二次根式化简求值的十种技巧
人教版八年级下册数学课件第章二次根式阶段核心技巧常见二次根式化简求值的十一种技巧
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形后
取倒
数
，便
可计
算，
注意
计算
得出
结
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立第志十难 六也章，不二在次胜根人式，果在自还胜。要取倒数还原得最终结果．
第十六章 二次根式
人惟患无志，有志无有不成者。
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。
阶段核心方法
自信是成功的第一秘诀
阶段核心方法
7．化简：
10＋3＋ 10－3
10＋1
.
【点拨】将原式平方后，化简得出结果．注意 开平方时原式的正负性． 解：设原式＝x，则 x2＝2 1100＋＋12＝2. 又∵x＞0，∴原式＝x＝ 2.
阶段核心方法
8．已知 n＝ 2＋1，求nn＋＋22＋－ nn22－ －44＋nn＋＋22－＋ nn22－ －44的值． 【点拨】原式分子、分母比较复杂，可以通过 换元简化运算．
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第十六章 二次根式
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【点拨】原式分子、分母比较复杂，可以通过换元简化运算．
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【点拨】分母有理化求得x，y的值后，计算出x＋y，xy的值，将原式化简成含x＋y，xy的式子，整体代入求值．
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1C 2 见习题
阶段核心方法
解：由二次根式的定义，得35－ a－5a3≥ ≥00， ， ∴3－5a＝0，则 a＝35.∴b＝15. ∴ab＞0，a＋b＞0，a－b＜0.
阶段核心方法
∴ ba＋ab＋2－ ba＋ab－2 ＝ （a＋abb）2－ （a－abb）2＝a＋ abb ab－ba－ba ab ＝(a＋ abb－ba－ba) ab＝2b ab. 当 a＝35，b＝15 时， 原式＝12－4，y＝n＋2－ n2－4，
二次根式的化简与运算法则
二次根式的化简与运算法则二次根式是数学中的一种特殊表达形式，通常以√来表示。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对二次根式进行化简和运算的情况。
本文将介绍二次根式的化简方法以及运算法则。
一、二次根式的化简方法对于二次根式，我们希望将其化简为最简形式，即分子与分母互质的形式。
1. 化简含有平方数的二次根式当二次根式的被开方数是平方数时，可以直接提取出该平方数的因子。
例如√36，由于36是6的平方，即36 = 6^2，因此√36 = 6。
2. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为最简形式。
有理化分母的基本思想是将分母中的二次根式去除，实现分母为有理数的形式。
例如，对于分母为√a的二次根式，我们可以将其有理化分母得到如下形式：1/√a = (√a) / a二、二次根式的运算法则在进行二次根式的运算时，我们需要根据运算法则进行相应的操作。
1. 二次根式的加减法对于二次根式的加减法，要求根号下的被开方数相同，即二次根式相同。
例如√a + √a = 2√a2. 二次根式的乘法对于二次根式的乘法，我们直接将根号下的被开方数相乘，并转化为最简形式。
例如√a * √b = √(ab)3. 二次根式的除法对于二次根式的除法，我们可以借助有理化分母的方法进行转化，然后进行乘法运算。
例如√a / √b = (√a * √b) / (√b * √b) = √(a/b)三、综合运用下面通过几个例题来综合运用二次根式的化简与运算法则：例题1：化简√(108)。
解：首先，将108分解成最简的平方数的乘积，即108 = 4 * 27 = 4* 3^3。
然后，根据化简含有平方数的二次根式的方法，√(108) = √(4 * 3^3) = √4 * √(3^3) = 2 * 3√3 = 6√3。
例题2：进行二次根式的加法运算：√(8) + √(18)。
解：首先，化简每个二次根式√(8) = √(4 * 2) = 2√2，√(18) = √(9 * 2) = 3√2。
初二二次根式化简技巧
初二二次根式化简技巧
在初二的数学学习中，二次根式化简是一个重要的知识点。
因为涉及到根式的乘法、除法、加法、减法等运算，所以化简二次根式需要掌握一定的技巧。
下面介绍几种常用的二次根式化简技巧。
1. 合并同类项
在化简二次根式时，我们需要合并同类项。
例如，√2 + 3√2 = 4√2。
2. 分解因式
如果二次根式中含有平方数，可以先分解因式，然后将平方项提出来。
例如，√18 = √(9 × 2) = 3√2。
3. 有理化
如果二次根式中含有分母，需要进行有理化处理。
有理化是指将含有根号的分母有理化为整数。
有理化的方法包括乘以分子分母的共轭、借助分母的倍数等。
例如，√2/2需要有理化，可以乘以分子分母的共轭得到√2/2 ×√2/√2 = √2/2。
掌握这些二次根式化简技巧，可以更轻松地解题。
同时，需要进行大量的练习，才能更好地掌握二次根式化简的方法，提高数学成绩。
