）：
M
e ( x
C
) = M ( x
C
) -M
( x
C
)
已知
特点－先求杆端弯矩图上特殊点的值，再求端点值
待求杆端(计算)代梁
2 速画弯矩图的诀窍
●对症下药( 根据几何组成)
●先易后难
●先定性再定量
●利用对称性
总的原则－最大限度减少定量计算！
4结束语
——“巧”和“速”的根本
熟能生巧，巧能提速。
熟练掌握、灵活应用：
●隔离体平衡法
●弯矩、剪力与荷载的微分关系
及其在弯矩图上的体现
●叠加原理及叠加法作图
●静定结构的特点
●超静定结构的变形协调条件
不要本末倒置，否则弄巧成拙、欲速不达。
快速绘制刚架的弯矩图
Q
C x
M 斜直线 图M x M
特
xM
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xM
x
M M1 x
征
M2
增函数 降函数
静定梁和静定刚架的知识总结
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP a
FP
A
a
bB
l
ql2
2 q
A
BlBiblioteka 静定梁和静定刚架的知识总结
F
A
B
Fab
l
a
b
l
q
A
B
ql2
8
l
静定梁和静定刚架的知识总结
am
A
3、杆端无剪力，杆件又无横向荷载（可有力偶），该杆剪力为零，则该杆各截面弯 矩为零或常数；
m1
//////
//////
/////
///// /////
/////
m2 //////
m1
m2 //////
快速绘制弯矩图的解题技巧
4、刚结点力矩平衡，即刚结点隔离体上所受的力矩代数和为零； 5、利用分段叠加法作弯矩图，可减少计算控制面弯矩数量； 6、对称结构M图的简化，即在对称荷载下M图是对称的，在反对称荷载下 M图是反对称的； 7、铰结点可以传递剪力，铰结点两边剪力大小相等； 8、在主从型结构中，作用在基本部分的荷载，在附属部分不产生内力； 9、当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一几何不变部分上时，则 只有此部分受力，其余部分的反力内力皆为零。
快速绘制弯矩图的解题技巧
P P
P P
例题解析
P
P
P
Pa
Pa
Pa B C Pa D E
如何快速绘制弯矩图
又土又木的工程师如何绘制各种结构弯矩图？
作为一名又土又木的工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、
sap2000、pkpm的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结了各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、 方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、 观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
简捷法绘制剪力图和弯矩图-最新文档资料
简捷法绘制剪力图和弯矩图1 引言：在《建筑力学》中，梁的弯曲变形的教学最终目标是让学生掌握构件的强度和刚度计算中所必备的理论基础与计算方法，从而解决强度和刚度计算中的强度及刚度校核、设计截面尺寸、确定许可荷载这三类问题。
在以上三类问题的计算中，需要绘制剪力图和弯矩图确定危险截面。
而这部分内容计算量大、过程繁琐，给教学及学生掌握这部分内容带来了很大的难度。
因此找出在两图绘制中的简捷绘图方法是很有必要的。
2 传统绘制剪力图和弯矩圈的方法2.1根据梁的受力情况，计算约束反力可根据已知条件，包括受力情况及约束类型，用静力平衡方程进行计算，对学生来说能较容易解决。
2．2对梁分段，列出各段的剪力方程和弯矩方程分段时须先找到分界点，把每两个界点之间的部分作为一段。
一般把梁上的下列各点作为分界点：集中力作用处(包括主动力与约束反力)、集中力偶作用处及均布载荷的起止点。
接下来需列出每一段的剪力方程和弯矩方程，这个过程是比较繁琐的，每段列两个方程，且须确定各分段函数的定义域。
2．3确定各界点的剪力值和弯矩值根据各段的剪力方程与弯矩方程，计算各界点截面上的剪力值和弯矩值。
这个过程也较复杂，特别对于梁中段的界点，往往要分别计算其左侧及右侧截面上的剪力值和弯矩值。
2．4画剪力图与弯矩图根据各段的剪力方程、弯矩方程以及各界点截面上的剪力值、弯矩值绘制出剪力图(Q图)和弯矩图(M图)3 快速绘制剪力图与弯矩图的方法这种方法就是根据各种荷载的剪力图和弯矩图的规律，不需要列出剪力方程与弯矩方程而迅速绘制出剪力图与弯矩图，方法规律如下：3．1梁上没有荷载作用的梁段上。
剪力图为水平直线(斜率为0)，弯矩图为倾斜直线。
当剪力为正号时弯矩图从左到右斜向上，当剪力为负号时弯矩图从左到右斜向下。
3．2有均布荷载作用的梁段上，剪力图为倾斜直线，弯矩图为抛物线。
当均布荷载指向下时剪力图从左到右向下倾斜，弯矩图为开口向下的抛物线，当均布荷载指向上时剪力图从左到右向上倾斜，弯矩图为开口向上的抛物线。
弯矩图绘制方法
弯矩图绘制方法弯矩图绘制方法1、基本方法：采用“截面法”，运用静力平衡方程式（ΣX=0、ΣY=0、ΣM=0等）求解控制截面的内力（弯矩、剪力）。
控制截面的内力求解后再勾绘弯矩图。
1）确定内力符号的规律为：“左上剪力正、左顺弯矩正”；“右下剪力正、右逆弯矩正”。
