第24讲 三角不等式

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第四讲 三角不等式
含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．
A 类例题
例1 已知α、β为锐角，且()0
2
x π
α
β+-
>，求证对一切0
x
≠，有
(cos )(sin )
x
x
αβ<
分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数
()f x x
α
=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数
()f x x
α
=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．
证明 （1）若x >0，则2
π
αβ+>
，则
02
2
π
π
βα>>
->，由正弦函数
的单调性，得0sin()sin 12
π
αβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故
有(cos )(sin )
x
x
αβ<．
（2）若x <0，则2
π
αβ+<
，则02
2
π
π
β
α<<
-<
，由正弦函数的单调
性，得
0s i n s i n ()
12
π
βα<<
-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有
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(cos )(sin )
x x
αβ<．
说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2
π
α
±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力
工具．
例2 已知0α
π
<<，试比较2sin 2α和cot
2
α
的大小．
分析 两个式子分别含有2α与2
α
的三角函数，故可考虑都化为α的
三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．
解法一
2sin 21cos 4sin cos tan
4sin cos 2
sin cot
2
αα
ααααα
α
α
-==
=2
214cos 4cos 4(cos )12
ααα-=--
+，∵0απ
<<，所以当1cos 2
α
=
，
即3
π
α
=
时，上式有最大值1，当0α
π
<<且3π
α
≠
时，上式总小于1．因
此，当3
π
α
=
时，2sin 2α=cot
2
α
；当0α
π
<<且3
π
α
≠
时，2sin 2α<
cot
2
α
．
解法二 设tan
2t
α
=，由0απ
<<得022
α
π
<
<
，故tan
2
t α
=>，则
1cot
2
t
α
=
，22
2
4(1)22sin 24sin cos (1)
t t t α
αα-⋅==+，于是有
cot
2
α
-2sin 2α=
2
4
2
2
22
22
2
22
14(1)2961(31)0
(1)
(1)
(1)
t t t t t t
t t t t t -⋅-+--=
=
≥+++
因此，当3
π
α
=
时，2sin 2α=cot 2
α
；当0α
π
<<且3
π
α
≠
时，
2sin 2α<cot
2
α
．
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第3页（共18页）
例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )
分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．
证法一 （1）当0,
,2
x
π
π
=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．
（2）当
2
x π
π
<<时，
0s i n 1
2
x π
<<
<，
cos 0
2
x π
-<<，则
cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02
x π
<
<
时，有0<sin x <x <
2
π
，而函数y =cos x 在(0,
)
2
π
上为减函数，
从而有cos(sin x )>cos x ；而
0c o s 2
x π
<<
，则sin(cos x )<cos x ，因此
cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．
分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．
证法二 当02
x π
<
<
时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且
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sin x +cos x
)4
x π
+
2
π
≤，即0<sin x <
2
π
-cos x <
2
π
，而函数y =cos x
在(0,
)2
π
上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2
π
-cos x )=sin(cos x )，即
cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．
说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,
)
2x π
∈时，sin tan x x x
<
<，
这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2
π
<
，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）
本题结论可推广至x R ∈.
情景再现
1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++>++.
2．已知,(0,
)
2
x y π
∈，tan 3tan x
y
=，求证：6
x y π
-
≤
.
3．当[0,]2
x π
∈时，求证：cos cos sin sin x x >.
B 类例题
例4 在ABC ∆中，证明：
sin sin sin A B C ++≤
分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．
证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.