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二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是指含有平方根的代数式。
化简和运算二次根式是我们在数学中常见的操作。
下面将详细介绍二次根式的化简和运算方法。
一、二次根式的化简化简二次根式旨在将其写成简化形式，以便更方便地进行运算。
下面是一些常用的化简方法：1. 提取公因子：当二次根式中存在公因子时，可以将这些公因子提取出来。
例如，√18可以化简为3√2。
2. 合并同类项：当二次根式中含有相同根号下的项时，可以将其合并。
例如，2√3+√3可以化简为3√3。
3. 有理化：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过有理化的方法将其化为不含二次根式的形式。
例如，将1/√2有理化为√2/2。
二、二次根式的加减运算二次根式的加减运算与常规的代数式加减运算类似，但需要注意根号下的项是否相同。
下面是一些加减运算的方法：1. 合并同类项：对于具有相同根号下的项，可以合并它们，得到它们系数的和或差。
例如，2√3 + 3√3可以合并为5√3。
2. 分配律：对于含有括号的二次根式，可以使用分配律进行运算。
例如，(2√3 + √2)(3√3 - √2)可以通过分配律展开后再合并同类项进行简化。
三、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过展开后合并同类项的方法进行简化。
下面是乘法运算的步骤：1. 使用分配律将两个二次根式相乘，得到展开的结果。
2. 合并同类项，即合并具有相同根号下的项。
3. 通过化简的方法化简展开后的结果。
四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法将分母有理化，然后进行乘法运算的简化。
下面是除法运算的步骤：1. 对于含有分母为二次根式的除法运算，先使用有理化的方法将分母有理化，得到不含有二次根式的形式。
2. 将除法运算转化为乘法运算，即将分子乘以倒数。
3. 使用乘法运算的方法对二次根式进行简化。
综上所述，二次根式的化简与运算涉及到提取公因子、合并同类项、有理化、加减运算、乘法运算和除法运算等方法。
通过合理运用这些方法，我们可以简化和计算二次根式，更好地解决数学问题。
二次根式的化简与运算规律归纳
二次根式的化简与运算规律归纳二次根式是指具有平方根符号的数学表达式，常见形式为√a。
在数学中，化简和运算是我们经常需要进行的操作，对于二次根式也不例外。
本文将就二次根式的化简和运算规律进行归纳，并给出相应的例子加以说明。
一、二次根式的化简规律1. 同底数的二次根式可以进行简化。
当两个二次根式的底数相同时，可将它们合并为一个二次根式，并将系数相加。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的乘积与商可以进行简化。
当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘。
例如：√3 × √5 = √15当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √33. 二次根式的分子和分母可以进行有理化。
对于分子或分母含有二次根式的分式，可以通过乘以一个适当的二次根式，使分子或分母的二次根式被消去。
例如：(4√2)/(√3) = (4√2) × (√3)/(√3) = 4√6/3二、二次根式的运算规律1. 二次根式的加减法规律当两个二次根式的底数和指数都相同时，可直接对其系数进行加减运算。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2当两个二次根式的底数相同但指数不同时，不能直接进行运算，需要将它们化为相同指数的形式后再进行计算。
例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√22. 二次根式的乘法规律当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘，指数保持不变。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法规律当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除，指数保持不变。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的实际应用二次根式在实际生活和学习中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，二次根式被用于计算圆的周长和面积，以及三角形的斜边长度等。
此外，在物理学和工程学中，二次根式也常用于计算物体的速度、加速度、电流等。
二次根式化简技巧
二次根式化简的基本方法
一、乘法公式法
例1计算：
分析：因为2=，所以中可以提取公因式。
二、因式分解法
例2化简：。
分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。
但我们发现（x-y）和（x+y- ）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
三、整体代换法
例3化简。
分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。
不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1.
