某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
高等几何试题及答案
专业
班
二、 选择题（每小题 2 分，共 10 分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( A.圆 C.矩形 2.
u1 2 u1u 2 8 u 2 0
2 2
) B.直角三角形 D.平行四边形
系
表示(
)
A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点
第1页
B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点 C. 以 4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点 D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( A.一次 C.三次 B.两次 D.四次 )： B. 梯形 D.椭圆 )
第3页
六、计算题（42 分）
1. （6 分）平面上经过 A（-3，2）和 B（6，1）两点的直线被直线 x+3y-6=0 截于 P 点， 求单比(ABP)
2. （6 分）已知仿射平面上直线 l 的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0，求 （1）l 的齐次坐标方程； （2）l 上无穷远点的坐标； （3）l 上无穷远点的方程。
0, 0
（2 分）
6 a 2 b 3c d 0
,6a+3b+2c+d=0
得到： a : b : c : d
3 : 5 : 5 : 7 0
故射影变换方程为： 3 ' 5 5 ' 7 二重元素满足： 3 2 10
7 0
（4 分） （2 分）
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A. 三角形的垂心 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 5.二次曲线按射影分类总共可分为( A.4 类 C.6 类 ) B.5 类 D.8 类
2010-2011上学期《高等几何》期末考试试卷(A卷)
试卷代码：1110101801曲 靖 师 范 学 院2010─2011学年第一学期数学与应用数学专业 20071111、20071112、20071113、20071114班《高等几何》期末考试试卷(A 卷)任课教师：崔萍 负责人： （签字）注意：1．本试卷共7 页，请考生仔细检查，有错、漏、破烂及时报告监考教师更换。
2．考生班级、学号和姓名必须写在指定地点。
3．考试形式：闭卷；考试时间：120分钟。
一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．在拓广的欧氏平面上，原点的齐次坐标方程为 ，x 轴上的无穷远点的坐标为 . 2．无穷远线的方程是 . 3．通过每一个虚点有 条实直线.4．直线1233420x x x -+=上的无穷远点的坐标是 . 5．点（－3，0，2）的齐次线坐标方程是 .6．已知共线四点(1,1,1)A -、(1,1,1)B -、(0,1,0)C 、(2,4,2)D -，则交比),(CD AB ＝ .7．已知交比1234(,)7PP P P =，则交比),(2341P P P P＝ . 班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------------8．直线（1，2-3i，－1）上的实点坐标是 . 9．用次透视仿射，可把△ABC变为△CAB.10．已知一个对合对应的二重元素为11S=-，22S=，则这个对合对应式为 .二、简答题（共4小题，第1、2、3题，每小题3分，第4题，6分，满分15分）1．仿射变换会不会把凸四边形变成凹四边形？为什么？2．线束交比的几何意义是什么？3．写出：“完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截，所得三个点偶，是一个对合对应中的三个点偶”的对偶命题.4．下列概念：（1）二次曲线；（2）平行四边形；（3）直角三角形；（4）无穷远线；（5）正方形；（6）完全四线形；（7）对偶原理；（8）圆；（9）三角形的重心；（10）非平行线段的相等；（11）配极对应；（12）中心对称．哪些属于射影几何？哪些属于仿射几何？哪些专属欧氏几何？（只需写出编号）.三、计算证明题（共6小题，每小题8分，满分48分）1．求射影变换1132233352x x x x x x x xρρρ-'=⎧⎪'=+⎨⎪'=⎩的二重元素.2．给定二次曲线C ：22650x xy x -++=，求P （2，－1）关于C 的极线方程.3．已知二次曲线Γ通过A （1，0，0）、B （0，1，0）、C （0，0，1），并且点D（－1，1，－1）关于这条二次曲线的极线方程为1233270x x x -+-=，求这条二次曲线的方程.4．求射影对应，使点列l 上的三点3,1,2对应于点列'l 上三点3,1,2---.班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------5．用高等几何方法证明：三角形的三中线共点.6．用高等几何知识证明：梯形两底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线.班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------------四、作图题（共4小题，第1、2、3题，每小题4分，第4题，5分，满分17分）1．作出下列图形的对偶图形（不写作法，但标上相应字母）.2．在BB A A '-'-两对点决定的对合对应中，作C 点的对应点C '。
成人教育高等几何复习题及参考答案
山东师范大学成人高等教育《高等几何》课程复习题A参考答案在试卷后一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： ;3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l =),(4231l l l l4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为：5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 8、两个线束点列成透视的充要条件是 .9、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC =10. 两点决定一条直线的对偶命题为二、判断题（每小题2分，共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、解答题（共50 分）1. 求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）(7分)2. 求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s ，使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=（8分）3. 求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222123420u u u +-=的直线。