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sin sin sin 2sin
cos
sin 2
2
A B A B A B C C +-++=+2cos
cos
sin 2
2
c A B C
-=+，
显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．
同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C
++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =
3
π
时，sin
sin sin A B C
++
说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．
分析二
即证
sin sin sin 3
2
A B C
++≤
，观察左边的形式，从而考虑用
琴生不等式进行证明．
证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123
123
sin sin sin sin()33
x x x x x x ++++≥
，等
号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin(
)3
3
A B C
A B C
++++≥
，
从而有
sin sin sin 180sin
3
3
2
A B C
++︒≤=
说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．
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例5 已知,,x y z R ∈,02
x y z π
<<<<
．
求证：
2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22
x y y z x y z
π
++>++（90年国家集训队测试题）
分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．
证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4
x y y z x x y y z z
π
++>++
即证明
sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4
x x y y y z z z
π
>-+-+
注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而
4
π
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为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．
例6
63)cos()2sin 24
sin cos a π
θθ
θθ
+-
+
-+
36a <+对于[0,
]
2
π
θ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数
学奥赛试题）
分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ
有关的几个三角函数式，
cos()cos )
4
2
π
θθθ-
=
+，sin 22sin cos θ
θθ
=，因此考虑令
sin cos x
θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．
解 设sin cos x
θ
θ+=
，则2
cos(),sin 21
4
2
x π
θ
θ-
=
=-，当
[0,
]2
π
θ∈
时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：
2
6(23)2(1)36
a x x a x
++
--<+，即2
6223340
x ax x a x
---
++>，
222()3()0
x x a x a x
x
+--+->
，()
2
(23)0(1)
x x a x x ⎛⎫⎡-+
->∈ ⎪⎣⎝
⎭
∴原不等式等价于不等式（1），
,230x x ⎡∈∴-<⎣
（1
）不等式恒成立等价于()20
x a x x
⎡+-<∈⎣
恒成立．
从而只
要m a x 2
()()a
x x x
⎡>+
∈⎣．又2
()f x x x
=+
在⎡⎣上递减
，m a x 2()3(2)
x x x
⎡∴+
=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈
(0,
)2
π
，且满足cos a a =，sin cos b b =，
cos sin c c
=，
按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第8页（共18页）
分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sin cos cos b b b =<，cos sin cos c c c =
>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考
虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a a b b
==，对等号两边分别比较，即先
假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．
解 （1）若
a b
=，则c o s s i n c o s a a =，但由c o s a (0,
)2
π
∈，故有
c o s s i n c o s
a a >矛盾，即a ≠
b ．
（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sin cos a b <，而sin cos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．
类似地，若c a =，则由题意可得cos cos sin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a <<，即sin c a <，cos sin cos c a ∴>，即c a >矛盾．
综上可得：b a c <<．
说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．
情景再现
4．在三角形ABC 中， 求证：（1）3sin
sin
sin
2222
A B C ++≤；（2
）sin
sin sin A B C ≤
．
5．设12
x y z π
≥
≥≥
，且2
x y z π
+
+=
，求乘积cos sin cos x y z 的最
值．（1997年全国高中数学联赛）
6
．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥-（2004年福建省数学竞赛题）
C 类例题
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例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22
cos (1)(1)sin 0
x x x x θ
θ--+->恒成
立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）
分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．
解法一 设2
2
()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ
=
--+-， 则由[0,1]x ∈时
()0f x >恒成立，有(0)sin 0
f θ=>，(1)cos 0f θ=>
，
2
2
()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x -
-2
1[(12(1)(0
2
x x x =---->
，当
x =
时，(10x -=
，令0
x =
，
则001x <<
，
0001()2(1)0
2f x x x =->
12
>
，即
1sin 22
θ>
，且sin 0,cos 0
θθ>>，所求范围是：
522,12
12
k k k Z π
πθππ+
<<+∈，反之，当522,12
12
k k k Z π
πθππ+
<<+
∈时，
有1sin 22
θ
>
，且sin 0,cos
0θ
θ>>
，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．
分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小
值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．
解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有
()f x =2
2
cos (1)(1)sin 0
x x x x θθ--+->，即
2
()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必
