2020年5月唐山市一模理科数学试题答案

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2020届河北省唐山市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案(精品)

唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（） A ．22i -+B ．22i + C ．22i -- D ．22i -2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N ØB ．N M ØC ．M N =D ．M N R =U 3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（） A ．45B ．45-C ．35D ．35- 4.两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r r （）A ．2B ．3C ．2D ．35.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（） A ．18 B ．16 C ．12 D ．96.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．542+．9C ．652+D ．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（） A 632C 2．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=o，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（） A 3333C ．12D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=o.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题：（13）－5 （14）－160（15）32（16）[2，22]三．解答题：（17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，整理得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分（Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1； P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3； P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X 的分布列为：…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500，此时Y 1的分布列为：Y 1 －100 700 1500 P0.10.20.7此时利润的期望值E (Y 1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180； …8分当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000，此时Y 2的分布列为：Y 2 －400 400 1200 2000 P0.10.20.30.4此时利润的期望值E (Y 2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4 ＝1200；…10分因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ，得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ．又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ．由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)． …8分设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．…10分则cosn ，m ＝n ·m |n ||m |＝12．AA 1BC1B 1xyzO又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角，所以二面角A 1-AB -C 的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |，所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f(x )＝ex －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，et －1)处的切线为y ＝et －1x ＋(1－t )e t －1；…5分因为g(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1， …6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．…7分令h (t )＝(t －1)et －1－t ＋a ，则h (t )＝t et －1－1 由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0， …11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)]＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。

河北省唐山市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理

河北省唐山市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ，{}x y y B 2==，B A M =，则集合M 的子集个数是A．2B．3C．4．D．82．设i 是虚数单位，复数i i z -+=32，则z 在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a ，b 满足|a +b |=|b |，且l a |=2，则b 在a 方向上的投影是A．2B．-2C．1D．-16．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n b a m b a ====3322，，若m，n 为正数，且m≠n，则A．11b a <B．11b a >C．11b a =D．11b a ，的大小关系不确定7．已知随机变量X 服从正态分布N（0，1），随机变量Y 服从正态分布N（1，1），且1587.0)1(=>X P ，则)21(<<Y P =A．1587.0B．3413.0C．8413.0D．6587.08．函数2tan )(x x x f -=在)2,2(ππ-上的图象大致为9．设函数322sin()(π+=x x f ，则下列结论中正确的是A．)(x f y =的图象关于点)0,3(π对称B．)(x f y =的图象关于直线3π=x 号对称C．)(x f 在]3,0[π上单调递减D．)(x f 在]0,6[π-上的最小值为010．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD=2，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为A．63B．65C．33C．3511．已知P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N（O 为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C 的离心率是A．332B．3C．26D．212．已知a x a x e x f a x++-=>)()(2，，有如下结论：①)(x f 有两个极值点；②)(x f 有3个零点；③)(x f 的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-0130301y x y x y x ，则y x z -=2的最小值为.14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有种15．在数列{}n a 中，已知m a a a n n +==+111，（t N n ，*∈为非零常数），且321a a a ，，成等比数列，则=n a ．16．已知F 为抛物线)0(22>=p px y C ：的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，设α=∠KPF ，β=∠PKF ，θ=∠PFK ，有以下3个结论：①β的最大值是4π；②θβsin tan =③存在点P ，满足βα2=．其中正确结论的序号是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知4=a ，ABC ∆的面积为32．（1）若3π=A ，求ABC ∆的周长；（2）求CB sin sin ⋅的最大值．如图，直三棱柱111C B A ABC -的底面为等边三角形，E D ，分别为11C A AC ，的中点，点F 在棱1CC 上，且BF EF ⊥．（1）证明：平面⊥BEF 平面BDF ；（2）若FC F C AB 241==，，求二面角F BE D --的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为)10(<<p p ．（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若21=p ，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望)(X E （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围。

2020年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|2}x B y y ==，M A B =I ，则集合M 的子集个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．82．（5分）设i 是虚数单位，复数23iz i+=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是( )A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．（5分）《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3)π=，则该圆柱形容器能放米( ) A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛5．（5分）已知向量a r ，b r 满足||||a b b +=r r r ，且||2a =r ，则b r 在a r方向上的投影是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．（5分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m ，n 为正数，且m n ≠，则( ) A ．11a b < B ．11a b >C ．11a b =D ．1a ，1b 的大小关系不确定7．（5分）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.65878．（5分）函数2()tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）设函数2()sin(2)3f x x π=+，则下列结论中正确的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(,0)3π对称B ．()y f x =的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 在[0,]3π上单调递减D ．()f x 在[,0]6π-上的最小值为010．（5分）已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为( ) ABCD11．（5分）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF x ⊥轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点(N O 为坐标原点），若MN ON ⊥，则双曲线C 的离心率是( ) ABCD ．212．（5分）已知2a >，()()x f x e x a x a =-++，有如下结论： ①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件1030310x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩…„„，则2z x y =-的最小值为．14．（5分）中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有种．15．（5分）在数列{}n a 中，已知11a =，*1(n n a a tn n N +=+∈，t 为非零常数），且1a ，2a ，3a 成等比数列，则n a = ．16．（5分）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，设KPF α∠=，PKF β∠=，PFK θ∠=，有以下3个结论：。

2020年河北省唐山市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

解析：由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 P ABC ，
故 AC 1 ， PA 2 ， BC PC
∴ S ABC
S PAC
1
21 1
2
，
5 ， AB 2 2 ， PB 2 3 ，
1
1
S PAB
2 2 2 2 2 S PBC
23 2
2
，
2
6 ，
∴该多面体的侧面最大面积为 2 2 ．故选 B ．
B． 1 2
C．2 或 1 2
D． 1
3.如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团
的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为
600 人（所有学生都参加了调查），现从参加社团
的同学中按分层抽样的方式抽取 45 人，则抽取的高二学生人数为（
）
A.9
B.18
C.27
2.答案： A
2x0
解析：由 z1 z2 (1 xi)(2 i)=2 x (2 x 1)i ，由 z1 z2 为纯虚数，则
，解得 x 2x 1 0
2 .故选
A. 3.答案： C
解析：根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为
取的高二学生人数为
3 45
27 人，故选 C
5
2 : 3 ，由分层抽样的性质可得，抽
4.答案： D
解析：∵ 数列 a2 a5
3a3 是等比数列， a2a5
3a3 ，∴ a4
3
a1q
3 ．∵ 9a7 与 9a7 的等差中项为 2 ，
∴ a4 9a7
3
a4 (1 9 q )
4 ，解得 q
1 ， a1 3