（10分）4.（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。
西南大学网络教育[0464]《高等几何》期末考试复习题及参考答案
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[0464]《高等几何》一、计算题(5题，共70分)1.经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P 点，求简比(ABP). (10分)解:设AP PB =λ，则点P 的坐标为P （361－＋λ＋λ，21＋λ＋λ），因为点P 在直线x ＋3y －6＝0上，所以有361－＋λ＋λ+3（21＋λ＋λ）－6=0 ,有1=λ,1)(-=-=λABP . 2.从原点向圆（x －2）2+(y －2)2=1作切线t 1, t 2。
试求x 轴，y 轴，t 1, t 2顺这次序的交比. (10分)解:设直线y=kx 与圆相切,则12212+-=k k ,两边平方得到03832=+-k k ,3742,1±=k 因此1t 的方程为0374=--x y ,2t 的方程为0374=+-x y ,故7474),(21+-=t t xy .3.求射影变换⎪⎩⎪⎨⎧='+='+='33322211ax x x ax x x ax x ρρρ的固定元素.(15分) 解：射影变换的特征方程是100010001--+λλλ=0，即1=λ或1-=λ把1=λ代人方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+0)1(0)1(0)1(321x x x λλλ,解得不变点是一条直线01=x把1-=λ代入上述方程组，解得不变点(1,0,0).把1=λ代人方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+0)1(0)1(0)1(321u u u λλλ,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线..把1-=λ代入上述方程组，解得不变直线01=x4.已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++=(1)求点(1,2,1)P 关于曲线的极线(2)求直线123360x x x -+=关于曲线的极点. (20分)解：(1)二阶曲线221121332460x x x x x x +++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322点(1,2,1)P 关于曲线的极线方程是(1,2,1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =0,即0429321=++x x x(2)设直线123360x x x -+=关于曲线的极点为(a,b,c),则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613ρ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a ，解得a=2,b=-30,c=37.所求极点是(2,-30,37)。
《高等几何》课程期末练习
《高等几何》课程期末练习一.选择与填空题1.非零向量a 与b 的内积0=⋅b a，那么（ ）.A. a 与b 平行 B . a 与b 垂直 C ．a 与b 线性相关 D.无法判定解 选B ．由定义1.4，><⋅⋅=⋅b a b a b a ,cos ，所以，a 与b垂直的充要条件是0=⋅b a ．2．若向量a 与b线性相关，那么（ ）.A ．存在实数21,k k ，使021=+b k a kB ．存在不全为0的实数21,k k ，使021=+b k a kC ．a 与b 不平行D ．a与b 垂直解 选Ｂ．由向量的线性相关性定义即可得出．3.设a与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ ）．A ．b a b a ≤⋅B ． b a b a =⋅C ． b a b a ≥⋅D ． b a b a >⋅ 解 选Ａ．因为1,cos >≤<b a，所以b a b a b a b a ⋅>≤<⋅⋅=⋅,cos ．4．平行射影保持如下哪种关系和量不变（ ）。
A ．垂直关系B ． 平行关系C ．长度D ． 角度解 选Ｂ．因为平行射影是仿射对应，由定理２．１，二直线的平行性是仿射不变性质．5．平行射影把（ ）.A.平行线投影为平行线B.把平行线投影为相交线C.保持线段的长度不变D.保持图形面积不变解 选Ａ．因为平行射影是仿射对应，由定理２．１，二直线的平行性是仿射不变性质．6．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。
A ． 角度B ． 交比C ． 面积D ． 长度解 选Ｂ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变．7．在中心射影下，（ ）. A.交比不变. B.平行线变成平行线.C.直角三角形变成直角三角形D.平行四边形变成平行四边形. 解 选Ａ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变．8．点列之间的射影对应是由（ ）．A ．三对对应点唯一确定B ． 两对对应点唯一确定C ．四对对应点唯一确定D ． 无限对对应点唯一确定解 选Ａ．因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定唯一一个射影对应．9．仿射变换把正方形变成( ).A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．不能确定解 选Ｃ．由定理２．１，两直线间的平行性是仿射不变性．而角度不是仿射不变量．10．仿射对应下，哪些量不变。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在欧几里得几何中，下列哪个命题不是欧几里得的公理之一？A. 直线可以无限延伸B. 任何两个点可以通过一条直线连接C. 所有直角都相等D. 任何一条直线可以绕其上一点旋转360度答案：D2. 如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非欧几里得三角形答案：D3. 在一个正方形中，对角线的长度与边长的比例是：A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A4. 下列哪个几何形状具有无限多的对称轴？A. 圆形B. 正方形C. 等边三角形D. 长方形答案：A5. 如果一个几何体的顶点数是V，面数是F，边数是E，那么欧拉公式是：A. V + F = EB. V - E + F = 1C. E = V + FD. F = V - E答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 在一个正六边形中，每个内角的度数是______。
