3-2洛必达法则ppt课件
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第二节 洛必达法则3-2
第三章 第二节
10
二、用洛必达法则（间 接地）解 0 、 、0 、1 、 型未定式
0 0
关键:将这些类型未定式化为洛必达法则直接可解决的 类型 ： 0 ), ( ). ( 0
1. 0 型
步骤: 例题
0
代数代换：其中之一取 倒数
求 lim x ln x
化简
e
1 连 续 1 x 0 2(1 x ) e 2
. f (0) f ( x)在x 0处连续
第三章 第二节 17
例题 试确定常数A，B，C的值，使得 e x 1 Bx Cx 2 1 Ax x3 , 其中 x3 是当 x 0时比x 高阶的无穷小。
x e lim
x
x
0
8
第三章 第二节
注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法， 但应与其它求极限方法结合使用。为便于求导，应先 化简。常用的化简方法有：等价变量代换、恒等变形 、有非零极限的因子分离出去、...。
x sin x 5) lim 3 tgx x 0
e e 6) lim x 0 x arctgx
3
第三章 第二节
18
三、小结
洛必达法则
型
取倒数、通分
0 ,1 , 型
0 0
指数代换
0 型 0 型
uv e v ln u
0 型
其中之一取倒数
洛必达法则只是函数未定式极限存在的充分条件； 对数列未定式不能直接地应用洛必达法则．
第三章 第二节 19
归纳起来，通常求未定型的步骤如下：
1 x lim x 1 ln x x 1
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20
ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
3-2 洛必达法则
注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x
高等数学课件--D3_2洛必达法则
n
1
e 1 ~ u
2
lim
2012-10-12
1 ln n n
n
n
1 n 2 同济高等数学课件
lim
ln n n
1 2
例3
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
0 ,1 , 型
0 0
洛必达法则
f
g
e
g ln f
0
型
f g
1 g 1 g
型
0 型
0
1 f
型
1 f
f g
f
1 g
2012-10-12
同济高等数学课件
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思考与练习
1. 设 lim 是否
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
是未定式极限 , 如果
f ( x ) g ( x )
极限不存在 ,
的极限也不存在 ? 举例说明 .
3) lim f ( x ) F ( x)
x a
存在 (或为∞)
lim f ( x) F ( x )
lim
xa
f ( x) F ( x)
x a
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim
xa
2012-10-12
f ( x) F ( x)
存在的情形加以证明 .
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同济高等数学课件
1 6
cos x ( x sin x) x sin x
2
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
x 0
x sin x
x
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
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高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
洛必达法则课件
洛必达法则课件洛必达法则（Lombardi's Law）是一种管理和领导原则，以美国著名橄榄球教练文森特·洛必达（Vince Lombardi）的名字命名。
这个法则强调了团队合作、自我超越和不懈努力的重要性。
在这篇文章中，我们将探讨洛必达法则的核心概念，并讨论如何应用这些原则来提高个人和团队的绩效。
洛必达法则的第一个核心概念是团队合作。
洛必达认为，团队合作是成功的关键。
他强调了每个团队成员的重要性，无论他们的角色大小。
在洛必达的眼中，每个人都是团队的一部分，都需要发挥自己的作用，为团队的成功做出贡献。
他曾经说过：“团队的力量在于每个人的个人贡献，但团队的成功在于每个人的合作。
”为了实现团队合作，洛必达提倡建立一个积极的团队文化。
他强调了团队成员之间的互相尊重和支持。
他鼓励团队成员之间建立紧密的联系，共同努力实现共同的目标。
他相信，只有当团队成员之间建立了牢固的信任和合作关系，团队才能取得最好的成果。
洛必达法则的第二个核心概念是自我超越。
洛必达认为，每个人都应该不断追求卓越，超越自己的极限。
他鼓励团队成员不断挑战自己，不断提高自己的能力和表现。
他相信，只有当每个人都努力追求卓越，团队才能取得卓越的成果。
为了实现自我超越，洛必达提倡建立一个积极的学习环境。
他强调了持续学习和发展的重要性。
他鼓励团队成员不断学习新知识和技能，不断提高自己的能力。
他相信，只有通过不断学习和发展，每个人才能不断超越自己的极限，实现个人和团队的成长。
洛必达法则的第三个核心概念是不懈努力。
洛必达认为，成功不是偶然的，而是通过不懈努力和坚持不懈实现的。
他强调了毅力和决心的重要性。
