2018届高三一轮复习课件第五章第2讲等差数列及其前n项和

[解析]
由{an}为等差数列，
则 S3，S6－S3，S9－S6 也成等差数列， 故 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即 a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
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第五章
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1．必明辨的 2 个易错点 (1)判断等差数列忽视首项． (2)等差数列一些重要性质能为解题带来方便，但做题时不能想 当然，运用性质公式要有理有据，不能混淆一些性质．
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1．已知等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，S10＝10，S30＝70，则
120 ． S40 等于_____
10×9 10a1＋ 2 d＝10， 2 2 [解析] 由题意： 得 a1＝ ，d＝ . 5 15 30a ＋30×29d＝70， 1 2 代入得 S40 40×39 ＝40a1＋ d＝120. 2
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1 ． 1． 在等差数列{an}中， a1＝x－2， a2＝x， a3＝2x＋1， 则 x＝___
[解析]
由等差数列定义知 2x＝x－2＋2x＋1，解得 x＝1.
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2． 在数列{an}中， a1＝3， 且对任意大于 1 的正整数 n， an－ an－1
2 3 n ＝ 3，则 an＝________．
[解析] 由定义知{ an}是以 3为首项，以 3为公差的等差数列， 故 an＝ 3n，即 an＝3n2.
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3．已知数列{an}是等差数列，且 a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则
234 ． a3＋a15＝________
[解析] 由等差中项公式可得 2a9＝a5＋a13， 又 1＋17＝5＋13， 所以 a1＋a17＝a5＋a13.由题设易知 a9＝117. 所以 a3＋a15＝2a9＝234.
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54 ． 4．设{an}是等差数列，若 a5＝6，则数列{an}前 9 项的和为___
9(a1＋a9) [解析] 等差数列{an}前 9 项的和 S9＝ ＝9a5＝54. 2
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5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ． ＋a8＋a9＝________
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3． (2016· 高考江苏卷)已知{an}是等差数列， Sn 是其前 n 项和． 若
20 a1＋a2 2＝－3，S5＝10，则 a9 的值是________．
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，
2 则 a1＋a2 ＝ a ＋ ( a ＋ d ) ＝－3， S5＝5a1＋10d＝10， 解得 a1＝－4， 2 1 1
16 Sn 的最大值为________ ．
a1＋2d＝3， 得， a1＋5d＝－3，
[解析] 由 a3＝3，a6＝－3
a1＝7， 解得 d＝－2.
n(n－1) 所以 Sn＝na1＋ d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16. 2 所以当 n＝4 时 Sn 有最大值 16.
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1
2 为首项，2 为公差的等差数列．
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1 1 (2)由(1)知S ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， S1 n 1 所以 Sn＝ . 2n 1 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1＝－ . 2n(n－1) 1 又因为 a1＝ 不适合上式， 2 1 2，n＝1， 故 an＝ 1 － ，n≥2. 2n(n－1)
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已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ 1 记 bn＝ . an－2 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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(2) 因为 {an}，{bn}为等差数列， a9 a3 a9 a3 a9＋a3 2a6 a6 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ . 2b6 2b6 b6 b5＋b7 b8＋b4 2b6 2b6 S11 a1＋a11 2a6 2×11－3 19 因为 ＝ ＝ ＝ ＝ ， T11 b1＋b11 2b6 4×11－3 41 a6 19 所以 ＝ . b6 41
此题易误将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列误解 为 Sm, S2m, S3m 成等差数列．从而导致错解 S30＝S10＋2d. 所以 d＝30，所以 S40＝S30＋d＝100.
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2．等差数列{an}满足 a3＝3，a6＝－3，则数列{an}的前 n 项和
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【解析】
(1)因为 a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 又因为 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以 3(a1＋an)＝180，从而 a1＋an＝60， n(a1＋an) n·60 所以 Sn＝ ＝ ＝390，即 n＝13. 2 2
所以{an}从第二项起是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列．但对 于整个数列不是等差数列．
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等差数列基本量的计算 (1)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项 19 和，若 S8＝4S4，则 a10＝________. 2 (2)(2017· 无锡模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，
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应用等差数列的性质应注意的两点 (1)在等差数列{an}中， 若 m＋n＝p＋q＝2k(m、 n、 p、 q、 k∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用 方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破 口．
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4．等差数列{an}的前 n 项和公式 n(n－1) n(a1＋an) Sn＝na1＋ d＝ . 2 2 5．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q， 则 am＋an＝ap＋aq， 特别地： 若 m＋n＝2p， 则 am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„，仍是等差数列，公差为 kd. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„，也是等差数列．
d＝3，则 a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
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4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否是 等差数列？说明你的理由．
[解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以
3，n＝1， an＝ 2n，n≥2.
*
1 (1)求证：S 是等差数列； n
(2)求 an 的表达式．
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【解】
(1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，
两边同除以 Sn·Sn－1， 1 1 1 得 － ＋2＝0，即S － ＝2(n≥2)， Sn－1 Sn S n n－ 1
1 所以S 是以 n
8 公差 d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝________.
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【解析】
(1)因为公差为 1，
8×(8－1) 所以 S8＝8a1＋ ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2 1 因为 S8＝4S4，所以 8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝ ， 2 1 19 所以 a10＝a1＋9d＝ ＋9＝ . 2 2
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1.设数列{an}是等差数列， 若 a3＋a4＋a5＝12， 28 则 a1＋a2＋„＋a7＝________．
[解析] 因为 a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以 a4＝4， 所以 a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.
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2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝10，S20＝30，
60 则 S30＝________ ．
[解析] 因为 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 所以 40＝10＋S30－30，所以 S30＝60.
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等差数列的判定与证明 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1 1 ＝0(n≥2，n∈N )，a1＝ . 2
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2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则其通项公式为 an＝a1 ＋(n－1)d.亦可以用数列中的第 m 项 am 与公差 d 表示为 an＝am ＋(n－m)d. 3．等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项， a＋b 且有 A＝ . 2
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等差数列的性质及应用(高频考点) (1)若等差数列{an}前 3 项的和为 34， 最后 3 项的和为 146，
13 ． 且所有项的和为 390，则这个数列的项数为______
(2)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自 19 Sn 2n－3 a9 a3 41 然数 n 都有T ＝ ，则 ＋ 的值为________ ． 4 n － 3 b ＋ b b ＋ b n 5 7 8 4
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(1)判断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和 等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于填空 题中的简单判断． (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an －an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则 n＝1 时，a0 无定义.
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等差数列基本运算的解题方法 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 的思想来解决问题． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是 常用方法．
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n(n－1) (2)法一：由题知 Sn＝na1＋ d＝n＋n(n－1)＝n2， 2 Sn＋2＝(n＋2)2，由 Sn＋2－Sn＝36 得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36， 所以 n＝8. 法二： Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36， 解得 n＝8.
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在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
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[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而 an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， n[1＋(3－2n)] 所以 Sn＝ ＝2n－n2. 2 由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7.
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第2讲
等差数列及其前 n 项和
第五章
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1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减它的前一项所得 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an －an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
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2．必会的 3 种方法思想 (1)函数思想：在等差数列{an}中 an＝dn＋c(d，c 为常数)，是关 于 n 的一次函数(或常数函数)，Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)是关 于 n 的二次函数(或一次函数)． (2)方程思想：准确分析 a1，d，an，Sn，n 之间的关系，通过列 方程(组)可做到“知三求二”． (3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若 m＋n＝p＋q(m， n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代 换．