2019-2020学年唐山市高三理科数学一模试题及答案

唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是A．2 B．3 C．4 D．82．设i是虚数单位，复数z＝2＋i3－i，则z-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|b|，且|a|＝2，则b在a方向上的投影是A．2 B．－2C．1 D．－16．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则A．a1＜b1B．a1＞b1C．a1＝b1D．a1，b1的大小关系不确定7．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X＞1)＝0.1587，则P(1＜Y＜2)＝A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.65878．函数f(x)＝tan x－x2在(－π2，π2)上的图象大致为9．设函数f(x)＝sin(2x＋2π3)，则下列结论中正确的是A．y＝f(x)的图象关于点(π3，0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在[0，π3]上单调递减D．f(x)在[－π6，0]上的最小值为010．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为A．36B．56C．33D．5311．已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是A．233B． 3C．62D．212．已知a＞2，f(x)＝e x(x－a)＋x＋a，有如下结论：①f(x)有两个极值点；②f(x)有3个零点；③f(x)的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A ．0 B．1C．2D．3O xyA．O xyC．O xyD．B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x －3y ＋1≤0，则z ＝2x －y 的最小值为________．14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋tn (n ∈N *，t 为非零常数)，且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝___________． 16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C上．设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：①β的最大值是 π4； ②tan β＝sin θ； ③存在点P ，满足α＝2β．其中正确结论的序号是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为23．（1）若A ＝ π3，求△ABC 的周长；（2）求sin B ·sin C 的最大值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ．（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D -BE -F 的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）．（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若p ＝12，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E (X )；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点．．．．O ），点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且|PQ |＝2，设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限．（ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C ，D ，证明：|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |．21．（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，f '(x )为f (x )的导函数，f (x 1)＝f (x 2)且x 1＜x 2．证明：（1）f '(x )＜0；（2）x 2－x 1＞1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x ＋a |－2|x －1|－1．（1）当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f (x )的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1FEDCBA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACB AD 二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ，又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210，故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4，所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ，因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ．又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ．又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ．…5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解：（1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)，由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点，得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限，得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分z yxC 1 B 1A 1 F EDC B A（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92．所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)，所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0；所以g (x )≤g (1)＝－1＜0．在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分（2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1，故x 2－x 1＞1． …12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）． …4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)．所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22． …10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0．当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}． …4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设．综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设． …10分。

2020年河北省唐山市中考数学一模试卷含答案

5.【答案】C
【解析】解：∵分式的值为 0，
∴x2-1=0，解得：x=±1．故选：C．直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
6.【答案】B
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【解析】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45°， ∴∠DBC=45°-30°=15°．故选：B．直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=60°，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD 的度数是解题关键．
A. 80100
B. 801000
C. 8010
D. 8010000
4. 如图，已知 P 为直线 l 外一点，点 A、B、C、D 在直线 l 上，且 PA＞PB＞PC＞PD
，下列说法正确的是（）
A. 线段 PD 的长是点 P 到直线 l 的距离 B. 线段 PC 可能是△PAB 的高
C. 线段 PD 可能是△PBC 的高
23. 如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交 BE 于 O．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：AD 与 BE 互相平分；（3）若 BF=5，FC=4，直接写出 EO 的长．
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24. 如图，直线 l1：y=2x+1 与 x 轴、y 轴交于点 D、A，直线 l2：y=mx+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、B，两直线相交于点 P（1，b）．（1）求 b，m 的值；（2）求 S△PDC-S△PAB 的值．（3）垂直于 x 轴的直线 x=a 与直线 l1，l2 分别交于点 M，N，若线段 MN 长为 2，求 a 的值．

2024唐山高考一模数学(含答案)

唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z＝21＋i，则z·¯z＝A．1＋i B．1－iC． 2 D．22．已知x∈R，p：“x2－x＞0”，q：“x＞1”，则p是q的A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝A．2 5 B．4C．210 D．204．已知函数f(x)＝xx－2，则f(x)的最小值为A．0 B．2C．2 2 D．35．从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为A．17B．114C．27D．4356．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于A ，B 两点，与E 的准线交于C ，D 两点，若|CD |＝221，则|AB |＝ A ．3 B ．4 C ．6 D ．87．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球表面积与圆台侧面积之比为 A ．2︰3 B ．3︰4 C ．7︰8 D ．6︰13 8．已知函数f (x )＝|sin ωx |＋cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则A ．f (x )在[－ π 8， π8]单调递增 B ．(3π8，0)是f (x )的一个对称中心C ．f (x )在[－ π 6， π 6]的值域为[1，2] D ．x ＝ π8是f (x )的一条对称轴二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020年河北省唐山市高考数学一模试卷1 (含答案解析)