他鼓励团队成员在面对挑战和困难时保持积极的态度，坚持不懈地努力。
他相信，只有通过不懈努力和坚持不懈，每个人才能克服困难，实现个人和团队的成功。
为了实现不懈努力，洛必达提倡建立一个积极的工作环境。
他强调了激励和奖励的重要性。
他鼓励团队成员在工作中感受到成就和满足感，激发他们的动力和热情。
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
3-2第二节 洛必达(L’Hospital)法则
解此0/0型，连用三次洛必达法则可得到结果。在使用
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
洛必达法则时，必须要检查是否是0/0型的。在计算中常 犯的错误是没有满足0/0的条件。
高 等 数 学 电 子 教 案
定理2 ( 型) 设：
(1) lim f ( x) , lim g ( x) ;
ln cos x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ln cos x exp[lim ] 2 x 0 x tgx 1 exp[lim ] exp[ 1] x 0 2x 2
e
1/ 2
1 e
(tgx) sec 2 x
高 等 数学 电 子 教 案
1 x (3) lim (1 ) lim e x ln(11 / x ) x 0 x 0 x exp[ lim
sin x ( sin x) cos x lim lim lim .... x cos x x (cos x) x sin x
x 0
x sin x
x 0
x sin x
x 0
x sin x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
3x 2 3x 2 2 lim lim 3 2 x 0 1 cos x x 0 x 2 2
高 等 数 学 电 子 教 案
注意(4):洛必达法则使用前后都应注意分离因式,把具有非 零极限的因子提出极限号外,并及时求出极限,再对余下未 定式求极限. 例7 求
高 等 数 学 电 子 教 案
例1 求下列极限
(1 x) 1 (1) lim ; x 0 x
a
(2) lim n(e 1)
n
1 n
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
洛必达法则时，必须要检查是否是0/0型的。在计算中常 犯的错误是没有满足0/0的条件。
高 等 数 学 电 子 教 案
定理2 ( 型) 设：
(1) lim f ( x) , lim g ( x) ;
ln cos x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ln cos x exp[lim ] 2 x 0 x tgx 1 exp[lim ] exp[ 1] x 0 2x 2
e
1/ 2
1 e
(tgx) sec 2 x
高 等 数学 电 子 教 案
1 x (3) lim (1 ) lim e x ln(11 / x ) x 0 x 0 x exp[ lim
sin x ( sin x) cos x lim lim lim .... x cos x x (cos x) x sin x
x 0
x sin x
x 0
x sin x
x 0
x sin x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
3x 2 3x 2 2 lim lim 3 2 x 0 1 cos x x 0 x 2 2
高 等 数 学 电 子 教 案
注意(4):洛必达法则使用前后都应注意分离因式,把具有非 零极限的因子提出极限号外,并及时求出极限,再对余下未 定式求极限. 例7 求
高 等 数 学 电 子 教 案
例1 求下列极限
(1 x) 1 (1) lim ; x 0 x
a
(2) lim n(e 1)
n
1 n
高等数学(第二版)上册课件：洛必达法则
（1）如果 lim f (x) 0, lim g(x) 0
lim f (x) 称为 “ 0 ” 型不定型极限
g(x)
0
（2）如果 lim f (x) , lim g(x)
lim f (x) g(x)
称为
“
”型不定型极限
lim[ f (x) g(x)]: " " 不定型 lim[ f (x) g(x)]: "0 " 不定型 lim[ f (x)]g (x) : "1 "、" 0 "、" 00 " 不定型
继续讨论.
1. 求下列极限：
练习3.2
(1) A 0 ，在 (, A) 与 ( A, ) 内可导，且 g '(x) 0 ，
(2)
lim
x
f (x) 0
，lxim g( x) 0
，
(3)
lim
x
f x g x
，＜+
，
则 lim f x lim f x
．
x g x x g x
.
进一步地，若极限
lim f (x) xa g(x)
( 在 x , a 之间)
F (x) F (x) F (a) F( )
lim f ( ) xa F ( )
推理 1 仍然成立.
推论 2
若 lim f (x) F ( x)
则
型，且
x ,
满足定理1条件,
定理3.6 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件：
b 0 ）．
解
sin ax lim
lim a cos ax
a .
x0 bx
x0 b
lim f (x) 称为 “ 0 ” 型不定型极限
g(x)
0
（2）如果 lim f (x) , lim g(x)
lim f (x) g(x)
称为
“
”型不定型极限
lim[ f (x) g(x)]: " " 不定型 lim[ f (x) g(x)]: "0 " 不定型 lim[ f (x)]g (x) : "1 "、" 0 "、" 00 " 不定型
继续讨论.
