(10)第10章方差分析
第10章 单因素方差分析
号的和 体一、 系级平
j 1
法数均
1 xi n xi
an
x
xij
第i水平均值 全部观察值的和
表据数 示，、 ，在大 要本总 注章和
i1 j1
1 x an x
总平均值
意我、 熟们总 悉采平
Si2
1 n 1
a i 1
( xij
xi )2
第i水平上的子样方差
和用均
可xij以分解为
xij i ij
、(i
)
i、( xij
i
)
的估计值。
ij
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理 内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变 异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总离均差平
方和，简称为总平方和(total sum of squares，SST) ，剖分成
方差分析中常用基本概念
（一）试验指标(experimental index)
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体 测定的性状或观测的项目。
（二）试验因素 (experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时， 则称为两因素或多因素试验。 按是否可控制因素可分为：固定因素和随机因素．
方差分析(analysis of variance－ANOVA)
是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据 之间平均数差异显著性的．
10方差分析与试验设计
10方差分析与试验设计方差分析是一种统计学方法，用于比较多个组之间的均值是否有显著差异。
在实验设计中，方差分析可以用来确定不同处理之间的差异是否由于实验因素的变化引起，同时还可以帮助研究人员确定实验因素对结果的影响程度。
方差分析的一个重要应用是试验设计。
试验设计是一种系统地操纵和控制实验因素的方法，旨在确定因素对结果的影响。
通过合理的试验设计和方差分析，研究人员可以确定实验因素对结果的作用，找出最佳的处理组合，并进一步进行优化和改进。
在试验设计中，常用的方差分析方法有单因素方差分析、多因素方差分析和混合设计方差分析。
单因素方差分析是用于比较一个处理因素对结果的影响是否显著。
在单因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以检验不同组之间均值是否存在差异，从而确定处理因素的显著性。
多因素方差分析是用于比较两个或更多处理因素对结果的影响是否显著，并确定各因素之间以及因素与交互作用之间的关系。
在多因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到多个处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以判断不同因素和因素交互作用对结果的影响是否显著，并进一步分析因素之间的关系。
混合设计方差分析是将固定效应和随机效应结合起来分析的一种方法，适用于同时考虑因子固定效应和随机效应的情况。
在混合设计方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以确定因子的固定效应和随机效应对结果的影响是否显著，并进一步分析这些效应的大小和方向。
方差分析和试验设计在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用方差分析和试验设计方法来比较不同药物的疗效；在工程领域中，可以用于优化生产过程和改进产品质量；在社会科学研究中，可以用于分析不同因素对人们行为的影响。
总之，方差分析和试验设计是统计学中重要的方法，可以帮助研究人员确定因素对结果的影响，找出最优解，并加以优化和改进。
10方差分析
Minitab分析结果
strength 与 machine 的单值图
20
18
16
14
12
10
8
6
A
B
C
machine
strength 的箱线图
20
18
16
14
12
10
8
6
A
B
C
machine
练习1
某工程师认为反应温度对生产的塑胶产品的强度有影响，所以他为了证 实这一点，进行了实验。他设定了4种不同温度，每种温度测试了3回，总 共12次实验，数据如同下表。请分析并判断工程师的想法是否正确？
1.员工会否影响平均送餐时间？ 2.天气会否影响平均送餐时间？ 3.员工和天气间有否互双影响？
练习
若某工程师需要调查加热温度及加热时间对金属的硬度有无显著影响：
他收集数据如下：
40’ 50’
1200℃
94
91
93 87
1300℃
88
86
91 85
1400℃
80
84
78 85
请您应用Two-Way方差分析进行分析，判断加热温度及加热时间对 金属的硬度有无显著影响，并判断加热温度及加热时间的交互作用 对金属的硬度有无显著影响？
该例中影响Y的因子（输入变量）有几种？ 该因子有几个不同水平？
二元方差分析举例
假设对于送餐时间，除了不同的员工有影响外，天气（晴天，雨天）是另外 一个产生变异（影响送餐时间）的可能原因。
09-5
二元方差分析举例
假设影响送餐时间的原因有两种，员工和天气。
这种同时比较两个因子不同水平各自对Y的影响叫做双因子设 计，例如Y的输入变量(X)有两种：员工和天气。
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
统计学第十章(方差分析)
第十章方差分析一、单项选择题：1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。
A.总离差平方和B.组间离差平方和C.抽样误差D.组内离差平方和2.∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k1i 21-j ij n i i x x ——是（ ）。