四、巧构常值代入法
例4已知，求的值。
分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中
含有的项，可先将化为，即先构造一个常数，再代入求值。
典中点二次根式专训4 常见二次根式化简求值的九种技巧
典中点二次根式专训4 常见二次根式化简求值的九种技巧
◐名师点金◑
在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用,在运算的最后注意结果要化成最简形式。
在进行化简时,一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件,根据题目的特点,选取适当的解题方法。
技巧1：估算法
1.若将三个数11,7,3-表示在数轴上,则其中被如图所示的墨汁覆盖的是_______对应的点.
(第1题)
技巧2:公式法
2. 计算:)3225)(65(-+
技巧3:拆项法
3.计算:)
23)(36(23346++++
技巧4:换元法
4.已知12+=n ,求4242424
22222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值.
技巧5:整体代入法
5.已知2231-=x ,2
231+=y ,求4-+x y y x 的值.
技巧6:因式分解法
6. 计算15
106232++++
技巧7:配方法
7.若a,b 为实数,且153553+-+-=a a b ,试求22-+-++b
a a
b b a a b 的值。
技巧8:辅元法
8.已知x:y:z=1:2:3(x>0,y>0,z>0)，求y x z x y
x 2++++的值.
技巧9:先算后判法
9.已知a+b=-6,ab=5,求b a a a b b +的值.。
初中常见二次根式化简求值的九种技巧
常见二次根式化简求值的九种技巧1.估值法例题1：估计184132+⨯的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。
2.公式法 例题3：计算)3225()65(-⨯+3.拆项法例题4：计算)23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++4.换元法例题5：已知12+=n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。
5.整体代入法例题6：已知2231-=x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法例题7：计算15106232++++例题8：计算y xy x x y y x +++2 （y x ≠）7.配方法例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a ab ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。
8.辅元法例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求y x z x y x 2++++的值。
9.先判后算法例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简ba a ab b +并求值。
巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题 例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等，求22223y xy x y xy x +--+的值。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是数学中常见的一类表达式，它可以通过化简和运算来得到简化形式。
在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、二次根式的化简方法二次根式通常以√a的形式出现，其中a是非负实数。
下面我们介绍几种常见的二次根式化简方法。
1. 提取因子法当二次根式内部存在可以被完全开方的因子时，我们可以使用提取因子法进行化简。
例如，对于√12，我们可以提取出其中的公因子4，得到2√3。
2. 合并同类项法如果多个二次根式具有相同的根号内部表达式，我们可以通过合并同类项来简化它们。
例如，对于√2 + √8，我们可以合并为√2 + 2√2，然后化简为3√2。
3. 有理化分母法当二次根式的分母为根号时，我们需要对其进行有理化分母。
具体做法是将根号内部的表达式乘上一个合适的因式，使得分母变为有理数。
例如，对于1/√3，我们可以乘以√3/√3，得到√3/3。
二、二次根式的运算方法除了化简，我们还可以进行二次根式的运算，包括加减乘除。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，即将具有相同根号内部表达式的项合并在一起。
然后，根据需要进行化简，得到最简形式。
例如，对于√2 + 2√2，我们可以合并为3√2。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，然后化简得到最简形式。
例如，(2√3)(3√3) = 6√9 = 6×3 = 18。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将一个二次根式除以另一个二次根式，然后化简得到最简形式。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2。
三、例题演练为了更好地理解和掌握二次根式的化简与运算，我们来解决一些例题。
1. 化简√27并写成最简形式。
解：我们可以应用提取因子法，将27分解为3×3×3。
然后，提取其中的完全平方数因子，得到√(3×3×3) = 3√3。
常见二次根式化简求值的十一种技巧
阶段核心技巧专训
3．计算：（
6＋4 3＋3 2 6＋ 3）（ 3＋
2）.[提示：
6＋4
3＋3
2＝(
6
＋ 3)＋3( 3＋ 2)] 解：原式＝（（6＋6＋3）3）＋（3（3＋3＋2）2）
＝（
6＋
6＋ 3 3）（ 3＋
2）＋（
3（ 3＋ 2） 6＋ 3）（ 3＋
2）
＝
1 3＋
＋ 2
3 6＋
＝ 3
3－
2＋
6－
3＝
6－
2.
阶段核心技巧专训
4．化简：
6＋ 3＋ 2＋2 3＋2 2＋1 .
（ 解：设原式＝（
3＋ 3＋
2）（ 2）＋（
2＋2＋1）1）＝x，
则1x＝
1 3＋
＋ 2
21＋1＝
3－
2＋
2－1＝
3－1.
所以原式＝x＝
31－1＝
3＋1 2.
