自控PPT和课后习题答案-第8章非线性系统改

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本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化。 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性。 自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振
荡称为自激振荡，简称自振荡。
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❖ 二、非线性系统的特征
（1）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠 加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。
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饱和特性对系统运动的影响：
➢ 由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特 性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不 会造成愈振愈大的不稳定现象； ➢ 由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于 自振荡以保证系统的安全。 ➢ 当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对 快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。
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*** 非线性控制系统概述
❖ 一、有关概念
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特 性不能用线性微分方程来描述。 一般，非线性系统的数学模型可以表示为：
在 F函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为 非线性系统。同时，若在F 函数中不显含t ，则为时不变系统； 若显含t ，则为时变系统。
b
ma x a, x 0 a x ma, x 0
x a x ma, x 0 x ma, x 0
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继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性， 而且具有滞环特性。若分别取a=0,m=1,m=-1时继电特性表现 为不同的特殊情况，分别为下面三种特殊情况下的继电特性。
（a）a=0时理想继电特性（b）m=1时具死区继电特性（c）m=-1时具磁滞回环继电特性
x 1 x 1 a
a
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关于相轨迹的几点说明：
1、x轴和 x 轴选用的比例尺应一致；
2、在相平面的上半平面 x 0 ，所以相轨迹的走向应沿着 增加的方向由左向右；在相平面的下半平面 x 0 ，所
以相轨迹的走向应沿着减小的方向由右向左；
3、除平衡点外，通过x轴时的相轨迹的斜率a f x, x =∞，
（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡 状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能 产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。 改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和 频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只 有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振 荡。
x& 2
2M (x
xo )
M=1
M= -1
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b.直接积分法
Q &x& dx& dt \ x& dx&
dx& dx dx dt
f ( x, x& )
x&
d x& dx
dx
上式可分解为 g ( x& )dx& h ( x )dx
则由
x& x&o
g ( x&)dx&
x
h( x)dx
xo
率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图8－3所 示波形。
输入信号
t
倍频信号
t
分频信号
t
图8-3 倍频振荡与分频振荡
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❖三、非线性系统的研究方法
相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方 法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的 方法。
描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一 种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析 方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
第八章 非线性控制系统分析
❖*** 非线性控制系统概述 ❖*** 常见非线性特性及其 对系统运动的影响 ❖*** 相平面分析法 ❖*** 描述函数法
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前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的 分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均 不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中 只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统， 因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章 节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系 统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化 处理而得。
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理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于 无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加， 输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串 有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状 态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统 具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振 荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响 应速度，也可构成正弦信号发生器。
较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要
讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工
程使用的困难。
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❖ 一、基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
（ 1）
如果以 x 和 ˉx 作为变量，则可有
（2 ）
用第一个方程除第二个方程有
（3 ）
上式是以 x为自变量，以 为因变量的方程。
x 和 称为系统运动的相变量（状态变量）。 若以 x 为横坐标， 为纵坐标，则构成一个二维状态空间
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（3）非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和 参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程
.
X = - x( 1 – x )
(8-1)
描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。
将上式改写为 dx dt x(1 x)
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设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。
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*** 相平面分析法
❖
相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非
线性系统的分析方法，方法的重点是将二阶非线
性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量
的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设
法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨迹，
并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比
&x& f ( x, x )
因
&x& x& dx&
故有 式中
d x& dx
d x& dx
dx
f ( xx&, x& )
为相轨迹在某一点的切线的斜率，令a
d x& dx
，则
a
•
取相轨迹切线的I斜率为某一常数
a
•
，得等倾线方程 x
f (x, x) a
f
( x, x&) x&
当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 a .