A.组内平方和 B.组间平方和C.总离差平方和D.因素B 的离差平方和3.∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k1i 21-j ij n i i x x ——是（ ）。
A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和D.总方差4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。
A.k ，nB.k ，n-kC.k-1，n-kD.n-k ，k-15.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。
A.费雪B.皮尔逊C.泰勒D.凯特勒6.组间离差平方和反映的是（ ）。
A.抽样误差B.系统误差C.随机误差D.总误差7.组内离差平方和反映的是（ ）。
A.抽样误差B.系统误差C.随机误差D.总误差8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。
A.μμμk 21===B.差距不显著，，，μμμk 21C.不是全部相等，，，μμμk 21D.全部不相等，，，μμμk 219.单因素方差分析的零假设是（ ）。
A.μμμk 21===B.差距不显著，，，μμμk 21C.不是全部相等，，，μμμk 21D.全部不相等，，，μμμk 2110.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ）（>，则统计推论是（ ）。
A.各组间的总体均数不全相等B.各组间的总体均数都不相等C.各组间的样本均数都不相等D.各组间的总体方差不全相等11.为研究温度对菌种生产率的影响，将温度控制在三个水平上，则应该使用（ ）。
A.单因素方差分析B.双因素方差分析C.独立样本t 检验D.三因素方差分析12.为分析学历对收入的影响，调查了50个职工，按学历高低分成四组，使用单因素方差分析，则F 检验临界值为（ ）。
方差分析法
19
系统误差 (systematic error) 由某些或某个因素按照某一确定的规律起作用而形成 的误差。当实验条件确定，系统误差就是客观上的 恒定值，不能通过多次实验值的平均值而减小。多 次重复试验不能消除系统误差。 砝码不准，刻度不均匀，个人读取刻度的习惯
标准偏差来衡量数据的分散程度。平方不 仅避免单次测量偏差相加时正负抵消，更 重要的是使大偏差能更显著地反映出来， 更好地表达数据的分散程度，表示测量的 精密度
当实验次数无穷大时，称为总体标准差。
18
实验误差的来源及分类
随机误差（random error） 以不可预知的规律变化着的误差，随机误差的出
9
例2：某样品质量的称量结果为58.7±0.2g，试求其相对误 差。
解：称量的绝对误差是0.2g，所以相对误差为ER=
X/X=0.2/58.7=0.3%
例3：已知由试验测得水在20摄氏度时的密度ρ是 997.9kg/m3，又已知其相对误差为0.05%，试求密度 ρ的范围。
解： ER= X/X=0.05% 所以X=997.9*0.05%=0.5kg/m3 ρ =997.9*(1±0.05%) kg/m3
21
21
系统误差的处理方法
当分析方法、仪器、试剂及操作者确定后，即
确定了一个分析系统，此分析系统的固有缺陷所
导致的误差即系统误差。因此，如果条件不变，
系统误差是恒定的。
选择较好的分析方法 校正仪器 提纯试剂
《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习答案(第10章)
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇）课后练习答案第10章SPSS的聚类分析1、根据“高校科研研究.sav ”数据，利用层次聚类分析对各省市的高校科研情况进行层次聚类分析。
要求：1）根据凝聚状态表利用碎石图对聚类类数进行研究。
2）绘制聚类树形图，说明哪些省市聚在一起。
3）绘制各类的科研指标的均值对比图。
4）利用方差分析方法分析各类在哪些科研指标上存在显著差异。
采用欧氏距离，组间平均链锁法利用凝聚状态表中的组间距离和对应的组数，回归散点图，得到碎石图。
大约聚成4类。
步骤：分析分类系统聚类按如下方式设置……结果：22 5 24 7930.765 9 10 24将系数复制下来后，在EXCEL中建立工作表选中数据列，点击“插入”菜单拆线图碎石图：由图可知，北京自成一类，江苏、广东、上海、湖南、湖北聚成一类。
其他略。
确定接下来，添加一个变量CLU4_1，其值为类别值。
（1、2、3、4），再数据汇总设置均值对比，依据聚类解，利用分类汇总，计算各个聚类变量的均值方差分析结果：分析比较均值单因素ANOVA 设置…… 确定2、试说明当变量存在数量级上的差异，进行层次聚类分析时为什么要对数据进行标准化处理?因为数量级将对距离产生较大影响，并影响最终聚类结果。
3、试说明变量之间的高度相关性是否会对层次聚类分析结果造成影响？为什么？会。
如果所选变量之间存在较强的线性关系，能够相互替代，在计算距离时同类变量将重复“贡献”，占有较高权重，而使最终的聚类结果偏向该类变量。
4、试说明K-Mean 聚类分析的基本步骤。
K-Mea ns聚类分析步骤：确定聚类数目K--确定K个初始类中心点--根据距离最近原则进行分类--重新确定K个类中心点--判断是否已经满足终止条件。
是一个反复迭代的分类过程。
在聚类过程中，样本所属的类会不断调整，直至达到最终稳定为止。
5、收集到我国2007年各地区城镇居民家庭平均每人全年消费支出数据，数据文件名为：“消费结构.sav”，变量包括：地区、消费性支出总额、食品、衣着、居住、家庭设备用品及服务、医疗保健、交通和通信、教育文化娱乐服务、医疗保健、杂项商品和服务支出。