2020年河北省唐山市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−2019<x <3}，B ={x|x(x −5)<0}，则A ∩B =( )A. (0,3)B. (−2019,5)C. (−2019,3)D. (3,5)2. 已知zi =1−2i,求 | z|=( )A. √3B. √5C. 3D. 53. 双曲线x 22−y 24=1渐近线的斜率为( )A. ±√22B. ±12C. ±√2D. ±24. 实数x ，y 满足{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，则z =4x +3y 的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 245. 如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的体积为( )A. 4πB. 163π C. 16π D.323π6. 已知命题p ：|x|≥0；命题q ：∀x ∈R ，x 2−x −1=0.则下列命题为真命题的是( )A. ￢p ∨qB. ￢p ∧qC. p ∨￢qD. ￢p ∧￢q7. 中国古钱币的图样如图，圆的直径为2cm ，内方孔的边长为1cm ，在圆内随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是( )A. 14π B. 1−14π C. 1π D. 1−1π8. 执行如图所示的程序框图，可以计算S =1×12×23×34×…×99100的值，则在空白框◇与中应分别填入( )A. i>100?，i=i+1B. i≤100?，i=i+2C. i≥100?，i=i+2D. i<100?，i=i+19.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=c=2且∠A=45°，则b=()A. 2√2B. 4+2√3C. 4−2√3D. √6−√210.如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2BC，∠A1B1C1=∠B1C1D1=120°，且BC//AD，则直线AB1与直线A1D所成角的余弦值为()A. √1010B. 3√1020C. √105D. √5511.函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图，则f(x)=()A. f(x)=2sin(4x+π3)B. f(x)=2sin(4x−π3)C. f(x)=2sin(43x−8π9)D. f(x)=2sin(43x+8π9)12.设函数f(x)=e x−2asinx，x∈(0,π)有且仅有一个零点，则实数a的值为()A. √2eπ4B. √22eπ4 C. √22eπ2 D. √2eπ2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )，则m =______．14. 设函数f(x)={e −x ,x ≤0,lnx,x >0,则f (f (13))=________．15. 已知一个圆锥的母线长为5cm ，圆锥的底面直径为6cm ，则其侧面积为________cm 2．16. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF|=4|BF|(O 为坐标原点)，则|AF||OF|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等比数列{a n }中，a 2=14，a 5=132．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n =a n +n ，求{b n }的前n 项和S n ．18. 如图1，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD =π2，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，O是AC 与BE 的交点，以BE 为折痕把△ABE 折起使点A 到达点A 1的位置，且A 1C =1，如图2．(1)证明：平面A 1BE ⊥平面BCDE ； (2)求二面角C −A 1B −E 的余弦值．19. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，圆O ：x 2+y 2=c 2(|F 1F 2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点，点(√63,√63)在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．20. 为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生． (1)完成下列2×2列联表：附：(参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d21. 已知函数f(x)=ax 2−x −2lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)的一个极值点为x =1，求函数f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l ：y =√3x(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sinθ． (1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求|MN|的值．23. (1)已知a ，b 是正实数，求证：b √a ≥√a +√b ．(2)若a ，b ，c 是正实数，且1a +12b +13c =1，求a +2b +3c 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交运算及一元二次不等式的解法，属于基础题．先解一元二次不等式化简集合B，再根据交集的定义求A∩B即可．【解答】解：∵A={x|−2019<x<3}，B={x|x(x−5)<0}={x|0<x<5}，∴A∩B={x|0<x<3}．故选A．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．先求出z，再求其模即可．【解答】解：由题意可得，z=(1−2i)i=2+i，所以|z|=√22+12=√5，故选B．3.答案：C解析：解：双曲线x22−y24=1渐近线方程为：y=±√2x，双曲线x22−y24=1渐近线的斜率为：±√2．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，然后推出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4.答案：D解析：解：画出满足条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2的平面区域，如图示：，由{x −y =−12x −y =2，解得A(3,4)，由z =4x +3y 得：y =−43x +13z ，结合图象得直线过A(3,4)时，z 最大， z 的最大值是24，故选：D ．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．5.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：故几何体的外接球的半径为2，故：V =43⋅π⋅23=323π，故选：D ．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是复合命题，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键．先判断简单命题p ，q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．解：∵命题p：|x|≥0为真命题；命题q：∀x∈R，x2−x−1=0为假命题．故命题￢p∨q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题．命题p∨￢q为真命题．故选：C．7.答案：B解析：解：∵中国古钱币的图样如图，圆的直径为2cm，内方孔的边长为1cm，∴由几何概型概率计算公式得：在圆内随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是p=π×22−1π×22=1−14π．故选：B．由几何概型概率计算公式能求出在圆内随机取一点，则此点落在阴影部分的概率．本题考查概率的求法，考查圆和正方形的面积公式、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：【分析】本题主要考察循环结构的程序框图和算法，属于基础题．根据流程图写出每次循环i，S的值，和1×12×23×34×…×99100比较即可确定退出循环的条件，得到答案．【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i=1，S=1×12；第2次循环：i=2，S=1×12×23；…第99次循环：i=99，S=1×12×23×34×…×99100；第100次循环：i=100，此时，不符合设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i<100？，赋值框内可填i=i+1．故选D．9.答案：A【分析】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．利用余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ，把a ，c 及cos A 的值代入列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【解答】解：∵a =c =2且∠A =45°，∴根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ，即4=b 2+4−2√2b ，即b(b −2√2)=0，解得：b =2√2或b =0(舍去)，则b =2√2．故选A ．10.答案：B解析：解：以A 为原点，在平面ABCD 中，过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AA 1=AD =2BC =1，则A(0,0，0)，B 1(√32,12,2)，A 1(0,0，2)，D(0,2，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,2)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，设直线AB 1与直线A 1D 所成角为θ，则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5⋅√8=3√1020． ∴直线AB 1与直线A 1D 所成角的余弦值为3√1020．故选：B ．以A 为原点，在平面ABCD 中，过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与直线A 1D 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：A解析：解：由图知，A=2，34T=2π3−7π24，又ω>0，∴T=2πω=π2，∴ω=4，又y=f(x)的图象经过(7π24,−2)，∴4×7π24+φ=2kπ+3π2，k∈Z，∴φ=2kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(4x+π3 ).故选：A．由图知，得到A=2，求出T，根据周期公式求出ω，又y=f(x)的图象经过(7π24,−2)，代入求出φ，从而得到解析式f(x)=2sin(4x+π3).本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查识图能力与运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题.由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数f(x)=e x−2asinx，x∈[0,π]有且仅有一个零点等价于1a=2sinx e x ，x∈[0,π]有且仅有一个解，即直线y=1a与g(x)=2sinxe x，x∈[0,π]的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g(x)=2sinxe x ，x∈[0,π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，即g(x)在[0,π4)为增函数，在(π4,π]为减函数，又g(0)=0，g(π)=0，g(π4)=√2e−π4，则，得解．【解答】解：函数f(x)=e x−2asinx，x∈[0,π]有且仅有一个零点等价于1a =2sinxe x，x∈[0,π]有且仅有一个解，即直线y=1a 与g(x)=2sinxe x，x∈[0,π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe x，x∈[0,π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4 )e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0,π4)为增函数，在(π4,π]为减函数，又g(0)=0，g(π)=0，，，则a =√22e π4则可得实数a 的值为√22e π4，故选B ．13.答案：−12解析：解：a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)； ∵a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )； ∴1−2(m +1)=0；解得m =−12．故答案为：−12可求出a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)，根据a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )即可得出1−2(m +1)=0，解出m 即可．考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．14.答案：3解析：【分析】本题考查分段函数求值．根据已知函数解析式求解即可．【解答】解：因为f (13)=ln 13，所以．故答案为3．15.答案：15π解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积，属基础题．【解答】解：由题知，底面半径是3，所以，侧面积s =πrl =3×5π=15π．故答案为15π．16.答案：5解析：【分析】设|BF|=x ，则|AF|=4x.由抛物线的性质得：x x+4x=p−x4x−x ，解得x ，|AF|=4x ，由此能求出|AF||OF|的值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：设|BF|=x ．∵过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点， |AF|=4|BF|，O 为坐标原点， ∴|AF|=4x ．如图，作出准线CD ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，过B 作BM ⊥AC ，交AC 于M ，交FO 于N ，则BF AB =FNAM ，∴由抛物线的性质得：x x+4x =p−x4x−x ，解得x =58P ， ∴|AF|=4x =52p ， ∴|AF||OF|=52p p 2=5．故答案为：5．17.答案：解：(1)由等比数列的定义，a 2=14，a 5=132．可知，公比q 5−2=a 5a 2=18，解得q =12，由a 2=a 1q ，得a 1=12，因此，所求等比数列的通项公式为：a n =a 1q n−1=12×(12)n−1=(12)n =2−n ； (2)由上题可知，a n =2−n 所以：b n =2−n +n ，则：S n =12(1−12n )1−12+n 2+n 2=1−(12)n +n2+n 22．所以S n =1−(12)n +n 2+n 22．解析：(1)直接利用定义求出数列的通项公式． (2)直接利用求和公式求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和公式的应用．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ，即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22，∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2， ∴A 1O ⊥OC ， ∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)，设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，1)，由(1)得平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且OC ⊥BE ，∴OC ⊥平面A 1BE ，∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量，设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22√3⋅√22=√33．∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)依题意，得b =c ，所以a =√b 2+c 2=√2b ，所以椭圆C 的方程为x 22b2+y 2b 2=1，将点(√63,√63)代入，解得b =1，则a =√2，所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，P(0,m)(m >1)，则直线l 方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 与圆O 相切，则√1+k 2=1，即m 2=1+k 2，联立直线与椭圆方程，消元得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，△=(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0，则k ≠0，x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2=2k 21+2k 2，因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 1=2x 2，即x 1=−4km3(1+2k 2)，x 12=−k 21+2k 2，所以16m 29(1+2k 2)=1，解得k 2=72，即k =±√142，m =3√22，所求直线方程为y =±√142x +3√22．解析：(1)根据题意，求得b =c ，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b ，求得椭圆方程；(2)设直线l 的方程，根据直线与圆的关系，求得m 2=1+k 2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，即可求得答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意填写2×2列联表如下；(2)根据列联表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(35×25−25×15)250×50×60×40≈4.167<5.024，对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． (1)由题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．21.答案：解：(1)f(x)=ax 2−x −2lnx ，f ′(x)=2ax −1−2x (x >0)，∵x =1是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(1)=2a −1−2=0，∴a =32，，f ′(x)=3x −1−2x=3x 2−x−2x=(3x+2)(x−1)x．∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴x =1时，f(x)极小值为f (1)=32−1=12，无极大值；(2)由f(x)=ax 2−x −2lnx(x >0)，可得：f ′(x)=2ax −1−2x =2ax 2−x−2x(x >0)．①当a ≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数； ②当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=1−√1+16a4a，x 2=1+√1+16a4a，显然，x 1<0，x 2>0，且当0<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x >x 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；综上，a ≤0时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，没有增区间； a >0时，f(x)的单调减区间为(0,1+√1+16a4a)；单调增区间为．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的极值，考查分类讨论以及计算能力． (1)求导，由f′(1)=0求出a 的值，再利用导数得到函数的极值点，从而求出极值；(2)通过求解函数的导函数，分a ≤0与a >0两种情况，通过判断导数符号，然后求函数f(x)的单调区间．22.答案：解：(1)射线l ：y =√3x(x ≥0)，转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)．曲线C 1的参数方程为{x =3cosαy =2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1．(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；转换为极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4sinπ3−8sinπ3|=2√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标的几何意义求出结果．23.答案：证明：(1)要证√b√a≥√a+√b，只需证a√a+b√b≥√ab(√a+√b),即证(a+b−√ab)(√a+√b)≥√ab(√a+√b),即证a+b−√ab≥√ab,即证a+b≥2√ab，即证(√a−√b)2≥0,该式显然成立，所以√b√a≥√a+√b.(2)因为a，b，c为正实数．所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=3+(a2b+2ba)+(a3c+3ca)+(2b3c+3c2b)≥3+2√a2b ·2ba+2√a3c·3ca+2√2b3c·3c2b=9．∴当且仅当a=2b=3c=3时，a+2b+3c有最小值9.解析：(1)利用分析法进行证明；(2)利用综合法以及基本不等式进行证明．。