2）确定内力数值的规律为：剪力Q等于截面任意一侧所有外力沿梁轴垂直方向所作投影的代数和；弯矩M等于截面任意一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
2、勾绘弯矩图时线型处理：除构件受“均布荷载”作用、其弯矩图是曲线外，其余均为直线。
3、弯矩图所画位置：1）正弯矩画在杆件的下方，负弯矩画在杆件的上方。
2）使杆件下部受拉的弯矩为正,上部受拉的弯矩为负。
3）弯矩图画在杆件纤维受拉的一侧。
4、剪力图所画位置：1）正剪力画在杆件的上方； 2）负剪力画在杆件的下方；3）使杆件截面顺时针方向转动的剪力为正剪力；4）使杆件截面逆时针方向转动的剪力为负剪力；5）一般情况下，剪力与杆件所受外力的方向相反。
5、弯矩图叠加时注意事项：1）叠加时以基线为标准，不是以其中某直线或斜线为基准；2）叠加时要注意正负弯矩的抵消，应先计算每个控制截面的弯矩值，然后勾绘。
6、刚结点会在节点处产生负弯矩，铰结点不会在节点处产生负弯矩。
在绘制弯矩图时，只要杆件端部是铰结点，则该节点处的弯矩必为零！注意：弯矩M、剪力Q、分布荷载q之间的关系在绘制内力图上的应用：1、设梁上作用有任意的分布荷载q，规定q向上为正、向下为负；2、若梁上某段没有分布荷载：1）该段的剪力图是一条平行于梁轴的直线，剪力Q为一常数； 2）该段弯矩图为一条直线，分以下3种情况：(1)当剪力Q=常数>0时，弯矩图为一下斜直线（\）；(2)当剪力Q=常数<0时，弯矩图为一上斜直线（/）；(3)当剪力Q=常数=0时，弯矩图为一水平直线（—）； 3、若梁上某段作用有分布荷载：1）该段的剪力图是一条斜线，分布荷载q为一常数；2）分布荷载q为一常数，分以下3种情况：(1)当分布荷载q=常数>0时，Q图为一上斜直线（/）,弯矩M图为上凸曲线（∩）；(2)当分布荷载q=常数<0时，Q图为一下斜直线（\）,弯矩M图为下凸曲线（∪）；4、在剪力Q=0处，弯矩M有极值。
运用简捷方法绘制剪力图和弯矩图2Mx
教学目标
1、掌握梁在不同外荷载作用下的内力变化规律； 2、能够根据梁的内力规律用简捷法快速绘制梁的内力图。
目录
6.3.1 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系
6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用
6.3 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系
dFQ ( x ) dx q( x)
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d 2 M ( x ) dFQ ( x ) q( x) 2 dx dx
dFQ ( x ) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x ) dx
d 2 M ( x ) dFQ ( x ) q( x) 2 dx dx
说明： （1）此即适用于平面载荷作用情形 的平衡微分方程。 （2）根据上述微分方程，由 载荷变 化规律，即可推知内力FQ 、M 的变 化规律。
（3）要明确各式的物理意义。
物理意义：
1）FQ图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度。 2）M图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力值。当剪力 FQ =0时，弯矩图在对应截面处产生极值。 3）由q的正负判断M图的凹凸性。
D R A =58kN
1m 1m
G
1m
20 4 18 26 32.4 6 18
12
10
M图（单位kN·m）
MC 0 M A 20 M D 18 M E 26 M F 18 M G左 6 M G右 4
M B左 16
课 后 作 业
P181 （6）（d）
法求出这些控制截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标
，便定出了内力图的各控制点。
结构力学课件-快速作弯矩图的方法和技巧
快速作弯矩图
(Quick drawing of bending moment diagram)
➢ 一、直接绘M图的几点技巧 ➢ 二、本节例题
一、直接绘M图的几点技巧 1、充分利用M图的形状特征与横向荷载的关系
➢无横向荷载作用的直杆区段：弯矩图为直线；
➢有横向荷载作用的直杆区段：只要知道两杆端截面M值，用 区段叠加法作M图（熟记简支梁在常见荷载下M图）
l q q
主观题 10分
直接作出下图所示结构的弯矩图。
作答
3、充分利用刚结点的力矩平衡条件
➢无外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标相等且位于同侧 （内侧或外侧）
MAC
MAB A
A MAC
MAB
A MAB
MAC MAB =MAC
A MAC
MAB MAB =MAC
➢有外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标有突变；
M图
m=2.5ql2 C
1.5ql2
M DC
1 ql2 2
M CD ql 2
D
1 ql2 2
l
m=2.5ql2
C q
2ql Al
③作FS图：根据已作出的弯矩图，利用杆段的
F=2ql
平衡条件先求杆端剪力，从而作出剪力图
