新高考高三数学模拟试卷及答案
【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。
2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期新高考单科模拟卷(四)(11月期中)数学试题(解析)
2025新高考单科模拟综合卷（四）数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效.4.考试结来后，将本试题息和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某校高二年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：85 86 87 88 89 90 91 91 92 93 93 94 95 97 99 则这组数据的40%分位数为（ ）A. 90 B. 91C. 90.5D. 92【答案】C 【解析】【分析】由百分位数的计算方法求出即可；【详解】由题意，150.46⨯=，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即909190.52+=.故选：C.2. 已知圆C ：22414450x y x y +--+=及点(2,3)Q -，则下列说法正确的是（ ）A. 直线210kx y k --+=与圆C 始终有两个交点B. 若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为⎡⎣C. 若点(,1)P m m +在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D. 圆C 与x 轴相切【答案】B 【解析】【分析】根据题意分别求出圆心()2,7C ，半径r =210kx y k --+=过定点()2,1可对A判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对B 判断；由(),1P m m +在圆上可求得4m =，即可对C 判断；根据圆心()2,7C 到x 轴的距离从而可对D 判断.【详解】依题意，圆C ：22(2)(7)8x y -+-=，圆心(2,7)C ，半径r =，对于A ，直线210kx y k --+=恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，||CQ =Q 在圆C 外，由CQ r MQ CQ r -≤≤+得：MQ ≤≤，故B 正确.对于C ，点(,1)P m m +在圆C 上，则22(2)(6)8m m -+-=，解得4m =，而点(2,3)Q -，则直线PQ 的斜率为2123m m -=+，故C 不正确；对于D ，点(2,7)C 到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B3. 已知向量,a b 满足()1,,2,a b t t a b ==-- 与a 垂直，则a b - 的最小值为（ ）A.B.C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出a b ⋅ ，求a b - ，利用平方法转化为数量积进行计算．【详解】由a b - 与a 垂直，得()0a b a -⋅ ＝，则21a b a ⋅ ＝＝，所以a b - ＝1，所以当1t ＝时，a b -的最小值为1．故选：C4. 高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）A.1384B.34C.38D.116【答案】D 【解析】【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有88A 种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有2222864244C C C C A 种分法，4组人有44A 种站法，故所求概率22228642884444C C C C A A 1A 16P ⋅==.故选：D.5. 已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n A ,n B ，记n n n n n n n c a B b A a b =⋅+⋅-⋅，则数列{}n c 的前2024项和为（ ）A. 20242024A B ⋅ B.202420242A B + C. 20242024A B +D.【答案】A 【解析】【分析】根据n A ,n B 与,n n a b 的关系，将n c 化简即可得当2n ≥时11n n n n n A B A B c --=-，累加可得结果.【详解】当1n =时，11111111111c a b b a a b a b A B =+-==；当2n ≥时，()()()()1111n n n n n n n n n n n n n n n n n c a B b A a b A A B B B A A A B B ----=⋅+⋅-⋅=-+----11n n n n A B A B --=-所以12202411c c c A B +++=+ ()()2211202420242023202320242024A B A B A B A B A B -++-= .故选：A.6. 已知球O 的直径4P Q =，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，ABC V 是等边三角形，且30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）.AB.C.D.【答案】B 【解析】【分析】求得三棱锥P ABC -的底面积和高，由此计算出三棱锥P ABC -的体积.【详解】设球心为M ，等边三角形ABC 截面小圆的圆心为O （也是等边三角形ABC 的中心）.由于ABC V 是等边三角形，30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒，所以PQ ⊥平面ABC ，P 在面ABC 的投影即O ，也即等边三角形ABC 的中心，且⊥PO 平面ABC ，.则PO OC ⊥.因为PQ 是直径，所以90PCQ ∠=︒.所以4cos303PC PO =︒==︒=，30OC =︒=由于O 是等边三角形ABC 的中心，所以23OC CH =，所以等边三角形ABC 的高CH =sin 603AC =÷︒=.所以三棱锥P ABC -的体积为111333332ABC V PO S ⎛=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎝ .故选：B【点睛】本小题主要考查与几何体外接球有关的计算，属于难题.7. 已知()0,πα∈，且3tan 10cos 2αα=，则cos α可能为（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】由3tan 10cos 2αα=得221tan 3tan 101tan ααα-=⨯+，化简后可求出tan α，再利用同角三角函数的关系可求出cos α.【详解】由3tan 10cos 2αα=，得223tan 10(cos sin )ααα=-，所以2222cos sin 3tan 10cos sin ααααα-=⨯+，所以221tan 3tan 101tan ααα-=⨯+，整理得323tan 10tan 3tan 100ααα++-=，2(tan 2)(3tan 4tan 5)0ααα++-=，所以tan 20α+=或23tan 4tan 50αα+-=，所以tan 2α=-或tan α=，①当tan 2α=-时，sin 2cos αα=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为22sin cos 1αα+=，所以25cos 1α=，所以cos α=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos α=，②当tan α=时，sin 0,cos 2απαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为22sin cos 1αα+=，所以22cos 1αα⎫+=⎪⎪⎭，由于0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以解得cos α=③当tan α=sin ,cos 2απαπα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为22sin cos 1αα+=，所以22cos 1αα⎫+=⎪⎪⎭，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以解得cos α=综上，cos α=，或cos α=cos α=故选：B8. 已知f (x )为奇函数，当x ∈[0,1]时，1()12||,2f x x =--当1,1],()1(x x f x e --∈-∞-=-，若关于x 的不等式f (x +m )>f (x )恒成立，则实数m 的取值范围为（）A. (-1,0)∪(0,+∞)B. 12,2ln ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 11(ln 2,1)(2,22)ln ---⋃++∞ D. (2,+∞)【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性求出函数()f x 的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【详解】若[1x ∈-，0]，则[0x -∈，1]，则11()12||12||22f x x x -=---=-+，()f x 是奇函数，1()12||()2f x x f x ∴-=-+=-，则1()2||12f x x =+-，[1x ∈-，0]，若[1x ∈，)∞+，则(x -∈-∞，1]-，则1()1()x f x e f x -+-=-=-，则1()1x f x e -+=-，[1x ∈，)∞+，作出函数()f x 的图象如图：当0m >时，()f x m +的图象向左平移，如图，当0()f x m +的图象与()f x 在12x ≤相切时，10()x m f x m e -+'+=，此时对应直线斜率2k =，由012x m e -+=，即012x m ln -+=，得021x ln m =+-．的此时00211ln 211211ln m m y e e +--+=-=-=-=，又切点在直线2y x =上，所以切点坐标为1(,1)2，即01212x ln m =+-=，解得01ln 22m =+，所以当01ln 22m m ≥=+时，不等式()()f x m f x +>恒成立.当0m <时，()f x m +的图象向右平移，如图，显然不等式()()f x m f x +>不恒成立.综上m 的取值范围是12,2ln ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列选项中的两个集合相等的有（ ）.A. {}(){}2,,21,∣∣==∈==+∈P x x n n Q x x n n Z Z B. {}{}21,,21,∣∣++==-∈==+∈P xx n n Q x x n n N N C. {}21(1)0,,2∣∣⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭nP xx x Q x x n Z D. {}(){}1,,1∣∣==+==+P xy x Q x y y x 【答案】AC【解析】。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(参考答案)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷04（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）参考答案题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 B B C B D A 题 号 7 8 9 10 11 12 答 案CBABDBCACABD1．B 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．B 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.3．C 【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB ＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB +122AD AD =⨯=. 故选：C.4．B 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=解得22l =故选：B.5．D 【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D.6．A 【详解】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．7．C 【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==， 故||1MN r =-，所以228||2(1)5DE r r r =--=，即21650250r r -+=， 解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-， 将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k ++==， 解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=． 故选：C ．8．B 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，0f x ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x -==+'， 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ， 故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ， 故选：B.9．ABD 【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB +，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD ，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．10．BC 【详解】对于A 选项，直线1:0l ax y +=过定点()0,0A ，A 错；对于B 选项，直线2l 的方程可化为()()110x a y +-+=，由1010x y +=⎧⎨+=⎩可得11x y =-⎧⎨=-⎩，故定点()1,1B --，B 对；对于C 选项，()110a a ⨯+⨯-=，所以，12l l ⊥，所以，PA PB ⊥， 线段AB 的中点为11,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且2AB 122PE AB ==所以，点P 的轨迹是以点E 2的圆， 所以，点P 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +++=，C 对；对于D 选项，设点(),P x y ，(),PA x y =--，()1,1PB x y =----， 所以，()232,32PA PB x y +=----， 所以，()()22222223232333PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记点22,33F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则23PA PB PF +=，因为PF PE EF =+且EF ⎛=- ，所以，22PF PE EF PE EF =+≤+=+=， 所以，2322PA PB PF +=≤E 、P 、F 三点共线且点E 在线段FP 上时，等号成立，故2PA PB +的最大值为D 错. 故选：BC.11．AC 【详解】设直线y x a =+与曲线1e21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ，由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=即4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max =C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC12．ABD 【详解】(1)f x +为偶函数，故(1)(1)f x f x +=-+，令52x =得：753()(1)()222f f f =-+=-，(1)f x -为奇函数，故(1)(1)f x f x -=---，令12x =得：311()(1)()222f f f -=--=--，其中1131244f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以1373()(24)22ff f ⎛⎫-=- -⎪⎝⎭=-=，A 正确； 因为(1)f x -为奇函数，所以()f x 关于()1,0-对称，又(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，所以()f x 周期为428⨯=，故()()71f x f x =+-，所以()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+，从而(7)f x +为奇函数，B 正确； 2()1f x x =-+在(1,0)x ∈-上单调递增，又()f x 关于()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，且()f x 周期为8，故()f x 在(6,8)上单调递增，C 错误； 根据题目条件画出()f x 与lg y x =-的函数图象，如图所示：其中lg y x =-单调递减且lg121-<-，所以两函数有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，D 正确. 