第3章 随机向量3-4中心极限定理
3.4 中心极限定理
1 ( 30 20) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062 16
23
练布问习律需为3一要公多寓少有车200位户,住才户能, 一使户每住辆户拥汽有车汽都车辆具数有X的 一个车位的概率至少 为0.95.
X0 1 2
pk 0.1 0.6 0.3
解: 设需要车位数为x, 且设第i(i 1,2, ,200) 户有车辆数为Xi，
Sn n
p
0
证明： 由中心极限定理
P
Sn n
p
P
Sn
np
npq
n
pq
2(
n ) 1
pq
2() 1 =1
即
lim P
n
Sn n
p
0
16
中心极限定理的应用有三大类：
1) 已知 n 和 y，求概率； 2) 已知 n 和概率，求y ； 3) 已知 y 和概率，求 n .
17
一、给定n 和y，求概率
二项分布的正态近似 黑实线：正态近似 红点线：二项分布
13
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分 布 ，所以用正态分布作为二项分布的近似时， 可作如下修正：
Pk1 n k2 Pk1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
0.95 P( Xi x)
i1
由正态近似知，上式中n应满足
0.95 ( x 2001.2) ( x 240)
200 0.36
72
因 0.95 (1.645)
从而由 (x) 的单调性知
x 240 1.645
故
72
x 253.96
由此知至少需要254个车位.
25
中心极限定理
第二节 中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量σμn n XX D X E X Y nk knk k n k k nk k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111)(的分布函数F n （x ）对于任意x 满足⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7）从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y n =21σμn n Xnk k-∑=~N (0,1).或者说，当n 充分大时，近似地有().,~21σμn n N Xnk k∑= (5.8)如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和∑=nk kX1这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有 X =∑=1001i iX，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.根据定理5.5，有P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-X P X P≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i iX，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…). 记∑==nk kn B 122σ，若存在正数δ，使得当n →∞时，{}∑=++→-nk kk nX E B 12201δδμ,则随机变量Z n =nn k knk knk k nk nk k kB X X D X E X∑∑∑∑∑=====-=-11111)()(μ的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n nk k n k k n n n t x B X P x F d e π211221lim )(lim μ. (5.9)这个定理说明，随机变量Z n =nnk kn k kB X ∑∑==-11μ当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk kZ B X11μ近似地服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=nk kX1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则 （1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时P {X =k }≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--npq np k npq npqnpqnp k ϕ1212)(2e π， (5.10) 其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2221)(x x -=e πϕ.(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x tn t x p np np X P d e π2221)1(lim . （5.11）这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265. (1) 直接计算：P {X =3}=310C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率. 解 np =7000,npq ≈45.83.P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}=1)36.4(236.483.457000-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ΦX P=0.99999.例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛- =0.9977.正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np→λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较： （1） 用二项分布公式计算：P {X =5}=5500C ×0.015×0.99495=0.17635.(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：P {X =5}=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.。
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
第三节中心极限定理
定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace)
设随机变量n(n=1,2, …) 服从参数为n,p (0<p<1)的二项分布 ，即 n ~ B(n, p).
则对任意x，恒有
lim P{n np x}
n
npq
1
x t2
e 2 dt
即 925 X 1075.
例1、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从 均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只， 设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿 命的总和大于1920小时的概率.