2020届河北省唐山市高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2020届河北省唐山市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2xB y y ==，M A B =I ，则集合M 的子集个数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】求出集合M ，由此可计算出集合M 的子集个数. 【详解】{}{}20x B y y y y ===>Q ，{}1,0,1,2A =-，{}1,2M A B ∴=⋂=，因此，集合M 的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2．设i 是虚数单位，复数23iz i+=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，可得出复数z ，进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()()23255113331022i i i i z i i i i ++++====+--+Q ，1122z i ∴=-. 因此，复数z 在复平面内对应的点位第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.2010年第六次全国人口普障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【答案】C【解析】从图形中的数据变化可判断A 、B 选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可判断C 、D 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，A 、B 选项均正确；从1981年到2010年，男性的平均预期寿命的增幅为72.3866.28 6.1-=，女性的平均预期寿命的增幅为77.3769.278.1-=，所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C 选项错误，D 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（） A ．900斛 B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【解析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺），所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺），因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.5．已知向量a r 、b r 满足a b b +=r r r ，且2a =r ，则b r 在a r方向上的投影是（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】在等式a b b +=r r r 两边同时平方，求出a b ⋅r r 的值，进而可得出b r 在a r方向上的投影为a b a⋅r r r .【详解】2a =r Q ，在等式a b b +=r r r 两边平方并化简得220a a b +⋅=r r r，222a ab ∴⋅=-=-r r r ，因此，b r 在a r方向上的投影为1a b a⋅=-r r r .故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m 、n 为正数，且m n ≠，则（）A ．11a b <B ．11a b >C ．11a b =D ．1a 、1b 的大小关系不确定【解析】用m 、n 表示1a 、1b ，然后利用作差法可得出1a 与1b 的大小关系. 【详解】由于1a 、2a 、3a 成等差数列，则2132a a a =+，则12322a a a m n =-=-，由于1b 、2b 、3b 成等比数列，则2213b b b =，则22213b m b b n==，所以，()22221122m n m mn n m a b m n n n n----=--==-， m Q 、n 为正数，且m n ≠，因此，()2110m n ab n--=-<，即11a b <.故选：A. 【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题. 7．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，随机变量Y 服从正态分布()1,1N ，且()10.1587P X >=，则()12P Y <<=（）A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】设1Z Y =-，可知()0,1Z N :，进而可得出()()1201P Y P Z <<=<<，利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】设1Z Y =-，()1,1Y N Q :，则()0,1Z N :，()()()12010.510.50.15870.3413P Y P Z P Z ∴<<=<<=->=-=.故选：B. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，考查正态密度曲线对称性的应用，属于基础题.8．函数()2tan f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()22tan tan f x x x x x -=---=--，则()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-，所以，函数()y f x =为非奇非偶函数，排除B 、D 选项；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin tan cos x g x x x x x =-=-，则()2110cos g x x '=->，所以，函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00g x g >=，所以，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x x ->，则2tan x x x >>，即()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（）A ．()y f x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()y f x =的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】C 【解析】计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断A 、B 选项的正误；由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围，利用正弦函数的单调性可判断C 选项的正误；由,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可判断D 选项的正误.进而可得出合适的选项. 【详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，4sin 33fππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭A 、B 选项均错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2242,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()y f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 选项正确；当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()min sin 32f x π==，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，考查了正弦型函数对称性、单调性与最值的判断，考查推理能力，属于中等题.10．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，1AB AD ==，2BC CD ==，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（）A ．B ．6C ．3D ．3【答案】B【解析】推导出90ABC ADC ∠=∠=o ，可得出四边形ABCD 的外接圆直径为5AC =，并计算出四棱锥的外接球直径为26PC R ==，结合PA ⊥底面ABCD 可得出直线PC 与底面ABCD 所成角为ACP ∠，进而可求得cos ACP ∠的值. 【详解】如下图所示：AB AD =Q ，BC BD =，AC AC =，ABC ADC ≅∴V V ，ABC ADC ∠=∠∴，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，则180ABC ADC ∠+∠=o ，90ABC ADC ∴∠=∠=o ，所以，四边形ABCD 的外接圆直径为225AC AB BC =+=设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则2436R ππ=，解得3R =，PA ⊥Q 平面ABCD ，()22231PA R AC ∴=-=26PC R ==，直线PC 与底面ABCD 所成的角为ACP ∠，在Rt PAC △中，5cos 6AC ACP PC ∠==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也考查了四棱锥外接球问题的处理，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF x ⊥轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ON ⊥，则双曲线C 的离心率是（）【答案】A【解析】设点M 为双曲线C 的渐近线by x a=上的一点，根据MF x ⊥轴求出点M 的坐标，结合题意求得点N 的坐标，由MN ON ⊥得出直线MN 和ON 的斜率之积为1-，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】设点M 为双曲线C 的渐近线b y x a =上的一点，易知点(),0F c ，所以点,bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，直线FN 的方程为()b y x c a =-，联立()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点,22c bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， MN ON ⊥Q ，且322MNbc bc b a a k c a c +==-，ON b k a =-，2231MN ON b k k a ∴⋅=-=-， 2213b a ∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ====故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，一般要结合题意得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题. 12．已知2a >，()()xf x e x a x a =-++，有如下结论：①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零. 则正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x '=的单调性，结合零点存在定理可判断命题①的正由()0f x =得出xa x e a x +=-，设()xa x x e a xϕ+=--，由()0x ϕ=推导出()0x ϕ-=，由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】()()x f x e x a x a =-++Q ，则()()11x f x x a e '=-++，()()2x f x x a e ''=-+.当2x a <-时，()0f x ''<，此时函数()y f x '=单调递减；当2x a >-时，()0f x ''>，此时函数()y f x '=单调递增.所以，函数()y f x '=的最小值为()()2min 21a f x f a e -''=-=-.2a >Q ，()()2min 210a f x f a e-''∴=-=-<.