故选：ABD 13．47【详解】7个车位都排好车辆，共有77A 种方法，满足题意的排法等价于7辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位， 则首先排列余下的四辆车，有44A 种方法， 然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑，3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有2235A A 种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A A p A ==. 14．4【详解】因为23AB =且圆的半径为23r =，所以圆心()0,0到直线330mx y m ++=2232AB r ⎛⎫- ⎪⎝⎭23331m m -=+，解得3m =l 的方程，得33y =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4 15．【详解】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为 16．3【详解】如图所示，过点E 作OD 的垂线，交OA 的延长线于点P ， 交OD 于N ，过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ， 可知2,====AP AE PM ME EN ，P 的轨迹为圆，而13EN PN =由伸缩变换可知，E 的轨迹为椭圆1C ，116,2=+==-=a OA AE b OA AE ；所以1==c 所以椭圆1C的离心率为111===c e a 延长AC 至K ，使4OA AK ==，则∠=∠AOK AKO ， 过OK 作直线l ，过点C 作1l l ⊥，交OA 于P ，交l 于N ﹐过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ，所以∥AM l ，可得∠=∠=∠=∠PAM AOK AKO MAK ， 所以AM 即是PAC △中PAC ∠角平分线，又是PC 边上的高 可得,,==AP AC PM MC由43AB =及1BC =，易知5,3==AP AC57===AM AC MC NK CK CN ，75,4173==+CN OP PN . 故P 的轨迹为圆，717CN PN =，由伸缩变换可知， C 的轨迹为椭圆2C ， 22517574,43333=+==+==-=-=a OA AC OP b OA AC 222224153=-=c a b 所以椭圆2C 的离心率为222415415317173===c e a .2241517．(1)26n a n =-；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.18．(1)b =【详解】分析：（1）在式子cos cos B C b c +=余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B =经三角变换可得3B π=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故得1sin 2S ac B =≤详解：(1)由题意及正、余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=整理得222a abc =，∴b =（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴sin(+=16B π）， ∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=，∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， ∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 322S ac B =≤⨯=．∴ABC ∆． 19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)见解析.【详解】(Ⅰ)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ， 由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则 ()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =， 13cos ,31m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 3(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内. 20．(1)126295；(2)90.【详解】（1）解：由题意得()111842260C C 1261C 295P X ===； （2）解：能完成活动的概率为1836010=，不能完成活动的概率为4276010=， 由题得Y 可以取0，100，200，300，则 ()0303373430C 10001001P Y ⎛⎫⎛=⎫⎪=⎪⎝⎭⎝⎭=， ()12133********C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2123371189200C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33337127300C 1000010P Y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭==， 所以Y 的分布列为：则Y 的数学期望为()441189270+100+200+300901000100010001000E Y =⨯⨯⨯⨯=． 21．(1)2213x y -=(2)存在，5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，49-【详解】（1）解：不妨设点A 在第一象限AOF α∠=，则2AOBα∠=. 因为OA AB ⊥，则cos2OA OB α=，sin 2AB OB α=.由已知，cos2sin 2OB OB OB αα+，即cos 212αα+=，即22cos cos ααα=.因为cos 0α≠，则cos αα，即tan α=因为α为渐近线OA 的倾斜角，则b a =3a b .2，则a =1b =.所以双曲线C 的方程是2213x y -=.（2）解：解法一：设点(),0M m ，222MP MQ PQ λ+-=.当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，代入2213x y -=，得y =不妨设点2,P ⎛ ⎝，Q ⎛ ⎝，则()222122222833m m m λ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦.当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213xy -=，得x =不妨设点()P ，)Q，则(((222226m m m λ=+-=-.令222228263m m m -+=-，解得53m =，此时250426699m λ=-=-=-.当直线l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223410t y ty -++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()22222211221255133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222211221211133ty y ty y y y t ⎛⎫⎛⎫=+++++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()22222121212221139t t y y y y y y t =+++++--+ ()()()()()()()22222211122222216182282262221393999333333t t t t t t t y y y y t t t t ++--=++++=-+=+=+----224399=-+=-.所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.解法二：当直线l 不与x 轴重合时，设了的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223t y -410ty ++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 在△PMO 中，由余弦定理，得2222cos 2MP MQ PQ MP MQ PMQ MP MQ +-=∠=⋅， 设点(),0M m ，则()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()22222121222421122233t m t t y y t m y y m m t t -+=++-++-=-+--- ()()22223312113mt m m t ---+=-，令()223121133m m m -+=-，得53m =，此时2239MP MQ m ⋅=-=-， 22249MP MQ PQ +-=-.当直线l 与x 轴重合时，则点P ，Q 为双曲线的两顶点，不妨设点()P ，)Q .对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2222225550463399MP MQ PQ ⎛⎛+-=+-=-=- ⎝⎝. 所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.22．(1)单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e) (2)证明见解析，0x 的最小值是e ．【详解】（1）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x +--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >； 令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．（2）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>， 所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <， 又因为1202ax x =-<， 所以120x x <<， 令02x x =，列表如下:所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x xx a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x xx -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-， 所以0()1x u t t=-'， 当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减； 当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥， 即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=， 所以需要0e x ≥， 故0x 的最小值是e ．。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
浙江省杭州市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷
浙江省杭州市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.A．(1)(2)(4)B．(2)(3)(4)C．(1)(3)(4)D．(4)(1)(2)第(2)题复平面内复数满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．3第(3)题已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（）A．6B．7C．8D．9第(4)题已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．第(5)题将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（）A．B．C．D．第(6)题已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．第(7)题设集合．若，则（）A．B．2C．3D．4第(8)题若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（）A．B．C．D．第(2)题已知平行六面体的所有棱长都相等，，，，，且点E，F满足，，平面α过点A，E，F，则（）A．B．的面积是C．平面α与平面的交线长为D．点C到平面α的距离是点到平面α的距离的5倍第(3)题在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为16B．估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人C．估计全年级观看比赛不低于4场的学生约为360D．估计全年级观看比赛场数的众数为2三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练考试(二) 数学试题(含解析)
八省适应性联考模拟演练考试（二）数学试题命题：四川省新高考教研联盟试题研究中心审题：四川省新高考教研联盟试题研究中心注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求.1.已知为虚数单位，复数z 满足2(1i)|1i |z +=+，则复数z 的虚部为（）A.i -B.1- C. D.1【答案】B 【解析】【分析】首先求出|1i |+，再根据复数代数形式的除法运算化简z ，最后根据复数的相关概念判断即可；解：因为|1i |+==2(1i)|1i |z +=+，所以(1i)2z +=，所以()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以复数z 的虚部为1-；故选：B2.设0x >，0y >，不等式110m x y x y++≥+恒成立，则实数m 的最小值是（）A.2- B.2C.1D.4-【答案】D 【解析】【分析】将不等式110mx y x y ++≥+恒成立转化为max11()m x y x y ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,利用基本不等式求得11()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，即可得答案.∵0x >，0y >，不等式110m x y x y++≥+恒成立，即11()m x y x y ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭恒成立，∴只需max11()m x y x y ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,∵11()224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号.所以11()4x y x y ⎛⎫-++≤-⎪⎝⎭，∴4m ≥-，∴m 的最小值为4-，故选：D3.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（）A.68πcm 3B.152πcm 3C.3D.204πcm 3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，可得圆台上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，再利用台体体积公式计算得答案.依题意，上圆台底面半径为4，面积21=π4=16πS ⨯，下底面半径为6，面积22=π6=36πS ⨯，圆台高h 为6，所以圆台的体积1211=(+(16π36π6152π33V S S h =++⨯=3cm .故选：B4.给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = ；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，tan aA b=，且B 为钝角．sin sin A C +的取值范围（）A.29,28⎛⎤⎥⎝⎦B.5,44⎛⎤⎝⎦C.99,87⎛⎤ ⎥⎝⎦D.0,4⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出2B A π=+，()22C A B A ππ=-+=-，219sin sin 2sin 48A C A ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭，最后由0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的性质得出sin sin A C +的取值范围.