sin x 54
cos x 5?
=-????=??
， 故7
sinx cosx 5
-=-
. (Ⅱ)
2
22x x x x x 3sin 2sin cos +cos 2sin sinx +1
2(cosx sinx)22222tanx +cotx tanx +cotx tanx +cotx
---+==
=[2－(sinx+cosx)]sinxcosx=108
125
-
. 19.解:由于π3π
β<α24<<，可得到π
3π
α24
π3π
β24
?<
??3ππα+β2<<， π
3πα243π
πβ4
2βα?<
?-<-<-?
??
ππαβ44αβ>0
?-<-
，5
sin(αβ)13
-=． ……8分 又2α= (α+β)+(α－β) ……9分
∴ sin2α=sin[(α+β)+(α－β)]=sin(α+β)cos(α－β)+cos(α+β)sin(α－β) ……11分
3124556
()()51351365
=-?+-?=-. ……12分
20.解：(Ⅰ)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20℃.
(Ⅱ)图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx ＋φ)＋b.的半个周期，
∴12π=1462ω
?-，解得π
ω=8. 由图示，1
A =(3010)=102
-， 1b =(10+30)=202， 0 6 8 10 12 14 20 10 30
y 温度/0C 时间/h
x
这时，y=10sin(
π8ωx ＋φ)＋20，将x=6，y=10代入上式，可取3π4
=φ. 综上可知，所求的解析式为y=10sin(π8x ＋3π
4
)＋20 (x ∈[6，14]).
21.解：(Ⅰ)f(x)=2sin 2x+2sinxcosx=1－cos2x+sin2x
πππ
=1+2(sin2xcos
cos2xsin )=1+2sin(2x )444
-- ∴函数f(x)的最小正周期为π，最大值为21+. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 x 3π8
-
π8- π8
3π8 5π8
y
1
21-
1
21+
1
故函数y= f(x)在区间ππ
[]22
-，上的图像是
22.解：(Ⅰ) 213y =cos x +sinxcosx +122
2113=
(2cos x 1)+(2sinxcosx)+1444
-+ 135=
cos2x sin2x +444+1ππ5=(sin cos2x sin2xcos )+2664
+ 1π5
=sin(2x )+264
+. ……6分 y 取得最大值必须且只需ππ2x =+2k πk z 62
+∈，即πx =k πk z 6+∈.
x y
1
2 O 2.5 π2
π2-π8
π8
-
π
4π4
-3π83π8-3π2
1.5
0.5
所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为π{x |x =k πk z}6+∈
……8分 (Ⅱ)将函数y=sinx 依次进行如下变换：
① 把函数y=sinx 的图像向左平移
π6，得到函数π
y =sin(x )6
+的图像； ②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到函数
π
y =sin(2x )6
+的图像；
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1
2
倍（横坐标不变），得到函数
1π
y =sin(2x )26
+的图像；
④把得到的图像向上平移5
4个单位长度，得到函数1π5y =sin(2x )+264
+
的图像；综上得到函数213y =cos x +sinxcosx +122的图像. ……12分 23.解:y=sin 4x+23sinxcosx －cos 4x=(sin 2x+cos 2x) (sin 2x －cos 2x)+3sin2x =3sin2x －cos 2x=2 sin(2x －
6
π
). ∴函数最小正周期为π；最小值－2；
在[0，π]上的单调递增区间为π[0]3，，π[π]3
，
24.①解: 函数f(x)=sinx+3cosx=2 sin(x+
π3
)， ∵ππx 22-≤≤，∴ππ5πx +636-≤≤，∴1πsin(x +)123
-≤≤，
π
12sin(x +)23
-≤≤.故选择D.
②解: y=sin 2x+2sinx·cosx+3cos 2=1+sin2x+2cos 2x=2+sin2x+cos2x =2+2sin(2x+
π
4)，y 最小值为2－2；当ππ2x 2k πk z 42
+=-∈，
即取得最小值时的x 的集合为3π{x |x k πk z}8
=-∈，其最大值为22+
③ 25.解: y=cos 2x －3cosx+2231(cos x )24
=--，当cosx=1时，y min =0. 故选择B.
④ 26.解: 令sinx+cosx=t (2t 2)-≤≤，则sinx·cosx=2
t 12
-,
22t 11y t 1(t 1)22
-=++=+，当t=－1时取得最小值0；
当t =
2时取得最大值322
+.
⑤ 27 解: 由2+cosx y =2cosx -得，2y 2|cosx |=||1y 1
-≤+，3y 2
－10y+3≤0，解得1y 33≤≤.