第10章方差分析习题解答
第10章方差分析习题解答一．选择题1. 下列关于方差分析的说法不正确的是( A ).A. 方差分析是一种检验若干个正态分布的均值和方差是否相等的一种统计方法.B. 方差分析是一种检验若干个独立正态总体均值是否相等的一种统计方法.C. 方差分析实际上是一种F 检验.D. 方差分析基于偏差平方和的分解和比较.2. 设,1,2,,;1,2,,ij i ij i X i a j n µε=+== ，2(0,)ij i N εσ ，且ij ε相互独立，进行单因子方差分析是( C ) . A . 对假设012:a H µµµ=== 作检验. B . 对假设222012:a H σσσ=== 作检验. C . 假定2(0,)ij N εσ ，2σ为未知，对假设012:a H µµµ=== 作检验. D . 假定2(0,)ij N εσ 12a µµµµ==== ，µ为未知，对假设222012:a H σσσ=== 作检验.3. 对因子A 取r 个不同的水平进行试验，每个水平观测t 次，结果,1,2,,,1,2,,ij y i r j t == .对()ij r t y ×的偏差有分解：2211111()()()ˆr t r trTijij i i E A i j i j i SS y y y y t y y SS SS ⋅⋅======−=−+−=+∑∑∑∑∑ 其中11111, r t ti i ij i j j y y y y rt t ⋅=====∑∑∑对假设012:r H µµµ=== 进行检验时，如下说法错误 的是( B ) .A .E SS 表示0H 为真时，由随机性引起的y ij 的波动.B .A SS 表示0H 为真时，所引起的由各水平间ij y 波动.C . E SS 表示各水平上随机性误差的总和.D . A SS 表示各水平之间系统误差的总和.4. 对某因素进行方差分析，由所得试验数据算得下表： 方差来源 平方和自由度F 值组间 4623.7 4 组内 4837.25 15 总和9460.9519采用F 检验法检验，且知在0.05α=时F 的临界值0.05(4,15) 3.06F =，则可以认为因素的不同水平对试验结果( B ).A. 没有影响.B. 有显著影响.C. 没有显著影响.D. 不能作出是否有显著影响的判断.5. 设在双因子A 和B 的方差分析模型：ij i j ij X µαβε=+++，10ai i α==∑，10bjj β==∑，2(0,)ij N εσ ，且ij ε相互独立，检验假设：0112:,0rH ααα==== ，和0212:,0sH βββ==== 检验时，下列结论中错误的是( D ) . A . 若拒绝域01H ，则认为因子A 的不同水平对结果有显著影响. B . 若拒绝域02H ，则认为因子B 的不同水平对结果有显著影响.C . 若不拒绝01H 和02H ，则认为因子A 与B 的不同水平的组合对结果无显著影响.D . 若不拒绝01H 或02H ，则认为因子A 与B 的不同水平组合对结果无显著影响.6. 某结果可能受因素A 及B 的影响.现对A 取4个不同的水平, B 取3个不同水平,对A 与B 每一种水平组合重复二次试验,对观测结果的双因子有交互作用的方差分析模型计算得:44.3A SS =，11.5B SS =，27.0A B SS ×=，65.0E SS =.且0.05(2,12) 3.89F =，0.05(3,12) 3.49F =，0.05(6,12) 3.00F =,则在显著性水平0.05α=时,检验的结果是( B ).A. 只有A 因素对结果有显著性影响.B. 只有B 因素对结果有显著性影响.C. 只有交互作用对结果有显著性影响.D. A 、B 及A 和B 的交互作用都对结果无显著性影响.7.设某结果可能受因素A 及B 的影响,现对A 取4个不同的水平, B 取3个不同的水平配对作试验,按双因子方差分析模型的计算结果: 5.29A SS =， 2.22B SS =，7.77T SS =.且0.05(3,6) 4.80F =，0.05(2,6) 5.10F =,则在显著性水平0.05α=时,检验的结果是（ C ). A. 只有A 因素的不同水平对结果有显著影响. B. 只有B 因素的不同水平对结果有显著影响.C. A 的不同水平及B 的不同水平都对结果有显著影响.D. A 、B 因素不同水平组合对结果没有显著影响.8. 对因子A 取r 个不同水平，因子B 取s 个不同水平，A 与B 的每种水平组合重复次试验后，对结果进行双因子有重复试验的方差分析，则以下关于各偏差平方和自由度的结论错误的是( D ).A. A 因子的偏差平方和A SS 的自由度为.B.B 因子的偏差平方和B SS 的自由度为.C. 交互作用的偏差平方和A B SS ×的自由度为(1)(1)r s −−.D. 误差平方和E SS 的自由度为(1)(1)(1)r s t −−−. 二．填空题9. 进行单因素方差分析的前提之一是要求表示r 个水平的r 个总体的方差 相等 ． 10. 进行方差分析时，将离差平方和211()in r Tiji j SS XX ===−∑∑表示为TA E SS SS SS =+，其中A SS =21()ri ii n XX =−∑，E SS =211()in riji i j XX ==−∑∑．11. 进行方差分析时，将离差平方和211()in rT iji j SS XX ===−∑∑表示为TA E SS SS SS =+，则2ESS σ~2(n r)χ−．12. 进行方差分析时，如果所有2~(,)ij X N µσ，则222111()in r T iji j SSXX σσ===−∑∑~21(1)ri i n χ=−∑．13. 进行方差分析时，选取统计量2 1211()()(1)()(1)()i ri i i A n rE ij i i j n r n X X SS r FSS n r r X X ===−−−==−−−∑∑∑，则F ~(r 1,n r)F −−．