令()1xg x e x =--，当0x >时，()10xg x e '=->，则函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，所以，当0x >时，1x e x >+.()()1222111101a aa a af a e e e e a +'--=-=->->⋅+Q ，()10a f a e '=+>，由零点存在定理可知，函数()y f x '=在(),2-∞-a 和()2,a -+∞上各有一个零点，所以，函数()y f x =有两个极值点，命题①正确；设函数()y f x =的极大值点为1x ，极小值点为2x ，则122x a x <-<，则()()()()121122110110xx f x x a e f x x a e ⎧=-++=⎪⎨=-++=''⎪⎩，所以121211x x x a e x a e --⎧-=--⎨-=--⎩，函数()y f x =的极大值为()()()()111111112x x f x e x a x a e x a x a x =-++=---+()()11111111122x x x x x e e e x e e x ---=-----+=-+，构造函数()2xx h x ee x -=-+，则()()220x x h x e e -'=-+≤-=，所以，函数()y h x =在R 上单调递减，当0x <时，()()00h x h >=；当0x >时，()()00h x h <=.020f a '=-<Q ，0f x '=，0x ∴<，则0h x >，即0f x >.同理可知，函数()y f x =的极小值为()222220x x f x ee x -=-+<.()121110a a f a e++--=--<Q ，()20f a a =>. 由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间()11,a x --、()12,x x 、()2,x a 上各存在一个零点，所以，函数()y f x =有3个零点，命题②正确；令()0f x =，得xa x e a x +=-，()xa x x e a xϕ+=--，则()00ϕ=，令()0xa x x e a x ϕ+=-=-，则()10x x a x a x x e a x e a xϕ----=-=-=++，所以，函数()y f x =所有零点之和等于零，命题③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点、极值点相关命题的判断，利用导数分析函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于难题.二、填空题13．若x 、y 满足约束条件1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值为______.【答案】2-【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得2z x y =-取得最小值时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立10310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,0A -，平移直线2z x y =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =-在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 2102z =⨯--=-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有______种. 【答案】10【解析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书，则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为22A 种；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为112222C C A .综上所述，4名同学所有可能的选择种数为2112222210A C C A +=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，正确将问题进行分类是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．在数列{}n a 中，已知11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），且1a 、2a 、3a 成等比数列，则n a =______.【答案】222n n -+ 【解析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值，再利用累加法可求得n a . 【详解】11a =Q ，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），则211a a t t =+=+，32231a a t t =+=+，由于1a 、2a 、3a 成等比数列，则2213a a a =，即()()21131t t +=⨯+，整理得20t t -=，0t ≠Q ，解得1t =，1n n a a n +∴-=，()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+L L 222n n -+=. 故答案为：222n n -+.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，属于中等题.16．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P在抛物线C 上，设KPF α∠=，PKF β∠=，PFK θ∠=，有以下3个结论： ①β的最大值是4π；②tan sin βθ=；③存在点P ，满足2αβ=. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③【解析】由直线PK 与抛物线相切可求得β的最大值，可判断命题①的正误；利用弦化切的思想和正弦定理边角互化思想可判断命题②的正误；由tan sin βθ=结合2αβ=化简得出34cos cos 10ββ--=，判断该方程在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是否有根，由此可判断命题③的正误，综合可得出结论. 【详解】如下图所示：易知点,02p K ⎛⎫-⎪⎝⎭，可设直线KP 的方程为2p x my =-，由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，β取最大值，联立222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p -+=，222440m p p ∆=-=，得1m =±，此时，直线KP 的斜率为±1，所以，β的最大值为4π，命题①正确；过点P 作抛物线准线l 的垂线PA ，垂足为点A ，则APK β∠=，由抛物线的定义可知PA PF =，则cos PA PF PKPKβ==，在KPF V 中，由正弦定理得sin cos sin PF PKββθ==，所以tan sin βθ=，命题②正确；若存在点P ，使得2αβ=，则3APF βπ∠=<，可得03πβ<<，则1cos 12β<<.由②知()tan sin sin 3sin3sin cos2cos sin 2βθπββββββ==-==+即()()22sin sin cos 22cos sin 4cos 1cos βββββββ=+=-， sin 0β>Q ，则34cos cos 10ββ--=，构造函数()341f x x x =--，则1102f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()120f =>，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，所以，关于β的方程34cos cos 10ββ--=在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有实数解，命题③正确.因此，正确结论的序号为①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查与抛物线相关命题真假的判断，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，ABC V 的面积为（1）若3A π=，求ABC V 的周长；（2）求sin sin B C 的最大值.【答案】（1）4+（2【解析】（1）利用三角形的面积公式求出bc 的值，然后利用余弦定理求出b c +的值，由此可得出ABC V 的周长；（2）由正弦定理得出22sin sin sin bc A B C a⋅=，再利用三角形的面积公式结合4a =得出sin sin 4AB C ⋅=，进而可求得sin sin B C 的最大值. 【详解】（1）因为13sin 2324ABC S bc A bc ===△，所以8bc =，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，所以()223b c a bc +=+，又4a =，8bc =，所以()240b c +=，即210b c +=，故ABC V 的周长为4210+；（2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，所以22sin sin sin bc AB C a⋅=，又1sin 232ABC S bc A ==V ，4a =，所以3sin 3sin sin 44A B C ⋅=≤. 当sin 1A =时，2A π=，此时22216b c a +==，43bc =，即23b =，2c =；或2b =，23c =. 故2A π=时，sin sin B C ⋅取得最大值34. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考查了正弦值之积最值的计算，涉及正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形，D 、E 分别为AC 、11A C 的中点，点F 在棱1CC 上，且EF BF ⊥.（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若4AB =，12C F FC =，求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ，可得出BD EF ⊥，结合EF BF ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥，利用勾股定理计算出CF 的长，然后以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值. 【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂Q 平面ABC ，1A A BD ∴⊥，因为ABC V 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1A A AC A =I ，所以BD ⊥平面11ACC A ，EF ⊂Q 平面11ACC A ，所以BD EF ⊥.又因为EF BF ⊥，BD BF B =I ，所以EF ⊥平面BDF . 又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ；（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF DF ⊥.设CF m =，则有2224449m m m +++=，即248m =，得2m =.以D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()23,0,0B ，()0,2,0C ，(0,0,32E ，(0,2F ，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =u r，(23,0,32BE =-u u u r ，(0,2,22EF =-u u u r ，由23320220BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ，令3x =可得2z =，2y =，则3,2,2m =u r ，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u r，2cos,3m DCm DCm DC⋅<>===u r u u u ru r u u u ru r u u u r，由图形可知，二面角D BE F--的平面角为锐角，所以二面角D BE F--的余弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为()01p p<<.