解: 设第i只元件的寿命为 i , i=1,2, …,16 由题 设知，各 i 独立，
E( i)=100, D( i)=10000
P{14≤X≤30}≈
( 30 20 ) (14 20 )
4
4
=(5/2)-(-3/2)
=0.9937-1+0.9331=0.9268
例3 P170某单位有1000台电话分机，每台分机有5% 的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用 外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条 外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时 1/
6
5
/
6
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
故近似地有
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
0.99,
即
6000
60001/ 6
5
/
6
0.995,
查表得
6000
2.58,
60001/ 6 5 / 6
中心极限定理
i 1
n
n
lim
n
P
i 1
Xi D(
E( Xi )
i 1
n
Xi )
x
lim
n
P
nA np npq
x
i 1
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
四、拉普拉斯中心极限定理
定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布
在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机 变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极 限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即
1 100 X 100 i1 Xi
三、勒维中心极限定理
依题意，
1 100 E(X)E100i1
1 100 Xi 100i1
E(Xi)0,
1 100 1 100
1
D(X)D100i1 Xi 1002 i1D(Xi)1200,
由中心极限定理,
~近似
1
X N(0, )
1200
于是，P( 3X 3)P( 31012 X 31012)
D( Xi) i1
D( Xi)
i1
i1
i1
n
n
Xi E(Xi)
DYnDi1
i1 n
1
n
n
n
D[Xi E(Xi)]1
D( Xi) i1
D( Xi)
i1
i1
i1
一、中心极限定理的意义
n
所以，欲求随机变量X Xi 的分布，先求 i1
n
n
Xi E(Xi )
标准化因子Yn i1
i1 的分布情况.
解： 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
中心极限定理
EX np DX np(1 p ) npq
当n =1时，即为0－1分布的期望和方差。
实验背景：n重伯努利试验
独立重复试验的特征： 1、每次试验都在相同条件下进行； 2、每次试验的结果是相互独立的； 3、每次试验有有限个确定的结果； 4、每次试验的结果发生的概率相同； 如果试验共进行n次，称为n重独立重复试验.
一次试验中事件A出现的次数。
在n重贝努利试验中， 若令Xi表示第i次试验中事件A发生的次数， 则 X i 服从0-1分布.
若令X表示n次试验中事件A发生的总次数， n 则X服从二项分布，即 X ~ B(n, p). 且 X X i .
i 1
另一方面，由于 X1 , X 2 , X n 独立同分布， 由独立同分布中心极限定理知，当n充分大时， 近似地有 X ~ N (np, np(1 p))
Sn np k np l np k Sn l np(1 p) np(1 p) np(1 p)
利用中心极限定理可知，当n比较大时，近 似的有 Sn np
np(1 p) ~ N (0,1)
所以
k np P (k Sn l ) P np(1 p) S n np np(1 p) l np np(1 p)
自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中 极为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相 互独立的随机因素的影响所造成，而每 一个别因素在总影响中所起的作用不大 . 则这种量一般都服从或近似服从正态 分布.
高斯
(1777—1855) 德国
随机向量
6
这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？ 对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成 为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越的工 作建立了一系列定理，解决了这一问题. 这一类定理都叫做中心极限定理。
概率论-中心极限定理
100
∑
数，则利用中心极限定理可得 P{i=1Xi ≤ 55} 的近似值为
∑ 解：X
为
0-1
分布，则
E(X)
=
1 2
，D(X)
=
1 4
，由中心极限定理可得
¯
X
∼
1
N( 2 ,
1
4 /n)
，故
100
P{i= 1Xi
≤
55}
=
¯
P{X
≤
0.55}
=
0.55 − 0.5
1
Φ( 2 /10 )
=
Φ(1)
。
Processing math: 100%
=
Φ(x)
n
1∑
nk=1Xk − µ
¯
X−µ
对标准化变量进行变形，即 Yn = σ/√n = σ/√n ，也即均值为 µ 、方差为 σ2 > 0 的 n 个随机变量的算术平均值在样本足够大时，近似服 从 N(µ, σ2/n) 。
应用
例一
1
（2020考研数学一）设 X1, X2, . . . , Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P{X = 0} = P{X = 1} = 2 ，Φ(x) 表示标准正态分布函