14. 在单因素方差分析中，如果因素A 有a 个水平，其中在第i 个水平下作了i n 次试验，12a n n n n +++= ，总的偏差平方和T SS 分解为A SS 和E SS ，则A SS 的自由度为1a −，E SS 的自由度为n a−，检验统计量A F =/(1)/(1)A E SS a SS n −−，若A F 大于给定的临界值水平，则说明 因素A 的a 个水平对试验指标有显著影响 ．15. 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中一种方法．在显著水平α=0.05下，通过对每个工人生产的产品数量进行方差分析得到下面的部分结果．请完成方差分析表，由于 1.70 3.354131F =< 或P=0.245946>0.05 ，可判断不同的组装方法对产品数量的影响 不显著 （显著，不显著）． 差异源 SS df MS F P-value F crit 组 间 420 2 210 1.70 0.245946 3.354131 组 内 3836 27 142.07 — — — 总 计425629————16. 在双因素方差分析中，因素A 有三个水平，因素B 有四个水平,每个水平搭配各做一次试验．请完成下列方差分析表，在显著水平α=0.05下，由于0.05(25.7,6)508.1A F F ==>，可判断因素A 的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.05(35.8,6)405.8B F F ==>，可判断因素B 的影响 显著 （显著，不显著）． 来 源 平方和 自由度 均方 F 值 因素A 54 2 27 5.78 因素B 82 3 27.33 5.85 误差e 28 6 4.67 — 总 和16411——17. 在某种化工产品的生产过程中，选择3种不同的浓度：1A =2%，2A =4%，3A =6%；4种不同的温度：1B =100C ，2B =240C ，3B =380C ，4B =520C ；在每种浓度与温度配合下各做两次试验，观测产品的收取率．现由试验数据计算出如下结果：总偏差平方和147.8333T SS =，因素A （浓度）的偏差平方和44.3333A SS =，因素B （温度）的偏差平方和11.50B SS =，交互作用A B ×的偏差平方和27.00A B SS ×=，则误差平方和E SS = 65 ，检验统计量A F = 4.09 ， B F = 0.708 ，A B F ×= 0.831 ，在显著性水平0.05α=下．由于0.05(2,4.0912) 3.89A F F ==>，可判断因素A 的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.05(30.7,12)908 3.4B F F ==<，可判断因素B 的影响 不显著 （显著，不显著）；由于0.050.831(6,12) 3.00A B F F ×==<，可判断因因素A 与因素B 的交互作用影响不显著 （显著，不显著）．18. 为了分析不同操作方法生产某种产品节约原料是否相同，在其余条件尽可能相同的情况下，安排了五种不同的操作方法生产某种产品，测量原料节约额，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于0.00410.05P =<，可判断不同操作方法生产某种产品节约原料 有 （有，无）显著差异.差异源 SS df MS F P-value F crit 操作方法55.5370 4 13.8842 6.05900.00414.8932组内 34.3725 15 2.2915总计89.90951919. 对腐乳的味道、口感等只能通过感观来确定其产品质量.为了检验专业评议员对腐乳评分标准是否存在显著差异，不同的腐乳质量是否存在显著差异，得到4位专业评议员对4种腐乳的评分结果，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于0.0005690.05P =<，可判断专业评议员对腐乳评分标准 有 （有，无）显著差异；由于 1.020.0505E P −=<，可判断不同的腐乳质量 有 （有，无）显著差异.差异源 SS df MS F P-value F crit 专业评议员54 3 18.0000 16.2 0.000569 3.8625 腐乳 148 3 49.3333 44.4 1.02E-053.8625误差 10 9 1.1111总计2121520．为了分析时段、路段以及时段与路段的交互作用对行车时间的影响，某市一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期驾车试验，共获得20个行车时间数据，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于 5.700.056E P =<−，可判断时段因素对行车时间的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.0001.0805P =<，可判断路段因素对行车时间的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.9118.0105P =>，可判断时段与路段因素对行车时间交互作用的影响 不显著 （显著，不显著）． 差异源SSdfMS F P-value F crit时段 174.05 1 174.05 44.0632 5.7E-06 4.49399 路段 92.45 1 92.45 23.4050 0.00018 4.49399 交互 0.05 1 0.05 0.01260.911814.49399内部 63.20 16 3.95总计329.7519三．应用计算题21．