由tan aA b =以及正弦定理得sin sin cos sin A a A A b B==，所以sin cos B A=即sin sin 2B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，所以,22A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2B Aπ=+()200,24C A B A A πππ⎛⎫=-+=->⇒∈ ⎪⎝⎭于是2sin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 12A C A A A A A A π⎛⎫+=+-=+=-++⎪⎝⎭2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20sin 2A <<由此21992sin 2488A ⎛⎫<--+ ⎪⎝⎭ ，即sin sin A C +的取值范围是9,28⎛⎤ ⎥ ⎝⎦故选：A6.如图，1F ，2F 是分别是双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点，圆M 与12PF F 三边所在的直线都相切，切点为A ，B ，C ，若PB a =，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】连接MA ，MC ，1MF ，由直线和圆相切的性质，可得PA PB a ==，设22F B F C x ==，运用双曲线的定义，求得1PF ，再由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．解：连接MA ，MC ，1MF ，由直线和圆相切的性质，可得PA PB a ==，设22F B F C x ==，由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，则122223PF a PF a PB BF a x =+=++=+，114AF AP PF a x =+=+，11222FC F F F C c x =+=+，由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有42a x c x +=+，即2c a =，2ce a==．故选：B ．7.设04b a b <<<，>0，若三个数2a b+，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是()A.135,124⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.(C.135,224⎤-⎥⎣⎦ D.)2【答案】C 【解析】【分析】由题意可得a 14b <<，可令a t (1t 4)b =<<，判断可得a b2+<，可得a b a b22++-<<，化为2m-<<+，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．0b a 4b <<< ，m 0>，令a bx 2+=，y =z =2222a b 3x y ()(a b)024+-=-=--<，a b 2+∴<，x y ∴<，x ，y，z 能组成一个三角形的三条边长，可得y x z x y -<<+，a b a b22++-<<+，设0b a 4b <<<，可得a 14b <<，可令at (1t 4)b=<<，2m-++<<即为2m<<，由4≥，当且仅当t 1=上式取得等号，但1t 4<<，可得4+>，则2m 4≤，即m 2≤；又设5k 2,2⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得k -=-，由y k =的导数为y'1=-=由52k 2<<可得2k >，即函数y 为增函数，可得55k 22-<=，即有52m 2≥-，即有5m 24≥-，可得135m 224-≤≤，故选C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于at (1t 4)b=<<的函数求最值.8.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±时，易知()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.“11a b>”是“a b <”的充分不必要条件B.A B =∅ .是A =∅的必要不充分条件C.若a ，b ，c ∈R ，则“22ac bc >”的充要条件是“a b >”D.若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．A 选项：当22a b ==-，时，满足11a b>，但是不能推出a b <；反之当22a b =-=，时，满足a b <，但是不能推出11a b>，所以两者既不充分也不必要，故A 错误；B 选项：当{}{}12A B ==，，A B ⋂=∅,但是不能推出=∅当=∅时，A B ⋂=∅，故B 正确；C 选项：当0c =时，不能由a b >推出22ac bc >,故C 错误；D 选项：220a b +≠等价于00a b ≠≠，等价于0a b +≠，故D 正确；故选：BD.10.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =，CD PC PD ===．若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A.BM ⊥平面PCDB.//PA 平面MBDC.四棱锥M ABCD -外接球的表面积为18πD.四棱锥M ABCD -的体积为12【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，通过证明⊥BC 平面PCD 来判断结论错误；对于B ，设AC BD H = ,连接HM ，证明//PA MH 即得结论；对于C ，取CD 中点K ,连接,,PK KH 先证PK ⊥平面ABCD ，过点H 作OH ⊥平面ABCD ,其中点O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，通过直角梯形PKHO 建立方程求解即得外接球半径，计算排除C ；对于D ，利用M 为PC 的中点，得到点M 到平面ABCD 的距离等于点P 到平面ABCD 的距离的一半，从而求得体积.对于A ，因底面ABCD 为矩形，则BC CD ⊥，又侧面PCD ⊥平面ABCD ，且侧面PCD 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，故⊥BC 平面PCD ,而BM 与BC 不重合，故A 错误；对于B ，设AC BD H = ,连接HM ,因,M H 分别是,PC CA 的中点，则//PA MH ,又PA ⊄平面MBD ，MH ⊂平面MBD ,故得//PA 平面MBD ，即B 正确；对于C ，取CD 中点K ,连接,,PK KH 因CD PC PD ===，则PK CD ⊥,2PK =⨯=,因侧面PCD ⊥平面ABCD ，且侧面PCD 平面ABCD CD =，PK ⊂平面PCD ，则PK ⊥平面ABCD ，易知点H 为矩形ABCD 的外接圆圆心，过点H 作OH ⊥平面ABCD ,其中点O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，连接,OP OD ,设球O 的半径为R ，在Rt ODH △中，3DH ==，故OH =12KH BC ==PKHO 中，222R =+，解得，211R =，故四棱锥M ABCD -外接球的表面积为24π44πR =，故C 错误；对于D ，因点M 为PC 的中点，故点M 到平面ABCD 的距离等于点P 到平面ABCD 的距离的一半，即122PK =,故四棱锥M ABCD -的体积为11232⨯⨯=，故D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题主要考查与空间几何体有关的线面关系判断，外接球以及体积问题，属于难题.解题思路在于掌握线面垂直、平行的判定和性质，借助于图形进行推理和计算，掌握几何体外接球的常规解法，通过作图、分析列出方程求解即得.11.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（）（参考数据：()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈）A.()()|P B P B A >B.()()||P A B P A B>C.()5.35 5.550.84P ξ<<≈D.()45P m =取得最大值时，M 的估计值为54【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由条件概率的定义进行判断；B 选项，在A 选项基础上，推出()()()P AB P A P B >，结合()()()P AB P AB P A +=，得到()()()()1P AB P B P B P AB ⎡⎤->⎣⎦，简单变形即可得到B 正确；C 选项，利用正态分布的对称性和3σ原则得到答案；D 选项，(),0.84m B M ~，()45454545C 0.840.16M M P m -==⨯，令()454545C 0.840.16x x f x -=⨯，作商法得到其单调性，求出()()5352f f >，()()5354f f >，得到答案.A 选项，由条件概率的定义可知，()()|PB A P B >，A 错误；对于B ，因为()()|P B A P B >，所以()()()()|P A P B A P A P B >，其中()()()|P AB P B A P A =，故()()()P AB P A P B >，又()()()()()()()P AB P AB P A P B A P A P B A P A +=+=，于是()()()()P AB P B P AB P AB ⎡⎤>⋅+⎣⎦，即()()()()()P AB P AB P B P B P AB ->，即()()()()1P AB P B P B P AB ⎡⎤->⎣⎦，而()()0,1P B ∈，所以()()()()1P AB P AB P B P B >-，即()()()()P AB P AB P B P B >，故()()||P A B P A B >，B 正确；C 选项，指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，故 5.40,0.05μσ==，则 5.35,3 5.55μσμσ-=+=，因为()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈，所以()1130.68260.99740.8422P μσξμσ-<≤+≈⨯+⨯=，C 正确；D 选项，(),0.84m B M ~，()45454545C 0.840.16M M P m -==⨯，设()454545C 0.840.16x x f x -=⨯，令()()45454414545451C 0.840.1610.161C 0.840.1644x x x x f x x f x x -+-+⨯+==⋅>⨯-，。
河南省部分2024届高三年级下册高考模拟考试数学试题及答案
河南省部分2024届高三年级下册高考模拟考试数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A. a≥3B. a≤1C. a≥1D. a≤32. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-x+1，求f(x)的单调增区间是（）A. (-∞，0)和(1，+∞)B. (-∞，1)和(0，+∞)C. (-∞，0)和(0，1)D. (-∞，1)和(1，+∞)3. 设函数g(x)=x^2-2x+3，若g(x)在区间(2，3)内单调递增，则实数x的取值范围是（）A. (2，3)B. (-∞，3)C. (-∞，2]D. [2，3]4. 已知函数h(x)=x^3-3x，求h(x)的极值点坐标是（）A. (1，-2)B. (-1，2)C. (0，0)D. (1，2)5. 若函数y=f(x)的图象上任意一点P(x，y)的切线斜率等于2x+3，则f(x)的表达式是（）A. f(x)=x^2+3x+cB. f(x)=x^2+3x+cC. f(x)=x^2+3x+cD. f(x)=x^2+3x+c6. 若三角形ABC的三个内角A、B、C满足cosA+cosB+cosC=0，则三角形ABC一定是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，a4=5，则数列{an}的通项公式是（）A. an=2n+1B. an=2n-1C. an=3n-2D. an=3n+18. 若矩阵A=（），则矩阵A的逆矩阵A^{-1}等于（）\[\begin{bmatrix}2 &3 \\4 & 5\end{bmatrix}\]A. \[\begin{bmatrix} 5 & -3 \\-4 & 2\end{bmatrix} \]B. \[\begin{bmatrix} 2 & -3 \\-4 & 5\end{bmatrix} \]C. \[\begin{bmatrix} 5 & 3 \\4 & 2\end{bmatrix} \]\begin{bmatrix}2 &3 \\4 & 5\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-x+1，求f(x)的极值。
2024届高三新高考改革适应性练习(九省联考题型)数学卷及答案
2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学试题卷（名师教研团队命制2024.2.3）考试须知：1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是A．平均数小、方差大B．平均数小、方差小C．平均数大、方差大D．平均数大、方差小2. 已知复数zz满足|zz|=1 且zz̅=i·zz，则zz可被表示为A．cosππ4+i sin34ππB．cos34ππ+i sinππ4C．cos34ππ+i sin34ππD．cosππ4+i sinππ43. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为A．240 B．480 C．384 D．14404. 抛物线yy2=4xx的焦点为FF，已知抛物线上的三个点AA，BB，CC满足FFAA�����⃗+ FFBB�����⃗+ FFCC�����⃗=0 ，则�FFAA�����⃗�+�FFBB�����⃗�+�FFCC�����⃗�=A．4 B．5 C．6 D．75. 遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率yy与初次记忆经过的时间xx（小时）的大致关系：yy=1−0.6xx0.06若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在A．14：30B．14：00 C．13：30 D．13：006. 已知数列{aa nn}满足aa nn+1=aa nn+aa nn+2(nn∈NN∗)，aa1aa2=4 且aa1,aa2>0 ，则aa1+aa2+⋯+aa2024的最小值是A．4 B．3 C．2 D．17. 已知函数ff(xx)=xx4+4xx3+2(mm+2)xx2+mmxx图像上的一极大值点为(−2,0)，则实数mm的取值范围为A．(−2,+∞)B．(−4,−2]C．(−∞,−2]D．(−∞,−2)8. 在正三棱锥PP−AABBCC中，侧棱PPAA与底面AABBCC所成的角为 60° ，且AABB=3 ，则三棱锥PP−AABBCC外接球的表面积为A．8ππB．12ππC．16ππD．18ππ二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9. 已知aa=sin(sin2024°)，bb=sin(cos2024°) ，cc=cos(sin2024°)，dd=cos(cos2024°)，则A．aa<cc B．bb<dd C．bb<aa D．dd<cc10. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为 2aa、2bb和 2cc的椭圆ΩΩ，点AA是椭圆ΩΩ与其长轴的一个交点，点BB是椭圆ΩΩ与其短轴的一个交点，点FF1和FF2为其焦点，AABB⊥BBFF1．点PP在椭圆ΩΩ上，若PPFF1⊥PPFF2，则A．aa，bb，cc成等差数列B．aa，bb，cc成等比数列C．椭圆ΩΩ的离心率ee=√5+1D．△AABBFF1的面积不小于△PPFF1FF2的面积11. 积性函数ff(xx)指对于所有互质的整数aa和bb有ff(aabb)=ff(aa)ff(bb)的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有A．高斯函数[nn]表示不大于实数nn的最大整数B．最大公约数函数 gcd(nn,kk)表示正整数nn与kk的最大公约数（kk是常数）C．幂次函数VV mm(nn)表示正整数nn质因数分解后含mm的幂次数（mm是常数）D．欧拉函数φφ(nn)表示小于正整数nn的正整数中满足与nn互质的数的数目三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知函数ff(xx)=(xx2−aaxx+aa)ln(xx+1) ,aa∈RR的图像经过四个象限，则实数aa的取值范围是______________．13. 已知等差数列{aa nn}和等比数列{bb nn}满足aa1+aa2=bb1+bb2=30 ，aa3+aa4=bb3+bb4=10 ，则数列{aa nn bb nn}在nn=______________时取到最小值．14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线CC:xx2=4yy上的点PP（不为原点）作CC的切线ll，过坐标原点OO作OOOO⊥ll，垂足为OO，直线PPFF（FF为抛物线的焦点）与直线OOOO交于点TT，点AA(2,0)，则|TTAA|的取值范围是______________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）第一象限的点AA在抛物线ΓΓ1:yy2=2xx上，过点AA作AABB⊥yy轴于点BB，点PP为AABB中点．