对标准化变量进行变形即yn1nk1nxk?nx??????nyn1nk1nxk?nx??n也即均值为方差为2020的nn个随机变量的算术平均值在样本足够大时近似服从n2nn2n
概率论 -中心极限定理 概率论 - 中心极限定理
目录
定理内容
定理一（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量 X1, X2, . . . , Xn, . . . 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差： E(Xk) = µ ，
3.3,3.4正态分布与中心极限定理
lim P {
n i 1
n
i
n x}
n
x
1 2
t
2
e
n
2
dt ( x )
n
该定理表明，只要n比较大，随机变量 态分布。
i 1
i
就近似服从标准正
n
近似服从正态分布 N ( n , n
i i 1
n
2
)
例1 一盒同型号螺丝钉共有100个 已知该型号的螺丝钉 的重量是一个随机变量 期望值是100g 标准差是10g 求一盒 螺丝钉的重量超过102kg的概率 解 设i为第i个螺丝钉的重量(i1 2 100) 且它们之间 独立同分布 于是一盒螺丝钉的重量为12 100 且
(3 9 4 )
定理表明 当n充分大时 二项分布可用正态分布来近似
P { a X n b np npq }
0(
b np npq
) 0 (
a np npq
)
例2 设某电站供电网有10000盏电灯 夜晚每盏灯开灯的 概率为07 而假定开关时间彼此独立 估计夜晚同时开着的灯 的盏数在6800与7200之间的概率
由 E i 1 0 0
D ( i ) 10 知 E 1 0 0 E i 1 0 0 0 0 D 100
由中心极限定理有
P{ 10200 } P {
10000
100
10200 10000 } 100
P{
10000
200 } 2100
7000
45 . 83
| 4 . 36 }
20(436)1099999
中心极限定理三个公式
中心极限定律公式是什么？公式如下图：
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。
扩展资料
中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，它支撑着和置信区间相关的T检验和假设检验的计算公式和相关理论。
如果没有这个定理，之后的推导公式都是不成立的。
事实上，以上对于中心极限定理的两种解读，在不同的场景下都可以对A/B测试的指标置信区间判定起到一定作用。
对于属于正态分布的指标数据，我们可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。
第3章 随机向量3-5大数定理
大数定律的概念
例1. 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的 次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差 很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率 接近1/6是必然的. 例2. 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就 等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等 于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于 a几乎是必然的.
15
12
(n=1,2,...),
辛钦大数定律
定理 (辛钦大数定律): 如果x1,x2,...是相互独立 并且具有相同分布的随机变量, 有Exi=a (i=1,2,...), 则有 1 n P x i a. n n i 1
注: 这个定理说明我们应当相信只要反复 试验, 则一个随机变量的算术平均值 将趋向于常数, 通常就是数学期望.
4
因此, 人们就尝试其它的定义有关随机变量的极 限的办法. 比如说均方收敛. 大家知道当一个随机变量的方差为0时, 这个随 机变量实际上就是一个常数. 那么, 可以知道,一组相互独立同分布的期望为m 方差为s2随机变量, 它们的n个变量的算术平均 值的期望和方差为
5
nm 1 n 1 n E x i Ex i m; n n i 1 n i 1 ns s 1 1 D x i 2 Dx i 2 . n n n i 1 n i 1
n n 2 2
6
由此可见当随着试验次数增加, n次试验的算术 平均值的数学期望将保持不变, 而其方差则随着 n的增加而减少, 趋向于0, 因此可以认为算术平 均值将趋向于一个常数, 即随机变量的期望. 由此定义出, 当一列随机变量的方差趋向于0的 时候, 如果它们的数学期望不变为m, 则称为这 组随机变量均方收敛于数学期望m, 记作
概率论 4.4 中心极限定理
k
2
0
,则随机变量
n X k E X k k 1 Z n k 1 n D X k k 1
X
k 1 k k 1
n
n
k
Bn
的分布函数Fn(x)对任意x，满足
n n Xk k x 1 t 2 / 2 k 1 k 1 limFn x limP x e dt n n Bn 2
中心极限定理中典型的问题 (1)设随机变量X1，X2，…,Xn，…相互独立同分布， E(Xk)=µ，D(Xk)=σ2≠0,(k=1,2,…),由定理1，当n充 分大时， X k n 近似服从标准正态分布。
k 1 n
n
(2)设ηnb(n,p), 由定理3, 当n充分大时， n np 近似服从标准正态分布。 np1 p
2. 中心极限定理 定理1(林德贝格-勒维中心极限定理) 设随机变量X1， X2，…,Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期 望和方差 E(Xk)=µ ，D(Xk)=σ2≠0,(k=1,2,…) 则随机 变量
n X k E X k k 1 k 1 Yn n D X k k 1
( 0.009n 0.000999 n ) 0.9
查表得
0.009n 0.000999 n
1.29 ,解不等式得n≥21.