比较四种肥料1234,,,A A A A 对作物产量的影响，每一种肥料做5次试验，得产量（公斤/小区）如下表．试检验四种肥料对产量的影响有无显著差异?肥料 1A2A3A4A样 本 观 测 值5.56.5 8.0 5.5 5.0 6.0 6.5 6.5 6.07.0 7.5 6.0 4.5 6.5 7.0 5.0 7.05.56.05.5解：设使用四种不同肥料后作物的产量2~(,),1,2,3,4i i Y N i µσ=．则需检验的问题为43210:µµµµ===H ,:1H 4321,,,µµµµ不全相等.首先由样本直接计算有关值如下表作物产量计算表肥料样本观测值行和i A T1A 5.5 5.0 6.0 4.5 7.0 28 2A 6.5 6.0 7.0 6.5 5.5 31.5 3A 8.0 6.5 7.5 7.0 6.0 35 4A5.56.56.05.05.528.5 411in ij i j T x ===∑∑1232756.45T C n ==4211771.5756.4515.05in Tiji j SS xC ===−=−=∑∑22222412831.53528.5756.45 6.255555iA A i iT SS C n ==−=+++−=∑15.05 6.258.8E T A SS SS SS =−=−=列出相应的方差分析表．作物产量方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方MS F 值临界值因素A 6.25 3 2.08 3.79 0.05(3,16) 3.24F = 0.01(3,16) 5.29F =误差 8.8 16 0.55 总和15.0519由于0.053.79(3,16)A F F =>，认为四种肥料对产量有显著影响．22．取四个种系未成年雌性大白鼠各三只，每只按一种剂量注射雌激素，一月后，解剖秤其子宫重量，结果如下表．试检验不同剂量和不同白鼠种系对子宫重量有无显著影响？解设注射不同剂量的不同白鼠种系的子宫重量2~(,),1,2,3,4ij i j Y N i µαβσ++=；1,2,3j =．则需检验的问题为01234:0A H αααα==== ，11234:,,,A H αααα不全为零 0123:0B H βββ===，1123:,,B H βββ不全为零为了计算各平方和，列出如下表．子宫重量计算表本题中4,3,12a b n ab ====22109810046712T C n ===4321111354210046713075Tiji j SS xC ===−=−=∑∑242222.11(367225314192)1004676457.66733i Ai T SS C ==−=+++−=∑ 23.22211(260358480)100467607444j Bj T SS C==−=++−=∑130756457.6676074543.33E T A B SS SS SS SS =−−=−−=得到相应的无交互作用双因素方差分析表．子宫重量双因素方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方MS F 值 临界值因素A（种系） 6457.6732152.5623.770.05(3,6) 4.76F =0.01(3,6)9.78F =因素B60742303733.540.05(2,6) 5.14F =（剂量）0.01(2,6)10.92F =误差E 543.33 6 90.56 总和1307511因为0.0123.77(3,6)A F F =>，认为种系对子宫重量有极显著影响；0.0133.54(2,6)B F F =>，认为剂量对子宫重量有极显著影响．由此可知，种系和剂量对子宫重量都有极显著影响．23．为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据如下表．试检验广告方案.广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显著．广告方案广告媒体报纸电视 A8,12 12,8 B22,14 26,30 C10,1818,14解 设不同广告方案和广告媒体的产品销售量2~(,)ij i j ij Y N µαβγσ+++，1,2i =,3；1,2j =．则需检验的问题为0111221223132:0A B H γγγγγγ×======，1111221223132:,,,,,A B H γγγγγγ×不全为零. 0123:0A H ααα===，1123:,,A H ααα不全为零, 012:0B H ββ==，112:,B H ββ不全为零, 本题计算过程如下表：销售量数据方差分析计算表2A22,14 (36) 26, 30(56) 9284643A10,18 (28)18, 14(32)603600 列和..j x84 108 154 136642..j x705611664 1872032221113616ijti j t x====∑∑∑32221111()307212ijt i j t x ====∑∑∑ 322.117040ij i j x===∑∑36163072544T SS =−=11336430723444A SS =×−=1187203072486B SS =×−=17040307234448562A B SS ×=×−−−=得如下方差分析表：销售量数据双因素方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 广告方案A 344 2 172 10.75 广告媒体B 48 1 48 3 交互效应A B ×56 2 28 1.75 误差 96 6 16 总和54411查表得0.05(2,6) 5.14F =，0.05(1,6) 5.99F =，因此，广告方案对产品销售量的影响显著；广告媒体对产品销售量的影响不显著；广告方案和广告媒体对产品销售量没有交互作用．。
10 方差分析
P
心理统计学