D q
ql2
C
FSCD
2ql
D 0.5ql2
FSDC
B l
MC 0
Fy 0
例：直接作图示结构的M图
G q
H q
I q
A 3a
B
C
DEF
2a a 2a a
1.125 4.5
4.5
4.5 4.5
2.25
4.5
弯矩图的绘制及练习
作为一名土木工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、sap2000、pkpm的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
结构力学：弯矩图速绘
*
简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。
qL2/2
qa
qa2/2
qa2/2
ql
注意：BC杆和CD杆的 剪力等于零，相应的 弯矩图与轴线平行
ql2/2
q
l
ql
l/2
l/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D
q
A
B
C
a
a
a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/8
不求或少求内力绘制弯矩图：
*
悬壁刚架不求反力，由自由端开始作起
1
简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出与杆件的反力，然后由支座作起。
2
三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力，然后由支座作起。
3
主从结构绘制弯矩图要分析其几何组成，先由附属部分作起。
4
定向支座处、定向连接处剪力为零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。
5
对称性利用：对称结构在对称荷载作用下弯矩图是对称的；在反对称荷载作用下弯矩图是反对称的。
6
*
1、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
L
L
qL²
½qL²
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
qL²
2q
2m
2m
↓↓↓↓↓
q
2q
6q
弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力， 只需求出与杆轴线垂直的反力。
√
*
题2-1图
（10） （ ）
↓
（11）（ ）
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑
（12） （ ）
↓
（7） （ ）
（8） （ ）
剪力图弯矩图快速画法口诀
剪力图弯矩图快速画法口诀剪力图弯矩图快速画法口诀剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有P力作零点。
无力梁段水平线，集中力偶同样看，均布荷载对斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。
弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。
剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。
剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。
均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。
集中力处有转折，顺着外力折个尖。
集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。
弯矩图形已画完，注意极大极小点，数值符号截面点，三大要素标齐全。
7.2.1 截面法求内力问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？例：欲求图示简支梁任意截面1-1上的内力。
1.截开：在1-1截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。
2.代替：在左半段的1-1截面处添画内力、，(由平衡解释)代替右半部分对其作用。
3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。
由得如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力和，但左、右半段求得的及数值相等，方向（或转向）相反。
7.2.2 剪力和弯矩是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。
剪力的正负：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。
弯矩的正负：使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。
归纳剪力和弯矩的计算公式：（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。
）公式中外力和外力矩的正负规定：剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。