注释：(1)定理2表明，在定理的条件下，随机变量,
Zn
X
k 1
n
k
k
k 1
n
Bn
当n很大时，近似地服从正态分布 N(0，1)。 由此，当n很大时， n n n 2 X k Bn Z n k ~ N k , Bn k 1 k 1 k 1 近似地服从正态分布. (2)同时定理也提供了大量独立随机变量之和有关的 事件概率的近似计算方法.
35第3章第5节大数定律与中心极限定理
x
e
t2 2
dt ( x).
林德伯格-列维中心极限定理也称为独立同分布的中心极限定理。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理说明了大量 相互独立随机变量之和（在每个随机变量对总和的影响都很小的条件下）近 似服从正态分布，因此它不仅为计算相互独立随机变量之和的近似概率提供 了简单方法，也解释了为什么有很多随机变量都近似地服从正态分布。
Yn
X E( X )
i 1 i i 1 i
n
n
D( X )
i 1 i
n
, n 1,2, .
若{Yn }依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量，即对任意实数 x ，有
n n X i E( X i ) 1 i 1 i 1 lim P(Yn ≤ x) lim P ≤x n n n 2π D( X i ) i 1 则称 {Xn } 服从中心极限定理。 x t2 2
§3.5 大数定律与中心极限定理
第4页
§3.5.2
大数定律
设 X1, X2, …, Xn , …为随机变量序列，且 E(Xi )，
1 n 1 n Yn X i E ( X i ) , n 1, 2, n i 1 n i 1
定义3.5.3
i = 1, 2, … 均存在，记
.
若{Yn } 依概率收敛于零， 即对任意ε＞0，有
1 n 1 n lim P(| Yn | ) lim P X i E ( X i ) 0. n n n i 1 n i 1 则称 {Xn } 服从 （弱）大数定律。
概率论-第十六讲--中心极限定理
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590
6000 6
中心极限定理
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多于 15 个的概率.
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
4.3 中心极限定理
Probability and Statistics
定理1表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数. 即定理说明 : 均值为 , 方差为 2的独立同分布的
随机变量X 1 , X 2 , n充分大时 X n 之和 X k的标准化变量,当
k 1 n
X
N 33.6
因为N∈Z+,故取N=33.即最多只能为33个顾客服务， 才能使总的服务时间不超过一小时的概率大于0.95.
Probability and Statistics
1 第i次试验时A发生 令X i 0 第i次试验时A未发生 则X1, X2, …,Xn独立同分布，且Xi～B(1, p)，i=1,2, …,n,
Probability and Statistics
1 例2 一生产过程的次品率为 m np 2 2 12%，随机地自这一生产过 P n m2 np (1 p ) 程生产的产品中取出120件， 求次品数不多于15件的概率.
解：以X记120件产品中的次品数，则X～B(120,0.12). 所求的概率为：
1 15 120 0.12 2 P{ X 15} 120 0.12 0.88
0.31 0.6217
Probability and Statistics
作业
P117.17
Probability and Statistics
相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (2)要求总的服务 时间不超过1小时的概率大于0.95，问至多能对几位顾客服务？
i 1 N X N 1.5 i 60 N 1.5 60 N 1.5 i 1 P 0.95 1.645 N 1 N 1 N 1
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正态分布的复习
X~N(,σ2) 定理 设X~N(,σ2),
Y= X , 则Y~N(0,1).