答案：120°7. 勾股定理的数学表达式是：在直角三角形中，直角边的平方和等于______。
答案：斜边的平方8. 一个球体的体积公式是V = (4/3)πr³，其中r是球体的______。
答案：半径9. 如果一个几何体的顶点数是8，面数是6，那么根据欧拉公式，它的边数是______。
答案：1210. 在笛卡尔坐标系中，两点之间的距离公式是 d = √[(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²]，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是这两点的坐标。
如果这两点的坐标相同，那么它们之间的距离是______。
答案：0三、解答题（共75分）11. （15分）证明：在一个圆中，垂直于弦的直径平分这条弦。
证明：设圆心为O，弦为AB，直径为CD，其中C为AO的中点，D为BO的中点。
我们需要证明AD = BD。
由于C和D分别是AO和BO的中点，根据中点定理，AC = CD = BD。
高等几何试卷与答案
《高等几何》考试试题 A 卷（ 120 分钟）题号一二三四五六七八合计分数2410101010121212100得分一、填空题（ 2 分12=24 分）1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、直线 x15x20 上无穷远点坐标为：（5，-1，0）3、已知 (l1l 2 , l 3l 4 ) 3 ,则 (l 4l 3 , l 2 l1 )3(l1l 3 , l 2 l 4 )-24、过点 A(1,i,2)的实直线的齐次方程为： 2 x1 x305、方程 u125u1u26u220 表示的图形坐标（1,2,0）（ 1,3,0）6、已知OX轴上的射影变换式为x'2x 1，则原点的对应点-1x337、求点(1, 1,0)关于二阶曲线 3x125x22x327x1 x24x1x35x2 x30 的极线方程x13x26x308、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A( BC, DE ) = -19、一点列到自身的两射影变换a）：1 2 ， 2 3 ， 3 4 ；b）： 0 1 ， 2 3 ，1 0 其中为对合的是：b10、求射影变换'210 的自对应元素的参数111、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应12、直线 2x1x2x30 上的三点A(1,3,1)，B(2,5,1)，C (1,2,0)的单比( ABC ) =1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：x1 x3 0 与 x2' x3 0且'2'10。
由两线束的方程有：x1, 'x 2 。
x 3x 3将它们代入射影对应式并化简得，x 1x 2 2x 2 x 3 x 1 x 3 x 32 0此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
（10 分）证明：三点形 ABC 和三点形 A B C 内接于二次曲线（ C ），设AB BC =D AB AC =EAB BC=DABAC= E ， 则 C (A,B,A,B)C(A,B,A,B)所 以 ，(A,D,E,B)C (A,B ,A,B)C(A,B ,A ,B)(E ,B ,A ,D )即 (A,D,E,B) (E ,B ,A ,D )这两个点列对应点的连线 AC ， C B ， C A ,BC 连同这两个点列的底AB ，A B 属于同一条二级曲线 （ C ），亦即三点形 ABC 和三点形 A B C 的边外切一条二次曲线。
临沂大学高等几何期末考试试卷级参考答案
高等几何2021年12月期末考试试卷（1）一、单选题（共30题，60分）1、无穷远直线是（）的集合A、直线上的无穷远点B、平面上的无穷远点C、空间中的无穷远点D、所有的无穷远点正确答案：B2、一个圆在平面上的射影图形是（）A、圆B、椭圆C、线段D、圆或椭圆或线段正确答案：D3、直线上无穷远点的透视称为直线的（）A、迹点B、主点C、站点D、灭点正确答案：D4、仿射几何的基本不变量是（）A、交比B、单比C、距离D、角度正确答案：B5、欧式平面R2上的下列变换不是保距变换的是（）A、平移变换B、轴对称变换C、旋转变换D、投影变换正确答案：D6、加上复元素以后的射影平面叫（）A、实欧氏平面B、复欧氏平面C、实射影平面D、复射影平面正确答案：D7、射影平面上，一条n次曲线和一条m次曲线相交的点数（切点重复计算）恰好是（）个。
这就是著名的Bezout定理。
A、m nnC、n/mC 、 1-iD 、1+i正确答案：c19、 任何代数曲线（也就是黎曼曲面）都可以投影到射影平面上，使得投影出来 的曲线最多只含有通常二重点作为（）。
A 、 切点B 、 中心C 、 圆心D 、 奇点正确答案：D20、 在一个几何元素上为了能用直线或圆弧插补逼近该几何元素而人为分割的 点称为（）正确答案：C21、 （）为仿射性质A 、 任何正交变换下保持不变的性质B 、 任何仿射变换下保持不变的性质C 、 任何射影变换下保持不变的性质D 、 任何仿射变换下保持不变的量正确答案：B22、 共轴复数相乘等于（）A 、 常数B 、 纯虚数C 、 复数D 、 不能确定正确答案：A23、 不同平面坐标系统间常采用相似变换，其变换一般需要转换参数，求解转 换参数的个数以及至少需要公共点坐标的个数是（）A 、 4、2B 、 4、4C 、 3、3D 、 2、2正确答案：A24、 欧式平面R2上的下列变换不是保距变换的是（ ）A 、 平移变换B 、 轴对称变换C 、 旋转变换D 、 投影变换正确答案：D断基节交 、 、 、、A B c D25、经过（）且垂直于切线的直线必经过圆心.A、半径B、公共点C、圆心D、切点正确答案：D26、在使用节点电压法和回路电流法时，不改变互为（）的元件的值，将会得到形式完全一样的对偶方程，从而得到相同的一组解。
《高等几何》期末试卷B答案.