（1）求PP的运动轨迹为曲线2的方程；（2）记ΓΓ1,ΓΓ2的焦点分别为FF1,FF2，则四边形AAPPFF1FF2的面积是否有最值？16.（15分）如图，已知四棱锥PP−AABBCCAA的底面AABBCCAA是矩形且棱PPAA垂直于其底面．OO为棱PPAA上一点，PPAA= AABB．（1）若OO为PPAA中点，证明：PPBB⊥平面AACCOO；（2）若AAOO为△AAAAPP的高，AAAA=√2AAPP，求二面角PP−AACC−OO的正弦值．17.（15分）从集合{xx∈NN∗|1≤xx≤9}中随机抽取若干个数（大于等于一个）．（1）求这些数排序后能成等比数列的概率；（2）求这些数排序后能成等差数列的概率．18.（17分）已知函数ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)．（1）若ff(xx)的零点也是其的极值点，求aa；（2）若ff(xx)的图像经过四个象限，求aa的取值范围．19.（17分）对于非空集合GG，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”(GG,×)，简记为GG×．而判断GG×是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb∈GG，都须满足aa×bb∈GG；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb,cc∈GG，都须满足aa×(bb×cc)=(aa×bb)×cc；3.（恒等元）存在ee∈GG，使得对任意aa∈GG，ee×aa=aa；4.（逆的存在性）对任意aa∈GG，都存在bb∈GG，使得aa×bb=bb×aa=ee．记群GG×所含的元素个数为nn，则群GG×也称作“nn阶群”．若群GG×的“×”运算满足交换律，即对任意aa,bb∈GG，aa×bb=bb×aa，我们称GG×为一个阿贝尔群（或交换群）．（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群RR+；（2）记CC为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得CC在该运算下构成一个群CC×，并说明理由；（3）所有阶数小于等于四的群GG×是否都是阿贝尔群？请说明理由．2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C A A D C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）题号91011答案ABD BD ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案�−12,0�5或6�√5−1,√5+1�四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）设AA(xx0,yy0)，则有yy02=2xx0，则BB(0,yy0)，因为PP是AABB的中点，所以PP�xx02,yy0�，则yy02=2xx0=4�xx02�，即yy PP2=4xx PP，故点PP在抛物线ΓΓ1:yy2=4xx(yy>0)的上运动．（4分）（2）因为AAPP与FF1FF2平行，所以四边形AAPPFF1FF2是梯形，其上底为AAPP=12xx AA=12xx0，下底为FF1FF2=pp12−pp22=2−1=1 ，高为yy AA=yy0，所以其面积SS=yy02�12xx0+1�，又yy02=2xx0，所以SS=yy02�yy024+1�=18yy03+yy02(yy0>0)（8分）令ff(yy0)=18yy03+yy02(yy0>0)，则ff′(yy0)=38yy02+12>0 ，所以ff(yy0)即SS关于yy0单调递增，（10分）又当yy0→0 时，SS→0 ；yy0→+∞时，SS→+∞，所以SS在yy0∈(0,+∞)上没有最值．（13分）16.（15分）（1）如答图，取PPAA中点FF，连接EEFF，BBFF，因为FF，EE分别为PPAA，PPPP的中点，所以EEFF//AAPP，EEFF=12AAPP．因为AAPP//BBBB，AAPP=2BBBB，所以FFEE//BBBB，EEFF=BBBB，所以四边形EEFFBBBB为平行四边形，BBFF//BBEE，因为BBFF⊂平面PPAABB，BBEE⊄平面PPAABB，所以BBEE//平面PPAABB．（6分）（2）过点BB作BBBB⊥AABB于点BB，连接FFBB．因为BBFF//BBEE，所以直线BBEE与平面PPAABB所成角和直线BBFF与平面PPAABB所成角相等，因为PPAA⊥平面AABBBBPP，BBBB⊂平面AABBBBPP，所以BBBB⊥PPAA，因为PPAA∩AABB=AA，PPAA ,AABB⊂平面PPAABB，所以BBBB⊥平面PPAABB，所以∠BBFFBB为直线BBFF与平面PPAABB所成角，（11分）BBFF=√22+12=√5 ，AABB=√22+12=√5 ，BBBB=1×2√5=2√55，所以sin∠BBFFBB=BBBB BBFF=2√55√5=25故直线BBEE与平面PPAABB所成角的正弦值为25．（15分）17.（15分）（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到．①若抽取的数有1，（I）若抽取三个数，设其他两个数为aa,bb(aa<bb)，则aa2=bb，符合条件的(aa,bb)只能为(2,4)和(3,9)两组，此时所抽取的数为(1,2,4)和(1,3,9)，共两组；（II）若所抽取的数的个数大于3，记此等比数列的公比为qq，则qq≥2 ．若qq=2 ，则所抽取的数为(1,2,4,8)；若qq≥3 ，则该等比数列的最大一项大于等于 33=27 ，明显不符合题意，故该情况仅有(1,2,4,8)1组符合条件．②若抽取的数无1，则抽取的数应在{2,3,4,6,8,9}中．该等比数列公比qq≥2 ，因此若最小的一项为3，则最大一项≥3×22=12 ，矛盾，所以最小的一项应为2．易知符合条件的仅有(2,4,8)1组．综合上述情况，仅有(1,2,4)，(1,3,9)，(1,2,4,8)，(2,4,8)共4组符合条件．（4分）而抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP=4511．（6分）（2）①当抽取的数有3项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3)，(2,3,4)，…，(7,8,9)共7组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5)，(2,4,6)，…，(5,7,9)共5组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd=3 ，则有(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)共3组符合条件．（IV）若该等差数列的公差dd=4 ，则仅有(1,5,9)1组符合条件．（V）若该等差数列的公差dd≥5 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 7+5+3+1=16 组符合条件．（8分）②当抽取的数有4项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4)，(2,3,4,5)，…，(6,7,8,9)共6组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5,7)，(2,4,6,8)，(3,5,7,9)共3组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 6+3=9 组符合条件．（10分）③当抽取的数有5项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4,5)，(2,3,4,5,6)，…，(5,6,7,8,9)共5组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则仅有(1,3,5,7,9)1组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 5+1=6 组符合条件．（12分）以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、3、2、1组，综上所述，满足条件的选取组合共有 16+9+6+4+3+2+1=41 组，（14分）由（1），抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP2=41511．（15分）18.（17分）（1）ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)，xx∈(−1,+∞)，（2分）观察得ff(0)=0 ，即xx=0 为其零点，（4分）ff′(xx)=aa−1−1xx+1−ln(xx+1)所以ff′(0)=aa−2=0 ，即aa=2 ．故aa的值为2．（6分）（2）由（1）得yy=ff(xx)必经过原点，若需使yy=ff(xx)经过四个象限，则ff(xx)需在区间(−1,0)和(0,+∞)上均至少存在一个零点，令 ff (xx )=aaxx −(xx +2)ln (xx +1)=0 ⟹aa =(xx+2)ln (xx+1)xx (xx ≠0) 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根． 设函数 gg (xx )=(xx +2)ln (xx +1)xx，gg ′(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1)(xx +1)xx 2 ， 令 ℎ(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1) ，ℎ′(xx )=2[xx −ln (xx +1)] ， 令 φφ(xx )=xx −ln (xx +1) ，φφ′(xx )=xx xx+1 ，当 xx ∈(−1,0) 时，φφ′(xx )<0 ，φφ(xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞) 时，φφ′(xx )>0 ，φφ(xx ) 单调递增．所以 xx =0 是 φφ(xx ) 的极小值点，φφ(xx )min =φφ(0)=0 ． 所以 φφ(xx )≥0 恒成立，即 ℎ′(xx )≥0 ，故 ℎ(xx ) 单调递增．又 ℎ(0)=0 ，所以当 xx ∈(−1,0)时，ℎ(xx )<ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )<0 ，所以 gg (xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞)时，ℎ(xx )>ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )>0 ，所以 gg (xx ) 单调递增．又当 xx →0 时，gg (xx )→2 ，所以要使得 gg (xx )=aa 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根，aa 需满足 aa ∈(2,+∞) ． 综上所述，若 ff (xx ) 的图像经过四个象限，则 aa ∈(2,+∞) ． （17分） （方法不唯一，若考生从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）19.（17分）（1）我们需证 RR 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：①封闭性：对 aa ,bb ∈RR ，则 aa +bb ∈RR ，封闭性成立．（1分） ②结合律：对 aa ,bb ,cc ∈RR ，aa +(bb +cc )=(aa +bb )+cc ，结合律成立． （2分）③恒等元：取 ee =0∈RR ，则对任意 aa ∈RR ，0+aa =aa ．符合恒等元要求．（3分） ④逆：对任意 aa ∈RR ，bb =−aa ∈RR ，且 aa +bb =aa +(−aa )=0=ee ，满足逆的存在性．（4分）综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群 RR + ． （2）首先提出，BB 的“×”运算可以是复数的乘法：zz 1zz 2 (∀zz 1,zz 2∈BB ) ，理由如下．（6分）即证明 SS 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：①封闭性：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，其中 zz 1,zz 2∈BB ，即 aa 2+bb 2=cc 2+dd 2=1 ．则 zz 1zz 2=(aa +bb i )(cc +dd i )=(aacc −bbdd )+(aadd +bbcc )i ， 所以 |zz 1zz 2|=�(aacc −bbdd )2+(aadd +bbcc )2=√aa 2cc 2+bb 2dd 2+aa 2dd 2+bb 2cc 2 =�cc 2(aa 2+bb 2)+dd 2(aa 2+bb 2)=√cc 2+dd 2=1 ，即 zz 1zz 2∈BB ，封闭性成立． （7分） ②结合律：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，zz 3=ee +ff i ，其中 zz 1,zz 2,zz 3∈BB ，zz1(zz2zz3)=(aa+bb i)[(ccee−ddff)+(ccff+ddee)i]=[aa(ccee−ddff)−bb(ccff+ddee)]+[aa(ccff+ddee)+bb(ccee−ddff)]i(zz1zz2)zz3=[(aacc−bbdd)+(aadd+bbcc)i](ee+ff i)=[ee(aacc−bbdd)−ff(aadd+bbcc)]+[ff(aacc−bbdd)+ee(aadd+bbcc)]对比后容易发现，zz1(zz2zz3)和(zz1zz2)zz3实部和虚部分别对应相等，即zz1(zz2zz3)=(zz1zz2)zz3，结合律成立．（8分）③恒等元：取ee=1∈BB，则对任意zz∈BB，1·zz=zz，符合恒等元要求．（9分）④逆的存在性：对任意zz=aa+bb i∈BB，取其共轭zz̅=aa−bb i ，则zz·zz̅=aa2+bb2=1=ee，满足逆的存在性．（10分）综上所述，BB在复数的乘法运算下构成一个群BB×．（构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法应据实际情况酌情赋分）（3）所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群，理由如下．（11分）若群GG×的阶数为0，则GG为空集，与定义矛盾．所以GG×的阶数为1,2,3,4．下逐一证明．①若群GG×的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（12分）②若群GG×的阶数为2，设其元素为ee,aa，其中ee是恒等元，则ee×aa=aa×ee=aa，符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（13分）③若群GG×的阶数为3，设其元素为ee,aa,bb，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．若aa×bb=aa，又aa×ee=aa，推出bb=ee，则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．所以aa×bb=ee．现要验证交换律，即aa×bb=bb×aa=ee．事实上，若bb×aa≠ee，有前知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以bb×aa∉GG×，与群的封闭性矛盾．所以aa×bb=bb×aa，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（15分）④若群GG×的阶数为4，设其元素为ee,aa,bb,cc，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．由③的分析可知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以aa×bb=ee或aa×bb=cc．若aa×bb=ee．由群中逆的存在性，群GG×中存在一个元素rr使得rrcc=ee，很明显rr≠ee，所以rr=aa或rr=bb．假设rr=aa，即aa×cc=ee，又aa×bb=ee，推出bb=cc则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．故只能aa×bb=cc．先证交换律对aa,bb成立，即aa×bb=bb×aa．事实上，若bb×aa≠aa×bb=cc，则由aa×bb∈GG×，aa×bb只能等于ee．又cc×ee=cc≠ee，cc×bb≠aa×bb=ee（cc和aa同理），不满足群中逆的存在性，矛盾．所以aa×bb=bb×aa=cc．交换律对aa,bb成立．接下来只需证交换律对aa,cc和bb,cc也成立．事实上，由aa和bb的对称性，只需证aa,cc即可．由群中逆的存在性，存在qq∈{aa,bb}使得qq×cc=ee．（I）若qq=aa，则只需证cc×aa=aa×cc=ee．事实上，若cc×aa≠aa×cc=ee，由群的封闭性，cc×aa∈GG×，所以cc×aa只能等于bb，又由前有aa×bb=cc，得cc×aa=aa×bb×aa=bb，即aa×aa=1 ，但aa是任取的，该结论具有局限性，不对一般的aa成立，故矛盾．即cc×aa=aa×cc，此时交换律对aa,cc成立．（II）若qq=bb．群中逆的存在性，存在pp∈{bb,cc}使得pp×aa=ee，又aa×bb=cc≠ee，所以pp只能等于cc，即aa×cc=ee，即证cc×aa=aa×cc=ee，接下来的证法同（I），反证法推出矛盾即可．即此时交换律对aa,cc成立．故群GG×的阶数为4时，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（17分）综上所述，所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群．。
浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷(宁波一模)(含答案)
浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷（宁波一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={−2,0,1}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∪B =A. {−2,0,1}B. {0,1,4}C. {0,1}D. {−2,0,1,4}2.复数z 满足z =5i−2，则|z|=A. 1B. 2C.5D. 53.向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a ⊥b ，则|a−3b |=A.3B.7C.10D.134.研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：小时)分成五组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是A. 7B. 7.5C. 7.8D. 85.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为A.33B.32C. 233D.36.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过上顶点A 作直线AF 2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F 1B|，则椭圆C 的离心率为A. 13B. 12C.33D.227.不等式(x 2−ax−1)(x−b)≥0对任意x >0恒成立，则a 2+b 2的最小值为A. 22−2B. 2C. 22 D. 22+28.设a ∈R ，函数f(x)={sin (2πx−2πa),x <a,|x−a−1|−3a +6,x ≥a 若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是A. (2,72]B. (2,3]C. (2,73]∪(52,72]D. (2,73]∪(52,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，则A. 数列{a n+b n}是等比数列B. 数列{a n·b n}是等比数列C. 数列{a n b n}是等比数列D. 数列{a n b n}是等比数列10.函数f(x)=e x−a ln x，则A. f(x)的图象过定点B. 当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 当a=1时，f(x)>2恒成立D. 存在a>0，使得f(x)与x轴相切11.已知曲线C：(x2+y2−1)3−7sin2x+7cos2y=6，下列说法正确的是A. 曲线C过原点OB. 曲线C关于y=x对称C. 曲线C上存在一点P，使得|OP|=1D. 若P(x,y)为曲线C上一点，则|x|+|y|<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市2024届高三上学期新高考适应性考试数学试卷含解析
长沙市2024年新高考适应性考试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1M x x =<，{}21N x x =<，则（）A.M N =B.M N⊆ C.N M ⊆ D.M N =∅2.复数i2iz =-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若抛物线2y ax =的焦点坐标为()1,0，则实数a 的值为（）A.2- B.2C.4- D.44.下图是函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象，则该函数的解析式可以是（）A.12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.12sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5.已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是（）A.38B.920C.58 D.13206.若tan 24tan 04παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.45-B.25-C.25D.457.已知直线y a =与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相交于A ，B 两点.设1k 为曲线()y f x =在点A 处切线的斜率，2k 为曲线()y g x =在点B 处切线的斜率，则12k k 的最大值为（）A.1eB.1C.eD.ce8.在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点.若2AB =，3CD =，且4EF AB ⋅= ，则EF =（）A.2B.2C.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，是奇函数的是（）A.xxy e e-=- B.32y x x=- C.tan 2y x= D.21log 1x y x+=-10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为1d ，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为2d ，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（）A.轨道的焦距为21d d + B.轨道的离心率为2121d d d d -+C.轨道的短轴长为 D.当12d d 越大时，轨道越扁11.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1BD 上的动点，直线m 为平面1A DP 与平面1B CP 的交线，则（）A.存在点P ，使得1//BB 面1A DPB.存在点P ，使得1B P ⊥面1A DPC.当点P 不是1BD 的中点时，都有//m 面11A B CDD.当点P 不是1BD 的中点时，都有m ⊥面1ABD 12.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，下列说法正确的是（）A.若812T T =，则10111a a =B.若812T T =，则201T =C.若11024a =，且10T 为数列{}n T 的唯一最大项，则1091122q ⎛⎫<<⎪⎝⎭D.若10a >，且10119T T T >>，则使得1n T >成立的n 的最大值为20三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 的分布列如下：X 123P0.10.70.2则数学期望()E X =______.14.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且()21f =，则不等式()52f x x >-的解集为______.15.已知()4,1A ，()2,2B ，()0,3C ，若在圆222x y r +=（0r >）上存在点P 满足22213PA PB PC++=，则实数r 的取值范围是______.16.已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O 体积的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知数列{}n a 满足1321n n a a n +-=-，且11a =.（1）证明：数列{}n a n +是等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =，将ABD △沿矩形的对角线BD 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥A BCD -.图1图2（1）当AB CD ⊥时，求AC 的长；（2）当平面ABD ⊥平面BCD 时，求平面ABC 和平面ACD 的夹角的余弦值.19.（本题满分12分）某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：产品优质品非优质品更新前2416更新后4812（1）依据小概率值0.050α=的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.①求经核查认定设备更新失败的概率p ；②根据p 的大小解释核查方案是否合理.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2a P x χ≥0.0500.0100.001ax 3.8416.63510.82820.（本题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足sin sin 2sin cos B C A B +=.（1）证明：22a b bc -=；（2）如图，点D 在线段AB 的延长线上，且3AB =，1BD =，当点C 运动时，探究CD CA -是否为定值？21.（本题满分12分）已知函数()2ln 1f x ax x x =-+.（1）若()f x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围：（2）证明：()2222341ln 2ln ln ln 123n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22.（本题满分12分）已知双曲线2213y x -=与直线l ：y kx m =+（3k ≠）有唯一的公共点P ，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，其中点M ，P 在第一象限.（1）探求参数k ，m 满足的关系式；（2）若O 为坐标原点，F 为双曲线的左焦点，证明：MFP NFO ∠=∠.长沙市2024年新高考适应性考试数学参考答案题号123456789101112答案CBDCDAABACDBCACDBCD5.解析若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为12245420p =⨯=；若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为23395420p =⨯=.因此，从乙盒中抽到的红球的概率为124913202020p p +=+=.6.解析由已知得()241tan 2tan 01tan 1tan αααα++=--，即22tan 5tan 20αα++=（tan 1α≠±），则251tan tan 2αα+=-.从而2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===-++.7.解析易知e ln A xB x a ==，且()0,a ∈+∞.由()e x f x '=，()1g x x'=，可得1e A x k a ==，211ea B k x ==，则12e a a k k =.设()e x x h x =，则()1e xxh x -='，可得()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，有()()max 11e h x h ==，即12k k 的最大值为1e.8.解析如图，可知()()()()111222EF EB EC EA AB ED DC AB DC ⎡=+=+++=+⎢⎣.由()212EF AB AB AB DC ⋅=+⋅ ，即1242AB DC +⋅=，可得4AB DC ⋅= .从而，()()2222211212444EF EF AB DCAB AB DC DC ==+=+⋅+=，即2EF = .10.解析由12a c d a c d -=⎧⎨+=⎩，解得122d d a +=，212d d c -=，则轨道的焦距为21d d -，离心率为2121d d c a d d -=+，轨道的短轴长为=又121211212212111d d d d d d d d d d --==-++++，则12dd 越大时，离心率越小，则轨道越圆.11.解析当点P 与1D 点重合时，由11//BB DD ，可知1//BB 面1A DP ，即A 正确.若1B P ⊥面1A DP ，则11B P A D ⊥，可得11B P B C ⊥，即1PB C △为直角三角形，且PC 为斜边.易知1B P PC =，与之矛盾，即B 错误.当P 不是1BD 的中点时，由11//A D B C ，可知1//A D 面1B CP ，又直线m 为面1A DP 与面1B CP 的交线，则1//A D m .从而，可得//m 面11A B CD ，即C 正确.同上，有1//A D m ，而1A D ⊥面1ABD ，则m ⊥面1ABD ，即D 正确.12.解析若812T T =，则()2129101112101181T a a a a a a T ===，可得10111a a =±，即选项A 错误；而()102012192010111T a a a a a a =⋅⋅⋅==，即选项B 正确.若11024a =，且10T 是数列{}n T 的唯一最大项.当0q <时，100T <，不合题意；当0q >时，由1091011T T T T >⎧⎨>⎩，可得101111a a >⎧⎨<⎩，即9101024110241q q ⎧>⎨<⎩，解得1091122q ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即选项C 正确.若10119T T T >>，当0q <时，90T >，100T <，满足109T T <，不合题意；当0q >时，由1011109119,T T T T T T>⎧⎪>⎨⎪>⎩可得111a <，101a >，10111a a >，则()1020122010111T a a a a a =⋅⋅⋅=>，()21211221111T a a a a =⋅⋅⋅=<，…，（10n ≥时，数列{}n T 单调递减），即选项D 正确.13.【答案】2.114.【答案】()2,+∞15.【答案】1,1⎡⎤-⎣⎦解析设(),P x y ，将坐标代入式子22213PA PB PC ++=，可得224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，则点P 的轨迹是以()2,2为圆心，1为半径的圆.依题意，两圆有公共点，则11r r -≤≤+，解得11r -≤≤+.16.【答案】2716π解析设球O 的半径为R ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h ，r .如图，球心在正四棱锥内时，由22211OO O B OB +=，可得()222h R r R -+=，即2220h Rh r -+=（*）.球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为()21213r h =，则232r h =，代入（*）式可得2324h R h=+.通过对关于h 的函数()R h 求导，即()31322R h h =-'，可得函数()R h在(单调递减，在)+∞单调递增，则()min R h R ==从而，球O 的体积的最小值3427316R ππ=.17.（本题满分10分）解析（1）由()()113211333n n n n n n a n a n n a na na na n++++-+++===+++，可知数列{}n a n +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可知，123n n a n -+=⋅，则123n n a n -=⋅-.从而()()()()()1101123123223233312n n n S n n --=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()()21311311322n n n n n n -++=-=---.18.（本题满分12分）解析（1）由AB CD ⊥，BC CD ⊥，且AB BC B = ，可得CD ⊥平面ABC ，则AC CD ⊥.在Rt ACD △中，根据勾股定理，AC ==..（2）如图，过A 点作AO BD ⊥于点O，易知AO =由平面ABD ⊥平面BCD ，可知AO ⊥平面BCD .在平面BCD 中，过O 点作BD 的垂线为x 轴，以O 为坐标原点，BD ，AO 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(A ，()0,1,0B-，)2,0C，()0,3,0D，有(0,1,AB =-，)BC =，()CD =，(0,3,AD =.设平面ABC 的法向量()111,,m x y z =，则1111030m AB y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =，解得其中一个法向量()3,m =；设平面ACD 的法向量()222,,n x y z =，则2222030n CD y n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x=，解得其中一个法向量()n =.从而3cos ,13m n m n m n⋅===，即平面ABC 和平面ACD 夹角的余弦值为313.19.（本题满分12分）解析（1）零假设为0H ：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异.