快速绘制剪力图和弯矩图
D、若梁段上剪力图为位于基线下方的斜直 线，则画一条上升曲线，曲线的凸向与荷载 集度指向一致，曲线上升的铅直高度等于该 梁段剪力图面积； E、若遇集中力偶作用截面，力偶顺时针转 时，则向下画铅直线，力偶逆时针转时，则 向上画铅直线，铅直线的长度等于该集中力 偶的力偶矩； F、若遇铰链，弯矩图必过铰链中心。 注：由以上方法画得的轮廓线与基线所围图 形加上正负号，即得梁的弯矩图（弯矩图可 不标正负号）。
四、快速绘制剪力图和弯矩图举例
4kN m
6kN
2kN m
4.5 1m
1m
+
1.5
4
8.5
7
2m
_
5.5
V(kN) 5.5
M(kNm)80kN m 160kN源自C ADE 130kN
1m 1m 2m
130
+
30
130
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
120
+ _
190
160
40 V(kN)
三、单跨静定梁内力图的快速画法
1、剪力图的画法(从左到右) A、遇集中荷载，按荷载的指向竖直线（线长等 于集中荷载大小）。
B、遇均布荷载，按均布荷载箭头指向画斜直 线，斜线上升或下降的铅直高度等于均布荷载 图面积。 C、遇集中力偶和铰链，因力偶和铰链对剪力 图无影响，故不考虑。 D、无荷载作用的梁段，画水平线。 注：由以上方法画出的轮廓线与基线所围图形 加上正负号，即得梁的剪力图。
2、弯矩图的画法（从左到右） A、若剪力图为位于基线上方的水平直线，则画一 条下斜直线，下斜直线下降的铅直高度等于该段 剪力图面积； B、若剪力图为位于基线下方的水平直线梁段，则 画一条上斜直线，上斜直线上升的铅直高度等于 该段剪力图面积； C、若梁段上剪力图为位于基线上方的斜直线，则 画一条下降曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一 致，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图面积；
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。
本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。
绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。
不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。
从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。
遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。
AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。
在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。
BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。
CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。
快速绘制刚架的弯矩图ppt课件
土木工程2011级7班
.
静定梁和静定刚架的知识总结
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线 自左向右突变
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
C
征
x
x
x
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
A A
.
am
l
m
B
bm
l
a
b
q
B
ql2
l
16 l
2
2
快速绘制弯矩图的解题技巧
如何快速作出静定刚架的弯矩图？
1、根据直杆的内力与荷载的关系作图，无论图中荷载数值及杆端截面弯矩值如何变 化，M图的特点不会改变；
2、特殊截面：自由端、简支端、铰结点临近杆端无力偶作用时，该杆端弯矩为零； 若有力偶作用时，则杆端弯矩值等于该力偶矩；
静定梁和静定刚架的知识总结快速绘制弯矩图的解题技巧例题解析土木工程2011级7班快速绘制刚架的弯矩图无外力段均布载荷段集中力集中力偶斜直线增函数无变化斜直线降函数曲线自左向右折角自左向右突变应熟记常用单跨梁的弯矩图静定梁和静定刚架的知识总结快速绘制弯矩图的解题技巧如何快速作出静定刚架的弯矩图
*快速绘制刚架的弯矩图
无变化
Q
C x
M 斜直线 图M x M 特
xM
曲线
xM
自左向右折角 自左向右突变
xM
x
如何绘制弯矩图
作为一名又土又木的工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、
sap2000、pkpm的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结了各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
快速绘制梁的剪力图和弯矩图哎呀，今天咱们来聊聊一个很有意思的话题：快速绘制梁的剪力图和弯矩图。