2012— 2013学年度第 1学期此卷使用班级为:数学系 2011级数学与应用数学专业本科班-----------------------------装 -------------------------------------订 -------------------------------线 ----------------------------一、填空题(每题 3分,共计 30分 1. 0, 3, 1(- 2. -1, 3 3. 自对应 4. 仿射 5. 12 6.0≠ij a7. 1, 2-=≠a a , 椭圆形对合8. 透视中心二、判断题 (对的打√ , 错的打×, 每题 2分 , 共计 20分1. ×2. √3. √4. ×5. √6. ×7. ×8. √9. √ 10.× 三、计算题 (共计 24分 1. (10分解由于0551111112, 001111112=---=-- …………………………… 4分故 D C B A , , , 四点共线 . 以 1, 1, 1(, 1, 1, 2(--B A 为基底 , 令0, 0, 1( 1, 1, 1( 1, 1, 2(1=-+-λ即10112111λλλ+-=-=+ 得11=λ, 同理令…………………………… 6分5, 5, 1( 1, 1, 1( 1, 1, 2(2-=-+-λ2012— 2013学年度第 1学期此卷使用班级为:数学系 2011级数学与应用数学专业本科班-----------------------------装 -------------------------------------订 -------------------------------线 ----------------------------即515112222-+-=-=+λλλ 得 232-=λ, 所求交比为…………………………… 8分3221-=λλ …………………………… 10分 2. (8分解化为齐次方程1211:0l x k x -= 2221:0l x k x -=3231:0l x k x -= 4241:0l x k x -=…………………………… 2分取 21:0, :0a x b x ==为基线,则有11223344(, (, (, ( l a k b l a k b l a k b l a k b ----…………………………… 6分由定理 1.11的推论,得132412342314(((, ((k k k k l l l l k k k k -+-+=-+-+…………………………… 8分3. (6分解因为点 P 在二阶曲线上,即0=PP S …………………………… 2分所以切线方程为S P=12123311020203401032x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪⎪-=-+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭…………………………… 6分2012— 2013学年度第 1学期此卷使用班级为:数学系 2011级数学与应用数学专业本科班-----------------------------装 -------------------------------------订 -------------------------------线 ----------------------------四、 (10分证明:, E F 为自对应元素, P 与 1P 对应则有11(, (, P P EF PP EF = …………………………… 2分而111(, (,PP EF PP EF =…………………………… 4分所以111(, (, PP EF P P EF =…………………………… 6分得21(, 1PP EF = …………………………… 8分因为 1, P P 不重合故 1(, 1PP EF =- …………………………… 10分五、 (10分图形的结构及点线的标注各占 5分六、 (6分解 1. 如图,过 a 做一直线 s ,分别交 c b a . , 于点 C B A , , ; 2.在 a 上取点 G ,连接 CB , 交 c 于点 E ;3.连接 AE 交 b 于点 F ,连接 GF 交 s 于点 D ;4.连接 OD , 即为所求直线d . …………………………… 4分2012— 2013学年度第 1学期此卷使用班级为:数学系 2011级数学与应用数学专业本科班-----------------------------装 -------------------------------------订 -------------------------------线 ----------------------------…………………………… 6分。
高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.射影平面上的任一个非恒同的二维射影变换最多有三条不共点的不变直线。
答案:正确2.在射影仿射平面上，有心非退化二阶曲线的两条渐近线必被任意一对相异的共轭直径调和分离。
答案:正确3.正方形的仿射对应图形是答案:平行四边形4.在射影仿射平面上，若非退化二阶曲线与无穷远直线相离，则该二阶曲线必是。
答案:椭圆5.对于非退化二阶曲线上取定的六个点，按其不同的次序最多可以得到多少条不同的Pascal线。
答案:606.在射影平面上，两个同类一维基本形之间的任一个射影对应必可表示为不超过两个透视对应的积。
答案:正确7.任一个非恒同的一维射影变换最多有两个相异的不变元素。
答案:正确8.在射影仿射平面上，非退化二阶曲线【图片】为双曲线的充要条件是其与无穷远直线交于两个互异实点。
答案:正确9.梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线上下底。
答案:平分10.设【图片】是点列【图片】的一射影变换，且【图片】为其两个互异的不变点，则【图片】是对合的充要条件是对【图片】的任一对互异的对应点【图片】，【图片】___________。
答案:-111.给定二级曲线【图片】与直线[1,2,3]，则曲线在该直线上的切点为(1,4,-3)12.点（6,4,1）关于二阶曲线【图片】的极线线坐标为答案:[15,23,14]13.二阶曲线【图片】与二级曲线【图片】是同一条二次曲线，则【图片】= 。
答案:14.给定二阶曲线【图片】与点（1,4,0）。
则此曲线过该点的切线线坐标为答案:[4，-1, 17] 和 [4, -1, -17]15.在射影平面上，按照射影分类，所有非退化二阶曲线可以分为几类？答案:216.射影平面上五条直线（其中无三线共点）可确定唯一一条非退化二级曲线。
答案:正确17.射影平面上任意五点可确定唯一一条非退化二阶曲线。
错误18.非退化二阶曲线的任一内接三点形每一顶点处的切线与对边的交点三点必共线。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是欧几里得几何的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 所有直角都相等C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短答案：C2. 在平面几何中，一个三角形的内角和是多少？A. 180度B. 360度C. 90度D. 270度答案：A3. 以下哪个几何图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A4. 一个圆的面积公式是？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式是______。
答案：C = 2πr2. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是______平方厘米。
