上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

闵行中学高二期中数学卷一.填空题1.1lim[2()]2n n →∞+-=________【答案】2 【解析】 【分析】直接利用极限公式得到答案.【详解】1lim()02n n →∞-=，故1lim[2()]22n n →∞+-=故答案为：2【点睛】本题考查了极限的计算，属于基础题型.2.已知向量(1,2)a =-r ，(1,3)b =r，则|2|a b -=r r ________10 【解析】 【分析】先计算2(3,1)a b -=-r r ，再计算|2|a b -r r得到答案. 【详解】(1,2)a =-r ，(1,3)b =r22(1,2)(1,3)(3,1)a b -=--=-r r|2|10a b -=r r10【点睛】本题考查了向量的模，属于基础题型.3.1133lim 23n n nn -→∞++⋅⋅⋅+=+________ 【答案】12【解析】 【分析】利用等比数列公式得到1311332nn --++⋅⋅⋅+=，再计算312lim 23n n n n →∞-+得到答案.【详解】1311332n n --++⋅⋅⋅+=11311()133132lim lim lim 2232322()23n n n n n n n n n n n -→∞→∞→∞--++⋅⋅⋅+===++⨯+ 故答案为：12【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.4.把二元一次方程组的增广矩阵125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为1001x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=________【答案】2 【解析】 【分析】找到增广矩阵对应的二元一次方程为2538x y x y -=⎧⎨+=⎩，计算得到答案.【详解】二元一次方程组的增广矩阵125318-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的二元一次方程为：2538x y x y -=⎧⎨+=⎩解得：31x y =⎧⎨=-⎩ 所以2x y +=故答案为：2【点睛】本题考查了增广矩阵，找到对应的二元一次方程是解题的关键.5.行列式286142035--中，其中3的余子式的值是________【答案】2- 【解析】 【分析】先得到3的余子式是2612--，再利用行列式计算法则得到答案.【详解】行列式286142035--中，其中3的余子式是2612--计算得到2646212-=-=--故答案为：2-【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力.6.已知(1,2)a =r ，(8,6)b =-r ，则向量a r 在b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案.【详解】(1,2)a =r ，(8,6)b =-r ，a r 在b r方向上的投影为：8122105a b b⋅-==-r rr故答案为：25-【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.7.设向量,,a b c r r r均为单位向量，且||||a b c +=r r r ，则向量,a b r r的夹角等于____________．【答案】90o 【解析】 【分析】由平面向量模的运算可得a b ⋅r r＝0，即可得解.【详解】解：由题意，得22()2a b c +=r r r ，即22222a b a b c ++⋅=r r r r r ，又a b c ==r r r ，故a b ⋅r r＝0，故a r ，b r的夹角为90°．【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.8.△ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，A ∠的平分线所在直线的点方向式方程是____ 【答案】4117x y --=- 【解析】 【分析】根据角平分线性质得到13BD BC =u u u r u u u r ，计算得到1017(,)33D ，再计算AD u u u r 的一个平行向量为(1,7)-，代入得到答案.【详解】如图所示：A ∠的平分线所在直线与BC 交于点D则5,10AB AC ==，根据角平分线的性质得到：2CD BD =，即13BD BC =u u u r u u u r设(,)D x y ，则1(7,5)(11,2)3x y --=- 解得：1017(,)33D214(,)33AD =-u u u r 对应的平行向量为：(1,7)-故平分线所在直线的点方向式方程是：4117x y --=- 故答案为：4117x y --=-【点睛】本题考查了直线的点方向式方程，抓住平行向量是解题的关键.9.△ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，AC 边上的高所在的直线的点法向式方程为________【答案】4(7)3(5)0x y --+-= 【解析】 【分析】计算与AC u u u r平行的一个向量为(4,3)-，直接利用点法向式方程公式得到答案.【详解】(8,6)AC =-u u u r ，与(8,6)AC =-u u u r平行的一个向量为(4,3)- AC 边上的高所在的直线的点法向式方程为：4(7)3(5)0x y --+-= 【点睛】本题考查了点法向式方程，意在考查学生的计算能力.10.已知1,2a b ==r r ，且a b -r r 与a r 垂直，则a r 与b r 的夹角为_________.【答案】45o 【解析】 【分析】由a b -v v 与a v 垂直，可得2cos 0a a b θ-=v v v ，结合1,2a b ==v v 即可得结果. 【详解】()(),0a b a a b a -⊥∴-⋅=Q v v v v v v，2cos 0a a b θ∴-=vv v ， 2cos 22a bθ∴===v v ，0180,45θθ≤≤∴=o o o Q ，故答案45o .【点睛】本题主要考查向量的模与夹角以及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r在br上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r）.11.在平面直角坐标系中，已知(1,)OA t =-uu r ，(2,2)OB =u u u r，若ABO 90∠=o ，则实数t 的值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】计算出向量BA u u u r的坐标，由题意得出0BA OB ⋅=uu r uu u r ，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数t 的值.【详解】若ABO 90∠=o，即O B B A ⊥uu r uu u r ，()3,2BA OA OB t =-=--uur uu r uu u r ，()6220BA OB t ∴⋅=-+-=uu r uu u r，解得5t =，故答案为：5.【点睛】本题考查垂直向量的坐标运算，解题的关键就是题中的直角转化为向量数量积为零来处理，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于基础题. 12.有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,n V V V L ，则()12lim n n V V V →∞+++=L . 【答案】87 【解析】【详解】易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以1128lim()1718n n V V V V →∞+++==-L13.在△ABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则||AG uuu r 的最小值为________【解析】 【分析】先计算得到2219()33AG m +=+u u u r ，根据二次函数得到最小值.