阶段核心技巧专训
5．计算：2＋
2＋ 3 6＋ 10＋
15.
阶段核心技巧专训
解：由二次根式的定义，得35－a－5a3≥≥00，，
∴3－5a＝0，∴a＝35. ∴b＝15. ∴ab＞0，a＋b＞0，a－b＜0.
∴ ba＋ab＋2－ ba＋ab－2＝ （a＋abb）2－ （a－abb）2＝Βιβλιοθήκη a＋b abab－b－aba
ab＝(a＋abb－b－aba)
ab＝2b
ab.
ab
5
265＝－265
5.
阶段核心技巧专训
11．已知 x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求
x＋y x＋z＋ x＋2y
二次根式化简求值
二次根式化简求值1. 什么是二次根式化简？二次根式是指含有平方根的表达式，形如√(a + b√c)，其中a、b、c为实数。
二次根式化简是指将一个二次根式表达式转化为最简形式的过程。
最简形式指的是将二次根式中的平方根项和非平方根项分开，并且使得其中不含有相同的根式。
2. 二次根式的化简规则二次根式的化简可以通过以下规则进行：2.1 合并同类项合并同类项是指将二次根式中的相同根号项合并在一起。
例如，√2 + 3√2可以合并为4√2。
2.2 分离平方根项和非平方根项将二次根式中的平方根项和非平方根项分离开来。
例如，√3 + 2可以分离为√3+ 2√1。
2.3 化简平方根项将平方根项中的根号内的数化简。
例如，√4可以化简为2。
2.4 化简非平方根项将非平方根项中的数化简。
例如，2√1可以化简为2。
3. 二次根式的求值求二次根式的值是指计算二次根式的数值结果。
对于已经化简的二次根式，可以直接求值。
3.1 求值的方法求值可以通过以下方法进行：3.1.1 代入数值将二次根式中的变量用具体的数值代入，然后进行计算。
例如，对于√(2 + √3)，可以将其中的√3用具体的数值代入，如√(2 + 1.732)。
3.1.2 使用近似值如果二次根式中的数值较复杂，无法精确求解，可以使用近似值进行计算。
近似值可以通过计算器或数值计算方法获得。
3.2 求值的注意事项在进行二次根式的求值时，需要注意以下事项：3.2.1 考虑正负号二次根式中的根号项可以有正负两种情况。
在求值时，需要根据具体的问题确定根号项的正负号。
3.2.2 注意精度在使用近似值进行计算时，需要注意计算精度。
精确度越高，计算结果越准确。
4. 示例下面通过几个示例来演示二次根式的化简和求值过程：4.1 示例1化简和求值√(2 + √3)。
首先，我们将√3作为一个整体，得到√(2 + √3) = √(2 + √3)。
然后，我们将√3展开，得到√(2 + √3) = √(2 + 1.732)。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它包含一个根号符号以及一个数字或运算式。
化简和运算二次根式是我们学习数学的基础内容之一。
在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法。
一、二次根式的化简要化简一个二次根式，我们需要将其写成最简形式，也就是将根号下的数尽量简化。
下面是化简二次根式的几个常见方法：1. 提取公因子法：如果根号下的数可以被某个数整除，我们可以将该数提取出来，并化简为根号下提取出来的数与根号下剩余的数的乘积。
例如：√12 = √(4 × 3) = 2√32. 合并同类项法：如果根号下的数具有相同因数，我们可以将它们合并为一个较大的因数，并化简为根号下合并后的数与根号下剩余的数的乘积。
例如：√18 + √8 = √(9 × 2) + √(4 × 2) = 3√2 + 2√2 = 5√23. 有理化分母法：对于含有分母的二次根式，我们可以通过有理化分母的方式将其化简为不含有分母的形式。
例如：1/(√2 + √3) = (√2 - √3)/(√2 + √3) × (√2 - √3)/(√2 - √3) = (√2 - √3)/(2 -√6)二、二次根式的运算在进行二次根式的运算时，我们需要根据题目给定的要求进行合理的运算操作。
下面是二次根式的加减和乘法的运算方法：1. 二次根式的加减：如果要对两个二次根式进行加减运算，首先需要将它们化简为相同的形式，然后将根号下的数相加或相减，并保持根号外的数字不变。
例如：√5 + √3 = √5 + √32. 二次根式的乘法：如果要对两个二次根式进行乘法运算，只需将根号外的数字相乘，并将根号下的数相乘。
例如：(√7 - √2) × (√7 + √2) = (√7)^2 - (√2)^2 = 7 - 2 = 5同时，我们还可以通过化简、提取公因子等方法对乘法进行进一步的化简。
三、例题演练为了更好地理解二次根式的化简与运算，以下是一些例题演练：1. 化简√75解：√75 = √(25 × 3) = 5√32. 计算(√5 + √7) × (√5 - √7)解：(√5 + √7) × (√5 - √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -23. 计算2(√6 + √2) - √8解：2(√6 + √2) - √8 = 2√6 + 2√2 - 2√2 = 2√6通过以上例题演练，我们可以更好地掌握二次根式的化简与运算方法。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧在有理数中学习的法则、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，对于二次根式化简有些通过常规的方法计算比较麻烦，那有没有什么做题技巧呢？接下来老师来分享一下常见二次根式化简求值的九种技巧，很多同学都没见过。