σ
所以,若X~N(,σ2), 则 所以, a P{X<a}= Φ( P{X>a}=1 Φ( a ) ) σ σ P{a<X<b}= Φ(
b
σ
) Φ(
a
σ
)
2
二项分布的复习
此处区间越小越精确,习惯 此处区间越小越精确 习惯 上取长度为1的对称区间 上取长度为 的对称区间
m+ 0.5 np m 0.5 np =Φ( ) Φ( ). npq npq
11
例题讲解
例1 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开 灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼此独立, 估计夜 晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解 设开着的灯数ξ~B(10000,0.7),则
i=1 200
由独立同分布的中心极限定理得:
6
例题讲解(续)
所求为P{X>20500}= 1-P{X≤20500}
= 1 P{∑
i =1 200
20500 20000 ≈1Φ( )=1Φ(3.54) 20000
200 Xi 200 100 ∑ 20500 200 100 i=1 X i ≤ 20500} = 1 P ≤ 200 10 200 10
i=1 100
ξ D = 0.12 ×100 =1(两 则 似 ~ N(100,1) ), 近 ξ
ξ 100 P{ξ >102} = P > 2 ≈1Φ(2) = 0.022750 1 19
补充练习2
2:对敌人的防御地段进行100次轰炸, 每次轰炸 命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其期望 值为2, 方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗 到220炸弹命中目标的概率. 解 令第i次轰炸命中目标的次数为ξi, 100次轰 炸命中目标次数ξ=ξ1+ξ2+...+ξ100. Eξ=200, Dξ=169, 近似有ξ~N(200, 132)
P{180 ≤ ξ ≤ 220} = P{| ξ 200|≤ 20}
ξ 200 20 = P ≤ ≈ 2Φ0 (1.54) 1 = 0.87644 13 13
20
作业
习题三 28,30,33,42,47
21
�
i =1 n
∑X
i =1
n
i
50 n
5 n
5000 50 n ≤ } 5 n
1000 10 n ≈ Φ( ) > 0.977 n
由Φ(x)的单调递增性以及Φ(2)=0.977可知
1000 10n > 2 n
解之可得n≤98.所以使得每辆车不超载的概率大于0.977,则每 车最多装载98箱.
9
X np X 80 = 近似服从N(0,1),于是 4 npq
① P{70 ≤ X ≤ 86} ≈ Φ (
86 80 70 80 ) Φ( ) = Φ (1.5) Φ ( 2.5) = 0.927 4 4 100 80 80 80 ② P{80 ≤ X ≤ 100} ≈ Φ ( ) Φ( ) = Φ (5) Φ (0) ≈ 0.5 4 4
5
例题讲解
例1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量, 期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋 味精,求一箱味精净重大于20500克的概率? 解: 设一箱味精净重为X,箱中第i袋味精净重为 Xi (i=1,2,…,200), 独立同分布, 则X1,X2,…,X200独立同分布 EXi=100, DXi=102=100,且 X = ∑Xi
n ∑Xi n i=1 limP ≤ x =Φ(x) n→∞ nσ
4
列维—林德贝格定理的注意事项 列维 林德贝格定理的注意事项 林德贝格定理
(1)一般地,只要n比较大 比较大,就可应用以上定理; 比较大 (2)应用该定理时,需要找出独立同分布 独立同分布的随机变 独立同分布 量序列以及它们的期望和方差,再应用正态分布 的有关计算方法.
=0.0002 故 一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.
7
例题讲解
例2 一生产线的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每 箱的平均重量为50kg,标准差为5kg.若用最大载重为5吨的 汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少 箱,才能保证不超载的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977) (2001 年研究生入学考试试题) 解:设每辆车所能装载的箱数为n,这n箱产品的重量分别为 n X 1 , X 2 , , X n (单位kg).则n箱产品的总重量为 ∑ X i ,据题 i =1 X1, X2 ,, Xn 独立同分布,且
55 5 P{X = 5} ≈ e =0.17547 5!
(3)应用正态逼近: X~N(5,4.95) 5.5 5 4.5 5 P{X=5}=P{4.5<X≤5.5} ≈ Φ( ) Φ( ) 4.95 4.95 =0.1742
15
例题
例.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中 被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫 佛--拉普拉斯中心极限定理,求被盗索赔户不 少于14户且不多于30户的近似值.