例1：研究人员采用四种不同的心理治 疗方案， 疗方案，对每个志愿参加治疗的患 者进行心理治疗。 者进行心理治疗。他们用录音机记 录了每个被试在一段时间中所讲的 词数。 词数。由于录音的困难每种方案记 录的人数各不相同，原始数据见表。 录的人数各不相同，原始数据见表。 问这几种方案是否有差异？ 问这几种方案是否有差异？
心理统计学
Fmax检验统计决断规则
Fmax与临界值比较 Fmax与临界值比较 Fmax＜Fmax(df)0.05 Fmax(df)0.05 ≤Fmax＜ Fmax(df)0.01 P值 P＞0.05 显著性 不显著 检验结果 保留H 拒绝H 保留H0，拒绝H1 0.05显著性水平 在0.05显著性水平 拒绝H 接受H 拒绝H0，接受H1 0.01显著性水平 在0.01显著性水平 拒绝H 接受H 拒绝H0，接受H1
序号 X1
治疗方案 X2 X3 X4
1 2 3 4 5 6 7
30 74 46 58 62 38
50 38 66 62 44 58 80
18 56 34 24 66 52
88 78 60 76
心理统计学
解题过程 1．提出假设 H 0 ： μ 1＝ μ 2＝ μ 3＝ μ 4 H1：至少有两个总体平均数不等 2．选择检验统计量并计算 假定四组记录数据是从四个正态总体中抽出的 独立样本， 独立样本，对多个独立样本平均数的差异进行显 著性检验，应采用完全随机设计的方差分析。 著性检验，应采用完全随机设计的方差分析。
心理统计学
方差分析是将总平方和 总平方和分解为几个不 方差分析是将总平方和分解为几个不 同来源的平方和 平方和（ 同来源的平方和（实验数据与平均数离差的 平方和）。然后分别计算不同来源的方差 ）。然后分别计算不同来源的方差， 平方和）。然后分别计算不同来源的方差， 并计算方差的比值即Ｆ 根据Ｆ 并计算方差的比值即Ｆ值。根据Ｆ值是否显 著对几组数据的差异是否显著作出判断。 著对几组数据的差异是否显著作出判断。
最新人大版_贾俊平_第五版_统计学_第10章_方差分析PPT课件
பைடு நூலகம்
10.1.3 方差分析中的基本假定 1.每个总体都应服从正态分布
• 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态 分布总体的简单随机样本。
• 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽 取的
10.2 单因素方差分析
10.2.1 数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21 : : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
10.2.2 分析步骤
1.提出假设
• 一般提法 H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的， 称为系统误差
2.两类方差 （1）组内方差（误差平方和 、残差平方和、 SSE）
– 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 – 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 – 组内方差只包含随机误差
（2）组间方差（因素平方和、SSA）
– 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 – 比如，四种颜色饮料销售量之间的方差 – 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
水平A ( i ) 粉色(A2) 橘黄色(A3)
绿色(A4)
1
26.5
31.2
27.9
30.8
贾俊平《统计学》(第5版)章节题库-第10章 方差分析【圣才出品】
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10．双因素方差分析涉及（ ）。
A．两个分类型自变量
B．两个数值型自变量
C．两个分类型因变量
D．两个数值型因变量
【பைடு நூலகம்案】A
【解析】根据所分析的分类自变量的多少，方差分析可以分成单因素方差分析和双因
素方差分析。当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析。
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第 10 章 方差分析
一、单项选择题 1．方差分析的主要目的是判断（ ）。 A．各总体是否存在方差 B．各样本数据之间是否有显著差异 C．分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 D．分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 【答案】C 【解析】方差分析是指通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型 因变量是否有显著影响。从表面上看，方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法， 但本质上它所研究的是分类型自变量对数值型因变量的影响。
A．误差项平方和 B．组内平方和 C．组间平方和 D．总平方和 【答案】D 【解析】总平方和是全部观测值与总均值的误差平方和，记为 SST。
14．组内平方和除以相应的自由度的结果称为（ ）。 A．组内平方和 B．组内方差 C．组间方差 D．总方差 【答案】B
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差 2 必须相同；③观测值是独立的。