（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若12p=，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望()E X；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p的取值范围.【答案】（1）2p；（2）详见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设:A甲在第一局失利，:B甲获得了比赛的胜利，利用条件概率的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题意可知随机变量X的可能取值为0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，列出分布列，进而可计算出随机变量X的数学期望；（3）计算出甲获得该场比赛的概率，根据题意得出关于p的不等式，即可解得p的取值范围.【详解】（1）设:A甲在第一局失利，:B甲获得了比赛的胜利，则()()()()2211P AB p pP B A pP A p-===-；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2，则()()21014P X p==-=，()()2121114P X C p p==-=，()()21221212P X p C p p==+-=.随机变量X的分布列如下：P141412则()11150124424E X =⨯+⨯+⨯=；（3）甲获得该场比赛胜利的概率为()21221p C p p +-，则()21221p C p p p +->.即22310p p -+<，解得112p <<，所以p 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ），点Q 在圆22:4O x y +=上，且2PQ =.设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限. （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A 、B .线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C 、D ，证明：NA NB NC ND ⋅=⋅.【答案】（1）()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）连接OQ ，设()(),0M x y x ≠，求出点Q 的坐标，然后将点Q 的坐标代入圆O 的方程，化简后可得出曲线E 的方程；（2）（i ）由题意可得出OQ PQ ⊥，再由2OQ PQ ==可判断出OPQ △为等腰直角三角形，可求出点P 、Q 的坐标，并求出点M 的坐标，由此可求出直线OM 的斜率；（ii ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1:3l y x t =+，将直线l 的方程与曲线E 的方程联立，列出韦达定理，求出点N 的坐标，进而可求得直线ON 的方程，由此可求得点C 、D 的坐标，再利用弦长公式化简可证得结论成立.【详解】（1）连接OQ ，设()(),0M x y x ≠，由2OQ PQ ==，可得2P Q x x =，由M 为PQ 的中点，则322P QQ x x x x +==，23Q x x ∴=，43P xx =， 4,03x P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，则2,23x Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，把2,23x Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入224x y +=，整理得2219x y +=，所以曲线E 的方程为()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ PQ ⊥，2OQ PQ ==Q ，则22OP =所以，OPQ △是等腰直角三角形，且4POQ π∠=，又点Q 在第一象限，得()22,0P ，2,2Q.由M 为PQ 的中点，得32222M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线OM 的斜率为13；（ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1:3l y x t =+，由221319y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2226990x tx t ++-=，由韦达定理得123x x t +=-，212992t x x -=.所以N 点坐标为3,22t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线ON 方程为13y x =-.由方程组221319y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()23352222t t NC ND t ⎫⎫⋅=-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又()22121211104449NA NB AB x x x x ⎡⎤⋅==⨯⨯+-⎣⎦()()2225592992182t t t ⎡⎤=--=-⎣⎦，所以NA NB NC ND ⋅=⋅. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中有关弦长等式的证明，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()ln 11x f x x +=-，()f x '为()f x 的导函数，()()12f x f x =且12x x <. 证明：（1）()0f x '<；（2）211x x ->.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求得()()21ln 1x x f x x ---'=，令()1ln g x x x =--，利用导数证明出()0g x <，即可证得结论；（2）由（1）可知函数()y f x =在()0,1，()1,+∞上单调递减，可得1201x x <<<，考查当01x <<时，()()10f x f x +->，可得出()()()1121f x f x f x +>=，再由函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性可证得结论. 【详解】（1）()ln 11x f x x +=-Q ，定义域为()()0,11,⋃+∞，且()()21ln 1x x f x x ---'=，令()1ln g x x x =--，则()22111x g x x x x-=-='. 所以当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. 所以()()110g x g ≤=-<，对于函数()y f x =，1x ≠，因此()0f x '<；（2）由（1）得，函数()y f x =在()0,1，()1,+∞上单调递减，所以1201x x <<<.()()()()()()ln 11ln 1ln 1ln 1ln 1111x x x x x x x f x f x x x x x +++---+++-=-=--()()11ln 1ln 111x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=+--，01x <<. 由（1）得()1ln 1g x x x =--≤-，等号当且仅当1x =时成立，从而11ln 1x x≤-，即ln 1x x ≤-，等号当且仅当1x =时成立，又0x >时，111x +>，因此11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以当01x <<时，11ln 101x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>-，又()()ln 101x x x +>-，所以()()()1121f x f x f x +>=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，且111x +>，21>x ，所以211x x >+，故211x x ->.【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式，解答的关键在于构造新函数，并通过利用函数的单调性来进行证明，考查推理能力，属于中等题.22．在极坐标系中，圆:4sin C ρθ=，直线:cos 2l ρθ=.以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB l ⊥于B ，记OAB V 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），:2l x =；（2）3+【解析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，将圆C 的极坐标方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆C 的参数方程；（2）设点()2cos ,22sin A αα+，可得点()2,22sin B α+，利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式，再利用正弦函数的有界性可得出S 的最大值.【详解】（1）由题意得cos x ρθ=，所以:2l x =，将圆C 的极坐标方程化为24sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以C 的普通方程为224x y y +=，即()2224x y +-=. 从而C 的参数方程为2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）设()2cos ,22sin A αα+，02απ<<，则()2,22sin B α+. 所以()()()122sin 21cos 1sin 2S AB ααα=⋅+=-+ ()()2sin 2cos 2cos sin 212sin cos 2sin cos 1αααααααα=--+=-+-+ ()()()222sin cos 2sin cos 1sin cos 114πααααααα⎤⎛⎫=-+-+=-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦.02απ<<Q ，7444πππα-<-<，当42ππα-=，即34πα=时，S 取得最大值3+【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()211f x x a x =+---.（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）是否存在实数a ，使得()f x 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在，实数0a =或2a =-. 【解析】（1）当1a =时，由()0f x >得出12110x x +--->，然后分1x ≤-、11x -<<、1x ≥三种情况解不等式12110x x +--->，综合可得出该不等式的解集；（2）分1a >-、1a <-和1a =-三种情况讨论，将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的最小值()max f x ，根据题意得出()max 0f x =，由此可求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()0f x >化为12110x x +--->.当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<.所以()0f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在. 若1a >-，则()3,33,11,1x a x a f x x a a x x a x --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩.此时函数()y f x =的最大值()1f a =，所以0a =时满足题设；若1a <-，则()3,131,11,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=--+≤≤-⎨⎪-++>-⎩.此时函数()y f x =的最大值()12f a =--，所以2a =-时满足题设；若1a =-，则()110f x x =---<，所以1a =-时不满足题设.综上所述，存在实数0a =或2a =-满足题设.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了根据含绝对值函数的零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