这可不是啥高深莫测的技术活儿，就是让大家了解一下梁的结构特点，然后用简单的方法画出它的受力情况。
别看这个过程好像挺复杂的，其实只要掌握了一定的技巧，就能轻松搞定！咱们得了解一下梁的基本结构。
梁是建筑物中常见的一种构件，它的主要作用是承受垂直于其长度方向的荷载，将这些荷载传递到支撑结构上。
梁通常由两个平行的钢板或混凝土板组成，这两个板之间的距离叫做梁的宽度。
梁的长度可以是任意值，但通常会根据建筑物的实际需求进行设计。
接下来，我们来说说如何绘制梁的剪力图。
剪力图是一种表示梁在不同位置受到剪力作用时的力的分布情况的图形。
要画出剪力图，我们需要知道梁的几何尺寸、材料的抗剪强度以及荷载的大小。
有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的剪力大小了。
我们要把梁划分成若干个小的单元，这样才能更好地观察和分析梁的受力情况。
一般来说，我们可以把梁划分成若干个矩形或梯形的小单元。
然后，我们可以用一些公式来计算每个小单元受到的剪力大小。
这些公式包括：1. 矩形单元的剪力大小 = 矩形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量2. 梯形单元的剪力大小 = (梯形面积× 材料抗剪强度× 剪切模量) ÷ 2有了这些公式，我们就可以开始画剪力图了。
我们在纸上画出一个坐标系，然后用坐标轴表示梁的长度和位置。
接着，我们可以用不同的颜色或线条来表示不同位置的剪力大小。
例如，我们可以用红色表示剪力较大的区域，用蓝色表示剪力较小的区域。
我们可以在图上加上一些注释，说明各个区域的具体含义。
现在，我们再来说说如何绘制梁的弯矩图。
弯矩图是一种表示梁在不同位置受到弯曲作用时的力的分布情况的图形。
要画出弯矩图，我们同样需要知道梁的几何尺寸、材料的抗弯强度以及荷载的大小。
有了这些信息，我们就可以用一些简单的公式来计算梁在不同位置受到的弯矩大小了。
快速绘制弯矩图规律及示例
P
P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
平行
m
二. 铰处 M = 0
第三章 静定梁与静定刚架
三. 刚结点力矩平衡
40
20
20
M 0
M=0
M =？0
10
30
M 0
20
20
第三章 静定梁与静定刚架
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
P
P
P P
平衡力系
第三章 静定梁与静定刚架
少求或不求反力绘制弯矩图
根
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)
4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
据 5.区段叠加法作弯矩图
◆ 示例
第三章 静定梁与静定刚架
例1 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P
当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时，仅被
替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。
FP
FP
FP
FP
第三章 静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
静定结构的内力与刚度无关
静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不 涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪 切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A 和惯性矩I）。因此，静定结构的内力与结构杆件 的抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，
且其解答是唯一的确定值。
.2 静定结构无自内力
C
谈结构力学中快速画弯矩图的窍门
大量推广有可能带来很 大损失 ， 需谨 慎采用 ， 以便不 断改进完善 。
４ ） 新技术 的应用要与时俱进 。对 于建 筑施工企业 来说 ， 目前 企 业 要 密 切 关 注 国 际 、 国 内 新 技 术 的发 展 动 向 ， 研 究 新 技 术 的 应 激烈 竞争 的市 场机 制 ， 要求我们不断学 习 ， 不断 进步 ， 才能跟上 时 用 ， 向应 用好 的单位学 习， 不 断掌握 新技术 ， 提高施工 技术水平 及 代的步伐 ， 才能在“ 科 技是第一 生产力 ” 的正确指 导下 ， 大力推 广 推广应用新技术的素质和能力。
第 １种情况 ： 简支梁受均布荷载。其 弯矩 图如 图 １ 所示 。
２ 实例 分析
先从 简支梁受均布荷载情况人手 ， 对于复杂的 图形可先找到
后， 新技术 的推广应用就会有 成效 。
图 ｌ 简支梁均布荷载下弯矩图
５ ） 企业应兼顾 自身利益和社会效 益。建筑 业 １ ０项新 技术 的
大。要想又好又快地完 成一项 工程 ， 必须 依靠 科学 技术 的手段 ， 绿色施工 的当今 时代 ， 建 筑业 １ ０项新 技术 的推广 应用会 具有 更 大力推广应用新技术 ， 大 胆创新 ， 这是 企业 自身发 展需 要 ， 也是社 加强 大的生命 力。应 用好建 筑业 １ Ｏ项 新技术 ， 将 提高 工程 科技