技巧1：估算法问题思路分析：可通过估算法算出这三个数分别在哪两个整数之间，然后算出答案，本题比较简单。
技巧2：公式法问题思路分析：可根据多项式乘以多项式的法则轻松得到答案，这也是课上老师常练的计算题。
技巧3：拆项法问题思路分析：根据提示把上面的分子进行替换，然后再把式子拆成两项，什么时候用拆项法呢?当式子之间有联系（可以拆成有关系的式子）时，本题的具体答案如下：技巧4：换元法问题思路分析：如果直接把n的值代入计算量会很大并且计算易出错，那我们可以用换元法来做，因数学符号不好打，本题的具体答案如下（当然可以用其他的换元法）：技巧5：整体代入法问题思路分析：先把所求的式子进行化简，再利用完全平方公式进行化简整体代入，请同学们自己动手做一下，做完后对一下下面的答案：技巧6：因式分解法问题思路分析：把分母因式分解后，再和分子约分后化简，本题分母因式分解比较难，请同学们认真，本题的具体答案如下：技巧7：配方法问题思路分析：先根据二次根式的定义求得a的取值范围，然后对所求的式子进行化简，其中可以用配方法求得本题的答案，具体答案如下：技巧8：辅元法问题思路分析：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值，请同学们按照上述老师说的方法自己动手做一下，具体答案如下：技巧9：先判后计算问题思路分析：先根据已知条件判断a和b的符号，然后再化简求值，希望同学们一定要动脑自己尝试去做一下，本题的具体答案如下：上面就是老师讲的常见二次根式化简求值的九种技巧，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法。
二次根式的化简与运算知识点总结
二次根式的化简与运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的数，其中a为非负实数。
在数学中，我们经常会遇到对二次根式进行化简和运算的情况。
本文将对二次根式的化简和运算的知识点进行总结和归纳。
一、二次根式的化简1. 同底数相乘：当二次根式的底数相同时，可以将它们放在一起进行运算。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 分解因式法：对于含有多个因式的二次根式，可以尝试将其进行因式分解，以便更好地进行化简。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
3. 有理化分母：当二次根式的分母为二次根式时，可以采用有理化分母的方法。
有理化分母的原则是将分母中的二次根式进行化简，同时保持等式的相等性。
例如，√(3/√2) = √(3/√2) × (√2/√2) = √(3√2/2) = (√6)/2。
4. 化简平方根：对于平方根的二次根式，要想将其化简，需要将其表示为一个平方数的乘积。
例如，√16 = 4，√25 = 5。
二、二次根式的运算1. 加减运算：对于相同底数的二次根式，可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3 = √2 + √3（无法进行化简）。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以通过将底数相乘，并进行化简得到结果。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 除法运算：二次根式的除法运算可以通过将分子及分母都进行有理化分母的操作，并进行化简得到结果。
例如，√(2/√3) = √(2/√3) × (√3/√3) = √(2√3/3) = (√(6))/3。
4. 平方运算：对于二次根式的平方运算，可以直接将指数乘2，并进行化简。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^2 = 3。
通过对二次根式的化简和运算的知识点总结和归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识。
掌握二次根式的化简和运算方法，可以帮助我们在解题过程中更加高效和准确地进行计算和推导，提高数学解题能力。
二次根式化简的方法与技巧
所以A=
六、借用整数“1”处理法。
例6、计算
分析：本例运用很多方面的知识如： 1= × ，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式
=
=
七、恒等变形整体代入结合法
分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来,再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，
如x －xy+y =(x+y） －3xy，然后再约分化简。
例7：已知X= （ )，y = ( )，求下列各式的值。
（1)x －xy+y ； （2） +
解：因为X= （ )，y = ( ）,所以：x+y= ，xy= .