答案.C
28.解: 如果a 、b 、c 成等差数列，则2b= a+c ，ΔABC 13
S =
acsinB 22
=，ac=6， 又b 2=a 2+c 2－2accosB=(a+c)2－2ac －2accosB=4b 2－12－63，整理得， 3b 2=4+23，∴b=31+. 29.解:x x πx πx π
f(x)=a b =22cos
sin(+)+tan(+)tan()2242424
?- x x
1tan
tan 1
x 2x 2x 2222cos (sin cos )x x
222221tan 1tan 22+-=++?-+.
2x x x
2sin cos 2cos 1222
=+-π=sinx +cosx =2sin(x +).4
当πx =
4时，max π
f(x)|=f()=24
. 最小正周期为T=2π. f(x)在[0]4
π
，是单调增加，在[]4ππ，是单调减少.
30.解: 直线 ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a
k t
a n α1b
==-=-
， ∴a －b=0. 故选择D.
31.解: 函数的定义域为12
2+log x 0tanx 0πx k π+k z 2
?≥???≥?
?
?≠∈??1
122log x 2log 4
πk πx k π+2π
x k π+k z 2
?≥-=????≤
πk πx k π+k z 2≤????≤<∈??
， ∴π0x 2<<或πx 4<≤，即. π
{x |0x πx 4}2
<<<≤或.
初三数学三角函数经典复习讲义
济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义 一．基础训练： 1.△ABC中a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 2.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的 米180米 3.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 第2题 第4题第5题4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5 i=，则AC 的长度是 cm． 5.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则 tan∠BCD的值是 6.如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P?是AB?延长线上 一点，?BP=2cm，则tan∠OPA等于 7..计算： （1）-3－2+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－cos45°（2） 2 45 tan 45 cos 2 30 cos 60 tan 45 sin + ? + 8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1AB。（结果保留整数，参≈1.7）
9.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。 二．典型例题 例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2. （1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosB cosA sinB sin 2A+cos 2 A= （2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是 （3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为 固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度． 例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5° (不写作法，保 留作图痕迹)，并求tan22.5° 的准确值。 例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半； E D C B A A B C A B C D E
人教版数学必修四三角函数复习讲义
人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，
()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
三角函数讲义
三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
高中数学专题讲义-三角函数基本概念
题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念
【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）
必修四第一章三角函数 知识点及练习 讲义
__________________________________________________ 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
__________________________________________________ 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
三角函数复习(原创)经典讲义
三角函数基本概念及方法指导 一、角的概念的推广 1、角的定义： 2、角的分类： （1）角按旋转方向的分类：正角：负角： 零角： （2）角按终边位置的分类：象限角： 轴线角 【注：角的顶点与始边】 特别：终边相同的角表示： 【注：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。】 例题讲解： 例1、角概念的理解：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例2、象限角的理解 第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 练习：－1120°角所在象限是 例3、如何表示终边相同的角: 与30°角的终边相同的角的表达式. 练习：1、角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是 2、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 3、写出与-2250角终边相同角的集合，并在集合中求出-7200~10800内的所有角。 例4：已知角α是第二象限角，求：（1）角2 α 是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。 【注：两种方法说明。延伸3倍关系】 思考：若α是第四象限的角，则α- 180是第几象限角？ 二、弧度制 1、弧度概念：在半径为单位长度的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度角度制 2、角度制转化为弧度制：（实质说清楚）例1、把'3067 化成弧度 3、弧度制转化为角度制：如：把rad π5 3化成度 例1、若α＝－3，则角α的终边在第几象限？ 转化过程要求必须非常熟悉：掌握0到360内所有特殊角转化 4、弧长、面积公式;180r n l π=r α=?,3602R n S π=扇12 lR =【注：要求不记公式，要掌握推导过程】 例1、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 2、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 3、半径为1的圆上有两点A,B 若AMB 的长=2,求弓形AMB 的面积 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 sin cos tan
三角函数综合讲义
三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任 意 角 1 角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2 角的分类 (1)正角：按逆时针方向旋转形成的角； (2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角； 规定:正角>零角>负角； 画法：画角时，用带箭头的螺旋线加以标注； 记法：αα α∠、角； 意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了：角有正负之分；角可以任意大；还有零角。 3 象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 4 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}Z k k ∈?+=,360 αββ 5 象限角的集合表示 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 6 αk k α ?、所在象限的判定 方法一 代数推导法；方法二 图示法 例： α是第三象限的角，求2 α的范围，并在坐标系内表示出来，同时指出它在哪一象限. （代数推导法） (图示法) {}Z k ,180360k 90360k |∈?+??<
(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数
高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1） ? ? ? ? ? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090, k k k αα ?<
高一数学必修四-三角函数讲义全
专题四 三角函数 一．基本知识点 【1】角的基本概念 （1）正角 负角 零角 （2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 {}36036090,k k k αα?<，则 sin y r α= ，cos x r α=， ()tan 0y x x α= ≠．
【3】三角函数的基本关系 ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ()sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ? ? ?． 【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()sin sin παα+=- ()cos cos παα+=- ()tan tan παα+= ()sin sin αα-=- ()cos cos αα-= ()tan tan αα-=- ()sin sin παα-= ()cos cos παα-=- ()tan tan παα-=- sin cos 2παα??-= ??? cos sin 2παα?? -= ??? sin cos 2παα??+=- ??? cos sin 2παα?? +=- ??? 【5】常用三角函数公式 （1）两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± （2）倍角公式 sin2α=2sin α·cos α α α α2 tan 1tan 22tan -= cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2 α （3）半角公式 sin 2 α22cos 1α-= cos 2 α2 2cos 1α+= （4）辅助角公式()()sin cos 0a x b x x a θ+= +> (其 中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a θ=确定) （5）特殊角的三角函数
(完整word版)高中数学专题系列三角函数讲义(2)
§1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式 ：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602==π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值. §1.2.21、 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα=
§1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈） §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）.