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8．在方差分析中，所提出的原假设是 H0： 1 2 L k ，备择假设是（ ）。 A． H1 ： 1 2 L k B． H1 ： 1 2 L k C． H1 ： 1 2 L k D． H1 ： 1 ， 2 ，…， k 不全相等
10第十章统计基础与统计方法自考质量管理学
汇报人：
1. 统计基础
目
2. 质量管理中的统计技术和方法
录
3. 总结
统计是一项收集、组织、分析、解释和展现数据的活动或方法。它为人们从 观测数据中获取信息、分析关系、形成知识。做出判断和决策提供了有效途径。 在质量管理理论与实践中，统计思想、统计技术和方法的应用，极大地增强了质 量管理理论研究和实践的能力。
1
统计基础
了解数据类型、统计量表、样本与总体、统 计参数、随机变量与概率分布等统计的基本 知识，是学习和应用统计技术和方法的前提。
一、统计量表与数据类型
数据是特定对象的观测值。使用不同的统计量表，可以得到不同类型的数据，相 应地，可以使用不同的统计方法进行分析和处理，获得不同的信息。基本的统计量 表、数据类型与统计方法如表10 - 1所示。数据是关于对象特性的描述，用于反映 和理解对象或事实，但不是对象或事实本身。
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
P（X=xi）=pi（i=1,2，…n）
三、概率与随机变量
4.常用随机变量的分布 常用的离散随机变量的分布有二项分布、泊松公布和超几何分布。常用的连续随机变服 分布有均匀分布、正态分布、对数正态分布等，最常用的是正态分布，它描述了许多质量特 性随机取值变化的规律性。特别重要的是，根据中心极限定理，一个变量无论其总体限从什 么分布，只要样本量足够大，来自这个总体的随机样本的均值就呈近似正态分布。 这里主要介绍正态分布。 如果一个随机变量I的概率分布呈正态分布，则其概率密度函数为:
2
质量管理中的统计技术和方法
在质量管理实践中，人们运用统计学原理，将基本的统 计技术运用于观察、分析和复决质量问题，产生了许多有用、 实用的统计方法。统计方法是关于收集、整理、分析、解释 和展现统计数据，并根据数据所反映的问题做出一定结论的 方法。它是统计技术的具体运用和专门化。
《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习答案(第10章)word版本
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇）课后练习答案第10章SPSS的聚类分析1、根据“高校科研研究.sav”数据，利用层次聚类分析对各省市的高校科研情况进行层次聚类分析。
要求：1）根据凝聚状态表利用碎石图对聚类类数进行研究。
2）绘制聚类树形图，说明哪些省市聚在一起。
3）绘制各类的科研指标的均值对比图。
4）利用方差分析方法分析各类在哪些科研指标上存在显著差异。
采用欧氏距离，组间平均链锁法利用凝聚状态表中的组间距离和对应的组数，回归散点图，得到碎石图。
大约聚成4类。
步骤：分析→分类→系统聚类→按如下方式设置……结果：凝聚计划阶段组合的集群系数首次出现阶段集群下一个阶段集群 1 集群 2 集群 1 集群 21 26 30 328.189 0 0 22 26 29 638.295 1 0 7 320251053.4235 44 121209.922155 8201505.035 03 66 8 16 1760.170 5 0 97 24 26 1831.926 0 2 108 7 11 1929.891 0 0 119 5 8 2302.024 0 6 2210 24 31 2487.209 7 0 2211 2 7 2709.887 0 8 1612 22 28 2897.106 0 0 1913 6 23 2916.551 0 0 1714 10 19 3280.752 0 0 2515 4 21 3491.585 4 0 2116 2 3 4229.375 11 0 2117 6 13 4612.423 13 0 2018 9 18 5377.253 0 0 2519 14 22 5622.415 0 12 2420 6 15 5933.518 17 0 2321 2 4 6827.276 16 15 2622 5 24 7930.765 9 10 2423 6 27 9475.498 20 0 2624 5 14 14959.704 22 19 2825 9 10 19623.050 18 14 2726 2 6 24042.669 21 23 2827 9 17 32829.466 25 0 2928 2 5 48360.854 26 24 2929 2 9 91313.530 28 27 3030 1 2 293834.503 0 29 0选中数据列，点击“插入”菜单 拆线图……碎石图：由图可知，北京自成一类，江苏、广东、上海、湖南、湖北聚成一类。
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
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式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值)
1.全部观察值的总和除以观察值的总个数 2.计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
观测值
消费者对四个行业的投诉次数
行业
零售业
旅游业
航空公司
家电制造业
1
57
2
66
3
49
4
40
5
34
6
53
107- 7
44
68
31
44
39
49
51
29
21
65
45
34
77
56
40
58
51
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第六版)
什么是方差分析?