可找出 x xo 的关系
在上式中 由
&& x
M
可有
d x&
M
dx x&
x& d x& Mdx
积分有
1 x& 2 M ( x x o ) 2
x& 2 2 M ( x x o )
可见两种方法求出的相轨迹是相同的。
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（2）图解法
等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
原理：
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（2）死区（不灵敏区）特性
0
e(t) a
x(t)
ke(t)
asigne(t)
e(t) a
式中,k为图中线性段的斜率, a为死区的范围。
死区非线性特性对系统产生的主要影响有： 1）使系统的稳态误差增大，尤其是测量元件的死区
对系统稳态性能的影响更大。 2）对动态性能的影响由具体系统的结构和参数确定。
如对某些系统，死区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统， 死区又能导致其产生自激振荡。
3）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提 高了系统抗扰动的能力。
4）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区 的存在会引起系统输出在时间上的滞后。
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（3）继电器特性
其数学表达式为
0
y bsi0gnx
b
0 0
x 0
在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。
相平面的奇点也称为平衡点。
奇点一定位于相平面的横轴上。
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相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以
按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹
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（4）间隙（滞环）特性
x(t
)
k k
e(t e(t
) )
e0 e0
bsigne(t)
.
X(t)>0
.
X(t)<0
.
X(t)=0
x
b
k -e0
k
e0
e
-b
元件开始运动 输入信号<e0时，无输出信号； 当输入信号>e0以后，输出随输入线性变化。
元件反向运动
保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2e0 ，输出随输入线性变化。
为参变量的t，就得到x, x 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 &x& M 0 其中 M 为常量，已知初始条件 x&(0) 0, x(0) x 。求其相轨迹。
解：
&x& M ， 积分有 x& Mt (1) 再积分一次有
x xo 1 Mt 2
(2)
由 (1),(2) 式消去
2 t有
逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一 个发展方向。
本章介绍对本质非线性系统的研究方法：
相平面法
描述函数法
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*** 常见非线性特性及其对系统运动的影响
下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固
有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统 的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系 统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优 良的动态特性。
✓饱和特性
✓不灵敏区（死区特性）
✓间隙特性
✓继电特性
✓摩擦特性
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（1)饱和特性
k e(t )
x(t)
k asigne(t )
e(t) a
signe(t
)Fra Baidu bibliotek
1 1
e(t) a
e(t) 0 e(t) 0
饱和特性
饱和特性的等效增益
饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当 输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而 是保持某一常值。
所以相轨迹是与轴垂直相交的；
x
4、相轨迹的对称性：
关于x 轴对称
f x, x f x, x
关于x 轴对称
f x, x f x,x
关于原点对称
f x, x f x,x
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❖ 三、相轨迹的奇点和极限环
1 奇点
• ••
•
相若的轨在不迹 某 定上点形每处式一，f 点则( x,切 称x• )线该和的点斜为x• 率相同为平时面dd为的xx 零奇xx，•点即f有(•x••xx•, x0)ddxx•
a.取 a 为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾 线上各点处作斜率为 a 的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹 的切线方向场。
b. 根据初始条件确定相轨迹的起始点； c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点 向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二、第三等倾线 斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
x(t
)
1
x0et x0 x0et
x(t)
1
ln x0
0
x0 1
(8-2)
t
图8-1 一阶非线性系统
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（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复 杂的情况：
（a）跳跃谐振和多值响应
图8-2 所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
4
3
4 .5
图8-2 跳跃谐振与多值响应
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(b)分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频
迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。
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❖ 二、相轨迹的绘制
绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系
（1）解析法
用求解微分方程的办法找出 x, x的关系，从而可在相平面上绘制相
轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为： a.消去参变量t
由 x f (x, x)直接解出 x(t) ，通过求导得到 x. (t) 。在这两个解中消去作
例：设二阶系统方程为 x x x 0
斜率方程为 等倾线方程为
dx x x
dx
x
x x a
x
x 1 x 1 a
表示相平面上过原点的一条斜线
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取不同值时，可在相平 面上画出若干不同的等倾 线，在每条等倾线上画出 表示该等倾线斜率值的小 线段，这些小线段表示相 轨迹通过等倾线时的方向， 从相轨迹的起点按顺序将 各小线段连接起来，就得 到了所求的相轨迹 。
（直角坐标平面）—— 相平面。
在同一时刻 t ，( x ， ) 对应于相平面上的一个点——相点，
随t变化形成一条轨迹——相轨迹。
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相轨迹：相变量从初始时刻t0对应的状态点 x0, x0 起，随着时
间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。 ➢在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。 ➢给定任一初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。 相平面图：多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