谈 结 构 力 学 中 快 速 画 弯 矩 图 的 窍 门
王艳 芳
摘
一
刘 鹏
２ １ ０ ０ ０ ０）
（ 南京大学金陵学院城市 与资源学院 ， 江苏 南京
要： 以如何快速 画出杆件弯矩 图为例 ， 详细阐述了结构力学中解题时 的某 些可循规律 ， 指 出快速 画弯矩 图是 结构 力学学 习中
综合法快速绘制静定梁的剪力图和弯矩图
２ ．利用荷载集度 ｇ 、剪力 （ ） （） 和弯矩 Ｍ （ ） 之间的微分关系画剪力图和弯矩图
荷载集度 ｇ 、剪力 （ ） （） 和弯矩 （） 之间存在下列关系 ：ｇ ： （）
ｔｘ ／
：
ｄ ｘ
。
利用 这一 关系绘 制梁 的剪 力 图和 弯矩 图 ，速度快 效率 高 ，但 对 学生 的数学 知识要 求较 高 。如果 学 生 对 导数 、积 分 的几何含 义不清 或根据 导数判 断 函数 凹 凸性及 函数极值 不清 楚时很容 易 出错 。［ ２ １
中图分 类号 ：０３ １ ４ 文 献标识码 ：Ａ 文 章编号 ： １０－６ ２ （００ １ （３—Ｏ ０８－ １９ ２ １）０—＿０ ８ ３ － － ）
剪力 图和弯 矩 图是工程 力学 中材料 力学 部分 的重要 内容之 一 。根据 剪力 图和弯 矩 图中 曲线 的变化 规 律 ，能够准 确确 定等 截面弯 曲梁 的危 险截面 ，进 而计算 梁 的强度 和刚度 。因此 ，快速准确 地绘 制梁 的剪 力 图和弯矩 图 ，对 工程 计算 非常重 要 。然而 ，这部分 计算工 作量很 大 ，学生 往往算 了半天还 弄不 出头绪 ，
（ ＝ ｑ（ —）－ ａ ａ 一ａ ａ ＋ ｑ（ —） ） ４ ￣ ３
稍微 不慎 ，就会 出错 ，前功 尽弃 。下 面就工 程 力学 中静定梁 的剪 力 图和 弯矩 图的画法进行 讨 论 ，得 出快 速而 准确 的画法—— 综合法 。
一
静 定梁剪 力图和 弯矩 图的常规 画法 １ ．利 用剪 力方 程和弯 矩方程 画剪的 能直接 体现剪 力和 弯矩变 化规 律 的方法 ，其 基本步 骤是先 求支座 反力 ，再
２１ ０ ０年 第 ｌ 期
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M=0
P
M=0
剪力Q为零时， M图为直线。
五. 剪力Q为常值时， M图为斜线；剪力Q为零 时， M为常值， M图为 直线。
P
P
剪力Q为常值时， M图为斜线
第三章
静定梁与静定刚架
六. 平衡力系的影响 当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本 身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分 的反力内力皆为零。 P
4 8 2 2
铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化的斜直线。
2
ql 2 2 2
4 2
ql 2 2 8
2
4
第三章
静定梁与静定刚架
例7 试作图示刚架弯矩图的形状。
m
ql 2 2
m
mm
P
m Q= 0，M为一直线 P
第三章
பைடு நூலகம்
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得， 且其解答是唯一的确定值。
Pa
Pa
Pa
A
Pa B
C
Pa D
E
Pa G
属悬臂部分，响应的 M图为水平线。
两段的剪力相等铰处 的M为零，M图的坡 度（斜率）相等，两 条线平行。
铰处的M为零，响应 的M图为一斜直线。
第三章
静定梁与静定刚架
例4 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
m m m m m
在m作用点处M 有跳跃 （突变），跳跃量为m， 且左右直线均平行。
M=0
2Pl P 2Pl
P
第三章
静定梁与静定刚架
例2 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l = 4m。
20kN/m 80 80 40kN 80
40
40
40
第三章
静定梁与静定刚架
20
20
75
30
45 5kN
第三章
静定梁与静定刚架
例3 试作图示刚架的弯矩图。
P P P
三根竖杆均为悬臂， 其M图可先绘出。
C
A FP/2 B FP/2 A E FPa B FPa C a a FPa a a a FPa /2 a a
F
D FPa
D
M图
a
M图
FPa MA =FPa A a FRAy =FP FP
C
B
D
M图
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.4 荷载等效特性
A C
FP
D
B
当静定结构的内部几何 不变局部上的荷载作静 力等效变换时，只有该 部分的内力发生变化， 而其余部分的内力保持 不变。
Q= 0，M为一直线
第三章
静定梁与静定刚架
例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa
2Pa
2Pa 3Pa P
铰处的M为零，且梁 上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化 的斜直线。
Q= P，M 为一斜线
P Q= 0，M为一直线 3Pa