1. 求下列极限：
练习3.2
(1) A 0 ，在 (, A) 与 ( A, ) 内可导，且 g '(x) 0 ，
(2)
lim
x
f (x) 0
，lxim g( x) 0
，
(3)
lim
x
f x g x
，＜+
，
则 lim f x lim f x
．
x g x x g x
.
进一步地，若极限
lim f (x) xa g(x)
( 在 x , a 之间)
F (x) F (x) F (a) F( )
lim f ( ) xa F ( )
推理 1 仍然成立.
推论 2
若 lim f (x) F ( x)
则
型，且
x ,
满足定理1条件,
定理3.6 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件：
b 0 ）．
解
sin ax lim
lim a cos ax
a .
x0 bx
x0 b
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
洛必达法则(课堂PPT)
limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
D3_2 洛必达法则
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
洛
lim
x
1
1 x
2
1 x2
型
lim
x
1
x2 x
2
lim
x
1
1 x2
1
1
思考:
如何求
lim
n
π 2
arctan
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 型未定式
定理 2.
2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim f (x) 存在的情形加以证明 . xa F (x)
1) lim f (x) 0的情形 xa F (x)
1
lim f (x) lim F (x) xa F (x) xa 1
f (x)
0型
0 lim
F
1 2 ( x)
F
(
x)
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
x0
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f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在x与a之间 )
当 x a 时 , a, limf(x) A,
xa F(x)
limf() A, a F()
f(x) f() lx iam F(x)l iam F()A.
精品课件
7
洛必达法则 lim f(x)lim f(x) x aF(x) x aF(x)
用夹逼准则
xlim exnx
0
13例7 求 lim 源自anx .( )x tan3x
2
解
原式lx im3sseecc223xx
1 3
cos2 3x
lim
x
cos2
x
2
2
1lim 6co3sxsin3x lim sin 6 x
3x 2coxssinx x sin 2 x
2
2
lim6cos6x 3. x 2cos2x
2
精品课件
14
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时 ,
ln x, xn(n0), ex(0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
xlim例 31. xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
1x2 x
推论1. 定理 1 中x a换为 xa, xa, x , x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2.
若
lim
f F
( x ) ( x )
仍0 属 型 ,且 f(x),F(x)满足 0
理1条件, 则
limf(x)limf(x) limf(x)
F(x) F(x)
lim 6x
6 lim精品课件 1
9
x1 6x 2
x1 6
arctanx
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
思解考原: 如式何求xlimlimx 12x112xa2 rctxal inmn1( nx2x为2 正整1.数) ?
n
1 n
精品课件
10
二、 型未定式
定理 2.
1 )lifm (x ) liF m (x )
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时, xk x n xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
x k 1 ex
xl im exkxxl i精m 品 xe课k件 x10
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
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6
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,
xa
F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
F(x)
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8
例1 求limtanx. x0 x
(0) 0
解
原式 lim(taxn)
sec2 lim
x
1.
x0 (x)
x0 1
例2 求lx i1m x3x 3x23 x x 21.
(0) 0
解
原式 lx i1m 3x32x22x31
6x lim x1 6x2
3. 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
x a
x a
2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 ,且 导 F(x)0
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x)
lim f ( x) lim f (x) x a F ( x) xa F(x)
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为 xa, xa, x , x 之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定精品理课件仍然成立.
而
例xli4m.xl 1im x xex2nx精 x品l课0 im 件 (x1n20 1,10). 15
3) 若 lim f(x)不存 ( 在 )时 , F(x)
lim f(x) lim f(x).
F(x)
F(x)
例如, limxsinx lim1cosx
x x
x 1
极限不存在
lim(1sinx) 1 x x
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4
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无 大穷 ，那末
极限lim f (x)可能存在、也可能不 在存 ．通 xa F(x)
( x)
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如, limtan x , ( 0 )
x0 x
0
limlnsinax, ( ) x0 lnsinbx
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5
一、0 型未定式
0 定理 设
(1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) .
x ,
11
例4
求limlnsinax. x0lnsinbx
( )
解
原 式 lim acoasxsibnx limcosbx x 0bcobsxsianxx0 cosax
1.
例5. 求 xl imlxnnx (n0).
型
解:
1
原式
lim
x
x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
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12
例6. 求 xl im exnx (n0,0).
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3
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”他. 在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在, 他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .
第二节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式
三、其他未定式
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第三章
1
教学目的与要求
• 会用罗必达法则求不定式的极限
• 重点： 用罗必达法则求不定式的值
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2
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim
f (x) 0
(
或
型)
g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限 lim f ( x) g ( x )