小学奥数计数之容斥原理练习题

合集下载

小学生奥数计数之容斥原理练习【三篇】

【导语】芬芳袭⼈花枝俏，喜⽓盈门捷报到。

⼼花怒放看通知，梦想实现今⽇事，喜笑颜开忆往昔，勤学苦读最美丽。

在学习中学会复习，在运⽤中培养能⼒，在总结中不断提⾼。

以下是为⼤家整理的《⼩学奥数计数之容斥原理练习【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇】1、在1到500的全部⾃然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个？ 2、六年级⼀班有45名同学，每⼈都参加暑假体育培训班，其中⾜球班报25⼈，篮球班报20⼈，游泳班报30⼈，⾜球、篮球都报者有10⼈，⾜球、篮球都报者有12⼈。

问三项都报的有多少⼈？ 3、某校六年级⼆班有49⼈参加了数学、英语、语⽂学习⼩组，其中数学有30⼈参加，英语有20⼈参加，语⽂⼩组有10⼈参加，⽼师告诉同学既参加数学⼜参加语⽂⼩组的有3⼈，既参加数学⼜参加英语和既参加英语⼜参加语⽂的⼈数均为质数，⽽三种全参加的只有1⼈，求既参加英语⼜参加数学⼩组的⼈数。

4、某班同学参加升学考试，得满分的⼈数如下：数学20⼈，语⽂20⼈，英语20⼈，数学、英语两科满分者8⼈，数学、语⽂两科满分者7⼈，语⽂、英语两科满分者9⼈，三科都没有得满分者3⼈。

问这个班最多多少⼈？最少多少⼈？ 5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的⼈数是全体的35 ，其余不赞成；赞成去动物园的⽐赞成去颐和园的学⽣多3⼈，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学⽣数⽐对去两处都赞成的学⽣数的13 多1⼈，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学⽣各有多少⼈？ 6、分母是1001的最简真分数共有多少⼈？ 7、*出了两道数学题，全班40⼈中，第⼀有30⼈做对，第⼆题有12⼈未做对，两题都做对的有20⼈。

（1）第2题对第1题不对有⼏个⼈？（2）两题都不对的有⼏⼈？ 8、每边长为10厘⽶的正⽅形纸⽚，正中间挖⼀个正⽅形的洞，成为宽1厘⽶的⽅框，把五个这样的⽅框放在桌⾯上，成为如的图案。

问桌⾯上放这些⽅框盖住部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？ 9、⼀次数学竞赛都是填空题，⼩明答错的恰是题⽬总数的14 ，⼩亮答错5题，两⼈都答错的题⽬的总数的16 ，已知⼩明，⼩亮都答对题⽬超过了试题总数的⼀半，则他们都答对了多少道题？ 10、在1到1998的⾃然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？【第⼆篇】1、全班有46名同学,仅会打乒乓球的有18⼈,会打乒乓球以及会打⽻⽑球的有7⼈,不会打乒乓球⼜不会打⽻⽑球的有6⼈,问,仅会打⽻⽑球的有多少⼈? 2、电视台向100⼈调查昨天收看电视情况，有62⼈看过2频道，34⼈看过8频道，11⼈两个频道都看过。

小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题（含答案）一、填空题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.二、解答题11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.13.如图所示,A 、B 、C 分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A 与B ,B 与C ,C 与A 公共部分的面积分别是5、3、4,求A 、B 、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积.614.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。

