应用z变换求解差分方程

∴ y(n) = 2 (2 n)( 2)
[
n1
( 1)
n1
]
n≥1
或
y(n) = 2 (2n 4)( 2)
[
n2
+ (1)
n2
]u(n 2)
求系统的响应y(n) 求系统的响应 解： 1) 列差分方程，从加法器入手 列差分方程，
2
x(n) + x(n 1) 3y(n 1) 2y(n 2) = y(n) ∴ y(n) + 3 y(n 1) + 2 y(n 2) = x(n) + x(n 1)
2)用z变换求解需要 (1), y( 2),用y(1), y(0)由方程迭代出 y
[
]
即
Yzi (z) yzi (n) = 3( 2) + 2(1)
n
n
n≥ 0
c.整理（1）式得全响应 整理（ ） 整理
注意
na u(n)
n
验证
, a = 2 (z a)2
az
由方程解y(n)表达式可以得出 表达式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知条 由方程解 表达式可以得出 ， 件一致。 件一致。
z Y (z) 0.9 z Y(z) + y(1) = 0.05 z 1
1
[
]
0.05z2 0.9 y(1)z Y(z) = + (z 1)(z 0.9) z 0.9
Y ( z) A z A2z 1 = + z z 1 z 0.9
Y ( z) A z A2z 1 = + z z 1 z 0.9
1 5 y( 1) = , y( 2) = 2 4 3)差分方程两端取 变换，利用右移位性质 差分方程两端取z变换 差分方程两端取 变换，
Y(z) + 3 z1Y(z) + y( 1) + 2 z2Y(z) + z1 y( 1) + y( 2) z z 1 ( x( 1) = 0) z = + z+2 z+2 a.由激励引起的零状态响应 由激励引起的零状态响应 z +1 1 2 Yzs (z) 1+ 3z + 2z = z+2 z2 Yzs (z) = 即 (z + 2)2 零状态响应为 n Yzs (z) yzs (n) = (n + 1)( 2) u(n)
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定 根据输入信号加上的时刻定 全响应 对因果系统y(n)不可能出现在 不可能出现在x(n)之前 对因果系统 不可能出现在 之前 观察Y(z)分子分母的幂次 分子分母的幂次 观察 分母高于分子的次数是响应的起点 2z 2z Y (z) = 2 (z +1)(z + 2)
三．差分方程解的验证
y(0), y(1), y(2)两种迭代结果相同 , y 解的表达式迭代出 (0), y(1), y(2) 解答是正确的 原方程迭代出
例8-7-1(原教材例7-10(2))
已知系统的差分方程表 达式为 y(n) 0.9 y(n 1) = 0.05u(n) 若边界条件 (1) = 1,求系统的完全响应。 y 求系统的完全响应。 解： 方程两端取z变换 方程两端取 变换
A = 0.5 1
A2 = 0.45
Y ( z) z z = 0.5 + 0.45 z z 1 z 0.9
y(n) = 0.5 + 0.45×(0.9)
n
(n ≥ 0)
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程. 列出系统的差分方程
nFra Baidu bibliotek
x(n)
1 E
+ + +
3
1 E 1 E
y(n)
( 2) n ≥ 0 x(n) = , y(0) = y(1) = 0, 0 n<0
序言
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边 变换（移位性质） 对差分方程进行单边z变换 移位性质） 对差分方程进行单边 变换（ (2)由z变换方程求出响应 由 变换方程求出响应 变换方程求出响应Y(z) (3) 求Y(z) 的反变换，得到 的反变换，得到y(n)
二．差分方程响应y(n)的起始点确定
[
] [
]
[
]
b.由储能引起的零输入响应 （对 ≥ 2都成立） 由储能引起的零输入响应 n 都成立）
YZi (z) 1 + 3z 1 + 2z 2 = 2z 1 y( 1) 3 y( 1) 2 y( 2)
2z z(z 1) 3z Yzi (z) = = + (z + 2)(z + 1) z + 2 z + 1 零输入响应为
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 时域方法 时域方法——第七章中介绍，烦琐 第七章中介绍， 时域方法 第七章中介绍 z变换方法 变换方法 差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ 可以将时域卷积→频域（z域）乘积； 可以将时域卷积→ 可以将时域卷积 频域（ 域 乘积； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 求解过程自动包含了初始状态（ 求解过程自动包含了初始状态 相当于0 条件）。 条件）。