由列联表可计算()2210024124816 4.762 3.84140607228χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们可以推断0H 不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.（2）根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.①设X 表示这5件产品中优质品的件数，则()5,0.8X B ~，可得()051422355520.20.80.20.80.20.05792.p P X C C C =≤=⨯+⨯⨯+⨯⨯=②实际上设备更新后提高了优质率.当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.20.（本题满分12分）证明（1）由sin sin 2sin cos B C A B +=，可得2cos b c a B +=，则22222a c b b c a ac+-+=⋅，整理得22a b bc -=.（2）根据cos cos 0ABC CBD ∠+∠=，结合余弦定理可得222222022a BD CDa cb ac a BD+-+-+=⋅，即22241230a b CD -+-=，则()()222222241414344423333CD a b b b b b b b =-+=+-+=++=+，从而2CD b =+，故2CD CA -=为定值.21.（本题满分12分）解析（1）易知函数()f x 的定义域为()0,+∞.由()0f x =，可得1ln 0a x x x-+=.设()1ln g x a x x x=-+，则()10g =，()222111a x ax g x x x x -'+-=--=，且()g x 与()f x 有相同的零点个数.思路1：令()21x x ax ϕ=-+-，0x >，则24a ∆=-.当22a -≤≤时，0∆≤，则()0x ϕ≤，即()0g x '≤，可得()g x 在()0,+∞单调递减，则()g x 有且仅有一个零点.当2a <-时，显然()0x ϕ<，则()0g x '<，可得()g x 在()0,+∞单调递减，则()g x 有且仅有一个零点.当2a >时，由()0x ϕ=，解得142a a x =，242a a x =，且1201x x <<<.当()12,x x x ∈时，()0x ϕ>，即()0g x '>，则()g x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0g x '<，则()g x 单调递减.不难得知()()210g x g >=，()2222214ln 442ln 2424g a a a a a a a a a=+-<-+()2ln 2210a a a =-+<，则()g x 在()2,x +∞有一个零点，可知()g x 不只一个零点，不合题意.综上，可知(],2a ∈-∞.思路2：令()21x x ax ϕ=-+-，0x >.当0a ≤时，()x ϕ在()0,+∞单调递减，有()()01x ϕϕ<=-，即()0g x '<，可得()g x 在()0,+∞单调递减，则()g x 有且仅有一个零点.当0a >时，()2max 1124a x g a ϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.若()2,0a x ϕ≤≤，则()0g x '≤，可得()g x 在()0,+∞单调递减，则()g x 有且仅有一个零点.若2a >，存在1x ，2x ∈R ，且1201x x <<<，使得()()120x x ϕϕ==.后续过程同思路1.综上，可知(],2a ∈-∞.（2）取2a =，当1x >时，()0f x <，有102ln x x x <<-，即210ln x x x <<-，则()22221ln 2x x x <+-.令21k x k +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则211ln 21k k k k k k ++⎛⎫<+- ⎪+⎝⎭，即2111ln 1k k k k +⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，从而()222234*********ln 2ln ln ln 111232233411n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<-+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22.（本题满分12分）解析（1）联立方程2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()2223230k x kmx m ---+=（*）.由k ≠，且P 是双曲线与直线l 的唯一公共点，可得()()()22224330km km ∆=-+-+=，则223k m -=，即为参数k ，m 满足的关系式.结合图象，由点P在第一象限，可知k >0m <.（若考生没有给出k ，m 的范围，不扣分）（2）易知，双曲线的左焦点()2,0F -，渐近线为y =.联立方程y kx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M ⎛⎫；联立方程y kx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即N ⎛⎫ ⎝.结合223k m -=，（*）式可变形为22220m x kmx k ++=，解得k x m =-，可得3,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.要证MFP NFO ∠=∠，即证tan tan MFP NFO ∠=∠，即证()tan tan MFO PFO NFO ∠-∠=∠，即证1FM FP FN FM FPk k k k k -=-+，即证()1FM FN FP FM FN k k k k k +=-（**）.思路1：由()1FM FN FP FM FN k k k k k +=-，得1111FP FM FN FM FN k k k k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.根据直线的斜率公式，FM k =，FN k =32FP k k m=-，则114FM FN k k m+=+==，()()22211113FM FN m k m k k k m +-+-==-()222222221221244124441333m k m k mk m k mk m m m ----+--+==-=()22428433k m m mk m m--+==，可得()42134123FP FM FN k m k k k k m m m -⎛⎫-=⋅= ⎪-⎝⎭，因此，1111FP FM FN FM FN k k k k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.思路2：根据直线的斜率公式，FM k =FN k =，32FP k k m =-，则FM FN k k +=+=，2FM FN k k ==要证（**2312k m ⎛⎫ =⋅- -⎝，即证()()()2223420m k m k m m k m +-+---=，化简得2230k m --=，。
2023届高三新高考数学原创模拟试卷(word版)
2023届高三新高考数学原创模拟试卷(word版)一、单选题(★) 1. 若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2(★★) 2. 若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为A．B．C．D．(★) 3. 在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假．本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零数字是1，2，，9这九个事件并不是等可能的．具体来说，假设随机变量是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则，．根据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8的概率之比约为（）（参考数据：，）A．4B．5C．6D．7(★★★) 4. 十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解．在平面直角坐标系上，画抛物线，在轴上取点，以为直径画圆，交抛物线于点．过作轴的垂线，交轴于点．下面几个值中，哪个是方程的解？（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，则（）A．B．C．0D．2(★★★) 6. 函数y=ax 2+ bx与y= （ab ≠0，| a |≠| b |）在同一直角坐标系中的图像可能是（）A．B．C．D．(★) 7. 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于A．B．C．D．(★★) 8. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（）A．，，的长度B．，，的长度C．，，的长度D．，BD，的长度二、多选题(★★★) 9. 在正四面体中，，，分别是，，的中点，则（）A．//平面B．C．平面平面D．平面平面(★★★) 10. 设是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，(★★★) 11. 投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（）A．第25百分位数为2，极差为4B．平均数为，第75百分位数为C．平均数为3，方差为3D．众数为4，平均数为(★★★) 12. 设，函数的定义域为．记．两个集合，不交指的是．则（）A．若，则是定义在上的偶函数B．若，则在处取到最大值C．若，则可表示成4个两两不交的开区间的并D．若，则可表示成6个两两不交的开区间的并三、双空题(★★★) 13. 设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则________ ， ________ ．四、填空题(★★★) 14. 设曲线：．已知曲线满足如下性质：曲线是双曲线，且其渐近线分别为直线与轴．根据以上信息，可得位于第一象限的焦点坐标为 ________ ．(★★) 15. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ______ ．五、双空题(★★★★) 16. 正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）：逆时针旋转．（2）：顺时针旋转．（3）：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，．如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是-恒等变换．例如，是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共 ________ 种；对于正整数，-恒等变换共 ________ 种．六、解答题(★★★) 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点．(1)证明：．(2)求与平面所成角的正弦值．(★★★) 18. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．(★★★) 19. 设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．(1)求的通项公式．(2)证明：．(★★★★) 20. 椭圆：的右焦点为，为坐标原点．过点的直线交椭圆于，两点．(1)若直线与轴垂直，并且，求的值．(2)若直线绕点任意转动，当，，不共线时，都满足恒为钝角，求的取值范围．(★★★★) 21. 某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：学生编1号数学成100绩知识竞赛成绩290学生编11号数学成75绩知识竞赛成绩45计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．（i）记，．证明：．（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．；；．(★★★★★) 22. 设函数，是的导函数．(1)求的所有极值点．(2)下面三个问题的满分分值分别为（i）4分；（ii）7分；（iii）9分．请在下面三个问题中选一个进行解答．若选择了多于一个问题分别解答，则按照序号较小的解答计分．（i）若在区间中有极值点，求的取值范围．（ii）若在区间中有且只有个极值点，求的取值范围．（iii）若在区间中有且只有个极值点，求的取值范围．。
2024届广东新高考高三数学一模练习卷+答案
2024新高考数学一模练习卷（一）数学试卷本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟．考生注意事项：1．答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况．2．在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑．3．在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域．4．答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合AA={xx|xx2−4xx+3<，BB={xx|yy=ln(xx−1)} ，则CC BB AA= （ * ）．（A）{xx|xx≥1} （B）{xx|xx≥3}（C）{xx|1≤xx≤3} （D）{xx|xx≤3}2. 在复平面中，点ZZ1对应的复数为zz，点ZZ2对应的复数为zz̅，若|ZZ1|=|ZZ1ZZ2|=2 ，则OOZZ1��������⃗·OOZZ2��������⃗= （ * ）．（A）−5（B）−4（C）4（D）53. 已知事件AA，BB，CC相互独立，且PP(AA) ,PP(BB) ,PP(CC)∈(0,1)，则在以下说法中，错误的是（ * ）．（A）事件AA，BB，CC均为随机事件（B）事件AA，BB，CC均与必然事件MM相互独立（C）事件AA，BB，CC均与不可能事件NN不互斥（D）事件AA，BB，CC均与事件AA∩BB∩CC对立4. 记SS nn为数列{aa nn}的前nn项和，若aa1=1 ，SS nn=2aa nn+aa nn+1，则在aa1~aa2024中，整数的个数是（ * ）．（A）1012（B）1011（C）2024（D）20235. 中国是瓷器的故乡．“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为 6cm ）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为 20cm ，底面直径AABB=10cm ，底面直径CCCC=20cm ，EEEE=16cm ，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ * ）．图1 图2（A）669ππ cm3（B）1338ππ cm3（C）650ππ cm3（D）1300ππ cm36. 已知椭圆Γ:xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)过点�32√2,√2�，则下列直线方程不与Γ相切的是（ * ）．（A）3√3xx+4yy−16=0（B）3xx+4yy+12=0（C）4xx+6yy−17=0（D）xx−4yy−10=07. 已知函数ff(xx)=2sin�ωωxx+ππ6�在区间(0,ππ)上有ωω个极值点（ωω∈NN∗），则ωω的最小值是（ * ）．（A）1（B）2（C）3（D）48. 已知aa=1+sin110，bb=√ee10，cc=1.0110，dd=1716，则（ * ）．（A）bb>aa>dd>cc（B）bb>cc>aa>dd（C）bb>aa>cc>dd（D）bb>cc>dd>aa二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论．某课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男同学40 60女同学60 40考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男士60 40女士70 30则（ * ）．（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5，25至30周岁的为0.65（Cαα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值αα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：χχ2=nn(aadd−bbcc)2(aa+bb)(cc+dd)(aa+cc)(bb+dd)，其中nn=aa+bb+cc+ddαα0.10.050.01 0.005 0.001xxαα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.82810. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3，沿着BBBB1和CCCC1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EEPP，PPPP，PPHH，HHEE的中点EE，GG，MM，NN，则两个垂面之间的几何体2如图4所示，若EENN=AABB=EEAA=2 ，则（ * ）．