河北省唐山市2020年高考数学模拟试卷(理科)(5月份)B卷

河北省唐山市2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设全集则=（）A .B .C .D .2. （2分）设命题P：，命题q：一元二次方程有实数解．则是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高二上·青海期中) 已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A . a∥bB . a与b异面C . a与b相交D . a与b无公共点4. （2分） (2017高二上·玉溪期末) 等差数列{an}满足a2=12，a6=4，则其公差d=（）A . 2B . ﹣2C . 3D . ﹣35. （2分） (2016高二上·屯溪开学考) 若把函数y=sin（ωx﹣）的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数y=cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（）A . 2B .C .D .6. （2分）设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是（）A . A⊆BB . B⊆AC . A∈BD . B∈A7. （2分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·潮州模拟) 设F1 ， F2为椭圆C： +y2=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A .B .C . ﹣D . ﹣二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）若 x+ y=8，则3x+2y的最小值为________ ．10. （1分） (2017高三上·伊宁开学考) 直线（2m+1）x+（3m﹣2）y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为________11. （1分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是________12. （1分）(2013·江苏理) 抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是________．13. （1分）已知数列{an}，a1=1，an+1=2an+2，求an=________14. （1分） (2016高一上·南京期中) 已知 a﹣a﹣1=2，则 =________．15. （1分）(2017·呼和浩特模拟) 已知向量，，则向量在方向上的投影为________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分）在中，角的对边分别为，其面积为 .已知 .（1）求；（2）若，求的周长.17. （10分） (2016高二下·上海期中) 如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．18. （5分）设函数f（x）=3ax2+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．（Ⅰ）求证：a＞0，且﹣2＜＜﹣1；（Ⅱ）求证：函数y=f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点．19. （10分） (2016高三上·珠海模拟) 设椭圆C：（a＞2 ）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足，其中O 为坐标原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．20. （5分） (2017高一下·滨海期末) 已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下对任意正整数n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）n•a恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、。