【详解】AG mAB AC =+u u u r u u u r u u u r则222222219649()33AG m AB AC mAB A m m C m ⋅=++=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r当13m =-时，2AG uuu r 有最小值3，即||AG uuu r【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14.如图，向量OA OB ⊥u u u r u u u r，||2OA =u u u r ，||1OB =uu u r ，P 是以O 为圆心、||OA u u r 为半径的圆弧»AC上的动点，若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，则mn 的最大值是______.【答案】1 【解析】 【分析】将OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r两边平方，利用数量积的运算化简可得2244m n =+，用基本不等式即可求得最大值．【详解】因为OA OB ⊥u u u r u u u r ，2OA u u ur =，1OB u u u r =，所以224,1,?0OA OB OAOB u u u v u u u v u u u v u u u v===, 因为P 为圆上，所以24OP =u u u r ，OP mOA nOB =+u u u r u u u r Q u u u r ，22()OP mOA nOB ∴=+u u u r u u u r u u u r ， 2244m n ∴=+，2244m n mn Q +≥，44mn ∴≤，1mn ∴≤，故答案为1．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r rg 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r）. 二.选择题15.已知{}n a 是以q 为公比的无穷等比数列，其各项和为s ，则“lim 0n n a →∞=”是“11a s q=-成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据lim 0n n a →∞=得到1q <，计算极限得到充分性，根据1lim 111nn a q q q→∞-=--得到1q <，计算极限得到必要性，得到答案. 【详解】11n n a a q -=，如果lim 0n n a →∞=，则1q <，111nn q S a q-=-，11lim n n S a s q →∞==-，具有充分性；若11a s q =-，则11l 111im lim n n n nS a q s q q q→∞→∞-===∴<--，11lim lim 0n n n n a q a →∞→-∞==，具有必要性.故“lim 0n n a →∞=”是“11a s q=-成立”的充要条件 故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生对于极限的理解和掌握.16.已知向量(1,2)a =-r ，(1,)b m =r ，则“12m <”是,a b r r 为钝角的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-r，(1,)b m =r，所以12a b m ⋅=-+r r，则cos ,a b a b a b ⋅==r rr r r r若12m <，则cos ,0a b a b a b ⋅==<r rr r r r ， 但当2m =-时， ,a b r r 反向，夹角为180o；所以由12m <不能推出,a b r r 为钝角；反之，若,a b r r 为钝角，则cos ,0a b <r r 且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b r r 为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 17.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA. 3144AB AC -u u ur u u u rB. 1344AB AC -u u ur u u u rC. 3144AB AC +u u ur u u u rD. 1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u vu uu v u u u v ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.18.221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（ ）A. 0B. 1C.12D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案.【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.19.在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+uuu r uu u r uuu r，则λμ+=A. 2B. 2-C.12 D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD u u u v ，BM u u u u v，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-u u u v u u u v u u u v u u u v，因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又BM AB AC λμ=+u u u u v u u u v u u u v ，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-.本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20.已知向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且OC u u u r ⊥ABu u u r ，则实数mn的值为( ) A. 16 B. 14C. 6D. 4【答案】A【解析】 【分析】根据OC u u u r ⊥AB u u u r ，得到AB u u u r ·OC u u u r ＝(OB uuu r －OA u u u r)·()0mOA nOB +=u u u r u u u r，代入数据得到mn＝16. 【详解】∵ 向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60°，∴32603OA OB cos ⋅=⨯⨯︒u u u r u u u r＝，∴AB u u u r ·OC u u ur ＝(OB uuu r －OA u u u r )·()mOA nOB +u u u r u u u r＝()m n －OA u u u r ·OB uuu r－m 2OA u u u r ＋2n OB u u u r＝394(6)0m n m n m n －－＋＝－＋＝， ∴m n ＝16， 故答案选：A.【点睛】本题考查了向量的计算，根据OC u u u r ⊥AB u u u r ，得到AB u u u r ·0OC =u u ur 是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 三.解答题21.用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解；当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解.【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力. 22.