(例题分析)
1.分析4个行业之间的服务质量是否有显著差异 ，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有 显著影响
2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被 投诉次数的均值是否相等
3.若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉 次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有 显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业” 对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有 显著差异
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
4.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响
▪ 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被
投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果 这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数 有显著影响
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统计学
2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下 假设：
▪ H0 ： m1 m2 … mk ▪ H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等
3次电.设制数m造的1为业均零被值售投，业诉m3次被为数投航的诉空均次公值数司，的被提均投出值诉的，次假m数2设为的为旅均游值业，被m4投为家诉
▪ H0 ： m1 m2 m3 m4 ▪ H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
k
SST
ni
xij x 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
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统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
(计算组间平方和 SSA)
1.各组平均值 xi (i1,2, ,k与)总平均值 的x 离差
一个数值型因变量
3.有单因素方差分析和双因素方差分析
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
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统计学
STATISTICS (第六版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表
▪ 既包括随机误差，也包括系统误差
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统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第六版)
(均方—MS)
1.平方和除以相应的自由度
2.若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该 很接近，它们的比值就会接近1
3.若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们 之间的比值就会大于1
• 自变量对因变量有显著影响
2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值都 不相等
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统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
构造统计量需要计算
▪水平的均值 ▪全部观察值的总均值 ▪误差平方和 ▪均方(MS)
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统计学 什么是方差分析(ANOVA)?
STATISTICS (第六版)
(analysis of variance)
1.检验多个总体均值是否相等
▪ 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类型自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差
这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源
STATISTICS (第六版)
方差分析的基本假定
10 - 18
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统计学
STATISTICS (第六版)
方差分析的基本假定
1.每个总体都应服从正态分布
▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正
态分布总体的简单随机样本
▪ 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布
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统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
(计算水平的均值)
1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随 机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部 观察值总和除以观察值的个数
2.计算公式为
ni
xij
xi
j1
ni
(i 1,2,,k)
10 - 30
比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异
▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系
统性因素造成的，称为系统误差
10 - 15
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统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第六版)
(误差平方和—SS)
本数据
10 - 10
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统计学
STATISTICS (第六版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 11
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统计学
STATISTICS (第六版)
80
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—散点图)
60
被投诉次数
40
20
0 0
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零售1 业
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统计学
STATISTICS (第六版)
10.2 单因素方差分析
10.2.1 数据结构 10.2.2 分析步骤 10.2.3 关系强度的测量 10.2.4 方差分析中的多重比较
10 - 25
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统计学 单因素方差分析的数据结构
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被 投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的 模式也就应该很接近
10 - 13
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统计学
STATISTICS
方差分析的基本思想和原理
(第六版)
1. 散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被 投诉的次数之间有显著差异
4个行业被投诉次数的均值都相等
意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一
正态总体
f(X)
10 - 21
X
m1 m2 m3 m4
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统计学
STATISTICS (第六版)
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等
至少有一个总体的均值是不同的
平方和 2.反映各总体的样本均值之间的差异程度 3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 4.计算公式为
统计学
STATISTICS (第六版)
10 - 2
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统计学
STATISTICS (第六版)
10 - 3
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统计学
STATISTICS (第六版)
10 - 4
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统计学
STATISTICS (第六版)
10 - 5
n
n
式中：n n1 n2 nk
10 - 31
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统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
(例题分析)
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第六版)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1.全部观察值 x 与ij 总平均值 x的离差平方和 2.反映全部观察值的离散状况 3.其计算公式为
统计学
STATISTICS (第六版)
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
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统计学