第三章
静定梁与静定刚架
例6 试作图示多跨静定梁的弯矩图。
4kN 4kN.m 1kN/m
第三章
静定梁与静定刚架
FP FP FP
静定结构 解除约束,单 自由度体系 体系发生虚 位移
M M
α
Δ
刚体虚位移原理的虚功方程
FP Δ - M α=0 可唯一地求得 M= FP Δ/α
静定结构派生性质
第三章
静定梁与静定刚架
.2 静定结构无自内力
C
C’
C’ C
t 1( ＞ t 2) t2 B
A
B B’
A
DBH
DBV
自内力，是指超静定结构在非荷载因素作用下一般会 产生的内力。
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.3 局部平衡特性
FP
P
在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分） 就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。 F
P
P P 平衡力系
第三章
静定梁与静定刚架
少求或不求反力绘制弯矩图
根
据
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡 3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分) 5.区段叠加法作弯矩图
第三章
静定梁与静定刚架
◆
示例
例1 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P P Pl Q= 0，M为一直线 Q= P，M为一斜线
FP/3 2FP/3
2l/3
FP
l/3
=
FP/3
+
FP 2FP/3
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
构造变换特性
当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时，仅被 替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。
FP FP FP FP
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
静定结构的内力与刚度无关
静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不 涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪
切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A
和惯性矩I）。因此，静定结构的内力与结构杆件 的抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。
第三章
静定梁与静定刚架
静定结构总论
(Statically determinate structures general introduction)
P P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
m
平行
第三章
静定梁与静定刚架
二. 铰处 M = 0
M=0 M= 0 ？
三. 刚结点力矩平衡
40 20 20 10 30 20 20
M 0
M 0
第三章
静定梁与静定刚架
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
第三章
静定梁与静定刚架
§3-4
◆
快速绘制弯矩图的一些规律及示例
快速、准确绘制弯矩图的规律
一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些推论
1.无荷载区段，M为直线 直线 2.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方向一致
ql 2 8 ql 2 8
第三章
静定梁与静定刚架
3. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处， 且凸向与P方向一致。
FP/2
‖
FPa /2
FPa
FPa /2 原荷载 FP/2
FP/2
A
C
FP/2
D
B
FP/2
FPa /2
+
A C
FPa /2 FP/2 等效代换荷载
FP a
D
B
0
a
FP/2
FPa /2 FP/2 a a 局部平衡荷载
0
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法：
基本性质 派生性质 零载法
静定结构基本性质
第三章
静定梁与静定刚架
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯 一解答 证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移 原理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单 自由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因 此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力” 的唯一解答。