九年级下册锐角三角函数专题讲义
1 九年级下册锐角三角函数专题讲义 一．知识框架 二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中: (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 2.特殊角的三角函数: A sinA cosA tanA 30° 12 32 33 45° 22 22 1 60° 32 12 3
2基础训练： 例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ） A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2 sin 3 A =，则边AC 的长是（ ） A B ．3 C ．4 3 D 练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值 25 24 7C B A 练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB 练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= 练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝2，则a ＝ 练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ） Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．1
高中数学三角函数综合复习讲义
高中数学三角函数综合复习讲义 1：产生背景：初中锐角三角函数 定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么 正弦: sinα=y/r 余弦: cosα=x/r 正切: tanα=y/x 余切: cotα=x/y 正割: secα=r/x 余割: cscα=r/y 都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。 2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。 本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x) 3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数； [定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的 [对应法则]包括：正弦: y= sinx 余弦: y= cosx 正切: y= tanx 余切: y= cotx 正割: y= secx 余割: y= cscx [角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数 4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。 5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}
基本三角函数的性质： 同角的三角函数： 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α 诱导公式 sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan α sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan α sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ （＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ = 1 ?tan tan tan tan tan αβ αβαβ ＋（＋）－ 1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ －（－）＝ ＋
必修四第一章三角函数-知识点及练习-讲义
-- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
-- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.
届高考三角函数复习讲义
2012届高考三角函数复习讲义 一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度； 弧长公式：r l α= 扇形面积：S=α22 121r r l =? 三角函数线：如右图，有向线段AT 与 MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。 三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系、倒数关系。 四、诱导公式：()ααπf n f '±=?? ? ??±2 记忆：单变双不变，符号看象限。单双：即看πn 中的n 是 2π的单倍还是双倍，单倍后面三角函数名变，双不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2 π n 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。 五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题, 一般先化简成单角三角函数式。然后再求解。 六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： 1、 常数代换法：如：αααααα2222 tan sec cot tan cos sin 1-=?=+= 2、 配角方法：ββαα-+=)( ()βαβαα-++=)(2 2 2 βαβ αβ -- += 3、 降次与升次：2 2cos 1sin 2 αα-= 22cos 1cos 22 αα+= 以及这些公式的变式应用。 三角函数知识框架图
4、 ()θααα+ +=+sin cos sin 22b a b a （其中a b = θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。 5、 常见三角不等式： （1）、若x x x x tan sin .2, 0<
高中数学三角函数1.2讲义
高中数学 任意角的三角函数及同角三角函数的关系 知识点 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那 么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 知识点三 诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z . 作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2 ，k ∈Z }． 知识点五 三角函数线 如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .
高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版
三角函数的图象与性质 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ????π2，1 (π，0) ? ?? ??32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ?? ??3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ， k ∈Z } 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：__ x ＝k π＋π 2 (k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _ 对称轴： x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心： _(k π＋π 2，0) (k ∈Z )__ 对称中心：_? ?? ? ?k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期 2π_ 2π π 单调性 单调增区间_[2k π－π2 ， 2k π ＋ π 2 ](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋ 单调增区间[2k π－ π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调减区间[2k π，2k π ＋ π](k ∈Z )______ 单调增区间_(k π－π 2 ，k π＋π 2 )(k ∈Z )___
3.都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π |ω| ， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π |ω| . 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2 x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ????2x －π4；(2)y ＝sin ? ????π4－2x . 热身练习: 1．函数y ＝cos ? ????x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数 C ．是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