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅u u u r u u u r；（2）若2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅u u u r u u u r =221()2CB CA -u u ur u u u r =72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因AB CD ⋅u u u r u u u r =1()()2CB CA CB CA -⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =221()2CB CA -u u u r u u u r =1692- =72; (2)因为2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22=(),AB ACCA CD CA CA CB CA CA CB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由余弦定理可得222222222AB AC BC CA CB AB AB AC CA CA CBAB AC CA CB+-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.23.已知向量1(sin ,)2a x =-r ，(cos ,cos(2))6b x x π=+r ，函数()f x a b =⋅r r .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在y 轴右侧取得最大值时，对应的横坐标从小到大构成数列{}n a ，试求数列21{}n n a a π+的所有项的和.【答案】（1）[,]63k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）3.【解析】 【分析】（1）化简得到())26f x x π=-，计算222262k x k πππππ-≤-≤+,k ∈Z 得到答案. （2）根据22()62x k k N πππ-=+∈得到23n a n ππ=-，化简得到21112133n n a a n n π+=--+，利用裂项相消法得到1313n S n =-+，求极限得到答案. 【详解】（1）向量1(sin ,)2a x =-r ，(cos ,cos(2))6b x x π=+r函数11()(sin ,)(cos ,cos(2))sin cos cos(2)2626f x a b x x x x x x ππ=⋅=-⋅+=-+r r111sin 2(2sin 2))222226x x x x π=--=- 函数()f x 的单调递增区间为：222262k x k πππππ-≤-≤+,k ∈Z解得：[,]63x k k ππππ∈-++,k ∈Z（2）根据（1）知：())26f x x π=-取最大值，即22()62x k k N πππ-=+∈即3x k ππ=+，则23n a n ππ=-221111212121()()()()333333n n a a n n n n n n ππππππ+===--+-+-+ 前N 项和1313n S n =-+ 1lim lim 3313n n n S S n →∞→∞⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪+⎝⎭ 【点睛】本题考查了向量的运算，三角函数的单调区间，数列的裂项求和，极限，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 24.如图，半径为1，圆心角为32π的圆弧AB 上有一点C ，建立适当的平面直角坐标系.（1）若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求||OC OD +uuu r uuu r的最小值；（2）若D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围. 【答案】（12；（2）1212[4242-+.【解析】 【分析】（1）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系，(,0)(01)D m m ≤≤得到221||22OC OD m ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r . （2）设3(cos ,sin )(0)2C πααα≤≤，则21)244CE DE πα⋅=++uur uuu r ，根据三角函数最值得到答案.【详解】（1）如图所示：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系. 则22(22C -，设(,0)(01)D m m ≤≤ 则2222221||((,0)(222222OC OD m m m ⎛⎫+=+=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r 当2m =时，||OC OD +uuu r uuu r 2（2）根据（1）知：11(,0),(0,)22D E - ，设3(cos ,sin )(0)2C πααα≤≤11111121(cos ,sin )(,)sin cos sin()222224244CE DE πααααα⋅=-----=++=++uur uuu r302πα≤≤则7444πππα≤+≤ 故211212sin()[,]2444242πα++∈-+ CE DE ⋅uur uuu r 的取值范围为1212[,]4242-+【点睛】本题考查了向量的最值，意在考查学生的应用能力和计算能力.25.已知向量2(3,1)a x =-r ，(,)b x y =-r （其中实数x 和y 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥r r，当||2x ≥时，a r ∥b r. （1）求函数式()y f x =； （2）求函数()()f x F x x=的单调递减区间； （3）若对任意(,2][2,)x ∈-∞-+∞U ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或；（2）(,2)-∞-和(2,0)-；（3）2m ≥.【解析】 【分析】（1）分别计算||2x <和||2x ≥函数表达式，得到答案323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或.（2）根据（1）知223220()1223x x x F x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或分别计算两段函数的单调性得到答案.（3）将不等式转化为23x m x ≥-，求函数2()3xg x x=-的最大值得到答案. 【详解】（1）向量2(3,1)a x =-r ，(,)b x y =-r当||2x <时，有a b ⊥r r，即22(3)0,(3)(0)x x y y x x x --==-≠当||2x ≥时，a r ∥b r，即22(3),3xy x x y x--==- 综上所述：323220()223x x x x f x x x x x ⎧--<<≠⎪=⎨≥≤-⎪-⎩且或（2）223220()()1223x x x f x F x x x x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或 当22x -<<且0x ≠时：2()3F x x =-，单调减区间为(2,0)-当2x ≥或2x -≤时：21()3F x x=-，当2x ≥时，23x -单调递减；当2x -≤时23x -单调递增，根据复合函数单调性得到21()3F x x=-单调减区间为(,2)-∞- 综上所述：单调减区间为(,2)-∞-和(2,0)-（3）(,2][2,)x ∈-∞-+∞U ，22303xmx x m m x +-≥∴≥- 即求函数2()3x g x x=-的最大值，21()33x g x x x x==-- 当2x ≥时，3x x -单调递减，2()3xg x x =-单调递增当2x -≤时，3x x -单调递减，2()3xg x x =-单调递增故(,2]x ∈-∞-递增，最大值为max ()(2)2g x g =-=[2,)x ∈+∞时，2()03xg x x =<- 综上所述：max ()(2)2g x g =-=，所以2m ≥【点睛】本题考查了分段函数表达式，单调性，恒成立问题，将分段函数分开求解是常用的方法，需要灵活掌握.。