高考数学第四章圆与方程章末复习提升新人教A版

例1 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，
2)，求此圆的方程.
解析答案
跟踪训练1 若圆Cwk.baidu.com过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆
C
x－22＋y＋322＝245
解的析方程是因_为__圆__的__弦__的__垂__直__平__分__线. 必过圆心，且圆经过点(0，0)和(4，0)，
例3 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上 一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小
值.
解析答案
跟踪训练3 已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最
大值和最小值.
解 设x＋y＝t，由题意，知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公
的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 (D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By ＋C)＝0，λ是待定的系数.
4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含， 其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以 确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选 择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用 圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上
解析答案
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和 l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被 圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
解析答案
解析答案
题型三 与圆有关的最值问题 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把 要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤 其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是 一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得 出要求的范围.
所以设圆心为(2，m).
又因为圆与直线y＝1相切，
所以 4－22＋0－m2＝|1－m|， 所以 m2＋4＝m2－2m＋1，解得 m＝－32， 所以圆的方程为(x－2)2＋y＋322＝245.
解析答案
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重， 判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性 质以简化解题过程. (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心 距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充 分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三 角形.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2； 若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a) ＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该
点在圆内. ②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点 在圆内.
注 意 ： 若 P 点 是 圆 C 外 一 定 点 ， 则 该 点 与 圆 上 的 点 的 最 大 距 离 ： dmax ＝ |PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种： 代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判
断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离 为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有
序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空 间直角坐标系下的对称点.
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题型探究 重点突破
题型一 求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定 系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： (1)选择圆的方程的某一形式；
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)； (3)解出a，b，r(或D，E，F)；
(4)代入圆的方程.
的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来
判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利 用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
第四章 圆与方程
章末复习提升
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1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径 长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，