（A）BBBB1=2√2（B）EEGG//AACC（C）BBCC⊥平面BBEEBB1GG（D）几何体2的表面积为 16√3+8图3 图411. 已知椭圆EE:xx24+yy23=1 ，过椭圆EE的左焦点EE1的直线ll1交椭圆EE于AA、BB两点，过椭圆EE的左焦点EE2的直线ll2交椭圆EE于CC、CC两点，则（ * ）．（A）若AAEE1�������⃗=2EE1BB�������⃗，则ll1的斜率kk=√62（B）|AAEE1|+4|BBEE1|的最小值为274（C）以AAEE1为直径的圆与圆xx2+yy2=4 相切（D）若ll1⊥ll2，则四边形AABBCCCC面积的取值范围为�28849,6�图5 12. 已知正实数mm，nn，qq满足：�2mm+3nn=6qq2mm·3nn=5qq，则（ * ）．（A）ln2<qq<1（B）0<mmnn<12（C）√2<mm+nn qq<√6（D）ln5ln6<mm2+nn2<ln5+ln6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在�√xx+1xx�4的展开式中，√xx的系数是________．（用数字作答）14. 函数ff(xx)=sin|xx|+|cos xx| ,xx∈(0,2ππ)的极值点个数为________．15. 已知函数ff(xx)=�(xx+1)2 ,xx≤0ln xx ,xx>0，若方程ff(xx)=mm有三个不同的实根aa，bb，cc，则SS=|aaff(aa)+bbff(bb)+ccff(cc)|的取值范围是__________．16. 若实数aa，bb满足aa2+bb2≤6aa，则(2aa+bb)(2bb−aa+3)≤0 的概率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知在△AABBCC中，角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc．且有 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3 ．（1）求 sin CC；（2）若cc=2 ，记AABB的中点为MM，求CCMM的取值范围．18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后，小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：小李同学找来了小王同学；小李同学制作了三张标号，分别为1，2，3的相同规格纸片；每轮开始前，小李同学心里默想1，2，3中的一个随机数字；小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同标号的纸片；小王同学再进行一次选择；小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分，否则记录一次0分；重复进行多轮试验．（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望EE(XX2)；19.（12分）记数列{aa nn}的前nn项和为SS nn，已知SS nn=nnaa nn+1−nn2−nn．（1）证明：{aa nn}是等差数列；（2）若aa1=43，证明：1SS1+1SS2+1SS3+⋯+1SS nn<2720．20.（12分）如图6，在四棱柱AABBCCCC−AA′BB′CC′CC′中，底面AABBCCCC和侧面BBBB′CC′CC均为正方形，AABB=2 ．连接BB′CC，点EE、EE分别为BB′CC、CC′CC′的中点．（1）求AA′EE和CC′EE夹角的正弦值；（2）求平面AA′BBEE和平面CCCC′EE的夹角．图6 21.（12分）如图7，已知OO为坐标原点，抛物线的方程为xx2=2ppyy(pp>0)，EE是抛物线的焦点，椭圆的方程为xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，过EE的直线ll与抛物线交于MM，NN两点，反向延长OOMM, OONN分别与椭圆交于PP，HH两点．（1）求kk OOOO、kk OOOO的值；（2）若|OOPP|2+|OOHH|2=5 恒成立，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，SS△OOOOOO SS△OOOOOO的最小值为1，求抛物线的方程．（其中SS△OOOOOO，SS△OOOOOO 分别是△OOMMNN和△OOPPHH的面积）图7 22.（12分）已知函数ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1 .（其中aa>0 ）（1）若∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1 ，求aa的取值范围；（2）若yy=ff(xx)与yy=gg(xx)有且仅有一个交点，求实数aa的值.2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B C A B二、选择题题号9 10 11 12答案BCD ABC BCD ABC三、填空题题号13 14 15 16 答案 4 4 [0,ee−2]12四、解答题17.（1）由题 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⇒tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⇒tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⇒tan(AA+BB)=−√3⇒tan CC=−tan(AA+BB)=√3⇒CC=ππ3所以 sin CC=√32.（2）如图所示，构造△AABBCC的外心NN，连接AANN，BBNN，CCNN，MMNN由题得AAMM=BBMM=1 ，AANN=CCNN=BBNN=RR=2cc sin CC=2√33，MMNN=12AANN=√33由三角形三边关系得CCNN−MMNN≤CCMM≤CCNN+MMNN，即√33≤CCMM≤√3 ，故CCMM∈�√33,√3�.18.（1）记事件 AA 1 为“第二次选择时不换纸片”，AA 2 为“第二次选择时换纸片”，BB 1 为“记1分”，BB 2 为“记0分”，由贝叶斯公式得：PP (BB 1|AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)+PP (BB 2)PP (AA 1|BB 2)=13PP (BB 1|AA 2)=1−PP (BB 1|AA 1)=23>PP (BB 1|AA 1)所以如果我是小王同学，我会选择换纸片（2）记2轮的总得分为 XX ，结合（1）得 XX 的分布列为PP (XX =0)=19 ，PP (XX =1)=49 ，PP (XX =2)=49用表格表示 XX 的分布列，如下表所示：XX 012PP19 49 49 EE (XX 2)=0×19+1×49+2×49=43故进行2轮试验总计分的数学期望 EE (XX 2) 为 4319.（1）由题意 SS nn =nnaa nn+1−nn 2−nn ，SS nn +aa nn+1=SS nn+1=(nn +1)aa nn+1−nn 2−nn=(nn +1)(aa nn+1−nn )=(nn +1)aa nn+2−(nn +1)2−(nn +1)=(nn +1)(aa nn+2−nn −2)，所以 aa nn+1−nn =aa nn+2−nn −2 ，即 aa nn+2=aa nn+1+2 ，所以 {aa nn } 是以2为公差的等差数列 （2）由（1）及题意得等差数列 {aa nn } 的前 nn 项和SS nn =nn 2(aa 1+aa nn )=nn 2�23+2nn�=nn �nn +13�1SS nn =1nn �nn +13�=3nn (3nn +1)1SS 1+1SS 2+⋯+1SS nn =3�11×4+12×7+⋯+1nn ×(3nn +1)� 即证 33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<920易知 (3nn −1)(3nn +2)<3nn (3nn +1)则 33nn (3nn +1)<3(3nn −1)(3nn +2)33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<14+�35×8+⋯+3(3nn −1)×(3nn +2)�=14+�15−18+18−111+⋯+13nn−1−13nn+2�<14+15=920原题得证，证毕20.（1）如图，以AA′为坐标原点，AA′BB′为x轴，AA′DD′为y轴，AA′AA为z轴，建立空间直角坐标系则AA(0,0,2)，BB(2,0,2)，CC(2,−2,2)，DD(0,−2,2)，BB′(2,0,0)，CC′(2,−2,0)，DD′(0,−2,0)，EE(1,−1,1)，FF(1,−2,0)则AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，cos<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=AA′FF�������⃗·CC′EE�������⃗|AA′FF�������⃗|×�CC′EE�������⃗�=−3√15=−√155sin<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=�1−cos2<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=2√55（2）设θθ为平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角由（1）得AA′BB�������⃗=(2,0,2)，AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，设平面AA′BBFF的法向量nn1����⃗=(xx1,yy1,zz1)，则有�2xx1+2zz1=0xx1−2yy1=0，令xx1=2 得�yy1=1zz1=−2，所以nn1����⃗=(2,1,−2)；CC′CC�������⃗=(0,0,2)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，设平面CC′CCEE的法向量nn2����⃗=(xx2,yy2,zz2)，则有�2zz2=0−xx2+yy2+zz2=0，令xx1=1 得�yy2=1zz2=0，所以nn2����⃗=(1,1,0)；cosθθ=cos<nn1����⃗ ,nn2����⃗>=nn1����⃗·nn2����⃗|nn1����⃗|×|nn2����⃗|=33√2=√22又因为θθ∈�0,ππ2�，所以θθ=ππ4，故平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角为ππ421.（1）设直线OOMM的斜率为kk1(kk1>0)，直线OONN的斜率为kk2，由题可知，直线MMNN的斜率不为0，设MM(xx1, yy1), NN(xx2, yy2)，设直线MMNN: yy=kkxx+pp2，则由�yy=kkxx+pp2xx2=2ppyy，可得xx2−2ppkkxx−pp2=0，易知 ΔΔ>0 ，由韦达定理得 xx 1xx 2=−pp 2,yy 1yy 2=(xx 1xx 2)24pp 2=pp 24，则 kk 1kk 2=yy 1xx 1⋅yy 2xx 2=−14 ； （2）设 PP (xx 3,yy 3), QQ (xx 4, yy 4)， 由题可知，ll OO OO : yy =kk 1xx , ll OO OO :yy =kk 2xx ，其中kk 1kk 2=−14，联立方程�yy =kk 1xxxx 2aa 2+yy 2bb 2=1⇒xx 32=aa 2bb 2bb 2+aa 2kk12 ，同理 xx 42=16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12 ，因为：|OOPP |2+|OOQQ |2=xx 32+yy 32+xx 42+yy 42=xx 32+�1−xx 32aa 2�bb 2+xx 42+�1−xx 42aa 2�bb 2=2bb 2+�1−bb 2aa2�(xx 32+xx 42)=2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2��aa 2bb 2bb 2+aa 2kk 12+16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12� =2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2�⋅aa 2⋅aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14 =2bb 2+(aa 2−bb 2)aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14．因为 |OOPP |2+|OOQQ |2=5 为定值，所以上式与 kk 1 无关， 所以当 32bb 4=aa 4+16bb 4 ，即 aa 2=4bb 2 时，此时 aa 2+bb 2=5 ，所以 aa 2=4 , bb 2=1 ，所以椭圆的方程为xx 24+yy 2=1．（3）因为 SS △OOOOOOSS△OOOOOO=12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO 12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO =|OOOO ||OOOO ||OOOO ||OOOO |=�xx 1xx2xx 3xx 4� ，由（2）可知，当aa 2=4， bb 2=1时，xx 32=41+4kk12， xx 42=16kk 121+4kk 12， xx 1xx 2=−pp 2，SS △OOOOOO SS △OOOOOO =�xx 1xx 2xx 3xx 4�=pp 28|kk 1|1+4kk 12=pp 28�1|kk 1|+4|kk 1|�≥pp 22， 故pp 22=1⇒pp =√2，当且仅当kk 1=±12时，等号成立，此时抛物线方程为xx 2=2√2yy .22.（1）ff (xx )=aa ln xx −xx +ln aa −1 ,xx ∈RR + ，ff ′(xx )=aaxx −1=aa−xx xx，令 ff ′(xx )=0 得 xx =aa当 0<xx <aa 时，ff ′(xx )>0 ，ff (xx )↑ ；当 xx >aa 时，ff ′(xx )<0 ，ff (xx )↓ . 所以 ff (xx )max =ff (aa )=aa ln aa −aa +ln aa −1=(aa +1)(ln aa −1) . 令 ℎ(aa )=(aa +1)(ln aa −1) ，ℎ′(aa )=ln aa +1aa =aa ln aa+1aa，再令φφ(aa)=aa ln aa+1 ，φφ′(aa)=1+ln aa，令φφ′(aa)=0 得aa=1ee当 0<aa<1ee时，φφ′(aa)<0 ，φφ(aa)↓；当aa>1ee时，φφ′(aa)>0 ，φφ(aa)↑.所以φφ(aa)min=φφ�1ee�=1−1ee>0 ，即φφ(aa)>0 ，即ℎ′(aa)>0 ，所以ℎ(aa)↑,原题“∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1”等价于“ff(aa)≥ee2+1”，即(aa+1)(ln aa−1)=ℎ(aa)≥ee2+1 ，观察到ℎ(ee2)=ee2+1 ，又由ℎ(aa)↑得：当 0<aa<ee2时，ℎ(aa)<ℎ(ee2)=ee2+1 ；当aa≥ee2时，ℎ(aa)≥ℎ(ee2)=ee2+1所以aa≥ee2，即aa的取值范围为[ee2,+∞).（2）令tt=ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，则ee tt=ee aa ln xx−xx+ln aa−1=ee(ln aa+ln xx aa)−(xx+1)=aaxx aa ee xx+1所以gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1=ee tt−1 ，联立ff(xx)=gg(xx)，即tt=ee tt−1 .令Φ(tt)=ee tt−1−tt，所以方程“tt=ee tt−1”的解等价于Φ(tt)的零点.Φ′(tt)=ee tt−1 ，令Φ′(tt)=0 得tt=0 ，当tt<0 时，Φ′(tt)<0 ，Φ(tt)↓；当tt>0 时，Φ′(tt)>0 ，Φ(tt)↑.所以Φ(tt)min=Φ(0)=0 ，所以方程“tt=ee tt−1”的解仅为tt=0 ，再由题意，tt=ff(xx)=0 有且仅有一根，即ff(xx)仅有唯一零点.ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ff(xx)=aa xx−1=aa−xx xx，令ff′(xx)=0 得xx=aa当 0<xx<aa时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)↑；当xx>aa时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)↓.所以ff(xx)max=ff(aa)=aa ln aa−aa+ln aa−1=(aa+1)(ln aa−1).又注意到当xx→0 时，ff(xx)−∞；当xx→+∞时，ff(xx)−∞；所以ff(xx)的唯一零点即其极值点，即(aa+1)(ln aa−1)=0 ，得aa=−1 （舍）或aa=ee. 故aa的值为ee.。
高三数学模拟试卷新高考
