3-2洛必达法则ppt课件
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第二节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式
三、其他未定式
精品课件
第三章
1
教学目的与要求
• 会用罗必达法则求不定式的极限
• 重点： 用罗必达法则求不定式的值
精品课件
2
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim
f (x) 0
(
或
型)
g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限 lim f ( x) g ( x )
x a
x a
2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 ,且 导 F(x)0
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x)
lim f ( x) lim f (x) x a F ( x) xa F(x)
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为 xa, xa, x , x 之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定精品理课件仍然成立.
推论1. 定理 1 中x a换为 xa, xa, x , x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2.
若
lim
f F
( x ) ( x )
仍0 属 型 ,且 f(x),F(x)满足 0
理1条件, 则
limf(x)limf(x) limf(x)
F(x) F(x)
精品课件
4
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无 大穷 ，那末
极限lim f (x)可能存在、也可能不 在存 ．通 xa F(x)
( x)
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如, limtan x , ( 0 )
x0 x
0
limlnsinax, ( ) x0 lnsinbx
F(x)
精品课件
8
例1 求limtanx. x0 x
(0) 0
解
原式 lim(taxn)
sec2 lim
x
1.
x0 (x)
x0 1
例2 求lx i1m x3x 3x23 x x 21.
(0) 0
解
原式 lx i1m 3x32x22x31
6x lim x1 6x2
3. 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
精品课件
3
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”他. 在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在, 他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .
f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在x与a之间 )
当 x a 时 , a, limf(x) A,
xa F(x)
limf() A, a F()
f(x) f() lx iam F(x)l iam F()A.
精品课件
7
洛必达法则 lim f(x)lim f(x) x aF(x) x aF(x)
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
精品课件
6
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,
xa
F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
x ,
11
例4
求limlnsinax. x0lnsinbx
( )
解
原 式 lim acoasxsibnx limcosbx x 0bcobsxsianxx0 cosax
1.
例5. 求 xl imlxnnx (n0).
来自百度文库
型
解:
1
原式
lim
x
x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
精品课件
12
例6. 求 xl im exnx (n0,0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时, xk x n xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
x k 1 ex
xl im exkxxl i精m 品 xe课k件 x10
而
例xli4m.xl 1im x xex2nx精 x品l课0 im 件 (x1n20 1,10). 15
3) 若 lim f(x)不存 ( 在 )时 , F(x)
lim f(x) lim f(x).
F(x)
F(x)
例如, limxsinx lim1cosx
x x
x 1
极限不存在
lim(1sinx) 1 x x
用夹逼准则
xlim exnx
0
13
例7 求 lim tanx .
( )
x tan3x
2
解
原式lx im3sseecc223xx
1 3
cos2 3x
lim
x
cos2
x
2
2
1lim 6co3sxsin3x lim sin 6 x
3x 2coxssinx x sin 2 x
2
2
lim6cos6x 3. x 2cos2x
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5
一、0 型未定式
0 定理 设
(1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) .
lim 6x
6 lim精品课件 1
9
x1 6x 2
x1 6
arctanx
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
思解考原: 如式何求xlimlimx 12x112xa2 rctxal inmn1( nx2x为2 正整1.数) ?
n
1 n
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10
二、 型未定式
定理 2.
1 )lifm (x ) liF m (x )
2
精品课件
14
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时 ,
ln x, xn(n0), ex(0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
xlim例 31. xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
1x2 x
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16
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
一、0 型未定式
0
二、 型未定式
三、其他未定式
精品课件
第三章
1
教学目的与要求
• 会用罗必达法则求不定式的极限
• 重点： 用罗必达法则求不定式的值
精品课件
2
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim
f (x) 0
(
或
型)
g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限 lim f ( x) g ( x )
x a
x a
2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 ,且 导 F(x)0
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x)
lim f ( x) lim f (x) x a F ( x) xa F(x)
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为 xa, xa, x , x 之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定精品理课件仍然成立.
推论1. 定理 1 中x a换为 xa, xa, x , x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2.
若
lim
f F
( x ) ( x )
仍0 属 型 ,且 f(x),F(x)满足 0
理1条件, 则
limf(x)limf(x) limf(x)
F(x) F(x)
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4
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无 大穷 ，那末
极限lim f (x)可能存在、也可能不 在存 ．通 xa F(x)
( x)
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如, limtan x , ( 0 )
x0 x
0
limlnsinax, ( ) x0 lnsinbx
F(x)
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例1 求limtanx. x0 x
(0) 0
解
原式 lim(taxn)
sec2 lim
x
1.
x0 (x)
x0 1
例2 求lx i1m x3x 3x23 x x 21.
(0) 0
解
原式 lx i1m 3x32x22x31
6x lim x1 6x2
3. 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
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3
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”他. 在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在, 他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .
f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在x与a之间 )
当 x a 时 , a, limf(x) A,
xa F(x)
limf() A, a F()
f(x) f() lx iam F(x)l iam F()A.
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7
洛必达法则 lim f(x)lim f(x) x aF(x) x aF(x)
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
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6
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,
xa
F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
x ,
11
例4
求limlnsinax. x0lnsinbx
( )
解
原 式 lim acoasxsibnx limcosbx x 0bcobsxsianxx0 cosax
1.
例5. 求 xl imlxnnx (n0).
来自百度文库
型
解:
1
原式
lim
x
x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
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例6. 求 xl im exnx (n0,0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时, xk x n xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
x k 1 ex
xl im exkxxl i精m 品 xe课k件 x10
而
例xli4m.xl 1im x xex2nx精 x品l课0 im 件 (x1n20 1,10). 15
3) 若 lim f(x)不存 ( 在 )时 , F(x)
lim f(x) lim f(x).
F(x)
F(x)
例如, limxsinx lim1cosx
x x
x 1
极限不存在
lim(1sinx) 1 x x
用夹逼准则
xlim exnx
0
13
例7 求 lim tanx .
( )
x tan3x
2
解
原式lx im3sseecc223xx
1 3
cos2 3x
lim
x
cos2
x
2
2
1lim 6co3sxsin3x lim sin 6 x
3x 2coxssinx x sin 2 x
2
2
lim6cos6x 3. x 2cos2x
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一、0 型未定式
0 定理 设
(1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) .
lim 6x
6 lim精品课件 1
9
x1 6x 2
x1 6
arctanx
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
思解考原: 如式何求xlimlimx 12x112xa2 rctxal inmn1( nx2x为2 正整1.数) ?
n
1 n
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二、 型未定式
定理 2.
1 )lifm (x ) liF m (x )
2
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说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时 ,
ln x, xn(n0), ex(0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
xlim例 31. xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
1x2 x
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16
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.