（1）x －xy+y =（x+y） －3 xy=（ ） －3× =
（2） + = =
八、降次收幂法：
例8、已知x=2+ ，求 的值。
分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式 转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。
解：由x=2+ ，得x－2= .（x—2) =3整理得：x =4x－1.
所以：3x －2x+5=3（4x－1）－2x+5=10(2+ )+2=22+10
二次根式化简的方法与技巧
一、巧用公式法
例1计算
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 与 成立，且分式也成立,故有 ＞0， ＞0, 而同时公式：ห้องสมุดไป่ตู้= —2 + ， — = ，可以帮助我们将 和 变形,所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
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A．1 和 2 之间
B．2 和 3 之间
C．3 和 4 之间
D．4 和 5 之间
课堂导练 2．计算：(2－ 5)2－(1＋ 5)(1－ 5)．
解：原式＝4－4 5＋5－(1－5)＝13－4 5.
课堂导练
3．计算：（
6＋4 3＋3 2 6＋ 3）（ 3＋
2）.
【点拨】直接计算相当麻烦，若将分子中的 4 3拆成 3＋3 3， 则可将整个式子拆成分母相同的两个式子的和，然后进行化简．
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
阶段技巧专训 二次根式化简求值的十种技巧
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课堂导练
1．(2018·重庆)估计(2 30－ 24)× 16的值应在( B )
3.
课堂导练 9．已知 n＝ 2＋1，求nn＋＋22＋－ nn22－－44＋nn＋＋22－＋ nn22－－44的值．
解：设 x＝n＋2＋ n2－4，y＝n＋2－ n2－4，
则 x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.
原式＝xy＋xy＝x2＋xyy2＝（x＋yx）y 2－2xy＝（x＋xyy）2－2
＝（24nn＋＋48）2－2＝n.
.
解：设 10＋31＋0＋110－3＝x(x>0)，
则 x2＝2 1100＋＋12＝2.
故原式＝ 2.
课堂导练
8．已知 x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求
x＋y x＋z＋ x＋2y
的值．
解：设 x＝k(k＞0)，则 y＝2k，z＝3k.
所以原式＝
3k 4k＋
5k＝2＋3
＝ 5
15－2
当 n＝ 2＋1 时，原式＝ 2＋1.
课堂导练
10．已知 x＋y＝－3，xy＝2，求 xy＋ xy的值．
【点拨】将 xy＋ xy化成含 x＋y 与 xy 的代数式，整体代入计算． 解：由题意知 x＜0，y＜0，
则原式＝－
xxy－
yxy＝－
xy·1x＋1y＝－
x＋y xy·xy .
将 x＋y＝－3，xy＝2 代入，得原式＝－ 2×－23＝32 2.
5）
＝
1 2＋
＝ 5
5－ 3
2 .
课堂导练
6．计算：2 3－2 2＋ 17－12 2.
解：2 3－2 2＋ 17－12 2 ＝2 2－2× 2×1＋1＋ 9－2×3×2 2＋8 ＝2 （ 2－1）2＋ （3－2 2）2 ＝2 2－2＋3－2 2＝1.
课堂导练
7．计算：
10＋3＋ 10－3
10＋1
课堂导练
解：原式＝（（6＋6＋3）3）＋（3（3＋3＋2）2）
＝（
6＋
6＋ 3 3）（ 3＋
2）＋（
3（ 3＋ 2） 6＋ 3）（ 3＋
2）
＝
1 3＋
＋ 2
3 6＋
3
＝ 3－ 2＋ 6－ 3＝ 6－ 2.
课堂导练
4．计算：
6＋ 3＋ 2＋2 3＋2 2＋1 .
解：设
6＋3＋32＋2＋2＋1 2＝（（
3＋ 3＋
2）（ 2）＋（
2＋2＋1）1）＝x，
则1x＝
1 3＋
＋ 2
21＋1＝
3－
2＋
2－1＝
3－1.
所以原式＝
31－1＝
3＋1 2.
课堂导练
5．计算：2＋
2＋ 3 6＋ 10＋
15.
【点拨】先将被除式因式分解，然后直接约分即可．
解：原式＝
2（
2＋
2＋ 3）＋
3 5（
2＋
3）
＝（
2＋
2＋ 3 3）（ 2＋