答案：503. 在直角坐标系中，点(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。
答案：(3,-4)4. 一个正方体的体积公式是______。
答案：V = a³三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是勾股定理？请给出其公式并解释其意义。
答案：勾股定理是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
公式为a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
这个定理说明了在直角三角形中，边长之间的关系。
2. 描述一下什么是相似三角形，并给出相似三角形的性质。
答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边的比例相等的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例，以及面积比等于对应边长比的平方。
3. 解释一下什么是圆的切线，并给出切线的性质。
答案：圆的切线是指在圆上某一点处与圆相切的直线。
切线的性质包括：切线与过该点的半径垂直，且在切点处只有一个切线。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个半径为5cm的圆，求其周长和面积。
几何学概论期末试题及答案
《几何学概论》试题（１）1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1）的象为原点.(51')2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8')6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21')7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01')8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01')9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01')《高等几何》试题（２）1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01')4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01')6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. (01')7.求两对对应元素,其参数为121→,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')8.两个重叠一维基本形B A B A λλ'++,成为对合的充要条件是对应点的参数λ与λ'满足以下方程:)0(0)(2≠-=+'++'b ad d b a λλλλ (51')《高等几何》试题（３）1. 求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (51') 7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (02')[2005—2006第二学期期末考试试题] 《高等几何》试题（A ） 一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为3、 过点（1,i,0）的实直线方程为4、 二重元素参数为2与3的对合方程为5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。
高等几何试题及答案
4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
系专业班学号姓名
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
试卷类型：A
高等几何
使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共6页
题号
一
二
三
四
五
六
合计
得分
填空题（每小题4分，共20分）
1、设 (1)， (-1)， ( )为共线三点，则 。
2、写出德萨格定理的对偶命题：
∴当x=0及x= 时两种坐标相等。（4分）
（8分）
设射影变换的方程为： （2分）
由题意知：a+ ,
,6a+3b+2c+d=0
得到：
故射影变换方程为： （4分）
二重元素满足： 得 =7/3或 =1 （2分）
（6分）
解：由题意：
（2分）
由上式得： （2分）
故所求方程即为 （2分）
6.(8分)
解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
C.矩形D.平行四边形
2. 表示( )
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
高等几何试题及答案
试卷类型： A高等几何使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（ √ ） 共 6 页题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分一、 填空题（每小题4 分，共 20 分） 1、设 P 1 (1)， 2P (-1)， 3P ( )为共线三点，则 ( 1P 2P 3P ) 。
2、写出德萨格定理的对偶命题：。
3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。
4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：。
5、二次曲线的点坐标方程为 4xx x 2 0，则其线坐标方程为是 。
二、 选择题 （每小题 2 分，共 10 分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？ ( )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. u 12 2u 1u 2 8u 22表示( ) A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点名姓 号学 班 业专 系1 3 2┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 线┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 封┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 密┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点C. 以4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？ ( )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有 ( )：A. 三角形的垂心B. 梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4 类B.5 类C.6 类D.8 类三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