有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第10页（共18页）
12sin 2(cos sin 1)
x θθθ+=
++[0,1]∈，
故必有2
4(cos sin 1)sin (12sin )
4(cos sin 1)
θθθθθθ++-+>++，
即4cos sin 10θθ
->，1sin 22
θ>，又由于cos 0,sin 0
θ
θ>>故
522,12
12
k k k Z
π
ππθπ+
<<+
∈．
分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．
解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x
-cos θ+
1x x
-sin θ>1
对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x
-cos θ+
1x x
-sin θ
≥，
∴
1x x
-cos θ+
1x x
-sin θ
的最小值为，等号当
1x x
-cos θ=
1x x
-sin θ
即x =
时取到，
因此>1．∴
1sin 22
θ>
，又由于cos 0,sin 0
θ
θ>>故522,12
12
k k k Z
π
ππ
θπ+
<<+
∈．
例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有
()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：2
2
2
a b +≤，
2
2
1A B +≤．（1977
第十九届IMO ）
分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化
成
()1))0
f x x x θϕ=-+-
+≥，其中x 为任意实数，
注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．
证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠：
令sin cos sin cos θ
θϕϕ=
=
=
=
得，
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()1))f x x x θϕ=-+-
+，即对于一切实数x
，
都有
()1))0
f x x x θϕ=-+-
+≥（1）
()1))02
f x x x π
θϕ+
=-++
+≥
（2）
（1）+（2
）得：2)cos()]0
x x θθ-
+++≥
，即
sin()cos()x x θθ+++≤
对于一切实数x
≥因
此2
2
2
a b +≤．
()1))0
f x x x πθϕ+=++-
+≥ （3）
（1）+（3
）得：2)0
x ϕ-+≥
，即sin(2)x ϕ+≤恒
1≥，∴ 221A B +≤．
例10 设α
βγπ
++=，求证：对任意满足0
x y z ++=的实数,,x y z 有
2
2
2
sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤
分析 由0
x y z +
+=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等
式，对x 恒成立，即可得证．
证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=222
2
2
2
2
[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++-
（1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；
（2）当sin 0α≠
，整理成y 的二次方程，证△≤0．
左边2
2
2
2
(sin sin sin )
[sin ]
2sin x y αβγαα
+-=
-+
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2222222
2
[(sin sin sin )4sin sin ]
4sin x αβγαβα
+--+
，
由22
2
2
2
2
(sin sin sin )4sin sin α
βγαβ
+--
2
22
2
2
2
(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )
αβγαβαβγαβ=+-++--
2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+ 2
2
2
4sin sin [1cos ()]0
αβαβ=--+≤，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
[(sin sin sin )4sin sin ]
4sin x αβγαβα
+--0
≤，∴不等式左边0
≤
成立．
情景再现
7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其
中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）
8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>
习题
1．求证：对所有实数,x y ，均有22
cos cos cos 3x y xy +-<．
2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1
A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2
A B C ++>
4
．求证：22
2sin (cos(sin )sin(cos )2sin (
42
4
2x x π
π
-
≤-≤+
5．已知,(0,
)2
π
αβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成
一个三角形？
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第13页（共18页）
6．已知,αβ为锐角，求证：
2
2
2
2
11
9
cos sin sin cos α
αββ
+
≥
7．已知A +B +C =π，求证：2
22
tan tan
tan
12
2
2
A B C ++≥
8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：
3
π
≥
++++c
b a cC bB aA ．
9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：
1
2
tan tan tan 3n
n n n
A B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）
10．已知02
π
θ
<<
，,0
a b >，求证：
223
3
3
2
()sin cos a b a b θ
θ
+
≥+
11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中
至少有一个小于或等于30°．
12．解方程cos cos cos cos sin sin sin sin x x =（1995年全俄竞赛题）
本节“情景再现”解答： 1．证明：锐角三角形可知A+B 2
π
<，从而A 2
π
<
-B ，从而sin
cos A B
>，
同理sin cos ,sin cos B
C C A
>>，三式相加得证．
2．证明：由已知得tan 3tan tan x
y y
=>及,(0,
)
2
x y π
∈知，x y
>
，从而
(0,
)
2
x y π
-∈，要证6
x y π
-
≤
，只须证明tan()tan
6
3
x y π
-
≤=
2
tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y
y x y x y
y
--=
=
++
，于是问题归结为证
2
2tan 3
13tan y y
≤
+，
即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第14页（共18页）
3．证法一：当x ∈(0,
2
π
)时，∵0<sin x <x <
2
π
,∴sinsin x <sin x ,再比较
sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2
π
-x )，即比较(
2
π
-x )与cos x ，而
cos x =sin (
2
π
-x ),因此(
2
π
-x )＞cos x ，从而cos (2
π
-x )<coscos x ，即
sin x <coscos x ，从而得证． 证法二： sin x +cos
x 2
π
≤，即0<cos x <
2
π
-sin x <
2
π
，
所以cos(cos x )>cos(
2
π
-sin x )=sin(sin x )．
4．证明：（1）由琴生不等式即得． （2
）sin sin sin sin
3
3
2
A B C
A B C
++++≤
≤=
，从而得证．
5．解：由条件知，
3
12
x y z π
π
≥≥≥≥
，()22
2
12
3
x
y z π
π
π
π
=
-+≤
-⨯
=
，
sin()0
y z -≥，于是
cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2
x y z y z ++-1cos sin()
2
x y z ≥
+2
2
111cos cos
2
2
3
8
x π
=≥
=
，当,3
12
x
y z π
π
=
==
时取等号，故最小值为18
（y
与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）． 又cos sin cos x y z =
1cos [sin()sin()]2
z x y x y +--2
11cos sin()cos 2
2
z x y z
≤
+=
2
1cos
212
8
π
≤=
5,12
24
z x y π
π=
==
时等号成立，故cos sin cos x y z
8
6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x
=
++++
+，
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第15页（共18页）
sin cos t x x
=+，
则
有
2
1s i n
c
o
2
t x
x -=，2
2
22()||1
1
t f x t t t =+
+
--22|||11|1
1
t t t t =+
=-+
+--
当1t >
时，2()1111
f x t t =-++≥-； 当1t <
时，2()(1)111
f x t t =--+
-≥-
因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．
7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异
号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．
同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），
1[(1)(2)(3)]2
⨯++即得所要证的不等式．
8．证明：2
2
4
2tan
2tan 4tan 2
2
2
sin tan 4tan
2
1tan
1tan
1tan
2
2
2
α
α
α
α
α
αα
α
α
+=
+=>+--，
0,tan
,sin tan 4tan
22
2
2
2
π
α
α
α
αααα
<<
∴>
∴+>> ，同理得另两个，命题
得证．
“习题”解答： 1．证明：2
2
cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成
立．用反证法．若等号成立，则2
2
cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则
2
2
2,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2
2
2
4,,*x y nk k n N π=∈，则
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第16页（共18页）
,,*xy k n N =∈
，不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不
成立．
2．证明：锐角三角形可知A+B 2
π
<，从而A 2
π
<
-B ，从而sin
cos A B
>，
同理sin cos ,sin cos B
C C A
>>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan
tan tan 1
A B C >．
3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
2
2
cos cos cos cos cos cos B B A A B A
>+=+，三式相加得证．
4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(
cos )
2x x x x π
-=--
cos sin cos sin 2sin(
)sin(
)
42
4
2
x x
x x
π
π
+-=-
-
又cos sin 22
2
x x
±≤
≤
，
cos sin 4
2
4
2
4
2
x x
π
π
π
±-
≤
-
≤
+
，又
042
π
-
>
，
4
2
π
+
2
π
<
，由正弦函数在[0,
]2
π
上的单调性可知，原不等
式成立．
5．证法一：
sin sin 2sin
cos
2sin
cos
sin()
2
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
αβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos
|sin
|2cos
sin
sin()
2
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
αβαβ+-++-=<=+，因此
可以构成三角形．
证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第17页（共18页）
6．解： 左22
2
2
2
2
2
14
145tan 4cot 9
cos sin sin 2cos sin ααα
αβ
α
α
=
+
≥
+
=++≥．
7．证：左tan tan tan
tan
tan
tan
2
2
22
2
2
A B B C C A ≥
++
tan
tan
tan
(tan tan
)
222
22
A B C B A =++
tan tan cot
tan
(1tan
tan
)1
222
2
22A B A B A B A B ++≥+-=
8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证
(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．
9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，
而x y z ++≥，代入得3
2
3xyz ≥
，故1
23n
n
n
n
x y z +++≥≥．
10．证明：要证原不等式，即证2
22
3
3
3
(
)()
sin cos a b a b θ
θ
+
≥+
，即
22222
2
2sin cos sin cos a
b
ab a b θθ
θ
θ
+
+
≥++
上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化 即证22
2
222
sin cos cot tan 2sin cos a
b ab
θθθθθθ
++
+≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θ
θθθ++
+≥
因
为2222
2
c o t 2
t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得
22tan 2cot b ab θθ
+≥
11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，
《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角不等式》 第18页（共18页）
三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ 6
6
123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
6
61
234561sin ()
62θθθθθθ+++++⎛
⎫≤= ⎪⎝⎭
，从而
sin 1θsin θ2 sin θ
33
1()2
≤
，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或
等于1
2
，不妨设sin 1
θ12
≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少
有一个角小于30°．
12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解． 由于[0,
]2
x π
∈时有c o s c o s s i n s i n x x
>，将x 换成c o s c o s x 得（换成sinsin x
也可以）：cos cos cos cos sin sin cos cos x x
>，又由于sin sin y x =在[0,
]2x π
∈时
为增函数，因此有
sin sin cos cos sin sin sin sin x x
>，综上可得：
cos cos cos cos sin sin sin sin x x
>，因此原方程无解．
当(
,)
2
x π
π∈时，令2
y
x π
=-
，则(0,
)
2y π
∈，
在cos cos sin sin x
x
>，[0,]2
x π
∈中，将x 换成cos sin y 得，
cos cos(cos sin )sin sin(cos sin )sin sin(sin cos )y y y >>，将2
y x π
=-代入得，
cos cos cos cos sin sin sin sin x x
>，原方程也无解．
综上所述，对x R ∈，恒有cos cos cos cos sin sin sin sin x x
>，原方程无解．
C。