16
例题解答(续)
解: 设X表示100户中被盗索赔户数,则X~B(100,0.2),
由棣莫佛--拉普拉斯极限定理得X近似服从正态分 布,
EX=np=20, DX=npq=16, 所以 X~N(20,16)
所求 P{14≤X≤30}
= Φ(2.5) Φ(1.5)
30 20 14 30 ≈ Φ( ) Φ( ) 4 4
Eξ = np = 7000, D = npq ≈ 45.83 ξ P{6800 < ξ < 7200} = P{| ξ 7000|< 200} ξ 7000 = P < 4.36 45.83 = 2Φ(4.36) 1 = 0.99999
12
例题讲解
例2 已知100台机床彼此独立的工作着,每台机床的实际工作时 间占全部时间的80%,求 ① 任一时刻有70至86台机床在工作的概率; ② 任一时刻有80台以上机床在工作的概率. 解:设随机变量X表示任一时刻100台机床中工作的机床数,则 X~B(100,0.8).且EX=np=80,DX=npq=16由棣莫佛--拉普拉斯中心 极限定理可知
EXi = 50, DXi = 52 = 25
(i = 1,2,, n)
近似服从N(0,1).要使不超
∑ 据中心极限定理,可知
n
i =1
X i 50n 5 n
载的概率大于0.977,即要使得
8
P { ∑ X i ≤ 5000} > 0.977
i =1
n
成立,从而
P{∑ X i ≤ 5000} = P{
= Φ(2.5) [1Φ(1.5)] =0.927
17
中心极限定理的注解
中心极限定理是概率论的一个非常重要的定 理, 它原来叫中心极限定律. 对中心极限定理, 只需要记住这样一个描述就 行: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们 是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要 它们大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的 随机变量, 就近似服从正态分布.
定理(列维 林德贝格中心极限定理 林德贝格中心极限定理( 定理(列维—林德贝格中心极限定理(i.i.d)) ) 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望,方 差σ2>0, 则当n充分大时,
∑X 近似服从N(n , nσ
∑X n
i=1 i n
n
2
i=1
i
)
nσ
近 服 N(0,1 似 从 )
13
二项分布计算总结X～B(n,p) ～
m P{ X = m} = Cn pm(1 p)nm
m = 0,1,2,..., n
1: n≤40, p≤0.4, F(x) = : ,
2: n≤40,p>0.6, 应用以下定理 : 应用以下定理: 定理 若X~B(n,p),且Y=n-X,则Y~B(n,q),其中q=1-p. 3: n≥100,p<0.1, 应用 : 应用Possion定理有 定理有
棣莫佛---拉普拉斯积分定理
推论: 特别,若X～B(n,p),则当n充分大时,
X～N(np,npq) , )
即若随机变量X～B(n,p),则对任意实数x有 X np lim P ≤ x = Φ(x) n→ ∞ npq
10ห้องสมุดไป่ตู้
棣莫佛---拉普拉斯积分定理注意事项
注意 (1) 它表示当n重Bernoulli实验次数很大时(n≥100),二 项分布可用正态分布近似逼近,期望为np,方差为npq . (2) P{X=m}=P{m-0.5<X≤m+0.5}
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补充练习1
1: 一个螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望 值是1两, 标准差是0.1两. 求一盒(100个)螺丝 钉的重量超过10.2斤的概率. 解 设一盒重量为ξ, 盒中第i个螺丝钉的重量为 ξi, (i=1,2,...,100). ξ1,...,ξ100相互独立,
Eξi =1 D i = 0.1 则 = ∑ξi , Eξ =100(两 , ξ , ξ ),
(np)m np P{X = m} ≈ e (m = 0,1,2,, n) m!
m=0
∑C
x
m m n
p (1 p)
nm
4: n≥100,p 接近于 : 接近于0.5,X~N(np,npq)
14
例题讲解
例:设每颗炮弹命中目标的概率为0.01,求500发 炮弹中命中 5发的概率. 解: 设X表示命中的炮弹数, 则 X~B(500,0.01) 5 5 495 (1)P{X = 5} = C500 ×0.01 ×0.99 = 0.17635 (2)np=λ=5,应用Possion逼近: