深度解析管综数学中的绝对值

深度解析管综数学中的绝对值

绝对值这一知识点是管综数学必考点，本文中，跨考教育管综教研室马老师讲从具体考点和历年真题两方面来深度解析绝对值。

一、考点分析

绝对值这部分的内容在历年管理类综合考试中都是以条件充分性判断题型出现的，分三个点来考查：定义、性质、三角不等式。

1）定义：绝对值的定义分代数和几何两种，代数定义主要体现了其非负性，这里常常用“整

体代换”的思想解题；几何定义主要体现了数轴上两点间的距离，在绝对值函数求 最值中有重要应用。

2）性质：绝对值的性质有○

1对称性（a a -=）；

○

222,a a a ==） ○3自比性（1010

x x x a a a x x x >⎧-≤≤⇒==⎨-<⎩） ○

4非负性（0a ≥） 最常考的是其自比性，常常在求值问题中应用。这类问题的解决方法通常是先分析其中每个字母的正负性，然后代入求值；有时候也可以用举例的方法证明条件的不充分性。

3）三角不等式：应用时要特别注意等号成立的情况，先归纳如下

a b a b a b

-≤+≤+：左边等号成立的条件——0ab ≤且a b ≥ 右边等号成立的条件——0ab ≥

a b a b a b

-≤-≤+：左边等号成立的条件——0ab ≥且a b ≥ 右边等号成立的条件——0ab ≤

二、真题再现：

2013年1月真题

21、已知a 、b 是实数，则1a ≤，1b ≤

（1）1a b +≤ （2）1a b -≤

详解：

方法一：

此题题干和条件中都是绝对值不等式，可考虑用绝对值的一些性质来求解

条件（1）：用反例法。假设3,3a b ==-，此时满足1a b +≤，但是31,31a b =>=>，

因此条件不充分

条件（2）：用反例法。假设3,3a b ==，此时满足1a b -≤，但是31,31a b =>=>，

因此条件不充分

条件（1）+（2）：

注意到条件（1）绝对值内部的a b +与条件（2）绝对值内部的a b -作和之后

为2a ，作差之后为2b ，则可用绝对值的三角不等式求解

2()()112a a b a b a b a b =++-≤++-≤+=，因此有1a ≤ 同理得，2()()112b a b a b a b a b =+--≤++-≤+=，因此有1b ≤

条件（1）+（2）充分，此题选C

方法二：

此题题干和条件中都是绝对值不等式，可考虑先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后利用“不等式组同号可以相加，异号可以相减”的原理求解

条件（1）：用反例得此条件不充分；

条件（2）：用反例得此条件不充分

条件（1）+（2）：

将两个条件中的绝对值符号去掉，得到新不等式组()()11111121a b a b a b a b ⎧+≤-≤+≤⎧⎪⎪⇒⎨⎨-≤-≤-≤⎪⎪⎩⎩

，此时两个不等式同号，可以相加得222111a a a -≤≤⇒-≤≤⇒≤

将不等式组（2）的左右两边同时(1)⨯-，得新的不等式组()()

111113a b b a -≤+≤⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩，此时两个不等式同号，可以相加得222111b b b -≤≤⇒-≤≤⇒

≤

因此条件（1）+（2）充分，选C

2011年10月真题 24.已知⎩

⎨⎧<->=0,10,1)(x x x g ，221)(1)(++-++--=x x x x g x x f ，则)(x f 是与x 无关的常数

（1）01<<-x

（2）21<

详解：

题干中函数是含有绝对值的函数，可以利用绝对值的定义去绝对值符号

条件（1）：当01<<-x 时，有

()1,11,11,22,22g x x x x x x x x x =--=-+=+-=-+=+，

因此，()1(1)(1)(2)(2)6f x x x x x =---++-++=，是常数，此条件充分

条件（2）：当21<

()1,11,11,22,22g x x x x x x x x x =-=-+=+-=-+=+，

因此，()11(1)(2)(2)2f x x x x x =--⨯++-++=，是常数，此条件充分 此题选D

2010年1月真题 16. ()a a b a a b -≥-

（1）实数0a >

（2）实数,a b 满足a b >

详解：

题干中是含有绝对值的不等式，条件给出的是字母的大小，可考虑用绝对值定义求解

条件（1）：当0a >时，0a a =>，此时题干不等式()a a b a a b -≥-中只要能证明不等式()a b a b -≥-即可。根据绝对值定义：非负的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，因此绝对值一定大于等于数本身，不等式()a b a b -≥-成

立，此条件充分

条件（2）：当a b >时，定有0a b a b a b ->⇒-=-，此时题干不等式()a a b a a b -≥- 中只要不等式a a ≥即可，若1a =-，则a a <，此时不等式不成立，条件不充分

此题选A

2008年10月真题 16. 113

x -<≤ （1）22211211

x x x x --=++ （2）

212133x x --= 详解：

两个条件都含有绝对值，可用绝对值非负性来求解，需要用到数学中“整体代换”的思想 条件（1）：将代数式2121

x x -+整体代换成字母A ，可知绝对值求出来的数一定是非负数，即有212001x A x -≥⇒≥+，求解不等式得12x ≤，不能推出结论113

x -<≤，此条件不充分

条件（2）：将代数式

213

x -整体代换成字母B ，根绝绝对值非负性可知B 一定是非负数，即2103x -≥，求解不等式得12x ≥，不能推出结论113

x -<≤，此条件不充分 条件（1）+（2）：联合起来考虑，即12x ≤且12x ≥，此时12x =，不能推出113x -<≤，因此不充分

此题选E

2008年1月真题

30、1b c c a a b a b c

+++++= （1）实数,,a b c 满足0a b c ++= （2）实数,,a b c 满足0abc >。

详解：

观察题干可知，此题可用绝对值的自比性来求解

条件（1）：由0a b c ++=可得,,a b c 三数中肯定有一正一负，可假设0,0a b ><，此时c

可有两种情况。因此有

○

10,0,0a b c ><>时， 11(1)1b c c a a b a b c a b c a b c

+++---++=++=-++-=- ○

20,0,0a b c ><<时， 1111b c c a a b a b c a b c a b c

+++---++=++=-++= 此条件不充分

条件（2）：当0abc >时，用反例法。可假设1,1,1a b c ===，此时

2222226111

b c c a a b a b c +++++=++=++=，此条件不充分