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的图像为：A. 上升-下降-上升B. 下降-上升-下降C. 上升-下降-上升D. 下降-上升-下降答案：C2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S9 = 81，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 在极坐标系中，点P(2, π/3)的直角坐标为：A. (1, √3)B. (1, -√3)C. (-1, √3)D. (-1, -√3)答案：C4. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. (1/3, +∞)B. (1, +∞)C. (1/3, 1)D. (1, 1/3)答案：A5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围为：A. z = 0B. z = 1C. z = -1D. z = 2答案：A6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + b，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则f(0)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A7. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为：A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 4/3答案：B8. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 1/2，则第10项a10为：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：D9. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 36，则数列的首项a1为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练(一模)考试数学试题(含答案)
八省适应性联考模拟演练考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在木试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求。
1.若随机变量，且，，则）等于（ ）A.B.C.D.2.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）A.18B.21C.54D.633.设圆与圆，点A ，B 分别是，上的动点，M 为直线上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C.D.4.已知直线和直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）A.192种B.252种C.268种D.360种6.设的三个顶点为复平面上的三点，，，满足，，，则内心的复数坐标z 的虚部所在区间是（ ）.A. B. C. D.前三个选项都不对7.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，M 和N 分别是的重心和内心，且，则（ ）A.2B.3C.4D.6()~6,1X N 7(5)P X a <≤=8(4)P X b <≤=7(4P X <≤2b a-2b a +12b -12a -221:104250C x y x y +-++=222:680C x y x +-+=1C 2C 1y x =+MA MB +3+3-3-3+1:30l mx y ++=()2:320l mx m y m +-+=5m =12//l l ABC △1z 2z 3z 1230z z z =12382i z z z ++=+1223131510i z z z z z z ++=+ABC △()0.5,1()0,0.5()1,2ABC △2c =sin sin cos 2cos C AC A=-ABC △//MN BC a =8.正整数a ，b ，，且，，满足这样条件的（a ，b ，c ）的组数为（ ）A.60B.90C.75D.86二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
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新高考高三数学模拟试卷及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.） 1.函数22101y x x =-+的值域为 A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞解析：选D 因为222101(1)914y x x x =-+=-+≥，所以函数22101y x x =-+的值域为[4,)+∞，故选D ．2.1和4的等比中项为（ ）A.2B.2-C.2±D.4± 解析：选C 由题可得，设等比中项为a ，则24a =，解得2a =±.故选C.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（ ）A.60B.120C.45D.135 解析：选B 由余弦定理可知222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以1cos 2A =-，因为0180A <<，所以120A =.故选B.4.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.23π B.2πC.223πD.π 解析：选 A 由题可得，该几何体是半个圆锥.所以其体积为11222323V ππ=⨯⨯=.故选A.5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（ ）A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度解析：选 B 将函数sin()3y x π=+的图象向右平移3π个单位长度即可得到函数sin y x =的图象.故选B.6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（ ）A.1m <B.1m >-C.11m -<<D.1m >或1m <- 解析：选A 因为经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，所以1012AB m k -=>-，解得1m <.故选A.7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（ ） A.32 B.23 C.32- D.23-解析：选D 因为//a b ，所以230x +=，解得23x =-.故选D.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（ ）A.16B.17C.18D.19 解析：选C因为6324,144(6)n n S S n -==>，所以612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++180=，所以6616()36180216n n n S S S a a -+-=+=+=，所以136n a a +=.所以1()3632422n n n a a nS +===，解得18n =.故选C. 9.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，032AF x =，则0x =（ ）A.14 B.12C.1D.2 解析：选 B 由题可得，抛物线的准线方程为14x =-.因为032AF x =，由抛物线的定义可知，001342x AF x +==，解得012x =.故选B.10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（ ）A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)-D.14(,,2)33解析：选B 设中点为P ，则其坐标满足341351(,,)222-+++，即为1(,2,3)2.故选B.11.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为A.5B.4C.2D.2解析：选C 由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为222d ==，所以所求最小值为2.故选 B.12.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当2a >且2b >时，4a b +>成立，所以是必要条件，当4,1a b ==时，4a b +>，但2a >，2b <，所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选B.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45角D.11A C 与1B C 成60角 解析：选D 由题可得，设1AB =，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)D D A A B B ，1(0,1,0),(0,1,1)C C .所以11(1,1,0),(1,0,0)AC AD =-=-，因为1110AC AD ⋅=≠，所以选项A 错误；11(0,1,0),(0,1,0)AB DC ==，因为1110AB DC ⋅=≠，所以选项B 错误；因为1(1,1,1),(0,1,0)AC DC =-=，所以6cos 632θ==⨯，所以1AC 与DC 不成45角，故选项C 错误.所以正确的选项是D.14.设,0a b >，则4(1)(1)b aab++的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.13解析：选C 444(1)(1)14529b a b a b a a b a b a b++=+++≥+⋅=.故选C. 15.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B.若,//l l m α⊥，则m α⊥ C.若//,l m αα⊂，则//l m D.若//,//l m αα，则//l m解析：选B 由直线与平面垂直的判定定理可知，选项A 错误；直线与平面平行，则直线与平面内的直线没有交点，则是平行或异面，故选项C 错误；平行于同一个平面的两条直线不一定平行，故选项D 错误.故选B. 16.下列四个命题中正确的是( )A.若,a b R ∈，则a b a b -<+B.若,a b R ∈，则a b a b -<+C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <解析：选C 当2,0a b ==时，a b a b -=+，a b a b -=+，所以A,B 均不成立；当0,2a b ==时，a b a b -<+，但0ab =，所以D 不成立，故选C.17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+解析：选B 如图，因为2b AF BF a==，EF a c =+，要使ABE ∆是锐角三角形，则只需AEB ∠为锐角，故45AEF ∠<，所以AF EF <，即22c a a c a-<+，化简得220e e --<，解得12e -<<.因为1e >，所以12e <<.故选B.18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CD CE CD=，CB CF CB=.若将CEF ∆沿EF 折起，使得平面CEF 与平面ABFED 垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（ ）A.35 B.25 C.110 D.310解析：选 D 如图所示，设CO EF ⊥，则CO ⊥平面ABFED .因为CA CO OE ED DA =+++，所以532CA CO OE ED DA =+++=，3BE =.设直线AC与直线BE 所成角为θ，则5315cos 3cos cos 22CA BE CA BE θθθ⋅=⋅=⨯=|()CO OE ED DA =+++(BC ⋅)|CE +OE BC OE CE ED BC ED CE DA BC DA CE =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅11|3324=+-+941|4-+=，所以3cos 10θ=.即直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为310.故选D. 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分） 19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1AB =，则实数a = ，A B = .解析：{}1;1,2,4 因为{}1AB =，且233a +≥，所以1a =，所以{}1,4B =，所以{}1,2,4A B =.20.在ABC ∆中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ⋅= . 解析：4- 因为AB AC ⊥，所以AB BC ⋅=24AB -=-.21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .解析：[3,1]- 将直线与圆方程联立，消去y ，化简得222(22)10x a x a +-+-=，由方程有解可知，22(22)8(1)0a a ∆=---≥，即2230a a +-≤，解得31a -≤≤.故选C.22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3xf xg x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 .解析：41[,)12-+∞ 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.因为()()3x f x g x +=，所以可知()33x x f x -=-，()33x x g x -=+.所以()(2)af x g x +22(33)(33)0x x x xa --=-++≥对[1,2]x ∈恒成立，即22233(33)23333x x x x x x x xa ----+-+≥-=--- 23333x x x x--=-+-对[1,2]x ∈恒成立，令88033[,]39x xt -=-∈，所以2()a t t≥-+对880[,]39t ∈恒成立，所以4112a ≥-.所以实数a 的取值范围是41[,)12-+∞.三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b a c ac =+-. (1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.解：(1)由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 所以有1cos 2B =. 因为0B π<<. 所以3B π=.(2)因为3B π=，所以23A C π+=，即23C A π=-，且203A π<<.所以23sin sin sin sin()sin )326A C A A A A A ππ+=+-=+=+. 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，3A C π==max )6A π+=；当566A ππ+=或66A ππ+=，即23A π=或0A =min )6A π+=.所以sin sin A C +∈.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n+=<<的离心率为2，且经过点,1)2P . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ⋅为定值.解：(1)根据题意有222223,43114n m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得221,4m n ==，所以椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)联立方程组22,44y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，化简得：222(4)240k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点坐标为00(,)D x y . 则有120224x x kt x k +==-+，00244ty kx t k =+=+. 所以004OD y k x k==-， 所以44OD k k k k⋅=-⋅=-为定值. 25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()bf x x>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)因为1a =，所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+，即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥⎧⎨+<+⎩或210,1(1)x x x +<⎧⎨+<-+⎩ 解得01x <<.所以不等式的解集为(0,1).(2)2()1x a b f x x x +=>+恒成立等价于1()x a b x x+>+恒成立， 即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立.所以有(1)b a b x x >-+或(1)ba b x x <-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立，解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。