03小学奥数练习卷(知识点：容斥原理)后附答案解析

03小学奥数练习卷（知识点：容斥原理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．三年级有108个小朋友去春游，带矿泉水的有65人，带水果的有63人，每人至少带一种．其中既带矿泉水又带水果的有（）人．A．19B．20C．21D．222．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有（）个学生这三项运动都会．A．4B．5C．6D．7第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共43小题）3．把1到81这81个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻的3个数的奇偶性后得知，3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有组，没有奇数的有组．4．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有人．5．空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有人．6．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．7．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有种．8．在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有个．9．一次数学测试只有2道题，四年一班48名同学中，答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有22人，两题都答错的有人．10．一次数学测试只有2道题，三年一班48名同学中，每人至少都答对1题．其中答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有人．11．海军突击队共有士兵30人，每个人都擅长射击和空手格斗中的一项或两项，如果士兵中擅长射击的有12人，擅长空手格斗的有23人．那么，这两项均擅长的士兵有人．12．三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟．那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有分钟．13．某班语文、数学期中考试成绩统计表如下，语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，两科都得100分的有3人，两科都未能得100分的有26人，这个班共有人．14．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加，这个班有人参加了语文或数学兴趣小组．15．“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行天．16．五年级共有69名同学报名参加了学校运动会，每位同学至少在短跑、跳高、标枪比赛中参加一项，已知其中参加短跑的有32人，参加跳高的有33人，参加标枪的有39人，而在参加跳高的同学中有22人还报名了其他项目，在参加标枪的同学中有23人还报名参加了其他项目，如果只有5名同学参加了全部三个项目，那么恰好参加两项比赛的同学共有人．17．中环杯的某个考场中一共有45个学生，其中英语好的有35人，语文好的有31人，两门功课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有人．18．学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么，其中两种运动都会的有人．19．小明买了4个苹果、6个梨和8个桃，小红买了5个苹果、7个梨和6个桃．在接下去的18天中，他们每人每天吃一个水果，有三天两人都吃苹果；有两天两人都吃梨，还有三天一人吃苹果，另一人吃梨，那么有天两人都吃桃．20．动物王国中有一个奇怪的猫村，已知猫村共有60只猫，其中有漂亮尾巴的27只，漂亮毛色的45只，所有猫毛色或尾巴至少一项漂亮，则两样都漂亮的有只．21．佳佳是一位国旗爱好者，他从全世界193个国家的国旗中，挑出了43面带星星图案或带月亮图案的国旗，发现其中带星星图案的国旗有34面．带月亮图案的国旗有18面，那么既带星星图案又带月亮图案的国旗有面．22．有编号为1，2，3，…2015的2015盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制．若将编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯线都各拉一下，这时，亮着的灯有盏．23．一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人；在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有人．24．学而思在“五一劳动节”即将发行新版积分卡．如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡上共出现了位老师．25．学校组织六年级的240名同学们参加学科竞赛．其中，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有40人，两项比赛都不参加的有24人，只参加语文竞赛与只参加数学竞赛的人数之比为5：3，那么，这些同学中，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人．26．某班有40名学生，其中15人参加数学兴趣小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么该班学生中，这两个小组都不参加的共有人．27．少年宫春季书法班，美术班、器乐班招生，书法班招收了29名学员，美术班招收了28名学员，器乐班招收了27名学员，在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报器乐的有12人，既报美术又报器乐的有11名，三个科目都报的有5名，那么，只参加一个科目学习的学员有名．28．少年宫春季书法班，美术班，器乐班招生．书法班招收了29名学员，在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报乐器的有12人，三个科目都报的有5名．那么，只参加书法学习的学员有名．29．某校3年级共有学生100人，其中68人爱看体育频道，55人爱看文艺频道，另有3人这两个频道都不爱看．那么这两个频道都爱看的学生有人．30．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．31．如图，有边长都是 2 的红、黄、蓝三张透明的正方形塑料片．先将红色塑料片平放于桌面，再放上黄色嫩料片，重叠部分是一个边长是1的橙色正方形；然后又放上蓝色塑料片，它和橙色正方形的重叠部分是一个边长是0.5 的黑色正方形．此时，三张塑料片在桌面上覆盖的面积是．32．甲、乙、丙三校合办画展，参展的画中，有41幅不是甲校的，有38幅不是乙校的，甲、乙两校参展的画共43幅，那么，丙校参展的画有幅．33．少年宫春季书法班、美术班、器乐班招生．书法班招收了29名学员，美术班招收了28名学员，器乐班招收了27名学员．在这些学员中，既报书法又报美术的有13名，既报书法又报器乐的有12人，既报美术又报器乐的有11名，三个科目都报的有5名．那么，只参加一个科目学习的学员有名．34．一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科技馆的有2人，既参观植物馆又参观动物馆的有5人，既参观植物馆又参观科技馆的有2人，既参观动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有人这三个馆都没有参观．35．2013年国庆节，某市组织了2013人进行大型团体表演操，参加表演的都是三、四、五年级的学生，他们身穿全红、全白或全蓝的运动衣．已知四年级有600人，五年级有800人，三个年级穿白色运动衣的共有800人．三年级穿红色、蓝色运动衣，四年级穿红色运动衣，五年级穿白色运动衣的学生各有200人．那么，四年级穿蓝色运动衣的有人．36．某班有40名学生，其中15名参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有人两个小组都不参加．37．十一长假，语文老师布置了两篇作文，题目是：《20年后的母校》、《伦敦奥运会》，结果有34人完成了《20年后的母校》，有46人完成了《伦敦奥运会》，全班52人中没有人偷懒（都至少完成了一片作文），那么，两篇作文都完成了的有人．38．设a、b、c分别是0﹣9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9，将循环小数0.b化成最简分数后，分子有不同情况．39．四年级某班50人，做两题数学选择题，做对第一题的有36人，做对第二题的有24人，两题都对的18人，那么两题都没有做对的最多有人．40．老师出了200道题让王亮、李涛和张清三人做．三人每人都做对了120道．且每道题都有人做对，如果把三人都做对的题称为简单题，只有一人做对的称为难题，那么，难题比简单题多道．41．科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有人．42．在某一学校，星期一有15个学生缺席，星期二有12个同学缺席，星期三有9个同学缺席．如果这三天至少有一天缺席的学生有 22 人，那么在这三天都缺席的学生最多有人．43．学校数学竞赛出了A，B，C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A 题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人．如果三道题都做对的只有1人，那么只做对两题的共有人．44．某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相同，那么做对4道题的有人．45．一个班在一年中组织了三次郊游活动，有70%的学生参加了第一次郊游，80%的同学参加了第二次郊游，90%的同学参加了第三次郊游，有12人这三次郊游都参加了，全班每人至少参加两次，这个班有学生．三．解答题（共5小题）46．六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？47．某小学举办工艺品展览，学校展出了每个年级学生的手工艺品，其中有20件不是五年级的，有30件不是六年级的，五六年级参展的手工艺品共有10件，其它年级参展的手工艺品共有多少件？48．三（1）班全班 45名学生报名参加校运动会，除拔河比赛全班全部参加外，其余三个项目每人至少参加一项比赛，已知全班参加踢毽子比赛的有 39 人，参加投篮的有 28人，问三项比赛都报名参加的有多少人？49．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？50．某校初一年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的40%，参加语文竞赛的人数占竞赛人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛人数的，两项都参加的有14人，那么该校初一年级共有学生多少名？参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．三年级有108个小朋友去春游，带矿泉水的有65人，带水果的有63人，每人至少带一种．其中既带矿泉水又带水果的有（）人．A．19B．20C．21D．22【分析】把带矿泉水的有65人和带水果的有63人加在一起，然后减去三年级的总人数就是两样都带的人数．【解答】解：65+63﹣108=128﹣108=20（人）；答：既带矿泉水又带水果的有20人．故选：B．【点评】此题考查了利用容斥原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键．2．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有（）个学生这三项运动都会．A．4B．5C．6D．7【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案．【解答】解：不会游泳的有48﹣27=21（人），不会骑车的有48﹣33=15（人），不会打乒乓球的有48﹣40=8（人），所以至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44（人），那么全班三项运动都会的至少有：48﹣44=4（人）；答：至少有4人会三项运动．故选：A．【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，采用逆思考的方法，找准对应量，正确运用容斥原理，列式解答即可．二．填空题（共43小题）3．把1到81这81个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻的3个数的奇偶性后得知，3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有14 组，没有奇数的有25 组．【分析】1到81，有41个奇数，40个偶数，根据圆周上所有位置的数都出现三次，可得奇数出现的总次数为41×3=123，由于3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．即可求出恰有1个奇数的组数，没有奇数的组数．【解答】解：1到81，有41个奇数，40个偶数，因为圆周上所有位置的数都出现三次，所以奇数出现的总次数为41×3=123，由于3个数全是奇数的有25组，恰有2个奇数的有17组．那么，恰有1个奇数的有123﹣3×25﹣2×17=14；没有奇数的有81﹣25﹣17﹣14=25，故答案为14，25．【点评】本题考查容斥原理，考查奇偶数问题，比较基础．4．某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，那两种都不会的有20 人．【分析】根据“其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，”两者的总人数是15+13=28人，则至少会一种的有28﹣5=23（人）；所以两样都不会的人数有：43﹣23=20（人）；据此解答即可．【解答】解：43﹣（15+13﹣5）=43﹣23=20（人）答：两种都不会的有 20人．故答案为：20．【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两者都会的人数是会拉丁舞和会探戈的人数的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．5．空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有7 人．【分析】直接把擅长射击的20人，和擅长武术的12人相加求出总人数，这样就把两项均擅长的士兵重复加了2次，然后用20+12的和减去25人就是两项均擅长的士兵人数．【解答】解：20+12﹣25=32﹣25=7（人）答：两项均擅长的士兵有 7人．故答案为：7．【点评】此题考查容斥原理的实际运用：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．6．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有104 人．【分析】设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，根据“至少带一样的人数+两样都没带的人数=总人数”列方程为：80+70﹣x+6=2x，解方程即可得解．【解答】解：设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，由题意可得：80+70﹣x+6=2x156﹣x=2x3x=156x=52则2x=2×52=104答：则参加春游的同学共有104人．故答案为：104．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B+既非A 又非B．7．对120种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果是：含甲的62种，含乙的90种，含丙的68种，含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、丙的50种，含甲、乙、丙的25种．问（1）仅含维生素甲的有 3 种．（2）不含甲、乙、丙三种维生素的有9 种．【分析】根据题意和容斥原理，知道仅含维生素甲的食物=含甲的﹣含甲、乙的﹣含甲、丙的+含甲、乙、丙的食物的种类；先求出含甲或乙或丙的食物的种数，即可求出不含甲、乙、丙三种维生素的数量．【解答】解：（1）62﹣48﹣36+25=3（种）；（2）120﹣（62+90+68﹣48﹣36﹣50+25），=120﹣111，=9（种）；答：仅含维生素甲的有3种，不含甲、乙、丙三种维生素的有9种．【点评】解答此题的关键是，弄清题意，找出数量关系，根据容斥原理，列式解答即可．8．在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有32 个．【分析】本题应列举出5的倍数有多少个，列举出7的倍数有多少个，然后相加即可．【解答】解：在1到100这100个自然数中，5的倍数有20个，7的倍数有14个，既是5的倍数又是7的倍数有2个，故5的倍数或7的倍数的个数是：20+14﹣2=32．故答案为：32．【点评】此题用列举法，把符合条件的列出来，然后数一数，算一算即可得出结论．9．一次数学测试只有2道题，四年一班48名同学中，答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有22人，两题都答错的有 2 人．【分析】根据“答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，”可得两者的总人数：36+32=68人，这其中把两道题都答对的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得至少答对1道题的人数是：68﹣22=46（人），然后用总人数48减去46就是两题都答错的人数，据此解答即可．【解答】解：48﹣（36+32﹣22）=48﹣46=2（人）答：两题都答错的有2人．故答案为：2．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．本题关键是求出至少答对1道题的人数．10．一次数学测试只有2道题，三年一班48名同学中，每人至少都答对1题．其中答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两题都答对的有20 人．【分析】根据“答对第一题的有36人，答对第二题的有32人”可得两者的总人数：36+32=68人，这其中把两道题都答对的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两道题都答对的人数是：68﹣48=20（人），据此解答即可．【解答】解：36+32﹣48=68﹣48=20（人）答：两道题都答对的有20人．故答案为：20．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．11．海军突击队共有士兵30人，每个人都擅长射击和空手格斗中的一项或两项，如果士兵中擅长射击的有12人，擅长空手格斗的有23人．那么，这两项均擅长的士兵有 5 人．【分析】根据容斥原理公式，用12加上23，然后减去总人数30就是这两项均擅长的士兵．【解答】解：12+23﹣30=35﹣30=5（人）答：这两项均擅长的士兵有 5人．故答案为：5．【点评】本题考查了容斥原理1：两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和=A 类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．12．三支蜡烛分别能燃烧30，40，50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟．那么正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有35 分钟．【分析】根据容斥原理可得正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间．【解答】解：根据容斥原理可得正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有（30+40+50﹣10×3﹣20）÷2=35分钟，故答案为35．【点评】本题考查工程问题，考查容斥原理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．某班语文、数学期中考试成绩统计表如下，语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，两科都得100分的有3人，两科都未能得100分的有26人，这个班共有45 人．【分析】语文得100分的有10人，数学得100分的有12人，则语数得100分的共有10+12=22人，又数学、语文都得100分的有3人，所以得100分的人数共有22﹣3=19人，又两门功课都未得100分的有26人，所以这个班共有19+26=45人．【解答】解：10+12﹣3+26=22﹣3+26=45（人）答：这个班共有 45人．故答案为：45．【点评】首先根据“A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出得100分共有多少人是完成本题的关键．14．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加，这个班有45 人参加了语文或数学兴趣小组．【分析】由题意，用28+29就是只参加语文兴趣小组、只参加数学兴趣小组以及两个小组都参加的人数和，再减去重复计算的两个小组都参加的人数，即得参加兴趣小组的总人数．【解答】解：28+29﹣12=57﹣12=45（人）答：这个班有 45人参加了语文或数学兴趣小组．故答案为：45．【点评】解答此题注意28+29把两个小组都参加的人数多算了一次，所以要减去12．15．“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行13 天．【分析】求“两会”进行的天数，若将“人大会议”进行的时间与“政协会议”进行的时间相加，那么“两会同时进行的天数（9天）”被重复算了一次，需要减去，问题即解．【解答】解：根据容斥原理，可得11+11﹣9=13（天）．答：“两会”一共进行13天．答案填：13．【点评】此题属于两个量的重叠问题，运用韦恩图能快速判断“两会”进行的时间．16．五年级共有69名同学报名参加了学校运动会，每位同学至少在短跑、跳高、标枪比赛中参加一项，已知其中参加短跑的有32人，参加跳高的有33人，参加标枪的有39人，而在参加跳高的同学中有22人还报名了其他项目，在参加标枪的同学中有23人还报名参加了其他项目，如果只有5名同学参加了全部三个项目，那么恰好参加两项比赛的同学共有25 人．【分析】参加短跑的人数+参加跳高的人数+参加标枪的人数﹣参加短跑和跳高的人数﹣参加跳高和标枪的人数﹣参加短跑和标枪的人数+三个项目都参加的人数=69，根据这个可以算出参加短跑和跳高的人数+参加跳高和标枪的人数+参加短跑和标枪的人数总和，然后再根据三个项目都参加的人数算出只参加两个项目的人数．【解答】解：参加短跑和跳高的人数+参加跳高和标枪的人数+参加短跑和标枪的人数总和32+33+39+5﹣69=40（人）只参加两个项目的人数40﹣3×5=25（人）故填25【点评】此题中参加短跑和跳高的人数中包含了三个项目都参加的人数，参加跳高和标枪的人数与参加短跑和标枪的人数也如此．17．中环杯的某个考场中一共有45个学生，其中英语好的有35人，语文好的有31人，两门功课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有 3 人．【分析】由题意，用35+31就是只英语好、只语文好以及两门功课都好的人数和，再减去重复计算的两门功课都好的人数，即得至少一门功课好的人数，然后用总人数减去至少一门功课好的人数就是两门功课都不好的学生数．【解答】解：45﹣（35+31﹣24）=45﹣42=3（人）答：两门功课都不好的学生有3人．故答案为：3．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量=A+B﹣既A又B（两种情18．学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么，其中两种运动都会的有1149 人．【分析】要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，【解答】解：由题意，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么两种运动都会的有2015﹣406﹣460=1149，故答案为1149．【点评】本题考查容斥原理，考查集合思想的运用，比较基础．19．小明买了4个苹果、6个梨和8个桃，小红买了5个苹果、7个梨和6个桃．在接下去的18天中，他们每人每天吃一个水果，有三天两人都吃苹果；有两天两人都吃梨，还有三天一人吃苹果，另一人吃梨，那么有 4 天两人都吃桃．【分析】有三天两人都吃苹果，有两天两人都吃梨，5天后小明还剩下1个苹果4个梨，小红还剩下2个苹果5个梨；有三天一人吃苹果一人吃梨，吃完后小明还剩2个梨和8个桃子，小红还剩4个梨和6个桃子；最后根据小明和小红不能在同一天吃梨（一人吃梨，另一人吃桃子）可推断出两人共同吃桃子的天数．【解答】解：（1）有三天两人都吃苹果，有两天两人都吃梨，5天后小明还剩下1个苹果4个梨，小红还剩下2个苹果5个梨；（2）有三天一人吃苹果一人吃梨，所以小明吃剩下的1个苹果时，小红吃梨；小红吃剩下的2个苹果时，小明吃梨；（3）小明吃剩下的2个梨时小红只能吃桃；小红吃剩下的4个梨时，小明只能。

小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答

小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。

数量关系:A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

可画文氏（韦恩）图来解题。

例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。

钉成的木板长 _____ 厘米。

解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。

解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。

2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。

例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。

A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。

孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。

2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。

选择B。

例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。

小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。

A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。

容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。

A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。

1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。

问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。

小学奥数《容斥原理》

某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都
有的有27人，这个班有学生多少人？
容斥原理
订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？
一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人，订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
二．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？
三．求不超过100的自然数中，不能被3、5中任何一数整除的数的个数。
一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
. 六一班有学生46人，其中会骑自行的有19人，会游泳的有25人，既会骑又会游泳的有7人，既不会骑自行车不会游泳的有多少人？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类或B类或C类元素个数= A类元素个数 + B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+ 既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
一．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？

奥数容斥原理练习题

奥数容斥原理练习题1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？2、1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？3、1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？4、五（1）班有58人参与三项课外活动小组，其中32人参与文学组，24人参与美术组，30人参与音乐组，既参与文学组又参与美术组的有13人，既参与美术组又参与音乐组的有12人，既参与文学组又参与音乐组的有11人，三项活动小组都参与的有几人？5、康大六校五年二班学生参与语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？6、两辆汽车从A、B两地同时动身相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。

已知动身5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？7、100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？8、100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？9、康大学校第14届秋季运动会中，参与100米短跑的共156人，比参与200米短跑的少40人，比参与50米短跑的多26人，同时参与100米和50米短跑的有74人，同时参与200米和100米的有80人，是同时参与50米和200米人数的2倍，同时参与50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参与50、100米和200米的共有多少人？10、五（6）班有54人参与秋游活动其中35人喜爱玩“捉特务”，45人喜爱玩“老鹰捉小鸡”，40人喜爱踢足球，50人喜爱跳牛皮筋，你是否可以确定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜爱。

(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析

小学奥数容斥原理之数论问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1A B7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-A B B C A C--A B C A B B C A C A B C ++---+所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个. 【答案】43【例 3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

容斥原理-五年级奥数

容斥原理1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。

如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？创新题1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？单元测试题1、某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21 人得满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都活得满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道练习题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？3、问1-1000中所有不能被6,8,10整除的自然数有多少个？4、某校100个老师懂英语或法语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂法语的有20人，问懂法语的有多少人？只懂法语的有多少人？5、五年级112名同学参加语文、数学考试，没人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文一门获优的人数.6、五一班有56名同学，只会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，只会打羽毛球的有多少人？7、在1,2,3，、、、，1998这1998个数中，既不是8的倍数，又不是12的倍数的数共有多少个？。

小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题（含答案）一、填空题1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了个病人.3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住 (平方厘米).4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有个.5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有人.6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B 两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2),三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是平方厘米.7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中两科都不得100分的有人.8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有个.9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有个.10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有人.2 AB C二、解答题11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.12.64人订A 、B 、C 三种杂志.订A 种杂志的28人,订B 种杂志的有41人,订C 种杂志的有20人, 订A 、B 两种杂志的有10人,订B 、C 两种杂志的有12人,订A 、C 两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.———————————————答案——————————————————————1. 127从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人) 从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).2. 224从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).3. 10.75把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为 1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm 2)4. 15内科 150人外科92人18 人不超过30的3的倍数有10330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),不超过30的4的倍数有7430=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(个);不超过30的3⨯4=12的倍数有24330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).5. 41如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).6. 219由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).7. 23;22至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).8. 333在1~1000的自然数中,2的倍数有50021000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),3的倍数有33331000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),2⨯3=6的倍数共有166321000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).9. 28小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)10. 121由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为510+330+120-270+58=748(人)故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).11. (1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、跳、投中得奖的人.数学语文 7 17 13设x 为只得短跑奖的人数,y 为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z 为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u 为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u =12-5=7(人),z =36-15-12=9(人),y =29-5-7=8(人),x =31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.(2)得二次奖的人数为y +z +u =8+9+7=24(人).(3)因至少得一次奖的人数为x +y +z +u +5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).12. 设三种杂志均订的人数为x ,则有28+41+20-10-12-12+x =64,解得x =9,即三种杂志都订的有9人.13. 在1~1994中,能被5整除的个数为39851994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6整除的个数为33261994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被7整除的个数为28471994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6=30整除的个数为66301994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯7=35整除的数为56351994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6⨯7=42整除的个数为47421994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6⨯7=210整除的个数为92101994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).14. 要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.AB C x。

小学数学奥数测试题容斥原理_人教版-教育文档

第 1 页2019年小学奥数计数专题——容斥原理1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5．有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?6．东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占32，标有4的倍数的卡片占43，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．10．如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?15．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?第 1 页参考答案1．17【解析】有至少参加一个小组的同学有15+18－10＝23人，所以有40－23＝17人两个小组都不参加．2．9【解析】有数学、语文至少有一门得满分的学生有45－29＝16人．所以语文成绩得满分的有16－10+3＝9人．3．38【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡450＝12，6的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡650＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250＝4．于是，第一类同学有50－12－8+4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4＝38名同学面向老师．4．232【解析】1～100，2的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100＝50个，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3100＝33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡6100＝16人．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100－50－33+16＝33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有50×2+33×3+33×1＝232支．5．90【解析】我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3180＝60个，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡4180＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡12180＝15个．注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．6．3【解析】将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15－25)÷2＝3幅．7．36【解析】设这些卡片共有x 张，那么标有3的倍数的卡片有32x 张，标有4的倍数的卡片有43x 张，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．所以有32x+43x －15＝x ，解得x ＝36．即这些卡片一共有36张．8．686个【解析】1～1000之间，5的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000＝200个，7的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡71000＝142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡351000＝28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000－200－142+28＝686个．9．62【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合B ，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．|A|＝25，|B|＝35，|C|＝27，|B ∩C|＝12，|A ∩B|＝8，|A ∩C|＝9，|A ∩B ∩C|＝4,|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|A ∩C|－|B ∩C|+|A ∩B ∩C|.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27－12－8－9+4＝62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．10．58【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．|A|＝|B|＝|C|＝30， |A ∩B|＝6，|B ∩C|＝8，|A ∩C|＝5，|A ∪B ∪C|＝73，而|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|B ∩C|－|A ∩C|+|A ∩B ∩C|.有73＝30×3－6－8－5+|A ∩B ∩C|，即|A ∩B ∩C|＝2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只．是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6－2＝4，8－2＝6，5－2＝3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73－4－6－3－2＝58． 11．21【解析】设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集合C ．三者都参加的学生有x 人．有|A ∪B ∪C|＝46，|A|＝24，|B|＝20，|C|＝3.5|A ∩C|＝7|A ∩B ∩C|，|B ∩C|＝2|A ∩B ∩C|，|A ∩B|＝10．因为|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，所以46＝24+20+7x －10－2x－2x+x，解得x＝3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3×7＝21人．12．33【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．|A|＝33，|B|＝44，|C|＝55，|A∩B|＝29，|A∩C|＝25，|B∩C|＝36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|，当|A∩B∩C|最大时，|A ∪B∪C|有最大值．也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最多．而|A∩B∩C|最大不超过|A|、|B|、|C|、|A∩B|、|B∩C|、|A∩C|6个数中的最小值，所以|A∩B∩C|最大为25．有此时|A∪B∪C|＝33+44+55－29－25－36+25＝67，即三者至少有一人借过的数最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．13．9960【解析】如下图，下图中“○”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“○”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，显然此时就有显现的红色点最少，有1994×5－(2－1)×10＝9960个．14．4【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68－100＝46盆，此时甲单独浇过的为78－46＝32盆，乙单独浇过的为68－46＝22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端，于是三者都浇过花最少为58－32－22＝4盆．15．12【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60－100＝35个，此时甲单独读过的为75－35＝40个，乙单独读过的为60－35＝25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52－40＝12个．评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．第 3 页。

完整版小学四年级奥数容斥问题

容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad例1•一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。

（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2•一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4•艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1•将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4 •某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5 •四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6 •在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。

小学奥数之容斥原理

容斥原理(一）【例题分析】例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。

如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米)方法一：（平方厘米）方法二:（平方厘米）方法三：(平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

也可以这样解：(人）或(人）答：两组都参加的有5人。

例3。

六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

（人)（人）答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分.（人）答：这个年级参加课外小组的有60人。

例5。

某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况,请你算出全班人数.短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项19 21 20 9 10 6 3分析与解:根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。

容斥原理奥数原题

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。

）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。

这个团共有多少个小演奏家？2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。

问：这个班两队都参加的有多少人？3、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。

全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。

容斥原理小学数学练习题

一、选择题1. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种2. 学校开设了两个兴趣小组，三年级20人参加书画小组，18人参加了音乐小组，两个小组都参加的有5人，那么三年级一共有（）人参加了兴趣小组．A．38 B．33 C．233. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．674. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．675. 三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．A．17 B．7 C．24二、填空题6. 六年级三班有42人，每人至少订了一种报纸，其中订《少年报》的有36人，订《小学生》报的有20人．两种报纸都订的有______人．7. 在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括和在内，共有( )个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。

8. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

9. 课外读物征订活动结束了，三（1）班有36人订了《数学王国》，有27人订了《作文天地》。

每人至少订一种，其中有9人两种杂志都订了，三（1）班一共有______人。

10. 在一次数学测验中，所有同学都答了第一、二两题，其中答对第一题的有35人，答对第二题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错．一共有 ______ 人参加了这次数学测验．三、解答题11. 三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？12. 在1到1000的自然数中，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？13. 某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了。

小学奥数容斥原理知识点+例题+练习 (分类全面)

4、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？既不能被5整除又不能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？不是5的倍数或不是8的倍数的数有几个？
巩固：某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？

奥数计数强化训练之容斥原理习题10题

奥数计数强化训练之容斥原理习题10题奥数计数强化训练之容斥原理习题精选10题练习1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。

借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。

语文、数学两种课外书都借的有人。

3、在1~100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有个。

4、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师为人。

5、六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有人。

6、在1至10000中不能被5或7整除的数共有个。

7、在1至10000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有个。

8、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。

已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有人。

9、分母是1001的最简真分数有个。

10、在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有人，最多有人。

拓展阅读：国际数学奥林匹克竞赛，英文名：International Mathematical Olympiad，简称：IMO。

“数学奥林匹克”的名称源自苏联，其将体育竞赛、科学的发源地——古希腊和数学竞赛相互关联。

在20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。

从各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际奥林匹克竞赛创造了必要的条件。

2024年7月20日晚，第65届IMO（国际数学奥林匹克竞赛）最终成绩公布，中国队6位选手共获得5枚金牌，1枚银牌，并以190分的总分获得团体总分第2名，美国队也是5枚金牌1枚银牌，但总分比中国队高2分，位于团体第1名。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

小学奥数计数之容斥原理练习题
1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.
3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.
4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.
5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.
6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.
7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.
8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.
9.分母是1001的最简真分数有个.
10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.
【篇二】
知识要点：排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这个排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[例1]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的
两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？
分析：两块手帕有一边重叠，用3个夹子。

三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，所以8块手帕就要用9
个夹子。

[例2]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少
个图钉呢？
分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四
张画要10个图钉。

能够看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，
那么5张画要12个图钉。

1.有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块
木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米。

求钉成后的木板长多
少厘米?
2．三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组
的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年
级一共有多少人参加课外兴趣小组?
3．三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中
参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有
多少人?
4．二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有
获奖，其中拍球获奖的有18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，跳绳比赛获奖的有多少人?
5．有101个同学带着水壶和水果去春游，其中带水壶的有78人，带水果的有71人，只带水壶和只带水果的各有多少人?
6.有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，
中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？
7．小明把动物卡片摆成一排，熊猫的卡片从前数第9张，从后
数第7张，这排动物卡片共有多少张?
8．幼儿园小朋友排成一排做游戏，小可左边有6个人，右边有9个人，这个排共有多少人?
9．民兵实行训练，每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，
李军站的位置从前面数是第4人，从后面数是第6人，从左面数是第3人，从右面数是第2人，一共有多少人参加训练?
10．有一个正方形花坛，在它的四周放花盆，要求每边上都放9
盆花，并且每个顶点都有1盆花，这个花坛四周共摆放多少盆花?
11．三二班同学排队，每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，王红和郝文在同一竖行上，
12.王红从前面数是第6人，郝文排在最后，和王红间隔3个人，王红和黄克在同一横排上，王红从左数是第2个人，黄克从右数是第1人，他们间隔5人。

三二班同学一共有多少人?
【篇三】
1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。

问：两门都得100分的有多少人？
2.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会
打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅
会打羽毛球的有多少人？
3.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问：两个频道都没看过的有
多少人？
4.一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题
有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？。