（）2.两直线能把射影平面分成两个区域。
（）3.当正负号任意选取时，齐次坐标(1,1,1)表示两个相异的点。
最新《高等几何》期末试卷B卷资料
一、填空题（每空3分，共计30分）1.直线023321=-+x x x 上的无穷远点的坐标为 .2.射影变换'230λλλ--=自对应元素的参数为 .3.若两个线束间的对应是透视对应，则它们顶点的连线 .4.单比是 不变量.5.若交比(,)2AB CD =,则(,)AD BC = .6.若 ，则二阶曲线),(31,不全为零且ij ji ij j i j i ij a a a x x a S ==∑=为非退化的.7.直线上的点变换02)1(=-'+-'-x ax x x a 是射影变换时参数a 应满足的条件是 ,是对合时参数a 应满足的条件是 ,此时对合的类型是 .8.如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做 .二、判断题(对的打√,错的打×,每题2分,共计20分)1.已知两个线束的三对对应线，则可确定一个透视对应. ( )2.简单四点形的对偶图形为简单四线形. ( )3.一个角的两边与这个角的内外角分线调和共轭. ( )4.若两个点列的底相交，则这两个点列一定是透视点列. ( )5.两个三点形对应边的交点在一条线上.则对应顶点的连线交于一点.( )6.一角的平分线上的点到角的两边等距既是仿射性质又是射影性质.( )7.射影平面上的点的坐标有两种形式，即齐次形式与非齐次形式. ( )8.若二阶曲线的方程的左边可分解为两个一次因式的乘积. 则该二阶曲线是一定退化的. ( )9.一维射影变换包括双曲型、椭圆型及抛物型射影变换. ( )10.在仿射坐标系下，经过两点111222(,),(,)p x y p x y 的直线方程为1122x x y y x x y y --=--. ( )三、计算题(共计24分)1.（10分）证明四点)5,5,1(),0,0,1(),1,1,1(),1,1,2(---D C B A 共线，并求),(CD AB .2.（8分）求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比.3.(6分)求二阶曲线03231232221=-+-x x x x x 过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,25,2P 的切线方程.四、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 'P P →,与其两个二重元素E,F 调和共轭即(',PP EF )=-1.五、（10分）作出下列图形的对偶图形.六、（6分）已知线束中三直线,,a b c ，求作直线d ，使(,,,)1a b c d =-。
华中师大《高等几何》练习题库及答案
华中师大《高等几何》练习题库及答案《高等几何》练习题库及答案一、填空题1．欧几里得的《几何原本》一书共计卷，其中存有条公理，条公设。
2．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、、、等四个方面组成的。
3．绝对几何学的公理体系就是由四组，，条公理形成的。
4．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x时，其对应的平行角?连续递减。
5．罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、、。
6．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。
7．两个射影点列成透视对应的充要条件是。
8．欧氏平面上添加了后，成为仿射平面。
9．共线4点a,b,c,d，若满足用户，则表示点对a,b与点对c,d能斯脱调和共轭。
10．平面内两点i(1,i,0),j(1,?i,0)称作平面内的。
11．希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是、、。
12．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角?。
13．球面三角形的三角和常小于而大于。
球面三角形中两角和减去第三角常小于。
14．射影转换t就是闭集的充要条件就是。
15．射影转换的基本不变量就是。
16．共线4点a,b,c,d，若满足(ab,cd)??1，则称点对a,b与点对c,d互成。
17．平面内两点、称为平面内的圆点。
18．几何学公理法从开始到形成，大体经历了阶段。
19．《几何原本》被认为是用建立的几何学。
20．欧几里得第五公设描述为：21．希尔伯特于1899年刊登了知名的著作《》，这部书被看做就是几何基础研究的经典著作。
22．《几何原本》被指出就是用古典公理法创建的几何学，这本书的作者就是。
23．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理描述为24．罗氏平面上三角形内角和二直角。
25．球面三角形的内角和大于，小于。
26．布里安香定理描述为。
27．欧氏直线上嵌入了后，沦为向量丛直线。
28．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是。
29．通过圆点的任意虚直线称为。
30．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.131．两共轭虚直线的交点为，两共轭虚点的连线为。
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某高校《高等几何》期末考试试卷
（120分钟）
一、填空题（2分⨯12=24分）
1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；
2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）
3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2
4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x
5、方程0652
2
2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=
x x x ，则原点的对应点 -3
1
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212
322
21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x
8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，
01→ 其中为对合的是： b
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：
130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233
,'x x x x λλ=
=。
将它们代入射影对应式并化简得，
2
122313320x x x x x x x +-+=
此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
（10分）
证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '
' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以，
),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B
即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B
这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，
B A ''属于同一条二级曲线
（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，
15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。
（10分）
解：因为
1
7213
112---=0且1
5
01
7213---=0
所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。
四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-21,0),B(3
2
,0),C(0,0),D(51,0)，
所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）=
)
2
151)(320()
3251)(210(+--+=21
五、求两对对应元素，其参数为12
1
→
，0→2，所确定的对合方程。
（10分）
解 设所求为
a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
将对应参数代入得：
21a+（1+2
1
）b+d=0 ②
（0+2）b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得
1
2
0123211
λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求
六、求直线32163x x x +-=0关于212
2212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。
（12分）
解：设0p （0
30201,,x x x ）为所求，则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020
1x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020
10
30201x x x x x x x x
得即,1,1,30
30201-=-==x x x （3，-1，-1）为所求极点的坐标
七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。
（12分）
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。
证明：设简单六点形654321A A A A A A ，其三对对边的交点分别为L ，M ，N ， L= 21A A 54A A ，M=32A A 65A A ，N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心，分别连接其他四点，则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A
设P A A A A =5421 ， Q A A A A =4365
则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,，()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M
所以，()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ，故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M
所以LM ，Q A 4，5PA 三点共点，但Q A 4 5PA =N, 即L ，M ，N 三点共线。
八、用两种方法求双曲线042322
2
=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。
（12分）
解：方法一
设渐近线的方程为
0)3
23
2
22
1
12
3
13
2
12
1
11
(=+++++x a x a x a k x a x a x a
根据公式得 01232=++-k k
解之，得3
1
,121-==k k ，所以渐近线方程为
0)23(1=--+++y x y x 和
0)23(3
1
1=---++y x y x
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0
方法二
先求出中心，因为
131=A ，332=A ，433-=A
所以中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛--43,41C 代入公式得渐近线方程
03433434124
3412
2
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x y y x
分解因式得
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+41x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+43y =0
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+41x +⎪⎭
⎫
⎝⎛+
433y =0
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0。