2020唐山一模理科数学试卷答案

CDCBD ABACB AD二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ，又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210，故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4，所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ，因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ．又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ．又因为EF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ． …5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，zyxC 1B 1 A 1 FEDC BA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解：（1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)，由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点，得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限，得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92．所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)，所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0；所以g (x )≤g (1)＝－1＜0．在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分（2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）．…4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)．所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22．…10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0．当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}．…4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1，…12分故x 2－x 1＞1．22．解：此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设．综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设．…10分。

2020年一模理科综合参考答案(1)

2020年唐山市路北区第一次模拟考试理科综合参考答案 2020.5一、选择题：（1～19为单选题，每题2分；20～22为多选题，每题3分。

漏选得2分，错选、多选得0分。

共47分）1~5 DBAAC 6~10 CDABA 11~14 DBBC 15～19 A D B C D 20.ACD 21.ACD 22.ABD二、填空及简答题：（共9个小题，每空1分，图1分，共31分）23．串 0.12 300 24．折射图略 25．(1)加热时间（2）水（3）2.1×10326．电磁波增大增大 27．二次能源化学能转化成内能成本高（或贮存困难或运输困难）28.（1）b 处火柴头燃烧（2）AB （3）2Cu + O 2 加热 2CuO29.（1）①②③ （2）NaHCO 3 （3）随温度的升高而减小（4）隔绝氧气（5）防毒面具（或炭包或生命吸管或净水器）30.（1）B 轻轻敲动左手手腕（2）二氧化碳（CO 2）或氢气（H 2）水面不下降（3）试管31.（1）NaCl （2）Na 2CO 3+CaCl 2=CaCO 3↓+2NaCl 复分解反应（3）冶炼金属三、实验探究题：（共4个小题，图1分，每空1分，共24分）32．(1)B (2)速度 (3)静止 (4)相等33. (1)左 (2) 124 (3)20 (4)2.5×103 【拓展】杯子外侧浸入深度为h34. （1）图略（2）A （3） 4 （4）取平均值减小误差 1 电压表示数为0.8v 时，滑动变阻器连入的电阻大于滑动变阻器的最大阻值或滑动变阻器连入电阻最大时，电路中最小电流大于0.2A （合理即可）35. 增强溶液导电性【猜想】氢氧化钙的溶解度随温度的升高而减小【实验2】与水减少有关，但不是唯一因素【实验3】（2）加水，再滴加酚酞试液，酚酞变红加入稀盐酸，有气泡产生，把产生的气体通入石灰水，石灰水变浑浊【实验结论】混合物【反思】 CO 2+Ca(OH)2=CaCO 3↓+H 2O四、计算应用题（本大题共3个小题，36题5分，37题6分，38题7分，共18分。

2020年河北省唐山市第五十一中学高一数学理月考试卷含解析

2020年河北省唐山市第五十一中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列的前项和为，且依次成等差数列，若，则A．16 B．31 C．32 D．63参考答案：B2. 在等比数列{}中，若—8，则等于（）（A）—（B）—（C）（D）参考答案：B3. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β参考答案：D略4. （3）已知x,y满足约束条件则的最大值是A． B． C．2 D．4参考答案：B略5. 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．1 B．错误！未找到引用源。

C．D．错误！未找到引用源。

参考答案：D略6. 函数，是（）A、偶函数B、奇函数C、不具有奇偶函数D、与有关参考答案：B7. 设有一组圆．下列四个命题，正确的有几个 ( )①．存在一条定直线与所有的圆均相切②．存在一条定直线与所有的圆均相交③．存在一条定直线与所有的圆均不相交④．所有的圆均不经过原点A.1B.2C.3D.4参考答案：B8. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，……记为第行的第个数，则=（）A、 B、 C、 D、参考答案：B9. 已知直线过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略10. 若的终边上有一点，则的值是（）A B CD参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题A:两曲线和相交于点.命题B:曲线(为常数)过点,则A是B的_______条件.参考答案：充分不必要条件12. （4分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）= ．参考答案：1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，化简求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（0）+f（1）=（0﹣1）+（1+1）=1；故答案为：1．点评：本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力．13. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，.给出以下结论:①;②;③f(x)为R上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________. 参考答案：①②④【分析】由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选项逐一验证可得答案．【详解】由题意和的任意性，取代入，可得，即，故①正确；取，代入可得，即，解得；再令代入可得，故②正确；令代入可得，即，故为奇函数，④正确；取代入可得，即，即，故为上减函数，③错误；⑤错误，因为，由④可知为奇函数，故不恒为0，故函数不是偶函数.故答案为：①②④【点睛】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属于常考题型.14. 若函数的定义域为，则的取值范围为________________.参考答案：略15. 设函数y=f（x）的定义域为D，若存在实数x0，使f（x0）=x0成立．则称x0为f（x）的不动点或称（x0．f（x））为函数y=f（x）图象的不动点；有下列说法：①函数f（x）=2x2﹣x﹣4的不动点是﹣1和2；②若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则实数a的取值范围是 0＜a≤2；③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则函数y=f（f（x））也没有不动点；④设函数f（x）=（x﹣1），若f（f（f（x）））为正整数，则x的最小值是121；以上说法正确的是．参考答案：①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数不动点的定义，逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：令2x2﹣x﹣4=x，解得x=﹣1，或x=2，故①函数f（x）=2x2﹣x﹣4的不动点是﹣1和2，故①正确；若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则ax2+（b+1）x+b﹣2=x有两个不相等的实根，则△=b2﹣4a（b﹣2）=b2﹣4ab+8a＞0恒成立，则16a2﹣32a＜0，解得0＜a＜2，即实数a的取值范围是0＜a＜2，故②错误；③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则ax2+（b﹣1）x+c=0无实根，则函数y=f（f（x））也没有不动点；④设函数f（x）=（x﹣1），若f（f（f（x）））={[（x﹣1）﹣1]﹣1}=为正整数，则x的最小值是121，故④正确；故正确的命题的序号为：①③④，故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．16. 已知向量，，．若，则与的夹角为______．参考答案：70°【分析】由向量共线的运算得：=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．【详解】因为，．又，则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，故答案为：70°【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．17. 已知等差数列的前项和为，若，且，，三点共线（该直线不过点），则=_____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。